Студента I –го курса гр. 107
Шлыковича Сергея
Вначале рассмотрим затухающие колебания.
Во всякой реальной колебательной системе всегда имеется сила трения (для механической системы), или электрическое сопротивление (для колебательного контура), действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль этой энергии не восполняется, то колебания будут затухать.
Рассмотрим механические колебания. В большинстве случаев сила трения пропорциональна скорости.
Где r — постоянная, которая называется коэффициентом трения. Знак минус обусловлен тем, что сила F и скорость v направлены в противоположные стороны.
Уравнение второго закона Ньютона при наличии силы трения имеет вид
Применим следующие обозначения
Тогда
Где щ0 — собственная частота колебательной системы.
Будем искать решение уравнения в виде
Найдём первую и вторую производные
Подставим выражения
Сократим на
Решение уравнения (1.6) зависит от знака коэффициента, стоящего при и. Рассмотрим случай, когда этот
коэффициент положителен (т. е. b<щ0 — трение мало). Введя обозначение
Решением этого уравнения будет функция
Подставляя это выражение в уравнение (1.5), имеем
Здесь A0 и б — постоянные, значения которых зависят от начальных условий, щ — величина, определяемая формулой
Скорость затухания колебаний определяется величиной
Для характеристики колебательной системы употребляется также величина
называемая добротностью колебательной системы. Она пропорциональна числу колебаний Ne , совершаемых системой за то время t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.
Вынужденные колебания.
Допустим, что механическая колебательная система подвергается действию внешней силы, изменяющейся со временем по гармоническому закону:
В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид
Введя обозначения (1.3), преобразуем уравнение приобретёт вид:
Здесь b — коэффициент затухания, щ0 — собственная частота колебательной системы, щ — частота вынуждающей силы.
Дифференциальное уравнение (2.2) описывает вынужденные колебания. Решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения уже найдено (1.7), оно имеет вид
Где
Попробуем найти частное решение (2.2) в виде
где
Развернем
Сгруппируем члены уравнения:
(2.7)
Уравнение (2.7) будет тождественно при любых значениях t тогда, когда коэффициенты при cosщt и sinщt в обеих частях уравнения будут одинаковыми.
Найдём значения A и
Из (2.9) следует, что
Подставим значения A и
Общее решение имеет вид
Первое слагаемое играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя роль слагаемого уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохранив в решении только второе.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (2.10) приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при данной частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота — резонансной частотой.
Для того чтобы определить резонансную частоту щрез, нужно найти максимум функции (2.10), т.е. продифференцировать это выражение по щ и приравняв производную нулю:
Решения этого уравнения щ=0 и
Изображенная на рисунке совокупность графиков функции (2.10) называется резонансными кривыми.
Согласно формуле (2.14) при малом затухании (т. е. при b<<щ0) амплитуда при
резонансе
Если разделить это выражение на смещение x0 из положения равновесия под действием постоянной силы F0, равное
где
Следовательно, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда при резонансе превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы, модуль которой равен амплитуде вынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании).
Литература:
И. В Савельев “Курс общей физики”.
P.S.
Данная лит-ра использовалась также при написании реферата на тему «Сложение колебаний».
! |
Как писать рефераты Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов. |
! | План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом. |
! | Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач. |
! | Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты. |
! | Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре. |