Представлены понятия подстановки, умножения подстановок, единичной подстановки, четной и нечетной подстановок, транспозиции, лемма о нечетности транспозиции, знак подстановки, теорема о знаке произведения, свойства знаков подстановок
п.1. Симметрическая группа степени n.
Обозначим
Определение. Симметрическая группа, определённая на
множестве
По традиции подстановки принято обозначать маленькими
греческими буквами. Пусть
Определение. Умножением подстановок называется их композиция.
Определение. Единичной (тождественной) подстановкой
называется подстановка
Теорема 1. Алгебра, определенная на множестве
п.2. Чётные и нечётные подстановки.
Пусть
Определение. Пусть
Определение. Подстановка
Подстановка
Определение. Транспозицией называются те подстановки,
которые переставляют только два элемента множества
Пример.
Лемма 1. Любая транспозиция есть нечётная подстановка.
Доказательство. Рассмотрим транспозицию
Рассмотрим пару
Если
значит инверсией могут быть только те пары
Пусть
Пусть
а) пусть
б)
Если
Мы подсчитали число инверсий
Подсчитаем теперь число инверсий
IV.
V.
VI.
Следовательно, общее число инверсий в транспозиции
п.3. Знак подстановки.
Пусть
Определение. Функция
Теорема 1.
Доказательство.
если
пусть
а)
б)
в)
г)
Определение. Функцией знак подстановки называется
функция
Свойства знаков подстановок.
Пусть
1)
Доказательство. Рассмотрим пару
2) знак произведения двух подстановок равен
произведению знаков этих подстановок, то есть
Доказательство. Запишем
Теорема 2. Функция знак подстановки обладает свойствами:
1)
2) если
3)
4)
Доказательство.
Пусть
Следствие 1. Произведение подстановок одинаковой чётности – чётная подстановка.
Следствие 2. Произведение подстановок разной чётности – не чётная подстановка.
Следствие 3. Множество чётных подстановок относительно
операций
п.4. Разложение подстановок. Произведение циклов.
Определение. Подстановка
Определение. Два цикла называются независимыми, если
они не имеют общих действительно перемещаемых символов.
Свойства циклов.
каждая подстановка единственным образом с точностью до
порядка сомножителей раскладывается произведением независимых циклов
независимые циклы попарно коммутируют, то есть если
каждая подстановка есть произведение транспозиции:
Каждая перестановка множества
Доказательство.
Докажем равенство
Область определения функций в левой и правой частях
равенства равны. Проверим, что эти функции принимают одинаковые значения на
одинаковых элементах. Значение левой подстановки от
Рассмотрим, как действуют подстановки на элемент
Вывод: функции в равенстве
знак цикла
Доказательство. В формуле
Пример.
получить из перестановки
Решение.
Составим подстановку: первую перестановку- в первую строку, вторую перестановку- во вторую строку. Разложим эту подстановку произведением циклов
В перестановке
Получить из перестановки
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru/
Дата добавления: 05.10.2011
! |
Как писать рефераты Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов. |
! | План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом. |
! | Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач. |
! | Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты. |
! | Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре. |