Реферат по предмету "Математика, физика, астрономия"


Уравнение Пуассона. Его применение для расчета полей в вакууме

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря


Уравнение Пуассона для ε = 1 выглядит:



(16)


Это уравнение - основа практических численных расчетов.


В задачах, решаемых аналитически, φ и ρ обычно зависят только от одной координаты. При интегрировании можно вычислять интегралы как неопределенные, не забывая выписывать +const, а затем отдельно находить эти константы. Если раccматриваются отдельные диапазоны координат, то на незаряженных границах необходимо "сшивать" потенциал: φ и - для вакуума - d φ/dx (или dφ/dr) не должны иметь разрыва. Если граница заряжена (σ), то dφ/dx испытывает скачок на величину –σ/ε0. Кроме того, если ρ и суммарный заряд конечны, то φ всюду конечен.


Другой вариант - сразу правильно писать пределы интегрирования. Для этого используется известное (или очевидное из симметрии задачи) значение поля () в одной какой-либо точке и значение потенциала в какой-либо точке (не обязательно в той же, где знаем поле). Если в задаче не оговорено иное, то следует принимать φ|∞ = 0. Так, например, для случая зависимости потенциала только от одной сферической координаты r



(17)


после переноса r2 в правую часть и двух последовательных интегрирований получаем:



 =



(18)


φ(r)


 =



(19)


При этом взято φ|r = ∞ = 0 и учтено то обстоятельство, что при всюду конечном ρ поле в центре равно нулю (–dφ/dr|r = 0 = 0).


Задача. Пластина ширины 2a (ее ε≈ 1) заряжена равномерно по объему (ρ(x) = ρ0); при x = 0 (центр пластины) φ = 0. Найти φ(x).


Ответ: , |x|, |x|>a



Задача. Пластина ширины 2a (ее ε≈ 1) заряжена как ρ(x) = α x2; при x = 0 (центр пластины) φ = 0. Найти φ(x).


Решение: Мы работаем в декартовой системе координат, причем очевидно, что и поле, и потенциал зависят только от x. Если ρ>0 (α >0) то поле - из симметрии задачи - направлено по оси x при x>0 и против оси x при x<0. Согласно уравнению Пуассона:



 =




 =


0 x>a или x<–a


После первого интегрирования (интеграл берем как неопределенный)



 =




 =


AL, x<–a



 =


AR, x>a


Неверным было бы записать одну общую константу для dφ /dx при x>a и x<–a. Второе интегрирование дает:


φ(x)


 =



φ(x)


 =


ALx+BL, x<–a


φ(x)


 =


ARx+BR, x>a


Для нахождения шести констант у нас есть четыре условия сшивания (по два для границ x = –a и x = a). Кроме того, дано указание взять φ(0) = 0. Видно также, что Ex|x = 0 = –dφ/ dx|x = 0 = 0. Последнее очевидно из симметрии задачи. Отсюда сразу


Ac = 0, Bc = 0


Из симметрии следует также, что φ(x) = φ(–x) и что Ex(x) = –Ex(–x), вследствие чего


AR = –AL, BR = BL


Это делает достаточным рассмотрение условий сшивания только на одной из границ, например при x = a:



 =


(ARx+BR)|x = a



 =


AR|x = a


Сначала получаем AR (AR = –α a3/3ε0), а затем BR (BR = α a4/4ε0), после чего остается выписать ответ:


φ(x)


 =



φ(x)


 =



φ(x)


 =



Альтернативой было бы интегрирование с выписыванием пределов сразу:


Ex(x)


 =



φ


 =



Такое интегрирование верно всегда, в том числе при x<0. Точки x = ± a при этом ничем не выделены, но надо помнить, что вне участка –a



Задача. Шар радиуса R заряжен как ρ(r) = ρ0(1–r/R). Найти полный заряд шара Q, поле Er(r), а также потенциал φ(r) при r = 0... +∞.


Решение: Полный заряд шара находится как


Q


 =



 =



При вычислении мы использовали выражение для элемента объема dV в сферических координатах (не следует смешивать фигурирующий при этом φ с обозначением потенциала). Уравнение Пуассона записывается:



 =



Поcле однократного интегрирования в пределах 0... r имеем



 =



 =



Заметим, что - с точностью до знака - мы уже получили поле, поскольку . Для нахождения потенциала φ(r) требуется повторное интегрирование:


r>R


:



r


:



 =



Список литературы


1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.


2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.


3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.


Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r


Дата добавления: 14.03.2011



Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Логистика в вооруженных силах НАТО и бундесвера
Реферат Безопасность эксплуатации блочных трансформаторов типа ТДЦ-400000/330/20
Реферат B1 в правой части приведенной формы системы одновременных уравнений, построенной по перекрестным данным (cross-section data) без учета временных факторов, могут стоять переменные лаговые зависимые эндогенные экзогенные
Реферат Місце і роль США у світовому господарстві
Реферат Аннотация программы дисциплины «Распространение радиоволн и антенно-фидерные устройства в телерадиовещании»
Реферат Персидская Советская Социалистическая Республика
Реферат Выбор электродвигателя установки и его назначение
Реферат Система маркетинговой информации на рынке образовательных услуг
Реферат Земцов М.Г.
Реферат Маркетингове дослідження ринку кондиціонерів
Реферат Карибский кризис как кульминация холодной войны
Реферат Метаболічні зміни в органах щурів за умов свинцево кадмієвих токсикозів та їх корекція гепатопротекторами
Реферат Техническое обслуживание, ремонт и монтаж промышленного оборудования
Реферат Разработка локальной вычислительной сети ЛВС коммерческой организации
Реферат Беловежская пуща