М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Уравнение Пуассона для ε = 1 выглядит:
|
(16) |
Это уравнение - основа практических численных расчетов.
В задачах, решаемых аналитически, φ и ρ обычно зависят только от одной координаты. При интегрировании можно вычислять интегралы как неопределенные, не забывая выписывать +const, а затем отдельно находить эти константы. Если раccматриваются отдельные диапазоны координат, то на незаряженных границах необходимо "сшивать" потенциал: φ и - для вакуума - d φ/dx (или dφ/dr) не должны иметь разрыва. Если граница заряжена (σ), то dφ/dx испытывает скачок на величину –σ/ε0. Кроме того, если ρ и суммарный заряд конечны, то φ всюду конечен.
Другой
вариант - сразу правильно писать пределы интегрирования. Для этого используется
известное (или очевидное из симметрии задачи) значение поля (
|
(17) |
после переноса r2 в правую часть и двух последовательных интегрирований получаем:
|
= |
|
(18) |
φ(r) |
= |
|
(19) |
При этом взято φ|r = ∞ = 0 и учтено то обстоятельство, что при всюду конечном ρ поле в центре равно нулю (–dφ/dr|r = 0 = 0).
Задача. Пластина ширины 2a (ее ε≈ 1) заряжена равномерно по объему (ρ(x) = ρ0); при x = 0 (центр пластины) φ = 0. Найти φ(x).
Ответ:
|
Задача. Пластина ширины 2a (ее ε≈ 1) заряжена как ρ(x) = α x2; при x = 0 (центр пластины) φ = 0. Найти φ(x).
Решение: Мы работаем в декартовой системе координат, причем очевидно, что и поле, и потенциал зависят только от x. Если ρ>0 (α >0) то поле - из симметрии задачи - направлено по оси x при x>0 и против оси x при x<0. Согласно уравнению Пуассона:
|
= |
|
|
|
= |
0 x>a или x<–a |
После первого интегрирования (интеграл берем как неопределенный)
|
= |
|
|
|
= |
AL, x<–a |
|
|
= |
AR, x>a |
Неверным было бы записать одну общую константу для dφ /dx при x>a и x<–a. Второе интегрирование дает:
φ(x) |
= |
|
|
φ(x) |
= |
ALx+BL, x<–a |
|
φ(x) |
= |
ARx+BR, x>a |
Для нахождения шести констант у нас есть четыре условия сшивания (по два для границ x = –a и x = a). Кроме того, дано указание взять φ(0) = 0. Видно также, что Ex|x = 0 = –dφ/ dx|x = 0 = 0. Последнее очевидно из симметрии задачи. Отсюда сразу
Ac = 0, Bc = 0 |
Из симметрии следует также, что φ(x) = φ(–x) и что Ex(x) = –Ex(–x), вследствие чего
AR = –AL, BR = BL |
Это делает достаточным рассмотрение условий сшивания только на одной из границ, например при x = a:
|
= |
(ARx+BR)|x = a |
|
|
= |
AR|x = a |
Сначала получаем AR (AR = –α a3/3ε0), а затем BR (BR = α a4/4ε0), после чего остается выписать ответ:
φ(x) |
= |
|
|
φ(x) |
= |
|
|
φ(x) |
= |
|
Альтернативой было бы интегрирование с выписыванием пределов сразу:
Ex(x) |
= |
|
|
φ |
= |
|
Такое
интегрирование верно всегда, в том числе при x<0. Точки x = ± a при этом
ничем не выделены, но надо помнить, что вне участка –a Задача.
Шар радиуса R заряжен как ρ(r) = ρ0(1–r/R). Найти полный заряд шара Q,
поле Er(r), а также потенциал φ(r) при r = 0... +∞. Решение:
Полный заряд шара находится как Q = = При
вычислении мы использовали выражение для элемента объема dV в сферических
координатах (не следует смешивать фигурирующий при этом φ с обозначением
потенциала). Уравнение Пуассона записывается: = Поcле
однократного интегрирования в пределах 0... r имеем = = Заметим,
что - с точностью до знака - мы уже получили поле, поскольку r>R : r : = Список литературы 1.
И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448
с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с. 2.
В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М.
Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с. Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r
Дата добавления: 14.03.2011
! |
Как писать рефераты Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов. |
! | План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом. |
! | Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач. |
! | Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты. |
! | Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре. |