Актуарні розрахунки

Вступ
Темаконтрольної роботи «Актуарні розрахунки» з дисципліни «Страхування».
Страхування– це відносини по захисту майнових інтересів громадян і юридичних осіб принастанні окремих не передбачуваних несприятливих подій за рахунок грошовихфондів, що формуються шляхом сплати ними страхових платежів (страхових внесків,страхових премій). Іншими словами, категорія страхування визначає системуекономічних відносин, що включає сукупність форм і методів формування цільовихфондів грошових коштів і використання їх на відшкодування збитку при різнихнепередбачених несприятливих явищах (ризиках), а також на надання допомогигромадянам при настанні окремих визначених подій у їхньому житті.
Зпогляду права страхування відноситься до цивільно-правових відносин.
Специфічніознаки страхування:
– відносини формуються принаявності імовірності настання непередбачених, раптових, несприятливихподій, що можуть викликати матеріальний збиток;
– при формуванні відносинздійснюється розподіл можливого збитку між учасниками страхування за рахуноктого, що випадковий характер подій робить їх малоймовірними для всіх учасниківодночасно;
– страхування передбачаєперерозподіл збитку, як між учасниками, так і в часі;
– замкнута розкладка збиткуобумовлює зворотність коштів, мобілізованих у страховий фонд: уся сумастрахових платежів (без обліку витрат організацій, що здійснюють страхування)повертається у формі відшкодування збитку на протязі прийнятого в розрахунокінтервалу часу в тому ж самому територіальному масштабі.
Сутність страхування полягаєв розподілі збитку між усіма ділянками страхування. Це є кооперацією поборотьбі з наслідками стихійних лих і протиріччями, що виникають у суспільствічерез розходження майнових інтересів людей. Таким чином, страхування – елементвиробничих відносин. Воно пов’язано з відшкодуванням матеріальних втрат, що єосновою для безперервності і безперебійності процесу відтворення.
Страхування– одна з найдавніших категорій суспільно-виробничих відносин. По мірі розвиткутоварно-грошових відносин примітивна форма – натуральне страхування – булазамінена грошовою формою. Страхові відносини, закріплені в письмовому договорістрахування як цивільно-правова угода, відомі, принаймні, з епохи пізньогоСередньовіччя. Тоді завдяки великим географічним відкриттям помітно розширилисяобсяги морської міжнародної торгівлі. Підприємцям знадобилися великі капітали,щоб використовувати нові можливості, що відкрилися.
Історично виникнувши взв’язку з необхідністю забезпечити компенсації збитків, які не підлягаютьперекладанню на інших осіб, страхування перетерпіло в ході свого тривалогорозвитку істотні зміни і поширюється зараз на багато випадків, коли настаннязбитків пов’язане з цивільно-правовою відповідальністю їх носія. У такихвипадках страхування є для потерпілого додатковою гарантією охорони йогомайнових інтересів. Надалі, поряд з майновим страхуванням, що забезпечуєвідшкодування збитків, пов’язаних з втратою чи ушкодженням матеріальних благ,з’явилося особисте страхування, що гарантує виплати визначених грошових сум принастанні смерті, каліцтва, хвороби та при дожитті до визначеного віку людини.
 

1. Поняття і зміст актуарних розрахунків
Актуарнірозрахунки – це сукупність економіко-математичних методів розрахункунеобхідного і достатнього обсягу ресурсів страхового фонду страховика. В основіактуарних розрахунків лежить використання чинності закону великих чисел.Актуарними розрахунками в Україні можуть займатися особи, що мають відповіднукваліфікацію відповідно до вимог Держкомісії з регулювання ринків з фінансовихпослуг, що підтверджується відповідними посвідченнями.
Актуарій(лат. actuaru,actuarmus – скорописець, рахівник) – фахівець зі страхування, що займаєтьсярозробкою науково обґрунтованих методів розрахунків тарифних ставок по довгостроковомустрахуванню життя: розрахунків, зв’язаних з утворенням резервів страховихвнесків, визначенням розмірів позичок, викупних сум і т.д.
Редуцирування – зменшеннярозміру первісної страхової суми за договором довготермінового страхуванняжиття. Воно зв’язано з достроковим припиненням сплати місячних внесків, колистрахувальник має право на викупну суму.
Викупна сума – сума, щоналежить до виплати страхувальнику за довгостроковим договором страхуванняжиття, на день припинення їм сплати місячних страхових внесків. Розмір викупноїсуми залежить від тривалості минулого періоду страхування і терміну, на якийбув укладений договір. Так при п’ятилітньому терміну страхування викупна сумачерез 6 місяців страхування складає 75% від резерву внесків, що утворився подоговорі, а через 4 роки 6 місяців – 98,5%.
На основі актуарнихрозрахунків визначається частка участі страхувальника в створенні страховогофонду, робиться перерахунок страхових внесків при зміні умов договорустрахування життя.
Актуарна калькуляція – форма,по якій робиться розрахунок собівартості і вартості послуг, що надаютьсястраховиком страхувальнику. Актуарна калькуляція:
- дозволяє визначити страховіплатежі за договором, що потребує вимір ризику, прийнятого страховиком;
- відображає суму витрат наведення справи по обслуговуванню договорів страхування.
Актуарні розрахункивиробляються з урахуванням особливостей страхування.
До них відносяться:
1)  події, що піддаються оцінці, носять ймовірний характер. Цевідбивається на величині пред’явлених до сплати страхових внесків;
2)  визначення собівартості послуги, що робиться страховикомстрахувальнику, проводиться у відношенні всієї страхової сукупності;
3)  необхідність виділення і визначення розмірів страхових резервівстраховика;
4)  прогнозування сторнування договорів страхування, оцінка їхньоївеличини;
5)  дослідження норми позичкового відсотка і тенденцій його зміни вчасі;
6)  наявність повного чи часткового збитку, пов’язаного зі страховимвипадком, що створює потребу зміни його розподілу в часі і просторі з допомогоюспеціальних таблиць;
7)  дотримання принципу рівноваги між страховими внескамистрахувальника і страховим забезпеченням, наданим страховою компанією, завдякиотриманим страховим внескам;
8)  виділення групи ризику в рамках даної страхової сукупності.
Задачі актуарнихрозрахунків:
Вивченняі класифікація ризиків по окремим ознакам (групам) у рамках страховоїсукупності.
Розрахунокматематичної імовірності настання страхового випадку, визначення частоти іступеня ваги наслідків заподіяння збитку як окремих ризикових груп, так і вцілому по страховій сукупності.
Математичнеобґрунтування необхідних витрат на організацію процесу страхування.
Дослідженняпроцентної ставки при використанні страховиком зібраних страхових внесків як інвестиціїі тенденцій її зміни в конкретному тимчасовому інтервалі та визначеннязалежності між процентною ставкою і величиною брутто-ставки.
На підставі актуарнихрозрахунків визначаються розміри тарифних ставок, що за допомогоюдовгострокових фінансових досліджень заздалегідь занижуються на суму доходу, щобуде отриманий страховиком від використання акумульованих внесківстрахувальників як інвестиції.
В актуарних розрахункахзастосовується теорія імовірності, оскільки розміри тарифних ставок у першучергу залежать від ступеня імовірності страхового випадку.
Поняття імовірностістосовно до страхового випадку характеризується двома особливостями:
1)  імовірність установлюється шляхом підрахунку несприятливих подійдля страхувальника і страховика (пожари, повені, крадіжки і т. п.);
2)  при страхуванні є лише деяка кількість об’єктів, з яких окреміпідвергаються страховому випадку.
Імовірність страховоговипадку в майновому страхуванні відбиває частоту страхових випадків запопередній період, тобто відношення потерпілих від події об’єктів до їхньоїзагальної кількості.
Приклад 1.
У даному районі за рядроків у середньому втратам піддається 100 будинків з 10000, відповідноімовірність страхового випадку складає 0,01.
Імовірність утратипрацездатності від нещасливих випадків обчислюється на основі звітних данихпідприємств та лікарень. В особистому страхуванні для визначення імовірностістрахового випадку використовуються показники смертності і тривалості життянаселення, обчислювальні по таблиці смертності. При цьому виробляється диференціаціятарифних ставок за віком людей на підставі даних і прийомів демографії. Наоснові статистичних спостережень над смертністю населення обчислюєтьсяімовірність дожити і вмерти для осіб різного віку, на підставі якої створюєтьсятаблиця смертності (табл. 1).
Таблиця1. Витяг з таблиці смертності
Вік,
років Кількість осіб, що доживають до віку Х років Кількість умираючих при переході від віку Х до віку Х+1 років Імовірність вмерти на протязі наступного року життя Середня тривалість майбутнього життя
/>
/>
/>
/>
/> 100000 1782 0,01782 69,57 1 98218 185 0,00188 69,83 … … … … … 20 96773 145 0,00149 51,73 … … … … … 40 92246 374 0,00406 33,71 41 91872 399 0,00434 32,84 … … … … … 50 87064 735 0,00844 25,38 … … … … … 60 77018 1340 0,01740 17,97 і т.д.
 
 
  /> /> /> /> /> /> /> /> />
Таблиця смертностімістить розрахункові показники, що характеризують смертність населення вокремих вікових групах і доживаємість при переході від одного віку до наступного.Вона показує, як поступово зменшується покоління одночасно народжених (прийнятеза 100000 чол.) зі збільшенням віку.
Імовірність вмертирозраховується по формулі:

/>
де      /> – число умираючих;
/>– число осіб, якідоживають до даного віку.
Приклад 2.
/>.
Виходить, що з 100000чоловік до 20-літнього віку не доживають 149 чоловік. Розташовуючи показникамиімовірності вмерти, страховик з достатнім ступенем упевненості може припустити,що протягом найближчого року з числа застрахованих у віці 20 років може вмерти0,15%, а імовірність дожити до 21 року складе:
/>
Розрахунок тарифноїставки (AR) включає визначення нетто-ставки, розмірів витрат на ведення справи,надбавки за ризик у майновому страхуванні і страхуванні відповідальності,знижки на позичковий відсоток у страхуванні життя і пенсій.
У розрахунках поособистому страхуванню надбавки за ризик можливі, але звичайно невикористовуються. Це пов’язано з тим, що обсяг страхової сукупності доситьвеликий, а страхова сума порівняно невелика.
Класифікація актуарнихрозрахунків:
- по галузях страхування(особисте страхування, майнове, страхування відповідальності);
– за часом складання (плановіі звітні);
– за ієрархічною ознакою:загальні (для всієї країни), зональні (для регіону), територіальні (длярайону).
Звітні актуарнірозрахунки – це актуарні розрахунки, що розробляються по вже здійсненимопераціям страховика, тобто по наявним звітним даним самого страховика.
Планові актуарнірозрахунки розробляються при введенні нового виду страхування, по якомувідсутні які-небудь достовірні спостереження ризику. У цьому випадкувикористовують результати актуарних розрахунків по однотипним чи близьким позмісту видам страхування. По закінченні визначеного терміну (не менш 3 років)аналізуються отримані статистичні дані по даному ризику й у плановий актуарнийрозрахунок вносяться відповідні корективи. Таким чином планові актуарнірозрахунки перетворюються в звітні.
2. Основні показники страхової статистики
У процесі аналізурозраховують наступні показники:
- частота страхових подій;
- коефіцієнт кумуляції ризику;
- коефіцієнт збитковості;
- середня страхова сума наодин об’єкт страховки;
- середня сума на одинпостраждалий об’єкт;
- вага ризику;
- збитковість страхової суми;
- норма збитковості;
- чистота збитку;
- вага збитку.
Частота страхових подій(/>) характеризуєтьсякількістю страхових подій у розрахунку на один об’єкт страхування:
/>,

де      L – число страхових подій;
n –число об’єктів страхування.
Частота не менше 1означає, що одна страхова подія спричинила за собою кілька страхових випадків.
Коефіцієнт кумуляції –ризик чи спустошливість страхової події (/>)уявляє відношення числа постраждалих об’єктів до числа страхових подій:
/>,
де m– число постраждалих об’єктів у результаті страхового випадку.
Кумуляціяявляє собою скупчення застрахованих об’єктів на обмеженому просторі (склад,судно). Коефіцієнт кумуляції ризику показує середнє число об’єктів, щопостраждали від страхової події чи скільки застрахованих об’єктів може бутинастигнуто страховою подією. Мінімальне значення />.Якщо />, це означає, що в міруросту спустошливості зростає число страхових випадків на одну страхову подію.Отже, тому страховики намагаються уникати майнового страхування ризиків звеликим />.
Коефіцієнтзбитковості (/>) чи коефіцієнт збиткуявляє собою відношення суми виплаченого страхового відшкодування до суми всіхпостраждалих об’єктів страхування:
/>,
 
де      B– сума виплаченого страхового відшкодування;
/>– страхова сума, що приходиться на ушкоджений об’єкт страховоїсукупності.
/> не може бути більше 1,що означає, що всі застраховані об’єкти знищені більш одного разу.
Середнястрахова сума на один об’єкт (договір) страхування являє собою відношеннязагальної страхової суми всіх об’єктів страхування до числа всіх об’єктівстрахування:
/>,
 
де      C– страхова сума всіх об’єктів страхування.
У зв’язку з тим, щооб’єкти майнового страхування обов’язково розрізняються страховими сумами вактуарних розрахунках використовуються різні методи підрахунку середніхвеличин.
Середнястрахова сума на один постраждалий об’єкт являє собою відношення страхової сумивсіх постраждалих об’єктів до числа цих об’єктів:
/>.
Вагаризику (/>) являє собою відношеннясередньої страхової суми на один постраждалий об’єкт до середньої страховоїсуми на один об’єкт страхування:
/>.
Показникваги ризику використовується при оцінці і переоцінці частоти прояву страховоїподії.
Збитковістьстрахової суми (імовірність збитку) являє собою відношення страховоговідшкодування, яке належить до виплати, до страхової суми всіх об’єктівстрахування:
/>.
/>. У противному випадку маємо недострахування. Збитковістьстрахової суми можна розглядати як міру виплати фінансової премії.
Нормазбитковості (коефіцієнт виплат) являє собою процентне відношення суми виплаченогострахового відшкодування до суми зібраних страхових внесків.
/>,
де      P– сума зібраних страхових внесків.
Для практичних цілейобчислюють нетто-норму збитковості, брутто-норму збитковості. Норма збитковостіможе бути більше чи менше 100%.
Частотазбитку обчислюється шляхом множення частоти страхових подій на коефіцієнткумуляції:
/>
чи
/>.

/> виражає частоту настання страхового випадку. Виражається звичайнов% чи промилє – тисячній частці числа
/> завжди менше 100%,тому що /> означає, що настання цієїподії не імовірно, а дійсне для всіх об’єктів.
Вагазбитку (розмір збитку) являє собою добуток коефіцієнта збитковості і вагиризику. Показує середню арифметичну величину збитку по ушкоджених об’єктахстрахування стосовно середньої страхової суми всіх об’єктів:
/>.
/> вказує на те, яка частина страхової суми знищена. Зі зростаннямстрахової суми вага збитку знижується. Показник /> характеризуєчастковий збиток. У випадку, коли збиток дорівнює дійсній вартостізастрахованого майна, такий збиток називається повним збитком.
3. Розрахунок тарифних ставок
Пристрахуванні відбувається замкнута розкладка збитку між страхувальниками. Томупри розрахунку нетто-ставки прийнято виходити з рівності:
/>,
де      П– страховий платіж, що відповідає нетто-ставці;
В-страхове відшкодування.
Страховакомпанія повинна зібрати суму страхових внесків, що має бути потім виплаченастрахувальникам.
Приклад 3.
Імовірністьстрахового випадку (пожежі) у районі складає 0,01. За умови, що кожний з 100об’єктів застрахований на 5000 грн. щорічні виплати складають:
/>
Часткаодного страхувальника в загальному страховому фонді складає 50 грн. (5000/100)– страховий внесок кожного страхувальника.
Нетто-ставка:
/>.
Напрактиці при проведенні страхування суми виплачуваного страхового відшкодуванняпостраждалим об’єктам, як правило, відрізняються від страхової суми по них.Причому, якщо за окремим договором виплата може бути тільки менше чи рівноюстраховій сумі, середня по групі об’єктів виплата на один договір можеперевищувати середню страхову суму. Тому при розрахунку нетто-ставкакоректується на коефіцієнт, який дорівнює відношенню середньої виплати досередньої страхової суми на один договір.
Нетто-ставкавизначається за формулою:
/>,
де      /> – тарифна нетто-ставка;
Р –імовірність страхового випадку;
К –поправочний коефіцієнт;
100– одиниця страхової суми (100 грн.).
/>,

де      />– кількість виплат(страхових випадків) за період (звичайний рік), грн.;
/>– кількість укладених договорів у даному році, од.
/>,
де      />– середня виплата на одиндоговір, грн.;
/>– середня страхова сума на один договір, грн.
Тодірозрахунок нетто-ставки можна проводити за формулою:
/>.
/>,
де      В-загальнасума виплат страхового відшкодування, грн.;
С – загальна сумазастрахованих об’єктів.
Тарифнаставка (брутто-ставка):
/>,
де      Н– навантаження;
/> – статті навантаження, встановлювані в абсолютній сумі;
/> – статті навантаження, встановлювані у відсотку до брутто-ставки.
/>.

Якщо всі елементинавантаження визначені у відсотках до брутто-ставки, то розмір брутто-ставкиможна встановлювати за формулою:
/>.
Збитковістьстрахової суми може бути розрахована як по видах страхування, одноріднимоб’єктам страхування, так і по окремих страхових ризиках.
Страховівнески, зібрані страховиком, використовуються їм як інвестиції, що приносятьвизначений доход. Цей доход у сумі з внесками складе страховий фонд будедорівнює:
/>,
де      />– сума страхового фонду,необхідна для виплати страхового відшкодування до кінця t періоду;
К –первісна сума страхового фонду;
t –фактор часу.
Зурахуванням доходів від вкладеного капіталу тарифні ставки в страхуванні життя заздалегідьзанижуються на суму одержуваного доходу.
Сумапервісного внеску:
/>,
де      V – множник, що дисконтує, (коефіцієнт дисконтування),визначений по спеціальній таблиці чи розрахований по формулі:

/>.
Приклад 4.
і =0,40;
V10(10 років) = 0,0346.
Отже,щоб через 10 років при і = 0,40 одержати 100 грн., необхідно сьогодні зробитивнесок у 3 грн. 46 коп.
Тарифніставки по страхуванню на дожиття бувають одноразові і річні. Спочаткурозраховують одноразову ставку.
Приклад 5.
Зробити розрахунокбрутто-ставки на дожиття за договором страхування людини у віці 50 років (х =50) на термін 10 років (t = 10) зі страхової суми 100 грн. Частка навантаженняв структурі тарифа 30% (/> = 30%).
Рішення.
1)  Кількість виплат страхової суми через 10 років: з таблицісмертності за 60 років доживають 77018 чоловік, звідси кількість виплат –77018.
2)  Страховий фонд через 10 років: страхова сума з кожних 100 грн.договору
/>
3)  Первісна сума страхового фонду:
/>
/>
/>
Отже,одноразовий загальний внесок – 266482 грн.
4)  Внесок кожного страхувальника: по таблиці Х0= 87064.
/>
5)  Брутто-ставка (тарифна ставка)
/>.
Розрахунокрічної тарифної ставки на дожиття (розстроченої по роках) обчислюється заформулою:
/>,
де      Т– одноразова тарифна ставка (брутто-ставка);
а –коефіцієнт розстрочки.
Коефіцієнтрозстрочки обчислюється з використанням таблиць смертності і дисконтуючихмножників. Розрахунок здійснюється в спеціальних таблицях.
Приклад 6.
Привіці 50 років і терміну страхування 10 років – Кр = 8,06; Тг= 4,37/8,06 = 0,54 грн. Відповідно, річна тарифна ставка на дожиття складає 54коп. з 100 грн. страхової суми.
Приклад 7.
Розрахуватиодноразову нетто-ставку по страхуванню на випадок смерті, якщо людина у віці 40років страхується на термін 2 роки.
Рішення.
/>,
де      2– термін страхування;
40 –вік страхувальника;
d40– число осіб, що вмирають у віці 40 і 41 рік;
V1,V2 – множники;
L –число оcіб у віці вступу в страхування;
100– одиниця страхової суми.
d40– 374, d41 – 399, L40 – 92246 чоловік (з таблицісмертності), при і – 0,4; V1 – 0,71433, V2 – 0,5102.
/>
Привизначенні тарифних ставок і резервів внесків по страхуванню життя дляспрощення актуарних розрахунків використовують комутаційні числа.
Комутаційнічисла – показники методу комутації (commutatіo – зміна), тобто методудослідження, що спирається на те, що при зміні одних показників проходить змінав інших показниках.
В актуарних розрахункахпо страхуванню життя застосовуються наступні комутаційні числа:
страхуванняактуарний розрахунок тарифний
/>
де      x– вік;
t –фактор часу (термін страхування),
dx– число умираючих при переході від віку х до віку х+1;
V – множник,що дисконтує;
Lx– число осіб, що дожили до віку х;
і –процентна ставка позичкового капіталу;
w –граничний вік по таблиці смертності.
Прирозрахунку нетто-ставки на дожиття застосовуються числа Dx і Nx,на випадок смерті Cx, Mx, Nx; при численнівіку внесків у випадку смерті застрахованого – Rх.
Існуютьспеціальні таблиці, де приводяться комутаційні числа при різних ставках.
Попередняформула в комутаційних числах має вид:
/>.


Висновки
 
Впроцесі виконання контрольної роботи ми розкрили основні поняття і змістактуарних розрахунків, основні показники страхової статистики, навчилися наряді прикладів виконувати розрахунок тарифних ставок.

Література
 
1.  Закон України «Про внесення змін до Закону України «Прострахування» // Урядовий кур’єр. – 2001. – 7 листопада.
2.  Законодавство України про страхування // Збірник нормативнихактів. – К.: Атіка, 2009. – 464 с.
3.  Програма розвитку страхового ринку України на 2001–2004 роки.Затверджена Постановою KM України від 2 лютого 2001 р. №98. – К.:Офіційний вісник, 2001. – №5.
4.  Александров А.А. Страхование. – М.: ПРИОР, 2008. – 186 с.
5.  Балабанов И.Т., Балабанов А.И. Страхование.Учебник. – СПб.: Питер, 2001. – 256 с.
6.  Бурроу К. Основы страховой статистики. – М.: Анкил, 2006. – 96 с.
7.  Заруба О.Д. Страхова справа: Підручник. – К., 2008.
8.  Касимов Ю.Ф. Начала актуарной математики. – Зелиноград:НТФ НИТ, 2004. –184 с.
9.  Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики.Методы расчета кредитных, инвестиционных пенсионных и страховых схем. –М.: Дело, 2008. – 304 с.
10.  Основы страховой деятельности: Учебник / Отв. ред. проф. Т.А. Федорова.– М.: БЕК, 2009. – 776 с.
11.  Плешков А.П., Орлова И.В. Очерки зарубежногострахования. – М: Анкил, 2007. – 200 с.
12.  Практикум по страховому делу / Под ред. проф. В.И. Рябикина.– М.: Финстатинформ, 2008. – 72 с.
13.  Ротова Т.А., Руденко Л.С. Страхування: Навч.посібник. – К.: КНЕУ, 2001. – 400 с.
14.  Рябикин В.И. Актуарные расчеты. – М.: Финстатинформ,2006. – 89 с.
15.  Страхування: Підручник / Керівник авт. колективу і наук, ред. С.С. Осадець.– Вид. 2-ге, перероб. і доп. – К.: КНЕУ, 2002. – 599 с.
16.  Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарнуюматематику. Математические модели в страховании. – М.: Изд-во МГУ, 2004. – 110 с.
17.  Шихов А.К. Страхование. Учеб. пособие для вузов. – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2000. –431 с.
18.  Штрауб Э. Актуарная математика имущественного страхования. – М.,2004. –148 с.