Трюк с биномиальными коэффициентами

С биномиальными коэффициентами проще иметь дело, когда их аргументами являются целые неотрицательные числа, однако возможны и полезны и более общие рассуждения. Наиболее полезно обычно рассматривать случай, когда нижний индекс - вещественное число, а верхний индекс - целое число, сделав при этом предположение, что оба аргумента могут быть вещественными или даже комплексными.

Например, рассмотрим тождество

которое верно для всех вещественных .

Это тождество очевидно для всех целых неотрицательных . Убедиться в этом довольно легко, нужно лишь выписать выражения для биномиальных коэффициентов и .

Но подождите минутку. Мы утверждали, что тождество верно для всех вещественных , а наше доказательство справедливо только тогда, когда целое неотрицательное… Разве это не обман?

Нет, это не обман. Обе части равенства являются полиномами относительно . Если два многочлена степени совпадают в точке, они должны совпадать и во всех остальных точках. Но эти полиномы равны в бесконечном числе точек, а именно для всех целых неотрицательных чисел, и поэтому они должны быть равны.

Это обычная хитрость при работе с биномиальными коэффициентами. Это позволяет нам использовать комбинаторные аргументы для доказательства теорем, которые распространяются на случаи, когда биномиальные коэффициенты не имеют комбинаторной интерпретации. Но это также полезно и в более общих случаях. Часто, когда составляют уравнение, говорят, что два многочлена равны, хотя мы не думаем о частях уравнения как полиномах. Но если мы признаем, что это многочлены, для доказательства тождественности нам нужно будет только доказать равенство левой и правой частей уравнения в конечном числе точек.

Подобная техника является общей и для комплексных переменных. Часто доказывают тождество, считая переменные вещественными, комплексную версию при этом получают бесплатно. Например, все тригонометрические тождества, которые вы видели в школе, остаются в силе, когда аргументы являются комплексными числами. Почему? Потому что аналитические функции - это, грубо говоря, полиномы бесконечной степени (то есть они представимы в виде сходящихся степенных рядов). Если две аналитические функции совпадают на бесконечном множестве, содержащем предельные точки (например, на прямой), то они совпадают всюду.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://hijos.ru/

Дата добавления: 29.05.2013