Управление запасами

Содержание
Введение___________________________________________________________________ 2
1. Обобщенная модель управления запасами____________________________ 3
2. Типы моделей управления запасами__________________________________ 5
3. Детерминированные модели___________________________________________ 8
3.1. Однопродуктовая статическая модель___________________________________ 9
3.2. Однопродуктовая статическая модель с «разрывами» цен_______________ 13
3.3. Многопродуктовая статическая модель с ограничениямискладских помещений          15
3.4. Однопродуктовая N-этапная динамическая модель_____________________ 17
3.4.1. Частный случай убывающих или постоянных предельныхзатрат____________ 19
4. Заключение_____________________________________________________________ 21 />Введение
   Задача управления запасами возникает, когда необходимосоздать запас материальных ресурсов или предметов потребления с цельюудовлетворения спроса на заданном интервале времени (конечном или бесконечном).Для обеспечения непрерывного и эффективного функционирования практически любойорганизации необходимо создание запасов. В любой задаче управления запасамитребуется определять количество заказываемой продукции и сроки размещениязаказа. Спрос можно удовлетворить путём однократного создания запаса на весьрассматриваемый период времени или посредством создания запаса для каждойединицы времени этого периода. Эти два случая соответствую избыточному запасу(по отношению к единице времени) и недостаточному запасу (по отношению кполному периоду времени).
  При избыточном запасе требуется более высокие удельные (отнесённые к единицевремени) капитальные вложения, но дефицит возникает раже и частота размещениязаказов меньше. С другой стороны, при недостаточном запасе удельные капитальныевложения снижаются, но частота размещения заказов и риск дефицита возрастает.Для любого из указанных крайних случаев характерны значительные экономическиепотери. Таким образом, решения относительно размера заказа и момента его размещениямогут основываться на минимизации соответствующей функции общих затрат,включающих затраты, обусловленные потерями от избыточного запаса идефицита.    
/>1.Обобщенная модель управления запасами
   Любая модель управления запасами, в конечном счете, должнадать ответ на два вопроса:
1.  Какое количество продукциизаказывать?
2.  Когда заказывать?
  Ответ на первый вопрос выражается через размер заказа, определяющегооптимальное количество ресурсов, которое необходимо поставлять каждый раз,когда происходит размещение заказа. В зависимости от рассматриваемой ситуацииразмер заказа может меняться во времени. Ответ на второй вопрос зависит от типасистемы управления запасами. Если система предусматривает периодическийконтроль состояния запаса через равные промежутки времени (например,еженедельно или ежемесячно), момент поступления нового заказа обычно совпадаетс началом каждого интервала времени. Если же в системе предусмотрен непрерывныйконтроль состояние запаса, точка заказа обычно определяется уровнемзапаса, при котором необходимо размещать новый заказ.
  Таким образом, решение обобщённой задачи управления запасами определяетсяследующим образом;
1.  В случае периодическогоконтроля состояния запаса следует обеспечивать поставку нового количестваресурсов в объеме размера заказа через равные интервалы времени.
2.  В случае непрерывного контролясостояния запаса необходимо размещать новый заказ в размере объемазапаса, когда его уровень достигает точки заказа.
/>
Потери от дефицита   />/>
Затраты на хранение заказа   />/>/>
Затраты на оформление заказа   />/>/>/>
Затраты на приобретение   />/>/>
Суммарные затраты системы управления запасами   />  Размер и точка заказа обычно определяются из условий минимизации суммарныхзатрат системы управления запасами, которые можно выразить в виде функции этихдвух переменных. Суммарные затраты системы управления запасами выражаются ввиде функции их основных компонент следующим образом:
  Затраты на приобретение становятся важным фактором, когда цена единицыпродукции зависит от размера заказа, что обычно выражается в виде оптовыхскидок в тех случаях, когда цена единицы продукции убывает с возрастаниемразмера заказа. Затраты на оформление заказа представляют собойпостоянные расходы, связанные с его размещением. Таким образом, приудовлетворении спроса в течение заданного периода времени путем размещенияболее мелких заказов (более часто) затраты возрастают по сравнению со случаем,когда спрос удовлетворяется посредством более крупных заказов (и, следовательнореже). Затраты на хранение запаса, которые представляют собой расходы насодержание запаса на складе (например, процент на инвестированный капитал,затраты на переработку, амортизационные расходы и эксплутационные расходы),обычно возрастают с увеличением уровня запаса. Наконец, потеря дефицитапредставляют собой расходы, обусловленные отсутствием запаса необходимойпродукции. Обычно они связаны с ухудшением репутации поставщика у потребителя ис потенциальными потерями прибыли.
Уровень запаса   />/>/>
Суммарные годовые затраты  
Оптимальный уровень  
Минимальные затраты   />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>  Рисунок 1 иллюстрирует зависимость четырёх компонент затрат обобщенной моделиуправления запасами от уровня запаса. Оптимальный уровень запаса соответствуетминимуму суммарных затрат. Отметим, что модель управления запасами необязательно должна включать все четыре вида затрат, так как некоторые из нихмогут быть не значительными, а иногда учёт всех видов затрат чрезмерноусложняет функцию суммарных затрат. На практике какую – либо компоненту затратможно не учитывать при условии, что она не составляет существенную часть общихзатрат. Этот фактор необходимо иметь ввиду при изучении различных моделей,описанных в данной главе.   

Рисунок 1./>2.Типы моделей управления запасами
  Обобщенная модель управления запасами, описанная выше выглядит довольнопростой. Чем же тогда объясняется столь большое разнообразие моделей этогокласса и методов решения соответствующих задач, базирующихся на различномматематическом аппарате: от простых схем дифференциального и интегральногоисчисления до сложных алгоритмов динамического и других видов математическогопрограммирования? Ответ на этот вопрос определяется характером спроса, которыйможет быть детерминированным (достоверно известным) или вероятностным(задаваемым плотностью вероятности). На рисунке 2 приведена схема классификацииспроса, обычно принимаемая в моделях управления запасами. Детерминированныйспрос может быть статическим, в том смысле, что интенсивностьпотребления остаётся неизменной во времени, или динамическим, когдаспрос известен достоверно, но изменяется в зависимости от времени. Вероятностныйспрос может быть стационарным, когда функция плотности вероятностиспроса неизменна во времени, и не стационарным, когда функция плотностивероятности спроса изменяется во времени.
Возрастание степени математической сложности  
Наиболее
сложные
модели   />
Простейшие
модели   />
Нестационарный  
Стационарный  
Динамический  
Статический  
Вероятностный  
Детерминированный   />/>/>/>/>/>/>
Спрос   />   В реальных условияхслучай детерминированного статистического спроса встречается редко. Такойслучай можно рассматривать как простейший. Так, например, хотя спрос на такиепродукты массового потребления, как хлеб, может меняться от одного дня кдругому, эти изменения могут быть столь незначительными, что предположениестатичности спроса несущественно искажает действительность.
Рисунок 2.
   Наиболее точно характер спроса может быть, возможно,описан посредством вероятностных нестационарных распределений. Однако сматематической точки зрения модель значительно усложняется, особенно приувеличении рассматриваемого периода времени. Рисунок 2 иллюстрируют возрастаниематематической сложности модели управления запасами при переходе отдетерминированного статического спроса к вероятностному стационарному спросу.По существу, классификацию рисунка 2 можно считать представлением различных уровнейабстракции описания спроса.
   На первом уровне предполагается, что распределениевероятности спроса стационарно во времени. Это означает, что для описанияспроса в течение всех исследуемых периодов времени используется одна и та жефункция распределения вероятностей. При таком предположении влияние сезонныхколебаний спроса в модели не учитывается.
   На втором уровне абстракции учитывается изменениеспроса от одного периода к другому. Однако при этом функции распределения неменяются, а потребности в каждом периоде описываются средней величиной спроса.Это упрощение означает, что элемент риска в управлении запасами не учитывается.Однако оно позволяет исследовать сезонные колебания спроса, которые вследствиеаналитических и вычислительных трудностей нельзя учесть вероятностной модели.Другими словами, здесь возникает определенный компромисс: можно использовать, содной стороны, стационарные распределения вероятностей, а с другой –переменную, но известную функцию спроса при допущении «определённости».
   На третьем уровне упрощения исключаются как элементыриска, так и изменения спроса. Тем самым спрос в течение любого периодапредполагается равным среднему значению известного (по предположению) спроса повсем рассматриваемым периодам. В результате этого упрощения спрос можно оценитьего постоянной интенсивностью.
   Хотя характер спроса является одним из основныхфакторов при построении модели управления запасами, имеются другие факторы,влияющие на выбор типа модели. К их числу относятся:
1.  Запаздывание поставок илисроки выполнения заказов. После размещения заказов он может быть поставленнемедленно или потребуется некоторое время на его выполнение. Интервал временимежду моментом размещения заказа и иго поставкой называется запаздываниемпоставки, или сроком выполнения заказа. Эта величина может бытьдетерминированной или случайной.
2.  Пополнение запаса.Хотя система управления запасами может функционировать при запаздываниипоставок, процесс пополнения запаса может осуществляться мгновенно илиравномерно во времени. Мгновенное пополнение запаса может происходить приусловии, когда заказы поступают от внешнего источника. Равномерное пополнениеможет быть тогда, когда запасаемая продукция производится сомой организацией. Вобщем случае система может функционировать при положительном запаздываниипоставки и равномерном пополнении запаса.
3.  Период времени определяетинтервал, в течение которого осуществляется регулирование уровня запаса. Взависимости от отрезка времени, на котором можно надёжно прогнозироватьрассматриваемый период принимается конечным или бесконечным.
4.  Число пунктов накоплениязапаса. В систему управления запасами может входить несколько пунктовхранения запаса. В некоторых случаях эти пункты организованны таким образом,что один выступает в качестве поставщика для другого. Эта схема иногдареализуется на различных уровнях, так что пункт – потребитель одного уровняможет стать пунктом – поставщиком на другом. В таком случае принято говорить осистеме управления запасами с разветвленной структурой.
5.  Число видов продукции.В системе управления запасами может фигурировать более одного вида продукции.Это фактор учитывается при условии наличия некоторой зависимости междуразличными видами продукции. Так, для различных изделий может использоватьсяодно и то же складское помещение или же их производство может осуществлятьсяпри ограничениях на общие производственные фонды.
/>3.Детерминированные модели
 Чрезвычайно трудно построить обобщенную модель управлениязапасами, которая учитывала бы все разновидности условий, наблюдаемых вреальных системах. Но если бы и удалось построить достаточно универсальнуюмодель, она едва ли оказалась аналитически разрешимой. Представление в этомразделе модели соответствуют некоторым системам запасами. Маловероятно, что этимодели могут точно подойти для реальных условий, однако они приведены с цельюразличных подходов к решению некоторых конкретных задач управления запасами.
  В этом разделе обсуждается пять моделей. Большинство из них однопродуктовые, итолько в одной из них учитывается влияние нескольких «конкурирующих» видовпродукции. Основное различие между моделями определяется допущением о характера спроса (статический или динамический). Важным фактором с точки зренияформулировки и решения задачи является  также вид функции затрат. Используютсяразличные методы решения, включающие классическую схему оптимизации, линейное идинамическое программирование. Эти примеры наглядно показывают, что при решениизадач управления запасами следует применять различные методы оптимизации.  
 
/>3.1. Однопродуктоваястатическая модель
   Модель управления запасами простейшего типахарактеризуются постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса иотсутствием дефицита. Такую модель можно применять в следующих типичныхситуациях:
1.  Использование осветительных ламп вздании;
2.  Использование таких канцелярскихтоваров, как бумага, блокноты и карандаши, крупной фирмой;
3.  Использование некоторыхпромышленных изделий, таких, как гайки и болты;
4.  Потребление основных продуктовпитания (например, хлеба и молока).
  На рисунке 3 показано изменение уровня запаса во времени. Предполагается, чтоинтенсивность спроса (в единицу времени) равна b. Наивысшегоуровня запас достигается в момент поставки заказа размером у(предполагается, что запаздывание поставки является заданной константой.)Уровень запаса достигает нуля спустя у/b единицвремени после получения заказа размером у.
/>
/>Рисунок 3
  Чем меньше размер заказа у, тем чаще нужно размещать новые заказы. Сдругой стороны, с увеличением размера заказа уровень запаса повышается, нозаказы размещаются реже (рисунок 4). Так как затраты зависят от частотыразмещения заказов и объема хранимого запаса, то величина у выбирается изусловия обеспечения сбалансированности между двумя видами затрат. Это лежит воснове построения соответствующей модели управления запасами.
  
/>

Рисунок 4.
  Пусть К – затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при егоразмещении и предположении, что затраты на хранение единицы заказа вединицувремени равны h следовательно, суммарные затраты в единицу времениTCU(y) как функцию от у можно представить в виде:
  TCU(y) = Затраты на оформление заказа в единицу времени
                + Затраты на хранениезапасов в единицу времени =
               = />.
Каквидно из рисунка 3, продолжительность цикла движения заказа составляет t0=y/b исредний уровень запаса равен y/2.
  Оптимальное значение у получается в результате минимизации TCU(y) по у. Таким образов, в предположении, что у –непрерывная переменная, имеем: />,
откудаоптимальное значение размера заказа определяется выражением: />.
(Можнодоказать, что y*доставляет минимум TCU(y),показав, что вторая производная в точке у*строгоположительна). Полученное выше выражение для размера заказа обычно называют формулойэкономичного размера заказа Уилсона.
/>   Оптимальная стратегия модели предусматривает заказ у*единиц продукции через каждые t0*=y*/b единиц времени.Оптимальные затраты TCU(y*), полученные путем непосредственной подстановкисоставляют/>.
  Для большинства реальных ситуаций существует (положительный) срок выполнениязаказа (временное запаздывание) L от момента размещениязаказа до его действительной поставки. Стратегия размещения заказов вприведенной модели должна определять точку возобновления заказа. Рисунок5 иллюстрирует случай, когда точка возобновления заказа должна опережать на L единиц времениожидаемую поставку. В практических целях эту информацию можно простопреобразовать, определив точку возобновления заказа через уровеньзапаса, соответствующий моменту возобновления заказа. На практике этореализуется путем непрерывного контроля уровня запаса до момента достиженияочередной очки возобновления заказа. Возможно, по этой причине модельэкономичного размера заказа иногда называют моделью непрерывного контролясостояния заказа. Следует заметить, что с точки зрения анализа в условияхстабилизации системы срок выполнения заказа L можновсегда принять меньше продолжительности цикла t0* .
L   />/>/>
L   />/>/>/>/>/>
Точки возобновления заказов   />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
Время  
Уровень
запаса   />/>/>   />Рисунок 5
  Принятые в рассмотренной выше модели допущения могут не соответствоватьнекоторым реальным условиям в следствие вероятстного характера спроса. Напрактике получил распространение приближенный метод, сохраняющий простотумодели экономичного размера заказа и в то же время в какой-то мере учитывающийвероятностный характер спроса. Идея метода  чрезвычайно проста. Онапредусматривает создание некоторого (постоянного) буферного запаса на всемгоризонте планирования. Размер резерва определяется таким образом, чтобывероятность истощения запаса в течение периоды выполнения заказа Lне превышало наперед заданной величины. Предположим, что f(x) – плотность распределения вероятностей спроса втечение этого срока. Далее предположим, что вероятность истощения запасав течение периода L не должна превышать a. Тогдаразмер резервного запаса B определяетсяиз условия: />, где Lb представляетсобой потребление в течение времени L. Изменениезапаса при наличии резерва показано на рисунке 6.
B+bL  
B+y*   />/>
Резервный запас   />/>
L   />/>/>/>
L   />/>/>/>/>/>
Точки возобновления заказов   />/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
Время  
Уровень
запаса   />/>
B    
Рисунок 6
/>3.2. Однопродуктоваястатическая модель с «разрывами» цен
   Вмоделях предыдущего полраздела не учитывается удельные затраты на приобретениетовара, т.к. они постоянны и не влияют на уровень запаса. Однако не редко ценаединицы продукции зависит от размера закупаемой партии. В таких случаях ценыменяются скачкообразно или предоставляются оптовые скидки. При этом в моделиуправления запасами необходимо учитывать затраты на приобретение.
  Рассмотрим модель управления запасами с мгновенным пополнением запаса приотсутствии дефицита. Предположим, что цена единицы продукции равна с1при yиравна с2 при y>=q, где с1>c2 и q– размер заказа, при превышении которогопредоставляется скидка. Тогда суммарные затраты за цикл помимо издержекоформления заказа и хранения запаса должны включать издержки приобретения.
  Суммарные затраты на единицу времени при yравны
                 />.
   При y>=q эти затраты составляют
                 />.
  Графики этих двух функций приведены нарисунке 7. Пренебрегая влиянием снижения цен, обозначим через ym размер заказа, при котором достигается минимумвеличин TCU1 и TCU2. Тогда />.Из вида функции затрат TCU1 и TCU2, приведенных рисунке 7 следует, что оптимальныйразмер заказа y* зависит от того, где по отношению к трем показаннымна рисунке зонам I, II и IIIнаходится точка разрыва цены q.Эти зоны находятся в результате определения q1(>ym) изуравнения TCU1(ym)=TCU2(q1).
/>

Рисунок 7
  Так как значение ym известно (=/>), то решениеуравнения дает значение величины q1. Тогда зоныопределяются следующим образом:
          ЗонаI: 0q,
          ЗонаII: ym,
          ЗонаIII: q>=q1.
  На рисунке 8 приведено графическое решение уравнения для рассматриваемогослучая, зависящее от того, где находится q поотношению к зонам I, II и III. В результате оптимальный размер заказа y* определяется следующим образом:
          />
  Алгоритм определения y* можнопредставить в следующем виде:
1.  Определить ym=/>.Если q (зона I), то y*=ym иалгоритм закончен. В противном случае перейти к шагу 2.
2.  Определить q1 из уравнения TCU1(ym)=TCU2(q1)иустановить, где по отношению к зонам II и III находитсязначение q.
а.Если ym(зона II), то y*=q.
б. Если q>=q1 (зона III), то y*=ym.
/>

Рисунок 8/>3.3.Многопродуктовая статическая модель с ограничениями складских помещений
  Эта модель предназначена для системуправления запасами, включающие n(>1) видов продукции,которая хранится на одном складе ограниченной площади. Данное условиеопределяет взаимосвязь между различными видами продукции может быть включено вмодель как ограничение.
  Пусть А – максимально допустимая площадь складского помещения для nвидовпродукции; предположим, что площадь, необходимая для хранения единицы продукцииi-го вида, то ограничение на потребность в складскомпомещении принимают вид />.
  Допустим, что запас продукции каждого вида пополняется мгновенно и скидки ценотсутствуют. Предположим далее, что дефицит не допускается. Пусть bi, Ki и hi – интенсивность спроса, затраты на оформление заказаи затраты на хранение единицы продукции в единицу времени для i-говида продукции соответственно. Общие затраты по продукции каждого вида, посуществу, будут теми же, что и в случае эквивалентной однопродуктовой модели.Таким образом, рассматриваемая задача имеет вид минимизировать />при />/>длявсех i.
  Общее решение этой задачи находится методом множителей Лагранжа. Однако, преждечем применять этот метод, необходимо установить, действуют ли указанноеограничение, проверив выполнимость ограничений на площадь склада для решения /> неограниченной задачи. Еслиограничение выполняется, то оно избыточно, и им можно пренебречь.
  Ограничение действует, если оно не выполняется для значений />. В таком случае нужно найтиновое оптимальное значение yi, удовлетворяющее ограничению на площадь склада в видеравенства. Этот результат достигается построением функции Лагранжа вида />, где l(
  Оптимальные значения yi и l можно найти, приравняв нулюсоответствующие частные производные, что дает
              />,
              />.
  Из второго уравнения следует, что значение /> должноудовлетворять ограничению на площадь склада в виде равенства. Из первогоуравнения следует, что />.
  Заметим, что /> зависит от оптимальногозначения l*множителя l. Кроме того, при l*=0 значение /> являетсярешением задачи без ограничения.
  Значение l* можно найти методом систематических проб и ошибок. Так как по определению впоставленной выше задаче минимизации ll найденное значение l* будет одновременно определять значения y*, которые удовлетворяют заданному ограничению в видеравенства. Таким образом, в результате определения l* автоматически получаются значения y* .
/>3.4. ОднопродуктоваяN-этапная динамическая модель
  В этой модели предполагается, что, хотя спрос достоверно известен, он можетизменяться от этапа к этапу. Уровень запаса контролируется периодически.Хотя запаздывание поставки (выраженное фиксированным числом периодов)допустима, в модели предполагается, что пополнение запаса происходит мгновеннов начале этапа. Наконец, дефицит не допускается.
  Построение динамической детерминированной модели сводится к конечному горизонтувремени. Это объясняется тем, что для получения числового решениясоответствующих задач требуется использование метода динамическогопрограммирования, который в данном случае можно практически применятьтолько при конечном числе этапов (шагов). Однако это не является серьёзнымпрепятствием, т.к. спрос в отдалённом будущем обычно не оказывает существенноевлияние на решение, принимаемое для рассматриваемого конечного горизонтавремени. Кроме того, как правило, не имеет смысла предполагать, что продукциябудет храниться в запасе бесконечно.
  Определим для этапа i,  i=1, 2,… ,N, следующие величины:
zi – количествозаказанной продукции (размер заказа),
xi – потребностьв продукции (спрос),
xi– исходный запас (на начало этапа i),
hi – затраты нахранение единицы запаса, переходящей из этапа i в этап i+1,
Ki – затраты наоформление заказа,
ci(zi) – функция предельных затрат, связанных с закупкой(производством) при заданном значении zi./>Пусть />, где  />./>Функция ci(zi)представляет интерес только тогда, когда затраты на покупку единицы продукцииизменяются во времени или существуют разрывы цены.
  Так как дефицит не допускается, то требуется найти оптимальное значения zi, минимизирующие общие затраты на оформление заказов,закупку и хранение по всем N этапам. Затраты на хранение предполагаютсяпропорциональными величине />,которая представляет собой объем запаса, переходящего из этапа iв этап i+1. В результатезатраты на хранение на этапе i равны hixi+1. Это предположение вводится исключительно с цельюупрощения, т.к. модель легко можно обобщить на случай произвольной функциизатрат Hi(xi+1), заменив hixi+1 на Hi(xi+1).Аналогичнодля оценивания затрат на хранение можно воспользоваться величинами xi или (xi+xi+1)/2.
  Построение модели динамического программирования упрощается, если представитьзадачу схематически. Каждый этап соответствует одному шагу. Используя обратноерекуррентное уравнение, определим состояние системы на шаге iкак объем исходного запаса xi. Пусть fi(xi) – минимальныеобщие затраты на этапах i, i+1, …, N.Рекуррентное уравнение имеет вид /> 
  Прямое рекуррентное уравнение можно получить, определив состояние на шаге iкак объем запаса на конец этапа i. Эти состояния заданы величинами xi+1. На любом шаге на величины xi+1 наложеныследующие ограничения: />
  Таким образом, в предельном случае объем заказанной продукции zi на этапе iможет быть настолько велик, что запас xi+1 удовлетворяетспрос на всех последующих этапов.
  Пусть fi(xi+1) –минимальные общие затраты на этапах 1, 2, …, N при заданнойвеличине запаса xi+1 на конец этапа i.Тогда рекуррентное уравнение записываетсяв виде  />
  Прямая и обратная постановка задачи с вычислительной точки зрения эквивалентны.Однако прямой алгоритм наиболее эффективен при анализе важного частного случаярассмотренной  выше модели./>/>
/>3.4.1.Частный случай убывающих или постоянных предельных затрат
  Рассмотренную модель динамического программирования можно использовать при любыхфункциях затрат. Важным частным случаем этой модели является такой, когдана этапе i как затраты на приобретение (производства), так изатрат на хранение на единицу продукции является постоянными или убывающимифункциями xi и xi+1 соответственно. В таких условиях предельныезатраты постоянны или убывают. Типичные примеры таких функций затрат приведенына рисунке 9. С математической точки зрения эти функции являются вогнутыми.Случай (а) соответствует постоянным предельным затратам. Случай (б) характерендля многих функций затрат на производство (или закупку), когда независимо отобъёма производства на оформление заказа требуются затраты К. В этомслучае предельные затраты постоянны, но если при zi=q предоставляетсяскидка или происходит разрыв, то предельные затраты при zi>q уменьшается. Случай (в) отражает общий вид вогнутойфункции./> /> /> /> /> /> /> /> /> />

Рисунок 9.
  При указанных выше условиях можно доказать следующее:
1.  При заданном исходном уровнезапаса x1=0 налюбом этапе N-этапноймодели оптимальным является положительное значение />  или положительныйисходный запас />; их произведениедолжно быть равно 0, т.е. />/>=0.
2.  Размер заказа /> на любом этапе i оптималентолько тогда, когда он равен 0 или в точности соответствует спросуодного или более этапов. Эти последующие этапы таковы, что если спрос на этапе i+m() удовлетворяется за счет />, то спрос наэтапах i, i+1,…, i+m-1 также должен удовлетворяться за счет />.
  Из первого свойства теоремы следует, что на любом этапе i нерациональнопополнять запас и размещать заказ в одно и тоже время. Так, предположим, что минимальныепредельные затраты на приобретение и хранение одной дополнительнойединицы продукции из предыдущего этапа i’на рассматриваемом этапе i” (i’ равны b’, тогда как предельные затраты на размещение заказа на однудополнительную единицу в начале этапа i”составляют b”.
  Если b”, то размер заказа на этапе i”можно увеличить, полностью удовлетворив спрос на этапе i”, не повышая полных затратотносительно условия, когда спрос удовлетворяется за счет запаса, имеющегося наэтапе i’. Этот результат объясняется тем, что предельные затратыне возрастают. Следовательно, выполнение условия xi”zi”=0обеспечивает решение, которое по меньшей мере не хуже любого другого. Сдругой стороны, если b”>b’, товыгоднее увеличить размер заказа на этапе i’,удовлетворив спрос на этапах i’ и i”, вследствие чегоразмер заказа на этапе i” равен нулю. Этот вывод также следует из условия невозрастания предельных затрат. Отсюда вытекает, что условие xizi=0 неприводит к какому-либо ухудшению решения при условии, что предельные затратыпостоянны или убывают, а исходный запас равен нулю. Второе свойство, всоответствии с которым требуется размещение заказа, покрывающего спрос одногоили нескольких этапов, непосредственно вытекает из первого свойства.
  Описанные выше свойства (в случае их применимости) позволяют упроститьвычислительную схему, в основе которой по-прежнему лежат изложенные ранее общиеалгоритмы динамического программирования. Это утверждение поясняется на примереиспользования алгоритма прямой прогонки.
  Так как в соответствии со вторым свойством объем запаса к концу этапа i,т.е. xi+1, должен в точности соответствовать потребностям одногоили более последующих этапов, то число оценок состояния системы на любом этапеопределяются числом последующих этапов (а не количеством единицпродукции, требуемой на последующих этапах, как это имеет место в обычноймодели). Например, пусть N=5при спросе 10, 15, 20, 50 и 70 соответственно. Тогда к концу третьегоэтапа (шага) число оценок состояния x4в обычной модели будет 50+70+1=121, тогда как в новой модели оно сокращается дотрёх (оставшееся число этапов плюс один), т.к. x4может принимать только значения 0, 50 или 120. Аналогичное рассуждение,основанное на первом свойстве, также показывает, что число альтернатив zi в новой модели намного меньше. В результате объемвычислений для этой модели весьма существенно сокращается.
4. Заключение
  В любой задаче управления запасами решается вопросы выбора размеров и сроковразмещения заказов на запасаемую продукцию. К сожалению, общее решение этойзадачи нельзя получить на основе одной модели. Поэтому разработаны самыеразнообразные модели, описывающие различные частные случаи. Одним из решающихфакторов при разработке модели управления запасами является характер спроса. Внаиболее простых моделях предполагается, что спрос является статическимдетерминированным.
  В большинстве моделей управление запасами осуществляется оптимизацией функциизатрат, включающей затраты на оформление заказов, закупку и хранение продукции,а также потери от дефицита. Потери от дефицита обычно наиболее сложно оценитьт.к. они могут быть обусловлены такими нематериальными факторами, как,например, ухудшение репутации. С другой стороны, хотя оценку затрат наоформление заказа получить нетрудно, включение в модель этой статьи расходовсущественно усложняет математическое описание задачи.
  Известные модели управления запасами редко точно описывают реальную систему.Поэтому решение, получаемое на основе моделей этого класса, следуетрассматривать скорее как принципиальные выводы, а не конкретные рекомендации. Вряде сложных случаев приходится прибегать к методам имитационного моделированиясистемы, чтобы получить достаточно надежное решение.