Реферат по предмету "Математика, физика, астрономия"


Вынужденные колебания

 

Реферат

На тему «Вынужденные колебания»


Студента I –го курса гр. 107


Шлыковича Сергея


Минск 2001


Вначале рассмотрим затухающие колебания.


Во всякой реальной колебательной системе всег­да имеется сила трения (для механической систе­мы), или электрическое сопротивление (для колебательного контура), действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль этой энергии не восполняется, то  колебания будут затухать.


      Рассмотрим механические колебания. В большинстве случаев сила трения пропорциональна скорости.


. (1.1)


Где r — постоянная, которая называется коэффициентом трения. Знак минус обуслов­лен тем, что сила F и скорость v направлены в про­тивоположные стороны.


Уравнение второго закона Ньютона при наличии силы трения имеет вид


. (1.2)


Применим следующие обозначения


,  (1.3)


Тогда


  (1.4)


Где щ0 — собственная частота коле­бательной системы.


Будем искать решение уравнения в виде


(1.5)


Найдём первую и вторую производные




Подставим выражения   в уравнение (1.5)



Сократим на




 (1.6)


Решение уравнения (1.6) зависит от знака коэф­фициента, стоящего при и. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен (т. е. b0 — тре­ние мало). Введя обозначение , придем к уравнению



Решением этого уравнения будет функция  


Подставляя это выражение в уравнение (1.5), имеем



(1.7)


Здесь A0 и б — постоянные, значения которых зави­сят от начальных условий, щ — величина, определяе­мая формулой


.


Скорость затухания колебаний определяется ве­личиной , которую называют коэффи­циентом затухания.


Для характеристики колебательной системы употребляется также величина



называемая добротностью колебательной си­стемы. Она пропорциональна числу колебаний Ne , совершаемых системой за то время t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.



Вынужденные колебания.


Допустим, что механическая колебательная система подвергается действию внешней силы, изме­няющейся со временем по гармоническому закону:


 (2.1)


В этом случае уравнение   второго   закона Ньютона имеет вид



Введя   обозначения   (1.3),   преобразуем   уравнение приобретёт вид:


 (2.2)


Здесь b — коэффициент затухания, щ0 — собственная частота колебательной системы,       щ — частота выну­ждающей силы.


Дифференциальное уравнение (2.2) описывает вынужденные колебания. Решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения уже найдено (1.7), оно имеет вид


(2.3)


Где .


Попробуем найти частное решение (2.2) в виде   (2.4)


где  — неизвестный пока сдвиг фаз между силой и вызываемыми ею колебаниями.


       (2.5)


     (2.6)


Развернем  и  по формулам для синуса и косинуса разности и подставим в формулу (2.2) :



Сгруппируем члены уравнения:



(2.7)


Уравнение (2.7) будет тождественно при любых значениях t тогда, когда коэффициенты при cosщt и sinщt в обеих частях уравнения будут оди­наковыми.


   (2.8)


      (2.9)


Найдём значения A и  при которых функция (2.4) удовлетворяет уравне­нию (2.2). Для этого возведём равенства (2.8) и (2.9) в квадрат и сложим их друг с другом



      (2.10)


Из (2.9) следует, что


    (2.11)


Подставим значения A и в (2.4) и получим частное решение неоднородного уравнения (2.2):


       (2.12)


Общее решение имеет вид




Первое слагаемое  играет за­метную роль только в начальной стадии процесса, при установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя  роль слагаемого уменьшается, и по прошест­вии достаточного времени им можно пренебречь, со­хранив в решении только второе.


Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (2.10) приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда достигает максимального значения. Колебательная система оказы­вается особенно отзывчивой на действие вынуждаю­щей силы при данной частоте. Это явление называет­ся резонансом, а соответствующая частота — резонансной частотой.


Для того чтобы определить резонансную частоту щрез, нуж­но найти максимум функции (2.10), т.е. продифференцировать это выражение по щ и приравняв производную нулю:



Решения этого уравнения щ=0 и , но два из них исключаются, т.к. решение, равное нулю, соответст­вует максимуму знаменателя, а  не имеет физического смысла (частота не может быть отрицательной).


  (2.13).  Следовательно          (2.14)


Зависимость амплиту­ды вынужденных колеба­ний от частоты ко­лебаний показана графически на рисунке слева. Кривые на графике соответствуют различным значениям параметра b. Чем меньше b, тем выше и правее лежит максимум резонансной кривой. При очень большом затухании   (таком, что b2 > щ0) выражение для ре­зонансной частоты становится мнимым. Это означает, что   резонанс   в   этом   случае   не   наблюдается — с увеличением частоты амплитуда монотонно убывает.


Изображенная на рисунке совокупность графиков функции (2.10) называется резонансными кривыми.


Согласно формуле (2.14) при малом затухании (т. е. при b<<щ0) амплитуда при резонансе


Если разделить это выражение на смещение x0 из положе­ния равновесия под действием постоянной силы F0, равное . В результате получим, что



где - логарифмический декремент затухания.


Следовательно, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда при резо­нансе превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы, модуль которой равен амплитуде вынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании).


Литература:


И. В Савельев “Курс общей физики”.


P.S.


Данная лит-ра использовалась также при написании реферата на тему «Сложение колебаний».



Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.