Экономико-математические методы анализа

ВВЕДЕНИЕ.
 
Одним из направленийсовершенствования анализа хозяйственной деятельности является внедрениеэкономико-математических методов и современных ЭВМ. Их применение повышаетэффективность экономического анализа за счет расширения факторов, обоснованияпринимаемых управленческих решений, выбора оптимального варианта использованияхозяйственных ресурсов, выявления и мобилизации резервов повышенияэффективности производства.
Математические методыопираются на методологию экономико-математического моделирования и научнообоснованную классификацию задач анализа хозяйственной деятельности. Взависимости от целей экономического анализа различают следующиеэкономико-математические модели: в детерминированных моделях –логарифмирование, долевое участие, дифференцирование; в стохастических моделях– корреляционно-регрессивный метод, линейное программирование, теорию массовогообслуживания, теорию графов.

СТОХАСТИЧЕСКОЕМОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ФАКТОРНЫХ СИСТЕМ ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.
 
Стохастический анализ – это метод решения широкого классазадач статистического оценивания. Он предполагает изучение массовых эмпирическихданных путем построения моделей изменения показателей за счет факторов, ненаходящихся в прямых связях, в прямой взаимозависимости и взаимообусловленности.Стохастическая связь существует между случайными величинами и проявляется втом, что при изменении одной из них меняется закон распределения другой. Такесли случайная величина Х- функция двух групп случайных величин Z и v, X=f(Z1, Z2, ..., Zn; v1, v2, ...,vn), а случайная величина Y – функция двух групп случайных величин Y=Y(Z1, Z2,..., Zn; v1, v2, ..., vn), то между X и Y есть стохастическая связь.
В основе построениястохастических моделей лежит обобщение закономерностей варьирования значенийизучаемых экономических показателей. Предпосылкой для применениястохастического подхода моделирования связей служит качественная однородностьсовокупности (относительно изучаемых связей) и варьирования признаков похозяйственным объектам и периодам.
Стохастическоемоделирование можно применять в анализе хозяйственной деятельности, если естьвозможность составить совокупность наблюдений. Моделирование ведется методамиматематической статистики, которые позволяют исследовать опосредованныепричинно-следственные связи показателей производственно-хозяйственнойдеятельности с факторами и условиями производства. Детерминированное моделированиев данном случае не всегда возможно. С помощью математико-статистических приемовможно обойтись без специальных экспериментов.
В экономическом анализевыделяются следующие наиболее типичные задачи стохастического анализа:
·  изучение наличияи тесноты связей между функцией и факторами, а также между факторами;
·  ранжирование  иклассификация факторов экономических явлений;
·  выявлениеаналитической формы связи между изучаемыми явлениями;
·  сглаживаниединамики изменения уровня показателей;
·  изучение размерности(сложности, многогранности) экономических явлений;
·  количественноеизменение информативных показателей;
·  количественноеизменение влияния факторов на изменение анализируемых показателей(экономическая интерпретация полученных управлений).
Стохастическоемоделирование и анализ связей между изученными показателями начинаются скорреляционного анализа.
Корреляция состоит в том, что средняя величинаодного из признаков изменяется в зависимости от значения другого. Признак, откоторого зависит другой признак, принято называть факторным. Зависимыйпризнак именуют результативным. В каждом конкретном случае дляустановления факторного и результативного признаков в неодинаковыхсовокупностях необходим анализ природы связи. Так, при анализе различныхпризнаков в одной совокупности заработная плата рабочих в связи с ихпроизводственным стажем выступает как результативный признак, а в связи споказателями жизненного уровня или культурными потребностями – как факторный.Часто зависимости рассматривают  не от одного факторного признака, а отнескольких. Для этого применяется совокупность методов и приемов выявления иколичественной оценки взаимосвязей и взаимностей между признаками.
При исследовании массовыхобщественно-экономических явлений между факторными признаками проявляетсякорреляционная связь, при которой на величину результативного признака влияет,помимо факторного, множество других признаков, действующих в разныхнаправлениях одновременно или последовательно. Часто корреляционную связьназывают неполной статистической или частичной в отличие от функциональной,которая выражается в том, что при определенном значении переменной (независимаяпеременная – аргумент) другая (зависимая переменная – функция) принимаетстрогое значение.
Корреляционную связьможно выявить только в виде общей тенденции при массовом сопоставлении фактов.Каждому значению факторного признака будет соответствовать не одно значениерезультативного признака, а их совокупность. В этом случае для вскрытия связинеобходимо найти среднее значение результативного признака, а их совокупность.В этом случае для вскрытия связи необходимо найти среднее значениерезультативного признака для каждого значения факторного.
Проблема измерения связиимеет две стороны: выяснение формы и тесноты. При определение формы связивыявляется изменение средней величины результативного признака в зависимости отизменения факторного. Выбор тех или иных показателей тесноты корреляционнойсвязи зависит от ее формы. Под формой связи понимают тип аналитической формулы,выражающей зависимость между рассматриваемыми признаками. Различают связь прямую,при которой с ростом (снижением) факторного признака у результативногообнаруживается тенденции к увеличению (уменьшению), и обратную, когда  сувеличением (уменьшением) факторного признака результативный снижается(увеличивается).
Форма корреляционнойзависимости характеризует тенденцию, проявляющуюся в измененияхрассматриваемого признака с изменением признака-фактора. Если наблюдаетсятенденция равномерного возрастания или убываний значений признака, то зависимостьназывается прямолинейной, в противном случае – криволинейной.
Уравнивание корреляционной связи(уравнение регрессии) – аналитическое. С его помощью выражается связь междупризнаками (иногда форма связи). Различают прямолинейное (прямая линия) икриволинейное (парабола, гипербола) уравнения.
Линии на графиках,изображающие тенденции в изменения признака, коррелируемого спризнаком-фактором, называются линиями регрессии. В них находит графическоевыражение форма связи.
При использованиикорреляционно-регрессивного приема анализа модель изображается в видеуравнения  регрессии типа y=f(x), где у – зависимая переменная (результативный признак илифункция от ряда факторов-аргументов); х – независимые переменные (факторы-аргументы).Парной корреляцией называется корреляционная зависимость между двумяпризнаками.
Простейшим уравнением,характеризующим прямолинейную зависимость между двумя признаками, служитуравнение прямой линии: Y = a + bx, где х и у(х) – соответственно независимый и зависимыйпризнак; a и b – параметры уравнения.
/>Уравнение прямой линии описывает такую связь междудвумя признаками, при которой с изменением признака-фактора происходитравномерное возрастание или убывание значений зависимого признака (рис. 1.1.)
Количество наблюдений припрямолинейной
Y=a + bx    зависимости должносоставлять не менее 6.
В качестве примера прямолинейнойзависимости
Рис. 1.1.Прямолинейная зависимость   приведем данные обизменении фондовооруженности
и производительности труда (табл. 1.1.)
Год
(период)
Производительность
труда (у), тыс. руб.
Фондовооруженность
труда работающих (х),
тыс. руб.
/>/>
/>
/>
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
7-й
8-й
9-й
10-й
6,2
6,6
6,9
6,8
7,3
7,6
8,6
9,1
10,6
11,2
1,6
1,8
2,0
2,0
2,3
2,4
2,5
2,6
2,6
2,8
9,9
11,9
13,8
13,6
16,8
18,2
21,5
23,7
27,6
31,4
2,6
3,2
4,0
4,0
5,3
5,8
6,3
6,8
6,8
7,8
38,4 43,6
47,6
46,2
53,3
57,8
74,0
82,8
112,4
125,4 Итого 80,9 22,6 188,4 52,6 681,5
Табл. 1.1. Исходные данные для определения зависимости между фондовооруженностью и производительностью труда                                             
При планированиипроизводительности труда важно установить темпы ее роста в зависимости отувеличения фондовооруженности.
Связь междупроизводительностью и фондовооруженностью  труда можно выразить в видеуравнения прямой линии: />, где /> — число наблюдений; /> — постоянная величина,независимая от изменения данного фактора.
Для выяснения связирассчитаем коэффициент корреляции по формуле: />Коэффициент корреляции поабсолютной величине может принимать значения в пределах от 0 до 1. Если междудвумя показателями не существует связи, коэффициент равен 0, если связь тесная,- он близок к 1.
Если коэффициенткорреляции равен 1, значит, результативный признак полностью зависит отпризнака-фактора, т. е. по существу корреляционная зависимость совпадает сфункциональной. Следовательно, чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем теснеесвязь между явлениями и наоборот.
Для нахождениянеизвестных параметров a и b решим систему так называемыхнормальных уравнений: />; />. Величина xy находится умножением значений х наy и последующим суммированиемпроизведений.
Для исчисления величины /> следует значения х возвестив квадрат и полученные результаты суммировать.
Числовые значения ху,х, у, /> рассчитываются наосновании фактических данных из табл.1.1.
В результате подстановкиданных в систему уравнений получаем:
80,9 = 10а + 22,6b;  188,4 = 22,6а + 52,6b.
Отсюда а=+6,7; b= 0,912.
Значит, уравнение,представляющее связь между фондовооруженностью и производительностью трудаработающих, имеет вид у(х) = 6,7 + 0,912х. Следовательноповышение фондовооруженности труда на 1000 руб. приводит к росту егопроизводительности на 912 руб. Эти данные учитываются при перспективном итекущем планировании роста производительности труда.
Использованиемножественной корреляции в экономическом анализе. В зависимости от количестваотобранных факторов различают парные и многофакторные модели. Из многофакторныхиспользуется: линейные />;степенные  />; логарифмические /> модели. Они удобны тем,что их параметры /> экономическиинтерпретируется.
В экономических расчетахпредпочтение отдается линейным моделям, что обусловлено следующими причинами:
1.Относительная простотаи меньший объем вычислений ;
2.Массовые экономическиепроцессы, как правило, подчиняются закону нормального распределения, которомусвойственны линейные формы связи.
Факторы, включаемые вкорреляционно-регрессивную модель, отбираются в несколько приемов: логическийотбор в соответствии с экономическим содержанием; отбор существенных факторовпо оценки их значимости по t-критериюСтьюдента либо F-критерию Фишера;последовательный отсев незначимых факторов. При расчетах множественнойкорреляции применяется степень точности 5%, что соответствует вероятностиР=0,05.
Корреляция рядов динамикиимеет некоторые особенности. Кроме кратковременных колебаний (годовых,квартальных, месячных), в ряду имеется еще один компонент – общая тенденция визменения показателей ряда (тренд). При этом имеет место автокорреляция –зависимость между последовательными (то есть соседними) значениями уровнейдинамического ряда.
Для проверки наличияавтокорреляции в динамических рядах вычисляется критерий Дарбина – Уотсона />, где /> и /> — соответствующие уровнидинамического ряда. Его значения находятся в пределах от 0 до 4. Если расчетныезначения критерия близки к 2, значит, автокорреляция отсутствует; если dэdэ = 4 – в динамическом ряду не существуетавтокорреляции.
Для определениявыровненного ряда (тренда) с целью его последующего исключения чаще всегоприбегают к механическому сглаживанию и аналитическому выравниванию методом наименьшихквадратов.
Механическое сглаживаниеведется с помощью скользящей, или подвижной средней. Этот способ состоит ввычислении каждой новой средней одного члена ряда слева и присоединении одногочлена ряда слева и одного справа.
Кроме статистических характеристик(Табл.1.2) рассчитываются также их ошибки. Величина ошибки отражает диапазон, вкотором находится та или иная статистическая характеристика.Показатели Их содержание и обозначение
Средне арифметическое
Дисперсия
Стандартное отклонение (средне-квадратическое)
Асимметрия
Экцесс
Вариация
Показывает среднее арифметическое значениеy и последующих х в порядке их ввода />.
Средний квадрат отклонений вариантов (х) от средней арифметической(/>). Является мерой вариации, т. е. колеблемости признака />.
Вычисляется как средняя из отклонений вариантов от их средней арифметической. Представляет собой меру колеблемости.
Коэффициент асимметрии Ка колеблется от -3 до +3. Если Ка>0, то асимметрия правосторонняя, если Ка
Крутость распределения, т. е. островершинность или плосковершинность кривой на графике. Если Е>3, то распределение островершинное, при Е
Коэффициент вариации V – относительная величина (%), характеризующая колеблемость признака  от среднего арифметического. Если V
Табл. 1.2. Оценка статистических характеристик, введенных переменных и их оценок.  
Матрица коэффициентовпарной корреляции. Для измерения тесноты связи между факторами и результативнымпоказателем исчисляют парные, частные и множественные коэффициенты корреляции.Они обладают следующими свойствами:
-1 ≤ r ≤1;
если r = 0, линейная корреляционная связьотсутствует;
если [r] = 1, между переменными х и усуществует функциональная зависимость;
связь считается сильной, если[r] ≥ 0,7. При [r] ≤ 0,3 – связь слабая.
Парные коэффициентырассчитываются для всевозможных пар переменных без учета влияния другихфакторов. Чтобы учесть взаимное влияние факторов, исчисляются частыекоэффициенты, которые отличаются от первых тем, что выражают теснотукорреляционной зависимости между двумя признаками при устранении изменений,вызванных влиянием других факторов модели.
Матрица критериевнекоррелированности необходима для выбора наиболее значимых факторов, чьесовместное влияние формирует его величину. При этом исключению обычно подлежатфакторы, которые при парном коррелировании друг с другом дают высокий линейныйкоэффициент, превышающий по абсолютной величине 0,85. Наличие такой связи междудвумя факторами называют коррелиарностью, а между несколькими –мультиколлинеарностью. На основании данных матрицы машина отвергает или неотвергает гипотезу о мультиколлинеарности.
Коэффициентымножественной детерминации представляют собой квадрат коэффициента корреляции. Он показывает, насколько процентов вариация результативного показателя зависит от влиянияизбранных факторов.
Вектор значений Фишераиспользуется для оценки множественного коэффициента корреляции и уравнениярегрессии. Расчетные значения вектора значений сравниваются с табличными.
Для оценки значимостифакторов необходима матрица значений распределения Стьюдента. Расчетныезначения здесь также сравниваются с табличными. После этого начинается шаговыйрегрессивный анализ. Его результатом становится уравнение регрессии
/>
где а0 – свободный член уравнения; х1,х2,…,хn  – факторы, определяющие результатный показатель в егоединицах измерения.
Далее следует группаоценочных показателей уравнения регрессии в целом:
F – отношение Фишера для оценкимножественного коэффициента корреляции и уравнения регрессии в целом; dэ –отношение Дарбина – Уотсона для определения наличия автокорреляциив рядах динамики; э – коэффициент эластичности – отношение изменения ( в процентах)одного признака при изменении на 1% другого. Для  f(x)коэффициент эластичности обращается в      э =/>,где /> – производная. Показателиэластичности вычисляются в статике и динамике; бета-коеффициенты и другиестатистические характеристики, которые не интерпретируются с экономическойточки зрения.
Интерпретацию выходнойинформации можно последить на примере корреляционного анализа фондоотдачи. Дляпостроения на первом этапе отобраны следующие факторы:
Х1 – удельный вес машин и оборудованияв общей стоимости основных производственных фондов, %;
Х2 – электрооворуженность рабочих, тыс.кВт∙ч;
Х3 – уровень использованияпроизводственной мощности, %.
Числовые характеристикианализируемых показателей представлены в таблице 1.3.Число колебаний Y X1 X2 X3
1
2
3
4
5
1.47
1.25
1.82
1.45
1.75
32.00
30.58
34.12
32.17
33.78
34.08
35.89
36.93
32.31
34.91
88.98
87.27
95.00
88.17
90.89 40 1.79 33.96 40.25 92.40
Табл. 1.4. Матрица исходных данных                                                                                     

Для оценки колеблемости показателей необходимы их статистические характеристики(Табл. 1.4.).
Данные таблицыпоказывают, что незначительным колебаниям подвержены факторы Х3 и Х1;  средняяколеблемость присуща функции Y,значительная – фактору Х2. Однако коэффициенты вариациипоказателей не превышают 33%, что свидетельствует об однородности исходнойинформации.Шифр показа-теля
Среднее
Арифмети-ческое Дисперсия Стандартное отклонение Асимме-трия Эксцесс
Вариа-
ции
У1
Х1
Х2
Х3
1,641
33,178
36,164
92,061
0,06456
3,614
2,626
17,095
0,25409
1,9187
9,0899
4,1347
-0,43878
0,48522
-0,96513
0,53833
-0,72032
0,63515
0,96761
-1,2665
15,484
5,7831
25,135
4,4912
Табл. 1.4. Матрица статистических характеристик                                                                                                             
Коэффициенты асимметрииговорят о правосторонней асимметрии распределения рядов Х1 и Х3 и о левостороннем распределении рядовХ2 и У.
Величина эксцесса для всехпоказателей не превышает 3, что подтверждает низковершинное распределениевариационных рядов. Указанные коэффициенты интерпретируются геометрически.
Далее анализируетсяматрица коэффициентов парной корреляции (табл. 1.5.).Шифр показателя У Х1 Х2 Х3
У
Х1
Х2
Х3
1,0000
0,93778
0,0933618
0,92272
1,0000
0,093838
0,92602
1,0000
0,0786 1,0000
Табл. 1.5. Матрица парных коэффициентов корреляции  
В данном примере наиболеетесная связь наблюдается между показателями фондоотдачи (У), идеального весаактивной части фондов (Х1) и уровня загрузки производственноймощности (Х3). Парные коэффициенты корреляциисоответственно составили 0,937778 и 0,92272.
Расчет парныхкоэффициентов корреляции выявил слабую связь фондоотдачи сэлектровооруженностью труда Х2  – 0,09361.
Гипотеза о наличиимультиколлинеарности отвергается, т. е. все показатели относительно независимы.
Для рассматриваемогопримера вектор коэффициентов множественной детерминации равен: У = 0,9002; Х1 = 0,9043; Х2 = 0,0100; Х3 = 0,8820. Вектор интерпретируется следующим образом:изменение (вариация) функции (У) на 90,02% зависит от изменения избранныхфакторов-аргументов; фактора Х1 – на 90,43% отизменения функции (У) и остальных факторов и т. д.
В таблице 1.6. приведенычастные коэффициенты корреляции. Они показывают связь каждой пары факторов вчистом виде при неизменном значении остальных параметров.Шифр показателя У Х1 Х2 Х3
У
Х1
Х2
Х3
1,0000
0,5713
0,02791
0,4148
1,0000
0,02994
0,4541
1,0000
0,03164 1,0000
Табл. 1.6. Матрица частных коэффициентов корреляции  
Частные коэффициентыкорреляции ниже парных. Это говорит о том, что чистое влияние факторов слабее,чем влияние оказываемое отдельными факторами во взаимодействии с остальными.
Статистическаязначимость, надежность связи, выраженная частными коэффициентами корреляции,проверяется по t-критериюСтьюдента путем сравнения расчетного значения с табличными при заданной степениточности (Табл. 1.7.).Шифр показателя У Х1 Х2 Х3 А 1 2 3 4
У
Х1
Х2
Х3
1,0000
4,1769
0,1675
2,7359
1,0000
0,1797
3,0583
1,0000
0,1899 1,0000
Обычно в практике экономическихрасчетов степень точности берется равной 5%, что соответствует вероятности р= 0,05. В таблице приведены критические значения t-критерия Стьюдента для вероятности р = 0,05 и0,01 при различном числе степеней свободы, которые определяются как (n–1), где n–число наблюдений.
В нашем примере при числестепеней свободы 40 – 1 = 39 табличное значение tтабл. = 2,021. Расчетные значения t-критерия (первая графа таблицы) для факторов Х1 и Х3 оказались выше табличных, чтосвидетельствует о значимости этих факторов для анализируемой функции. Фактор Х2 как незначимый для функции должен быть исключен издальнейших расчетов.
Далее на ЭВМ проводитсяшаговый анализ с постепенным включением в модель избранных факторов по критериюзначимости. На каждом шаге рассматриваются уравнения регрессии, коэффициентыкорреляции и детерминации, F-критерий,стандартная ошибка оценки и другие показатели. После каждого шага перечисленныеоценочные показатели сравниваются с рассчитанными на предыдущем шаге. Уравнениерегрессии будет тем точнее, чем ниже величина стандартной ошибки (табл. 1.8.).№ шага Ввод  переменной Уравнение регрессии
Множественные
коэффициенты Отношение
Стандартная
ошибка оценки Корреляции
Детерми-
нации I X1 У = -2,481 +0,1242 Х1 0.9378 0.8797 277.2 0.0893 II X3
У = -3,085+0,077 Х1 +
+ 0,0234 Х3+0,0002 Х2 0.9488 0.9001 166.7 0.0824 III X2
У = -3,091+0,0773 Х1+
+ 0,0234 Х3+0,0002 Х2 0.9488 0.9002 108.3 0.0835
Табл. 1.8. Результаты шагового регрессионного анализа  
Если добавлениепоследующих факторов не улучшает оценочные показатели, а иногда и ухудшает их,необходимо остановиться на том шаге, где показатели наиболее оптимальны.
Результаты шаговогоанализа представлены в Табл. 1.8. свидетельствуют о том, что сложившиесявзаимосвязи наиболее полно описывает двухфакторная модель, полученная на второмшаге: у = У = -3,085 = 0,0774 Х1 + 0,0234 Х3.
Статистический анализданного уравнения регрессии подтверждает, что оно значимо: фактическое значениеF-критерия Фишера равно 166,7, чтозначительно превышает Fтабл. = 3,25. Табличное значение F-критерия находится по заданнойвероятности (р = 0,95) и числе степеней свободы для столбца таблицы (m– 1), где m – число параметров уравнения регрессии, включая свободныйчлен, и для строки таблицы (n – m), где n – число наблюдений. Например F-табличное находится на пересечении столбца 2 (3 – 1) и строки37 (40 – 3) и равно 3,25 (Табл. 1.9.).
Коэффициент множественнойкорреляции, равный 0,9488, свидетельствует о тесной взаимосвязи междуфондоотдачей и удельным весом активной части основных фондов, а также уровнемиспользования производственной мощности. Величина коэффициента множественнойдетерминации 0,9001 свидетельствует о том, что изменение детерминации на 90,01%зависит от изменения учтенных факторов. 
Параметры уравнениярегрессии интерпретируется следующим образом: коэффициент регрессии при Х1 (0,0774) показывает, что увеличение удельного веса машин иоборудования в общей стоимости основных производственных фондов на 1% ведет кросту фондоотдачи на 7,74 копейки. Повышение уровня загрузки мощностей на 1%поднимает фондоотдачу на 2,34 копейки.
Число степеней свободы (n– 1)
p = 0.05
р = 0.01
Число степеней
cвободы (n – 1)
р = 0,05
р = 0,01
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
12,69
4,302
3,183
2,777
2,571
2,447
2,368
2,307
2,263
2,227
2,200
2,179
2,161
2,145
2,131
2,119
2,110
2,100
2,093
2,086
63,655
9,924
5,841
4,604
4,032
3,707
3,500
3,356
3,250
3,169
3,138
3,055
3,012
2,997
2,946
2,921
2,898
2,877
2,860
2,846
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
32
34
36
38
39
40
42
44
46
60
2,078
2,074
2,069
2,064
2,059
2,054
2,052
2,049
2,045
2,042
2,037
2,032
2,027
2,025
2,021
2,020
2,017
2,015
2,012
2,000
2,832
2,818
2,807
2,796
2,787
2,778
2,771
2,464
2,757
2,750
2,739
2,728
2,718
2,711
2,704
2,704
2,696
2,691
2,685
2,661
Табл.1.9. Критические значения t (критерий Стьюдента)
для р = 0,05 ир = 0,01                                                              
В случае обратной связи,т.е. при уменьшении изучаемой функции в связи с ростом фактора-аргумента,коэффициент регрессии имеет знак «минус».
Свободный член уравнения ао =-3,085 экономически не интерпретируется. Он определяет положение начальнойточки линии регрессии в системе координат. Численное значение коэффициентовэластичности отражает, на сколько процентов изменится функция при измененииданного фактора на 1% (имеется в в иду относительный прирост, а не абсолютный)приведет к росту фондоотдачи на 1,65%; улучшение уровня использования мощностина 1% повысит фондоотдачу на 1,3%.
По абсолютной величинебета-коэффициентов можно судить о том, в какой последовательности находятсяфакторы по реальной возможности улучшения функции. Для нашего примерапоследовательность переменных выглядит следующим образом:Номер переменной 1 2 3 Бета-коэффициенты 0,584 0,382 0,009
Отношение Дарбина(коэффициент Дарбина – Уотсона) равно 1,215. Значит, в рядах динамики имеетсяавтокорреляция.
Заключительную матрицуданных полностью характеризуют соответствующие заготовки (по столбцам):
1.   У – фактическое.
2.   У – расчетное.
3.   Отклонение (Уфакт – Урасч).
4.   Доверительные интервалы (границы,выход за пределы которых имеет незначительную вероятность).
Для устраненияавтокорреляции модель пересчитана по приростным величинам. В результатеполучено следующее уравнение регрессии: У = -0,0079 + 0,0345; Х3 + 0,0475 Х1. Оно значимо:величина F-критерия равна 178,3. КоэффициентДарбина составляет 2,48, т.е. близок к 2, что говорит об отсутствииавтокорреляции. Коэффициент множественной корреляции (0,9518) выше, чемрассчитанный в первом случае. Величина коэффициента множественной детерминациитакже выше (0,9060). В окончательном виде уравнение регрессии интерпретируетсятаким образом: повышение уровня загрузки (производственной мощности) на 1%приведут к росту фондоотдачи на 3,45 копейки, а удельного веса машин иоборудования в общей стоимости основных производственных фондов – на 4,75копейки.
Справочный материал. Обработка данных при постановлениимножественных моделей корреляционно-регрессивной зависимости производится наЭВМ по типовой программе.
Исходные данные должныбыть достоверны, экономически интерпретируемы, количественно соизмеримы.Расчеты оформляются в виде таблице, в которой первая графа отражает числонаблюдений n, вторая (у) – результативный показатель, каждаяследующая (х) – факторы в любом порядке, так как факторы машина вводит впроцессе шагового анализа по значимости критерия.
При заполнении таблицыисходных данных следует указывать одинаковое количество знаков после запятой впределах одной графы. Для предотвращения ошибок необходимо использовать данныес возможно большим числом значащих цифр (не менее 5). Процентные отношениятребуется давать с точностью до 0,001.
В таблице 1.10. приведенызначения F-критерия для р = 0,95 взависимости от числа степеней свободы: (m–1) – для столбца и (n–m)– для строки, где m – числопараметров уравнения регрессии, включая свободный член; n – число наблюдений.

       m-1
   n-m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
10
15
16
17
18
19
20
21
22
32
33
34
35
36
38
4,96
4,54
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
4,32
4,30
4,15
4,14
4,13
4,12
4,11
4,10
4,10
3,68
3,36
3,59
3,55
3,52
3,49
3,47
3,44
3,30
3,29
3,28
3,26
3,26
3,25
3,71
3,29
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,07
3,05
2,90
2,89
3,28
2,87
2,86
2,85
3,48
3,06
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,82
2,67
2,66
2,88
2,64
2,63
2,62
3,33
2,90
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,68
2,66
2,51
2,50
2,65
2,48
2,48
2,46
3,22
2,79
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,57
2,55
2,40
2,39
2,49
2,37
2,36
2,35
3,14
2,70
2,66
2,62
2,58
2,55
2,52
2,49
2,47
2,32
2,31
2,38
–
2,28
2,26
3,07
2,64
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,42
2,40
2,25
2,24
2,23
2,22
2,21
2,14
3,02
2,59
2,54
2,50
2,46
2,43
2,40
2,37
2,35
2,19
2,18
2,17
2,16
2,15
2,14
2,97
2,55
2,49
2,45
2,41
2,38
2,35
2,32
2,30
2,14
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
Табл. 1.10. F-распределение критерия Фишера  

МЕТОДДИСКОНТИРОВАНИЯ.
 
Дисконтирование – это процесс пересчета будущейстоимости капитала, денежных потоков или чистого дохода в настоящую. Ставка покоторой производится дисконтирование, называется ставкой дисконтирования(ставкой дисконта).
Основная посылка, лежащаяв основе понятия дисконтированного потока реальных денег, состоит в том, чтоденьги имеют временную цену, т. е. сумма денег, имеющаяся в наличии в настоящеевремя, обладает большой ценностью, чем такая же сумма в будущем. Эта разницаможет быть выражена как процентная ставка (р), характеризующаяотносительные изменения за определенный период (обычно равный году).
Предположим, что Ф(t) – номинальная цена будущего потокареальных денег в году t иФ(0) – цена этого ожидаемого притока или оттока в настоящее время (текущаяцена). Тогда (предполагая, что р – постоянная величина)
/>.
Смысл проведения расчетовметодом дисконтирования состоит в том, чтобы определить сумму, которую следуетзаплатить сегодня с тем, чтобы получить планируемую отдачу от инвестиций вбудущем.
Для применения методадисконтирования об объекте инвестирования необходимо знать следующие исходныеданные: величиной инвестиции, планируемые величины денежных потоков или чистогодохода, норма дисконтирования, срок проекта.
При расчете денежныхпритоков и оттоков (кеш-фло) учитывается не только поступления денежных средствот операционной и инвестиционной деятельности, но и потоки от финансовыхрезультатов.
Чистый поток наличности(ЧПН) определяется как разность между притоками и оттоками наличности отоперационной (производственной) и инвестиционной деятельности минус издержки пофинансированию проекта.
Чистый дисконтированныйдоход (ЧДД) определяется как сумма ЧПН за расчетный период.
Пример расчета куммулятивногоЧДД приведен в приложении 1. Здесь куммулятивный чистый поток реальных денег(строка 9) рассчитывается сложением куммулятивного чистого потока реальныхденег за предыдущий период и чистого потока реальных денег за отчетный год.Например, куммулятивный чистый поток реальных денег в 2002 (5-м) году равен –8300 млн. руб. (-10000 + 1700). ЧДД (строка 10)рассчитывается по формуле ЧД = строка8 //>, где n – год с момента инвестирования, закоторый рассчитывается ЧДД. Куммулятивный ЧДД (строка 11) рассчитывается также, как и куммулятивный чистый поток реальных денег.
Коэффициентдисконтирования для приведения чистых денежных потоков к начальному периодуопределяется по формуле
/>
где Д – ставка дисконтирования(норма дисконта);t– год, за который дисконтируется чистый доход, начиная с моментаинвестирования.
Значение коэффициентовдисконтирования /> можно такжеполучить из специальных таблиц дисконтированных величин.
Норма дисконта отражатьприбыль инвестора, которую он мог бы получить при инвестициях в другой проект.Она является минимальной нормой прибыли, ниже которой инвестор счел бы своивложения не выгодными.
ЧДД характеризуетинтегральный эффект от реализации проекта и определяется как величина,полученная дисконтированием разницы между всеми готовыми оттоками и притокамиреальных денег, накапливаемых в течении горизонта расчета проекта Т (припостоянной ставке процента отдельно для каждого года):
/>/>,
где /> –чистые потоки наличности в годы t = 1,2,3,…,T.
Формулу для расчета ЧДДможно представить в следующем виде:
ЧДД = П(0) +П(1) ∙ К1 + П(2) ∙ К2 + … + П(Т) ∙ Кt.
Чистый дисконтированныйдоход как критерий для оценки эффективности инвестиций достаточно корректен иэкономически обоснован. Во-первых, ЧДД учитывает изменение стоимости денег вовремени. Во-вторых, ЧДД зависит только от прогнозируемого чистого денежногопотока и альтернативной стоимости капитала.   В-третьих, ЧДД имеет свойствоаддитивности, т. е. ЧДД нескольких инвестиционных проектов можно складывать,так как все они выражены в сегодняшних деньгах.

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕМЕТОДЫ АНАЛИЗА И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ В ЭКОНОМИКЕ.
 
Многие задачи, с которымиприходится сталкивается экономисту  в повседневной практике при анализехозяйственной деятельности предприятий, многовариантны. Так как не все вариантыодинаково хороши, среди множества возможных приходится отыскивать оптимальный.Значительная часть подобных задач на протяжении долгого времени решалась исходяиз здравого смысла и опыта. При этом не было никакой уверенности, что найденныйвариант является наилучшим.
В современных условияхдаже не значительные ошибки могут привести к огромным потерям. В связи с этимвозникла необходимость привлечения к анализу и синтезу экономических системоптимизационных экономико-математических методов и ЭВМ, что создает основу  дляпринятия научно обоснованных решений. Такие методы объединяют в одну группу подобщим названием «оптимизационные методы анализа и принятия решения вэкономике».
Чтобы решитьэкономическую задачу математическими методами, прежде всего необходимо построитьадекватную ей математическую модель, т.е. формализовать цель и условия задачи ввиде математических функций, уравнений и (или) неравенств.
В общем случаематематическая модель оптимизационной задачи имеет вид:
max(min): Z= Z(x)          (1.1.)
при ограничениях
      />,/>          (1.2)
где R– отношения равенства, меньше или больше.
Еслицелевая функция (1.1) и функции, входящие в систему ограничений (1.2.), линейныотносительно входящих в задачу неизвестных, такая задача называется задачейлинейного программирования. Если же целевая функция (1.1.) или система ог­раничений(1.2.) не линейна, такая задача называется задачей линейногопрограммирования.
В основном, на практике, задачи нелинейного программиро­ванияпутем линеаризации сводятся к задаче линейного про­граммирования. Особыйпрактический интерес среди задач линейного программирования представляют задачидинами­ческого программирования, которые из-за своей многоэтапнос­тинельзя линеаризовать. Поэтому мы рассмотрим только эти два вида оптимизационныхмоделей, для которых в настоящее время имеется хорошее математическое ипрограммное обеспе­чение.
Модели и методы решения задачи линейного программирования. Среди оптимизационных моделей иметодов, исполь­зуемых в теории экономического анализа, наиболее широкое распространениеполучили модели линейного программирова­ния, которые решаются с помощьюуниверсального приема ­–симплексногометода. Для современных ПЭВМ имеется ряд па­кетов прикладных программ, которыепозволяют решать любые задачи линейного программирования достаточно большой раз­мерности.Одновременно с решением исходной задачи указан­ные пакеты прикладных программмогут решать двойственную задачу, решение которой позволяет проводить полныйэкономи­ческий анализ результатов решения исходной задачи.
Решение задачи линейного программирования на ПЭВМ рас­смотримна примере задачи об оптимальном раскрое материалов. По результатам решенияпроведем полный экономико-матема­тический анализ с использованием теории двойственности.
Пусть имеется 200 кгполотна шириной 86 см и 300 кг — ши­риной 89 см. Из него необходимо раскроить исшить мужские куртки 44, 46, 52 и 54 размеров. Они должны быть изготовлены
в следующем соотношении кразмерам: 44 — 25,38%; 46 ­27,88%; 52 — 24,54%; 54 — 25,54%. Итого — 100%.
    Общийрасход полотна, а также отходы, получаемые при рас­
крое полотна, приведены втабл. 1.12 и 1.13.
    Количествокурток, которые выпускало предприятие в тече­ние месяца, показано в табл. 1.14.
Необходимо определитьнасколько рациональным оказался раскрой, а также какие размеры изделийцелесообразнее раскра­ивать из полотна указанной ширины, чтобы сократитьотходы.Ширина полотна, см. Размер курток 44 46 52 54
86

Табл. 1.12. Нормативный расход полотна на единицу изделия, г.   89
520,27
576,42
553,5
593,49
597,4
627,2
605,6
647,77 Ширина полотна, см. Размер курток 44 46 52 54
86

   Табл. 1.13. Отходы, получаемые при раскрое полотна на единицуизделия, г.   89
66,27
94,45
75,5
97,49
78,4
105,7
85,6
109,7   Размер курток Ширина полотна, см. 86 89
44
46
52
80
110
96
134
125
108    Размер курток Ширина полотна, см. 86 89
44
46
52
80
110
96
134
125
108
Табл. 1.15. Условные обозначения  
Табл. 1.14. Количество курток, сшитых в течение месяца, шт.    
Решимданную задачу на ПЭВМ с использованием, например, инструментальных средств МВExcel и сделаем экономический анализ полученного решения. Как правило,решение конкретной задачи на ПЭВМ включает в себя следующие этапы:
·    составлениематематической модели;
·    присвоениеэлементам модели определенных «имен»;
·    составлениематричной модели с поименованными элемен­тами;
·    ввод икорректировка исходных данных;
·    решение задачи наПЭВМ;
·    экономическийанализ полученного решения.
Применительнок нашему примеру на первом этапе вводим условные обозначения, необходимые длярешения задачи (Табл. 1.15.).
Здесьх1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, обозначают соответственно количество изделий (штук)определенного размера, раскроенных из полотна шириной 86 и 89 см. Умноживколичество изделий на нормы отхода, получим общую величину отходов производ­ства.Они должны быть минимальны. Тогда  целевая функция имеет вид:
min: F(x) = 66,27 х1+ 75.5х2+ 78.4х3 + 95.6х4+
+ 94.2х5 + 97.49х6+ 105.7х7+ 108.77х8.
Задача состоит внахождении таких хj(j= />), прикоторых целевая функция (1.1) достигнет минимума и выполняются сле­дующиеусловия:
520,27х1 + 553,5х2 + 597,4х3 +605,4х4 = 200000;
526,42х5 + 553,49х6 + 627,7х7 +647,77х8 = 300000;
х1 +  х2 +  х3 +  х4 + х5 + х6 + х7 + х8  - х9= 0;
х1 + х5 – 0,2538х9 = 0;
х2 +х6 – 0,2788х9 = 0;
х3 + х7 – 0,2420х9 = 0
х4 + х8 – 0,2254х9 = 0;
/>.
Здесь х9 – суммарный выпуск курток. Тогда условия (1.4) и (1.5)означают, что полотна шириной 86 см должно быть из­расходовано 200 кг, аполотна шириной 89 см — 300 кг; (1.6)­ – условие суммарного выпуска изделий;условия (1.7) – (1.10) означают сбалансированность раскроя изделий посоответствую­щим размерам; (1.11) – условие неотрицательности объемов производства.
На втором этапе каждой переменной, ограничениям, целе­войфункции и вектору ограничений (коэффициенты свободных членов) присваиваются«имена», которые должны включать не более восьми символов. Удобно, чтобы именабыли информатив­ными, так как при этом облегчается использование выходных отчетов.
Элементы модели и присваиваемые им имена:
Переменная
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7
х8
х9
Целевая функция (1.3)
Ограничения по ресурсам:
полотна шириной 86 см. (1.4)
полотна шириной 89 см. (1.5)
Общий объем производства (1.6)
Ограничения по выпуску:
курток размера 44 (1.7)
курток размера 46 (4.8)
курток размера 52(1.9)
курток размера 54 (4.10)
Вектор ограничений
(200000, 300000, 0, 0, 0, 0, 0)
«Имя»
ПР1
ПР2
ПР3
ПР4
ПР5
ПР6
ПР7
ПР8
ПР9
Отходы
Полотно 1
Полотно 2
Выпуск
Размер 44
Размер 46
Размер 52
Размер 54
Ресурсы
На третьемэтапе составляем матричную модель с имено­ванными элементами модели (Приложение2).  .
На четвертомэтапе введем исходные данные в ПЭВМ. При этом ввод осуществляется в соответствиис инструкцией к име­ющемуся пакету прикладных программ.
Призавершении ввода исходной информации возможна ее распечатка для визуального контроля.По результатам контро­ля производится корректировка исходной информации и пере­ходна режим расчета.
Пятый этап. Решение задачи Возможно в двухрежимах: решение прямой задачи; решение прямой и двойственной задач. При этомрешение можно производить поэтапно, с выдачей проме­жуточных результатов алгоритмасимплекс-метода, по которым можно судить о качественном процессе поискаоптимального ре­шения. По завершении результатов расчета устанавливается ре­жимраспечатки (как прямой задачи, так и двойственной).
Так,в режиме расчета прямой задачи получим следующее решение, предварительноокруглив результаты до целых:
ПР 1= 150; ПР 2 = о; ПР 3 = 204; ПР 4 = о; ПР 5 = 64; ПР 6 = 235; ПР 7 = о; ПР 8 =190; ПР 9 = 843.
Отходы = 75 743; Полотно 1 = 200 000;Полотно 2 300 = 000.
Следовательно,необходимо раскроить из полотна шириной 86 см 150 курток 44 размера и 204куртки 52 размера, а из полот­на шириной 89 см — 64 куртки 44 размера, 235курток 46 раз­мера и 190 курток 54 размера. Общий объем производства соста­вит843 куртки. Суммарные отходы при таком варианте раскроя составят 75743 г, аресурсы будут использованы полностью.
Врежиме решения двойственной задачи получим значения двойственных оценокресурсов:
             Полотно 1 =0,12996                                      Полотно 2 = 0,16616
Каквидим, двойственные оценки объемов ресурсов отличны от нуля, следовательно, они«дефицитны». Их абсолютная ве­личина говорит о том, что увеличение объемаресурса на едини­цу приводит к качественному изменению целевой функции (1.1) навеличину этой оценки. Следовательно, оценки можно счи­тать количественной меройдефицита ресурсов: чем больше оценка, тем к большему эффекту приводитувеличение объема использования данного ресурса.
Одновременно с этим получим двойственные оценки произ­водимойпродукции:
ПР 1= о; ПР 2 = 4,70818; ПР 3 = о; ПР 4 = 4; ПР 5 = о; ПР 6 = о; ПР 7 = 0,73815; ПР8 = о.
Здесьдвойственные оценки ПР 2, ПР 4, ПР 7 принимают ну­левые значения. Абсолютныезначения этих оценок говорят о том, что если мы все же будем раскраиватьсоответствующие изделия, потери от отходов будут только увеличиваться на ве­личинуоценки от раскроя одной единицы изделия. Следова­тельно, раскраивать куртки 46и 54 размеров из полотна 86 см нецелесообразно, точно так же как и куртки 52 размера — изпо­лотна шириной 89 см.
Теперьсопоставим нормативные отходы при традиционном ва­рианте раскроя с отходами приоптимальном варианте (табл. 1.16).Размеры
Отходы на ед.
по норме, г.
Фактический
выход изделий,
шт.
Отходы при
фактич. выпуске,
(гр.2*гр.3), г.
Оптимальный
выход изделий,
шт.
Отходы при
оптим. выпуске
(гр.2*гр.3), г. Отклонения
количество,
шт. отходы, г. 1 2 3 4 5 6 7 8 Ширина полотна 86 см
44
46
52
54
44
66,27
75,5
78,4
85,6
94,45
80
110
96
66
134
5301,6
8305,0
7526,4
5649,6
12649,6
150
204
64
9940,5
15993,6
604288
+70
+110
+108
-66
-70
+4638,9
8305,0
+8467,2
5649,6
-66,0672 Ширина полотна 89 см
46
52
54
97,49
105,7
109,77
134
108
124
12186,25
11415,6
13611,48
235
190
22910,15
20856,42
+110
-108
+66
+10723,9
-11415,6
+7244,82 Всего 843 76645,53 843 75743,42 – -902,1
Изтаблицы видно, что наиболее рационален раскрой из по­лотна шириной 86 смизделий 44 и 52 размеров, а из полотна шириной 89 см — 44, 46 и 54 размеров.Такой способ раскроя уменьшает отходы, увеличивает выпуск изделий, прибыльпредприятия и его рентабельность.
Отметим,что в современных пакетах прикладных программ для решения задач линейногопрограммирования симплекс-ме­тодом предусмотрены режимы расчета так называемыхинтер­валов устойчивости, как для ограниченных ресурсов, так и для
переменныхвеличин, принимающих ненулевые значения. Эко­номический смысл этих интерваловсостоит в том, что измене­ние объемов ресурсов и значений переменных в пределахэтих интервалов не изменяет структуру оптимального плана. Это позволяетпредприятию проводить рациональную политику приобретения дополнительныхресурсов.

БАЛАНСОВЫЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В АНАЛИЗЕ СВЯЗЕЙ ВНУТРИЗАВОДСКИХПОДРАЗДЕЛЕНИЙ И В РАСЧЕТАХ ЗАТРАТ И ЦЕН.
 
Балансоваямодель — это системауравнений, характеризую­щих наличие ресурсов (продуктов) в натуральном илиденежном выражении и направления их использования. При этом нали­чие ресурсов(продуктов) и потребность в них количественно совпадают. В основу решения такихмоделей положены методы линейной векторно-матричной алгебры. Поэтому балансовыеметоды и модели называют матричными методами анализа. Наглядностьизображений различных экономических процес­сов в матричных моделях иэлементарные способы разрешения систем уравнений позволяют применять их вразличных произ­водственно-хозяйственных ситуациях.
Пусть,например, известно, что каждое предприятие наряду с основным производствомимеет вспомогательное, включающее в себя ряд цехов. Вспомогательные цехиоказывают услуги друг другу и основному производству. Величина себестоимостиработ и услуг каждого вспомогательного цеха складывается из работ (услуг)других вспомогательных цехов. Чтобы определить зат­раты, связанные сиспользованием данным цехом работ (услуг) других цехов, надо наряду с объемомпредоставленных работ (услуг) знать их себестоимости. Но, в свою очередь,определение этих себестоимостей невозможно без предварительного исчисле­ниясебестоимости работ (услуг), которые цехи получили друг от друга.
Механизмиспользования балансового метода покажем на сле­дующем примере. Пусть напредприятии наряду с основным про­изводством имеется четыре вспомогательныхцеха — цех сетей и подстанций, цех водоснабжения, автопарк, ремонтно-механиче­скийцех. Все они оказывают услуги друг другу (табл. 1.17).
Поставщики
Единица
измерения Потребители
Цех сетей
и подстанций
Цех
водоснабжения Автопарк
Ремонтно-
механический
цех
Основное
производство Всего
Цех сетей и подстанций
Цех водоснабжения
Автопарк
Ремонтно-механический цех

Табл. 1.17. Матрица взаимосвязей работ (услуг)   Собственные затраты цехов
кВт∙ч
куб.м
тыс.км
нормо-ч
руб.
х
–
5000
50
59295
30000
х
600
100
4118
4500
5000
х
400
24020
100000
1500
12000
х
36785
2865500
493500
232400
19450
1875782
3 000 000
500 000
250 000
20 000
2 000 000
Требуетсяопределить себестоимость работ (услуг), оказывае­мых основному производствувсеми вспомогательными цехами.
Из табл. 1.17 видно, чтодля определения себестоимости услуг необходимо знать совокупные затраты каждоговспомогатель­ного цеха. А их нельзя подсчитать без расчета себестоимостиединицы получаемых услуг –одного киловатт-часаэлектроэнергии, кубометра воды, тонно-километра грузоперевозок, нор­мо-часаремонтных работ. Данную задачу можно успешно решать, используя балансовыемодели и методы.
Обозначим через qijколичество продукции, работ, услугj-гo цеха, поступивших в i-й цех; уi — общие затраты подразделе­ний – потребителей (которыев свою очередь являются постав­щиками услуг); Qj — общий объем продукции, работ, услуг в натуральных единицах, отпущенныхподразделением-постав­щиком; pj– собственныезатраты (условно-постоянные и пере­менные) без стоимости услуг внутризаводскогохарактера; xi– себестоимость единицы продукции,работ, услуг.
Взаимноепредоставление продукции и услуг отразим в табл. 1.18.
Цех-потребитель Собственные затраты Поставщик
Всего затрат
(собств. + услуги)
Себестоимость
ед. услуг 1 3 …
j …
m
1
2
…
i
…
m
Объект услуг
p1
p2
…
pi
…
pm
q11
q21
…
qi1
…
qm1
Q1
q12
q22
…
qi2
…
qm2
Q2
…
…
…
…
…
…
…
q1j
q2j
…
qij
…
qmj
Qj
…
…
…
…
…
…
…
q1m
q2m
…
qim
…
qmm
Qm
y1
y2
…
yi
…
ym
x1
x2
…
xi
…
xm
Наоснове таблицы можно получить следующую систему уравнений:
/>;
/>.
Приведенные соотношения представляют собой систему двух группнеизвестных: себестоимости единицы продукции, работ, услуг и общего размеразатрат по каждому структурному под­разделению предприятия.
Чтобырешить такую систему, приведем ее к стандартному виду, для чего выражениепеременных yiподставим в выраже­ние переменных xi. В результате получим:
/>;
/>;
/>.
После соответствующих преобразований полученную систе­му уравнений можнозаписать в матричной форме, для чего вве­дем некоторые виды матриц:
/>
/>           />
                                                                                     ……………………..
                                                                                     0     0   …   0  …  Qm
Отсюда/>, а />.
Обратимсяк задаче и представим исходную информацию в виде матриц:
/>       />
/>
Врезультате решения задачи получены следующие значения себестоимости единицыработ, услуг (хi,):
х1= 0,019964 руб., х2= 0,099536 руб., х3 = 0,099837 руб., х4= 1,999716 руб.
Тогдаобщая сумма затрат по каждому вспомогательному це­ху может быть вычислена поформуле:
/>
Подставивв данное уравнение соответствующие значения, получим:
у1 =  59295 + 5 000 х 0,099837 + 50 х 1,999716 =  59 894 руб.
у2 =  4 118 + 30 000 х 0,019964 + 600 х 0,099937 + 100 х1,999716 = 4 977 руб.
у3 = 24 020 + 4 500 х 0,019964 + 5 000 х 0,99536 + 400 х  1,999716= 24 960 руб.
у4= 36 785 + 100 000 х 0,019964 + 1 500 х 0,99536 + 1200 х 0,099837 = 39994 руб.
Следовательно, суммарная себестоимость работ (услуг) вспо­могательныхцехов, оказываемых основному производству, со­ставит:
/>= 59 834 + 4 977 + 24960 + 39 994 = 129825 руб.
Следует отметить, что существующие пакеты прикладных программдля решения матричных моделей на современных ПЭВМ позволяют выполнять расчетыбаланса производства и рас­пределения работ (услуг) как в целом по предприятию,так и для каждого структурного подразделения в отдельности и предостав­лятьпользователю выходную информацию в требуемой форме.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
 
Из данной курсовой работымы узнали, что внедрение экономико-математических методов помогаетсовершенствовать анализ финансового-хозяйственной деятельности. Их применениеповышает эффективность экономического анализа за счет расширения факторов,обоснования принимаемых управленческих решений, выбора оптимального вариантаиспользования хозяйственных ресурсов, выявления и мобилизации резервовповышения эффективности производства.
Так же в этой курсовойбыли рассмотрены некоторые экономико-математические методы и приведены примерыих использования.

Список используемой литературы:
1.  Басовский Л.Е.Теория анализа хозяйственной деятельности. М.: ИНФРА-М, 2001г.
2.  Кравченко ЛеонидИванович, Осмоловский Валентин Васильевич, Русак Нина Александровна и др.Теория анализа хозяйственной деятельности. Учебник. Минск 2005г.
3.  Муравьев А. И. Теорияэкономического анализа. М.: Финансы и статистика, 1988г.
4.  Савицкая Г. В.Экономический анализ. М.: Новое издание, 2004г.
5.  Шеремет А. Д.Теория экономического анализа. М.: ИНФРА-М, 2002г.