МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИБЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Витебский государственный технологическийуниверситет»
Кафедра экономики
КОНТРОЛЬАЯ РАБОТА
по дисциплине «Статистика»
ВАРИАНТ № 6
Задание № 1
Используя данные статистического наблюдения о производительноститруда рабочих, провести статистическое исследование:
1) Исходныйэмпирический ряд преобразовать в дискретный и интервальный и по каждому из них(вариационному, дискретному и интервальному), рассчитать среднюю величину.
2) По дискретному ряду исчислить среднюю величину сиспользованием её свойств.
3) По интервальному ряду определить моду и медиану.
4) По дискретному ряду рассчитать показатели вариации:
– размах,
– среднее линейное отклонение,
– дисперсию,
– среднее квадратическое отклонение,
– коэффициент осцилляции,
– относительное линейное отклонение,
– коэффициент вариации.
№
раб. Количество вырабатываемых деталей одним рабочим за месяц, ед.
№
раб. Количество вырабатываемых деталей одним рабочим за месяц, ед. 1 216 21 192 2 168 22 144 3 192 23 144 4 120 24 120 5 216 25 120 6 120 26 120 7 168 27 120 8 120 28 168 9 144 29 216 10 120 30 120 11 192 31 120 12 120 32 192 13 144 33 120 14 168 34 144 15 168 35 120 16 120 36 120 17 120 37 120 18 216 38 120 19 216 39 192 20 120 40 120
Решениезадания 1
1)Для нахождения средней величины вариационного ряда воспользуемсяформулой:
/>= /> ; />= /> = 150 (деталей)
где ∑Х– это сумма всех деталей, вырабатываемых рабочими за месяц,
n – количество рабочих.
Рассчитаем среднюю величину для дискретного ряда:Выработка рабочего, Х Число рабочих, f Хf 120 20 2400 144 5 720 168 5 840 192 5 960 216 5 1080 åf=40 åХf=6000
Рассчитываем среднюю арифметическую взвешенную посгруппированным данным, используя формулу:
/>= /> ; />= /> = 150 (деталей)
Далеедля интервального ряда определяем число групп с использованием формулыСтерджесса:
n = 1 + 3,322 lg N; n = 1 + 3,322 lg 40= 5,92 (≈ 6 групп)
где n –число групп, N – число единиц совокупности (40).
Затем определяем величину интервала (h) по формуле:
h = /> = /> = 16 (деталей)
И используя таблицу, рассчитываем среднюю величину:Группы рабочих по уровню выработки, Х Количество рабочих в группе, f Центр интервала, Х¢ Х¢f 120 – 136 20 128 2560 136 – 152 5 144 720 152 – 168 160 168 – 184 5 176 880 184 – 200 5 190 950 200 – 216 5 208 1040 å f=40 å Х¢f=6150
/>= /> , />= /> = 153,8 (деталей)
2)По дискретному ряду исчисляем среднюю величину с использованием её свойств, втом числе по «способу моментов»:Выработка рабочего, Х
Число
рабочих, f Хf
Х–Х0
Х0= 168
А = />
А = 24
/>
b = 5
/> * /> 120 20 2400 -48 -2 4 -8 144 5 720 -24 -1 1 -1 168 5 840 1 192 5 960 24 1 1 1 216 5 1080 48 2 1 2 åf=40 åХf=6000
å /> =8
å /> * /> = -6
Определяем среднюю величину по «способу моментов»:
/> * А + Х0 , /> * 24 + 168 = 150 (деталей)
3)Для определения моды (Mo) поинтервальному ряду, вначале находим ширину модального интервала (iMo):
iMo = />, iMo = /> = 16,
а затем рассчитываем моду по формуле:
Mo=xMo + iMo />
где хMo–начальная граница модального интервала (120),
iMo– ширина модального интервала (16),
fMo– частота модального интервала (20),
fMo-1 –частота интервала,предшествующего модальному (0),
fMo+1 – частота интервала, следующего замодальным (5).Группы рабочих по уровню выработки, Х
Количество рабочих
в группе, f 120 – 136 20 – модальный интервал 136 – 152 5 152 – 168 168 – 184 5 184 – 200 5 200 – 216 5
Mо=120+ 16/> = 129 (деталей)
Для расчета медианы по интервальному ряду, вначале определяеммедианный интервал по способу накопления частот:Х f
SMe 120 – 136 20 20 136 – 152 5 152 – 168
168 – 184 5
184 – 200 5
å f=40
Медиану находим по формуле:
Me= XMe+ iMе/> , Me =120 + 16 /> = 136
где XMe – начальная граница медианного интервала (120),
iMе– ширина медианного интервала (16),
/> – частота медианного интервала (20),
SMе-1 – сумма накопленных частот интервала,предшествующего медианному (0),
/>– сумма всех частот ряда (40),
4) Рассчитываем показатели вариации по дискретному ряду:
Выработка
рабочего, x
Число
рабочих, f
/>
/>f
(x–x)2
(x–x)2f
х2
х2f 120 20 -30 600 900 18000 14400 288000 144 5 -6 30 36 180 20736 103680 168 5 18 90 324 1620 28224 141120 192 5 42 210 1764 8820 36864 184320 216 5 66 330 4356 21780 46656 233280 åf=40
å/>f=1260
å(х-х)2f=50400
х2f=950400
1) Размах R = x max – x min , R = 216 – 120 = 96 (деталей)
2)Среднее линейное отклонение /> = /> />=/>= 31,5
3) Дисперсия />2 =/>, />2= /> = 1260
4) Среднееквадратическое отклонение />=/>=/> , />=/>=35,496 ≈ 36
5)Коэффициент осцилляции KR= /> * 100, KR= /> * 100 = 64 %
6) Относительное линейное отклонение Kе = /> * 100 %, Kе = /> = 21 %
7)Коэффициент вариации V = /> * 100, V = /> = 23,664 %
Задание № 2
Используя статистическую информацию, приведенную в таблице,проанализировать динамику объема продукции по двум родственным организациям:
1) по организации № 1 исчислить цепные показателидинамики;
2) по организации № 2 исчислить базисные показателидинамики;
3) методом аналитического выравнивания установить общуютенденцию (определить тренд) изменения объема продукции:
3.1) по организации № 1 – за 6 лет;
3.2) по организации № 2 – запоследние 5 лет.
4) По каждому заданию сделать развернутые выводы.
5) Сравнить динамику выпуска продукции по двуморганизациям.№ организации Выпуск продукции по годам, тыс. шт.
2002
2003
2004
2005
2006
2007 1 520 550 560 620 640 700 2 700 750 780 800 820 830
Решениезадания 2
1) Исчисляем цепные показатели динамики по организации №1:
Наименование
показателей
Ед.
изм. Формулы Уровни показателей по годам
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Выпуск
продукции тыс. шт. 520 550 560 620 640 700 Аналитические показатели динамики:
– абсолютный
прирост тыс. шт.
∆yц= yi – yi-1 – 30 10 60 20 60 – темп роста %
Трц = /> – 105,8 101,8 110,7 103,2 109,4
– темп
прироста %
Тпрц= /> – 5,8 1,8 10,7 3,2 9,4
– вес 1%
прироста тыс. шт.
/> – 5,2 5,5 5,6 6,2 6,4 Средние показатели динамики:
– средний
уровень
ряда динамики тыс. шт.
/> 598,3
– средний
абсолютный прирост тыс. шт.
/> 36
– средний
темп роста %
/>= /> 1,061 или 106,1%
– средний
темп прироста %
/> 6,1%
дискретный интервальный эмпирический вариация
Выводы: выпуск продукции в 2003 году по сравнению с 2002повысился на 30 тыс.шт., т.е. как мы видим по темпам роста в 1,058 раза или на5,8%, а 1% прироста давал увеличение продукции на 5,172 тыс.шт.
В 2004 году по сравнению с 2003 выпуск продукции повысился на10 тыс.шт., т.е. в 1,018 раза или на 1,8%, а 1% прироста давал увеличениепродукции на 5,556 тыс.шт.
В 2005 году по сравнению с 2004 выпуск продукции повысился на60 тыс.шт., т.е. в 1,107 раза или на 10,7%, а 1% прироста давал увеличениепродукции на 5,607 тыс.шт.
В 2006 году по сравнению с 2005 выпуск продукции повысился на20 тыс.шт., т.е. в 1,032 раза или на 3,2%, а 1% прироста давал увеличениепродукции на 6,25 тыс.шт.
В 2007 году по сравнению с 2006 выпуск продукции повысился на60 тыс.шт., т.е. в 1,094 раза или на 9,4%, а 1% прироста давал увеличениепродукции на 6,383 тыс.шт.
В течение периода с 2002 г. по 2007 г. в организации №1 согласно расчетам наблюдается увеличение выпуска продукции, средний темп приростасоставляет +6,1%, а средний абсолютный прирост +36 тыс.шт.
2) Исчисляем базисные показатели динамики по организации№ 2:
Наименование
показателей
Ед.
изм. Формулы Уровни показателей по годам
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Выпуск
продукции тыс. шт. 700 750 780 800 820 830 Аналитические показатели динамики:
– абсолютный
прирост тыс. шт.
∆yб= yi – y0 – 50 80 100 120 130 – темп роста %
Трб=/> * 100% 100,0 107,1 111,4 114,3 117,1 118,6
– темп
прироста %
Трб = /> * 100% – 7,1 11,4 14,3 17,1 18,6
Выводы: выпуск продукции в 2003 году по сравнению с 2002 повысилсяна 50 тыс.шт., т.е. как мы видим по темпам роста в 1,071 раза или на 7,1%. В2004 году по сравнению с 2002 выпуск продукции увеличился на 80 тыс.шт., т.е. в1,114 раза или на 11,4%. В 2005 году по сравнению с 2002 происходит увеличениеобъема выпуска продукции на 100 тыс.шт., т.е. в 1,143 раза или на 14,3%. В 2006году по сравнению с базисным периодом (2002 г) увеличивается выпуск продукции на 120 тыс. шт., т.е. в 1,171 раза или на 17,1%. В 2007 году по сравнению с 2002также объем выпуска продукции увеличивается 130 тыс.шт., т.е. в 1,186 раза илина 18,6%.
В течение периода с 2002 г. по 2007 г. в организации №2 согласно расчетам наблюдается повышение выпуска продукции,средний темп прироста составляет 13,6%, а средний абсолютный прирост 96 тыс.шт.
3) Определяем общую тенденцию способом аналитическоговыравнивания ряда динамики следующим образом:
– выбор математической моделиразвития явления во времени;
– определение параметров уравнения(тренда) %;
– экономическая интерпретациянайденного тренда;
– графическая обработка результатованалитического выравнивания
Абсолютный прирост уровней рядапроисходит в арифметической прогрессии, следовательно, выравнивание рядадинамики следует производить по прямой: /> = />
где: /> – выровненные (теоретические ) уровни ряда;
/>,/> – параметры уравнения; t – условноеобозначение времени.
Установим общую тенденцию (определим тренд) изменения объемапродукции по организации № 1 за 6 лет.
Поскольку используется ряд с четным количеством периодов, то:Значение t 2002 2003 2004 2005 2006 2007 å t = 0 — 5 — 3 — 1 1 3 5
При упрощенном способе расчетов, когда ∑t = 0, параметры прямой определяютсяпо формулам:
/> =/> , /> =/> = 598,333; /> = /> , /> = /> = 17,571.
где у –исходный уровень ряда динамики;
n – количество периодов ряда.
Уравнение прямой (тренда) будет иметь вид: />= 598,333+17,571tРасчетная таблица выравнивания ряда по прямой для организации № 1: Годы
Прибыль
тыс. руб.
(у)
Абсолютный прирост,
тыс. руб. (Dу) t
t2 tу
/>
Скорость ряда
(разница теоретических уровней) 2002 520 –– -5 25 -2600 510,45 2003 550 30 -3 9 -1650 545,59 2004 560 10 -1 1 -560 580,73 2005 620 60 1 1 620 615,87 2006 640 20 3 9 1920 651,01 2007 700 60 5 25 3500 686,15 ∑у=3590 ∑t=0
∑/> =70 ∑tу=1230
∑/>=3589,8
Рассчитаем теоретические уровни ряда динамики:
598,333 + 17,571 * (-5) = 598,333 + (- 87,855) = 510,478
598,333 + 17,571 * (-3) = 598,333 + (- 52,713) = 545,62
598,333 + 17,571 * (-1) = 598,333 + (- 17,571) = 580,762
598,333 + 17,571 * 1 = 615,904
598,333 + 17,571 * 3 = 598,333 + 52,713 = 651,046
598,333 + 17,571 * 5 = 598,333 + 87,855 = 686,188
Поскольку /> имеет знак «+», то наблюдается тенденция роста.
Определяем скорость ряда для экономической интерпретациинайденного тренда, которая при четном количестве периодов времени (6), будетравна:
2 * /> = 2 * 17,571 = 35,142
Полученный тренд свидетельствует о наличии положительнойтенденции в измерении выпуска продукции (а1 > 0), так как всреднем за год выпуск составил 598,333 тыс. шт., то среднегодовой рост объемавыпуска продукции за этот период составляет 35,142 тыс. шт:
/>
Определяем тренд изменения объема продукциипо организации № 2 за последние 5 лет, используя ряд с нечетным количествомпериодов:Значение t 2003 2004 2005 2006 2007 å t = 0 — 2 — 1 1 2
При упрощенном способе расчетов параметры прямой определяютсяпо формулам:
/> =/> , /> =/> = 796;
/> = /> , /> = /> = 20.
Уравнение прямой (тренда) будет иметь вид:
/> = 796 + 20t
где у –исходный уровень ряда динамики;
n – количество периодов ряда.Расчетная таблица выравнивания ряда по прямой для организации № 2: Годы
Прибыль
тыс. руб.
(у)
Абсолютный прирост,
тыс. руб. (Dу) t
t2 tу
/>
Скорость ряда
(разница теоретических уровней) 2003 750 50 -2 4 -100 756 2004 780 80 -1 1 -80 776 2005 800 100 796 2006 820 120 1 1 120 816 2007 830 130 2 4 260 836 ∑у=3980 ∑t=0
∑/> =10 ∑tу=200
∑/>=3980
Рассчитаем теоретические уровни ряда динамики:
796 + 20 * (-2) = 796 + (- 40) = 756
796 + 20 * (-1) = 796 + (- 20) = 776
796 + 20 * 0 = 796
796 + 20 * 1 = 816
796 + 20 * 2 = 796 + 40 = 836
Поскольку /> имеет знак «+», то наблюдается тенденция роста
Определяем скорость ряда для экономической интерпретациинайденного тренда, которая при нечетном количестве периодов времени (5), будетравна параметру а1, т.е. 20 тыс.шт.
Полученный тренд свидетельствует о наличии положительнойтенденции в измерении выпуска продукции (а1 > 0), если в среднемза год выпуск составил 796 тыс. шт., то его прирост из года в год заисследуемые 5 лет в среднем составляет 20 тыс. шт.:
/>
5)Чтобы сравнить динамику выпуска продукции по двум организациям, необходимоприменить способ приведения рядов динамики к единому основанию и исчислить коэффициентопережения:Годы
Выпуск продукции, тыс. шт. Организация № 1 Организация № 2
2002 520 700
2003 550 750
2004 560 780
2005 620 800
2006 640 820
2007 700 830
Из таблицы видно, что выпуск продукции по двум организациямпроисходит неравномерно.
Приведем ряды динамики к единому основанию, т.е. все уровнивыразим в процентах к начальному уровню.
Тогда ряд динамики преобразуется в ряд динамики, состоящий избазисных уровней темпов роста:Годы Базисные темпы роста, % Организация № 1 Организация № 2
2002 100 100,0
2003 105,7 107,1
2004 107,6 111,4
2005 119,2 114,3
2006 123,0 117,1
2007 134,6 118,6
Следовательно, выпуск продукции в организации № 1 с 2003 – 2004 г. растет медленнее, чем в организации № 2, а с 2005 – 2007 г. растет быстрее, чем в организации № 2.
Для сравнения рассчитаем коэффициенты опережения (Копер.)
Копер.2004 = 107,6/111,4 = 0,966
Копер.2007 = 134,6/118,6 = 1,135
При сравнении организации № 1 и организации № 2 можно сделатьследующие выводы: выпуск продукции в организации № 1 с 2003-2004 г. растет медленнее в 0,966 раз, а с 2005-2007 растет быстрее в 1,135 раз:
/>
Задание № 3
Используя индексный метод по данным, приведенным в таблице,проанализировать деятельность организации:
1. Определить, как изменились издержки организации вотчётном периоде по сравнению с базисным и как повлияло на эти изменение:
1.1) изменение объёма выпускаемой продукции;
1.2) изменение себестоимости единицы продукции;
Показать связь индексов и дать развернутый вывод.
2. Определить индексы средней цены изделия переменного, фиксированного(постоянного) состава и структурных сдвигов.
Сделать развёрнутый вывод обизменении средней цены единицы продукции и его причинах.
Виды
изделий
Выпуск продукции,
тыс. ед.
Цена единицы
продукции, тыс. руб.
Себестоимость ед. продукции, тыс. руб. базисный период отчетный период базисный период отчетный период базисный период отчетный период
1
3
4
5
6
7
8
А
Б
В
150
160
180
180
180
200
32
28
45
25
30
42
20
18
28
18
19
27
Решениезадания 3
При выполнении первого пункта задания целесообразноиспользование таблицы следующей формы:
Виды
продукции
Выпуск
продукции,
тыс. ед.
Себестоимость
единицы
продукции,
тыс. руб.
Издержки, млн. руб.
q1z0
/>
/>
базис.
период
отчет.
период
базис.
период
отчет.
период
базисный
период
отчетный
период
q0
q1
z0
z1
q0z0
q1z1 А 150 180 20 18 3000 3240 3600 1,2 0,9 Б 160 180 18 19 2880 3420 3240 1,125 0,055 В 180 200 28 27 5040 5400 5600 1,111 0,964 Итого:
åq0z0=10920
åq1z1=12060
åq1z0=12440
Для того, чтобы определить, как изменились издержкиорганизации в отчетном периоде по сравнению с базисным, следует рассчитатьагрегатный индекс издержек (себестоимость всей продукции по организации):
Iz= /> , Iz= /> 1,1044 раз или + 10,4 %
Агрегатный индекс издержек показывает относительное изменениеиздержек организации. Можно рассчитать абсолютное изменение издержек (врублях):
∆z =∑/> – ∑/> , ∆z = 12060 – 10920 = 1140 (млн.рублей)
Индекс издержек организации показывает изменение показателяиздержек организации за счет объема выпускаемой продукции, и за счетсебестоимости единицы продукции.
При использовании индексного метода проводится факторинговыйанализ и оценивается обособленное влияние каждого из этих факторов:
Изменение издержек организации за счет изменения объемавыпускаемой продукции рассчитывается по формуле:
Iq= /> , Iq= /> 1,1392или + 13,92 %
∆/> = ∑/> – ∑/> , />12440-10920=1520 (млн.рублей)
Изменение издержек за счет изменения себестоимости единицыпродукции рассчитывается по формуле:
Iz=/> , Iz=/> /> 0,9695 или — 3,1 %
∆/> = ∑/> – ∑/> , /> = 12060 – 12440 – -380 (млн.рублей)
Таким образом, издержки организации в отчетном периоде посравнению с базисным увеличились на 10,4 % или на 1140 млн.рублей. За счет увеличенияобъема выпускаемой продукции издержки выросли на 13,9 % или на 1520 млн.рублейи за счет уменьшения себестоимости единицы продукции издержки уменьшились на3,1% или на 380 млн.рублей произошло это изменение.
В отчетном периоде по сравнению сбазисным, объем выпускаемой продукции А увеличился на 20%, продукции Б – на12,5% и продукции В – на 11,1%.
Себестоимость единицы продукции А вотчетном периоде по сравнению с базисным выросла на 10 %; себестоимость единицыпродукции Б выросла на 5,6 %, а единица продукции В снизилась на 3,6 %.
Для расчёта индексов средней цены используем следующуютаблицу:Виды продукции
Выпуск
продукции,
тыс. ед.
Цена
ед.продукции, тыс. руб.
p0q0
p1q1
p0q1
d0=/>
/>=/>
p0d0
p1d1
p0d1
базисный
период,
q0
отчётный
период,
q1
базисный
период, p0
отчётный
период, p1 А 150 180 32 25 4800 4500 5760 0,306 0,321 9,796 8,036 10,286 Б 160 180 28 30 4480 5400 5040 0,327 0,321 9,143 9,643 9,000 В 180 200 45 42 8100 8400 9000 0,367 0,357 16,531 15,000 16,531
∑/>=490
∑/>=560 105 97
∑/>
=17380
∑/>
=18300
∑/>
=19800
∑d0=1
∑d1=1
∑/>
=35,47
∑/>
=32,68
∑/>=35,82
Рассчитываем индекс переменного состава средней цены изделияпо формуле:
Iрп.с. = /> ÷ /> , Iрп.с. = /> ÷ /> = 0,9213 (- 7,87 %)
или
Iрп.с. = /> , Iрп.с. = /> = 0,9213 (- 7,87 %)
Далее исчисляем индекс фиксированного состава:
Iрф.с. = /> ÷/>,
Iрф.с. = /> ÷ /> = 0,9242 (- 7,58 %)
Или
Iрф.с. = />,
Iрф.с. = /> 0,9242 (- 7,58 %)
Затем индекс структурных сдвигов:
Iрс.с. = /> ÷/>,
Iрс.с. = /> ÷ /> = 0,9968 (- 0,32 %)
Или
Iрс.с. = /> ,
Iрс.с. = /> = 0,9968 (- 0,32 %)
Из этого следует, что средняя цена единицы продукции вотчетном периоде по сравнению с базисным уменьшилась на 7,87 %.
Это вызвано непосредственным падением цен на анализируемуюпродукцию. Индекс фиксированного состава показывает, что непосредственноеизменение цен составило их уменьшение на 7,58 %.
Одновременно наблюдается отрицательное влияние на изменениесредней цены фактора структурных сдвигов.
Увеличение в отчетном периоде продукции А и Б, которые имеютболее низкую цену, при одновременном уменьшении количества продукции В, имеющейболее высокую цену, приводит к снижению средней цены на 0,32%.
Задание № 4
Используя статистические данные производственной деятельности15-ти организаций отрасли, необходимо установить наличие, характер и теснотусвязи между признаком-фактором (х) и признаком-результатом (у).
Исследование зависимости между признаками необходимо провестиследующими методами:
4.1) методом параллельных рядов;
4.2) методом аналитическихгруппировок;
4.3) методом корреляционно-регрессионногоанализа.
Исследование зависимости по каждому из указанных методовзавершается выводом о наличии, характере и тесноте установленной связи между Хи У.
№
пр-я
Результативный признак
(у)
Факторный признак
(х) Рентабельность капитала Коэффициент финансовой независимости 1. 6,4 50,6 2. 6,0 55,4 3. 6,8 60,2 4. 7,2 66,8 5. 5,6 45,9 6. 5,4 45,5 7. 8,0 70,0 8. 4,0 30,0 9. 5,8 55,5 10. 4,8 40,1 11. 5,6 45,9 12. 5,4 45,5 13. 8,0 70,0 14. 4,2 36,0 15. 5,7 55,5
Решениезадания 4
Чтобы установить зависимость пометоду сравнения параллельных рядов для оценки тесноты связи, воспользуемсякоэффициентом ранговой корреляции, который рассчитывается по формуле:
/>
Для его определения воспользуемсятаблицей:
№
предприятия Признак-фактор Х Признак-результат У Ранги
Разность
рангов, d
d2 Х У 8 30,0 4,0 1 1 14 36,0 4,2 2 2 10 40,1 4,8 3 3 6 45,5 5,4 4,5 4,5 12 45,5 5,4 4,5 4,5 5 45,9 5,6 6,5 6,5 11 45,9 5,6 6,5 6,5 1 50,6 6,4 8 11 -3 9 2 55,4 6,0 9 10 -1 1 9 55,5 5,8 10,5 9 1,5 2,25 15 55,5 5,7 10,5 8 2,5 6,25 3 60,2 6,8 12 12 4 66,8 7,2 13 13 7 70,0 8,0 14,5 14,5 13 70,0 8,0 14,5 14,5
å d2= 18,5
В данном случае можно сказать, что связь есть, и она прямая,поскольку с увеличением X просматривается увеличение Y.
/> = 0,966
Коэффициент ранговой корреляции позволяет сделать вывод оналичии весьма тесной связи между коэффициентом финансовой независимости ирентабельностью капитала, т.к. 0,7
Использование метода аналитическихгруппировок предполагает предварительное определение количества групп. В данномслучае количество групп равно 5.
Определим ширину интервала группировки по X:
/>; /> 8 (при К = 5)
Дляпроведения расчетов воспользуемся таблицей:
Группы предприятий
по признаку-фактору Х
Количество
предприятий в группе, f
Сумма значений
признака-результата по всем предприятиям группы, åу
Среднее значение
признака-результата
по группе, `Угр 30-38 2 4,0+4,2=12,4 4,1
/>38-46 5 4,8+5,4*2+5,6*2=26,8
/>5,36 46-54 1 6,4 6,4 54-62 4 6,0+5,7+5,8+6,8=24,3 6,075 62-70 3 7,2+8,0*2=23,2 7,73
Связь между коэффициентом финансовой независимости ирентабельностью капитала прямая.
Для расчета дисперсии воспользуемся следующей таблицей:
/>
/>
/> 4,0 -1,93 3,73 4,2 -1,73 2,99 4,8 -1,13 1,28 5,4 -0,53 0,28 5,4 -0,53 0,28 5,6 -0,33 0,11 5,6 -0,33 0,11 6,4 0,47 0,22 6,0 0,07 0,01 5,7 -0,23 0,05 5,8 -0,13 0,02 6,8 0,87 0,76 6,8 0,87 0,76 7,2 1,27 1,61 8,0 2,07 4,29 8,0 2,07 4,29
/>=20,79
/>= 5,927
Для оценки тесноты связи рассчитаем эмпирическоекорреляционное отношение:
/> = 1,386;
/>= 1,223;
/>; />
Таким образом, можно сделать вывод, что связь междуисследуемыми признаками весьма тесная.
Для проведения исследованиязависимости с помощью корреляционно-регрессионного анализа определим уравнениерегрессии.
Если предполагается, что связь линейная (т.е. урасч.=а0+а1x), тозадача нахождения уравнения связи состоит в расчете таких значенийкоэффициентов а0 и а1, при которых сумма квадратовотклонений расчетных значений у от фактических была бы минимальной:
/>; />
Построимтаблицу следующей формы:x y
/>
/>
/>
/>
/>
(/>)*(/>) 50,6 6,4 -0,9 0,81 0,5 0,25 323,84 -0,45 55,4 6,0 3,9 15,21 0,1 0,01 332,4 0,39 60,2 6,8 8,7 75,69 0,9 0,81 409,36 7,83 66,8 7,2 15,3 234,09 1,3 1,69 480,96 19,89 45,9 5,6 -5,6 31,36 -0,3 0,09 257,04 1,68 45,5 5,4 -6 36 -0,5 0,25 245,7 3 70,0 8,0 18,5 342,25 2,1 4,41 560 38,85 30,0 4,0 -21,5 462,25 -1,9 3,61 120 40,85 55,5 5,8 4 16 -0,1 0,01 321,9 -0,4 40,1 4,8 -11,4 129,96 -1,1 1,21 192,48 12,54 45,9 5,6 -5,6 31,36 -0,3 0,09 257,04 1,68 45,5 5,4 -6 36 -0,5 0,25 245,7 3 70,0 8,0 18,5 342,25 2,1 4,41 560 38,85 36,0 4,2 -15,5 240,25 -1,7 2,89 151,2 26,35 55,5 5,7 4 16 -0,2 0,04 316,35 -0,8 ∑x=772,9 ∑y=88,9
∑/> =0,4
∑/> =2009,48
∑/> =0,4
∑/>=20,02
∑/>=4773,97 ∑=193,26
/>; />; />;
/>
/>; />
Следовательно, уравнение связи между коэффициентом финансовойнезависимости и рентабельность капитала имеет вид:
/>
Коэффициент корреляции используется для оценки тесноты связимежду исследуемыми показателями.
Для вычисления коэффициента корреляции используется формула:
/>
где />– среднеквадратичное отклонение величины x,
/> – среднеквадратичное отклонение величины y.
/>, />; />, />
где n – число значений переменных.
Тогда
/>
/>
Таким образом, между коэффициентом финансовой независимости ирентабельность капитала связь весьма тесная.
Отобранная для анализа группа данных называется выборной, ався совокупность данных, из которых выделяется выборка, генеральнойсовокупностью.
Поскольку значения коэффициента корреляции определяются повыборочным данным и, следовательно, будут различными при рассмотрении различныхвыборок из одной и той же генеральной совокупности, значение коэффициентакорреляции следует рассмотреть как случайную величину.
Таким образом, может возникнуть ситуация, когда величинакоэффициента корреляции, рассчитанного по данным выборки, отлична от нуля, аистинный коэффициент корреляции равен нулю.
Для проверки значимости отличия коэффициента корреляции отнуля используется критерий Стьюдента, определяемый по формуле:
/>;
где />– среднеквадратичная ошибка выборочного коэффициентакорреляции:
/>; />;
/>
Расчетная величина t-критерия сопоставляется с табличнойвеличиной, отыскиваемой в таблицах значений этого критерия при числе степеней свободы,равном (n-2) и заданной доверительной вероятностью, которая обычно выбираетсяравной Р = 0,95 или Р = 0,99.
Если расчетная величина t-критерия окажется больше табличной,то это означает, что полученный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля;если же расчетное значение критерия меньше табличного, то коэффициенткорреляции следует считать равным нулю.
Т.о. />, однако, не следует утверждать, что коэффициенткорреляции равен нулю, т.к. это может быть обусловлено случайной выборкой данных.
Величина /> называется коэффициентом регрессии, который являетсяслучайной величиной, поэтому возникает необходимость проверки значимости егоотличия от нуля. Эта проверка осуществляется с помощью t-критерия.
Проверим значимость коэффициента />.
Вычислим ошибку коэффициента регрессии:
/>
Данные для расчета сведем в таблицу:x
/>
/>
/>
/> 50,6 5,838 6,4 0,562 0,316 55,4 6,298 6,0 -0,298 0,089 60,2 6,759 6,8 0,041 0,002 66,8 7,393 7,2 -0,193 0,037 45,9 5,386 5,6 0,214 0,046 45,5 5,348 5,4 0,052 0,003 70 7,7 8,0 0,3 0,09 30 3,86 4,0 0,14 0,02 55,5 6,308 5,8 -0,508 0,258 40,1 4,83 4,8 -0,03 0,0009 45,9 5,386 5,6 0,214 0,046 45,5 5,348 5,4 0,052 0,003 70 7,7 8,0 0,3 0,9 36 4,436 4,2 -0,236 0,056 55,5 6,308 5,7 -0,608 0,37 ∑=2,237
/>
/>; />
Коэффициент регрессии показывает, на сколько, в среднем,изменяется величина результативного признака у при изменении факторногопризнака x на единицу.
Таким образом, />, но это может быть обусловлено некоторой погрешностьюпри выборке данных.
Рассчитаем коэффициент эластичности по формуле:
/> ,
/>
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентовувеличится у при увеличении x на 1%.
Таким образом, произведенный анализ показывает, чторентабельность капитала имеет весьма тесную связь с коэффициентом финансовойнезависимости (коэффициент корреляции = 0,9), следовательно, связь прямая.
Из полученного уравнения регрессии следует, что увеличениекоэффициента финансовой независимости на 1 % приводит к увеличениюрентабельности капитала на 0,835 %.
Задание № 5
Используя данные выборочного наблюдения (таблица 5.1),исследовать уровень выполнения норм выработки рабочими предприятия:
1) С вероятностью до 0,997 определить, в каких пределахбудет находиться средний процент выполнения норм выработки всеми рабочимипредприятия.
2) С вероятностью до 0,954 определить, в каких пределахбудет находиться доля рабочих, не выполняющих нормы выработки, в целом попредприятию.
Необходимо учитывать, что выборка производилась случайнымбесповторным способом из 1000 рабочих предприятия.
№
раб. % выполнения норм выработки рабочими, х
№
раб. % выполнения норм выработки рабочими, х
№
раб. % выполнения норм выработки рабочими, х 1 104 11 97 21 94 2 100 12 125 22 95 3 103 13 118 23 97 4 107 14 115 24 99 5 125 15 96 25 108 6 126 16 118 26 104 7 112 17 99 27 104 8 93 18 100 28 116 9 95 19 100 29 116 10 96 20 100 30 109
1) Определяем средний % выполнения норм выработки повыборке:
/> = /> ,
/> = /> 105,7
Учитывая, что данные получены путем бесповторногомеханического отбора, определяем среднюю и предельную ошибку выборки свероятностью до 0,997 по формуле:
/>
где t –определяется по специальной таблице в зависимости от заданного уровнявероятности (Р) –в данном случае t=3;
/> – средняя ошибка выборки.
При бесповторном способе отбора случайной или механическойвыборки:
/>
где N –число единиц в генеральной совокупности (N=1000),
/>– дисперсия признака; n – число единиц совокупности (n=30)
/>
где x – индивидуальные значения признака у каждой единицысовокупности, /> – среднее значение признака.
Расчетная таблица для исчисления дисперсии для нахождениясредней квадратичной ошибки выборки:
№ рабочего % выполнения норм выработки рабочими
/>
/> 01 104 -1,7 2,89 02 100 — 5,7 32,49 03 103 — 2,7 7,29 04 107 1,3 1,69 05 125 19,3 372,49 06 126 20,3 412,09 07 112 6,3 39,69 08 93 — 12,7 161,29 09 95 — 10,7 114,49 10 96 — 9,7 94,09 11 97 — 8,7 75,69 12 125 19,3 372,49 13 118 12,3 151,29 14 115 9,3 86,49 15 96 — 9,7 94,09 16 118 12,3 151,29 17 99 — 6,7 44,89 18 100 — 5,7 32,49 19 100 — 5,7 32,49 20 100 -5,7 32,49 21 94 — 11,7 136,89 22 95 — 10,7 114,49 1 2 3 4 23 97 — 8,7 75,69 24 99 — 6,7 44,89 25 108 2,3 5,29 26 104 — 1,7 2,89 27 104 — 1,7 2,89 28 116 10,3 106,09 29 116 10,3 106,09 30 109 3,3 10,89 ∑x=3171
∑/>
∑/>
/>
Определяем среднюю квадратическую ошибку бесповторногоотбора:
/>
Вычислим предельную ошибку выборки, с вероятностью 0,997 икоэффициентом доверия t=3:
/>; /> (%)
Таким образом, ошибка наблюдения составляет ±5,319 % из всейсовокупности выборки (N=1000).
Доверительный интервал для x будет:
/>; />;
/>
Следовательно, с вероятностью Р = 0,997 можно утверждать, что% выполнения норм выработки на предприятии в отрасли будет заключен в пределахот 100,381 % до 111,019 %.
2) Определяем долю рабочих, невыполняющих норму выработки (/>), т.е. />:
/> ,
где m – количество рабочих, невыполняющих норму выработки,
n – число единиц совокупности (n=30).
/> 0,3
Учитывая, что данные получены путембесповторного отбора, определим среднюю и предельную ошибки выборки с вероятностьюР = 0,954 и t = 2; N=1000
Средняя ошибка:
/>; />;
Предельная ошибка:
/>; /> (%)
Определим границы доли рабочих, невыполняющих нормы выработки, в генеральной совокупности:
/>=> 0,3 – 0,1648
/> => 0,1352
Следовательно, с вероятностью 0,954можно утверждать, что доля рабочих, не выполняющих норму выработки напредприятии будет находиться в пределах 0,1352 ÷ 0,4648.
Задание № 6
Имеются следующие показатели результатов экономическойдеятельности страны за отчётный год (в действующих ценах, млрд. руб.):№ п/п Показатели Сумма 1.
Валовой выпуск в основных ценах:
– в сфере производства товаров
– в сфере производства услуг
17798
12750 2.
Промежуточное потребление:
– в сфере производства товаров
– в сфере производства услуг
9560
4210 3. Налоги на продукты и импорт 2602 4. Субсидии на продукты и импорт 1050 5. Оплата труда наёмных работников 6725 6. Налоги на производство 2890 7. Субсидии на производство 1200 8.
Доходы от собственности:
– полученные от «остального мира»
– переданные «остальному миру»
2493
1512 9.
Текущие трансферты:
– полученные от «остального мира»
– переданные «остальному миру»
180
93 10. Расходы на конечное потребление 10680 11.
Капитальные трансферты:
– полученные от «остального мира»
– переданные «остальному миру»
5920
17 12.
Валовое накопление:
– основного капитала
– материальных оборотных средств
4240
560 13. Экспорт товаров и услуг 6590 14. Импорт товаров и услуг 1600
Постройте«Счёт операций с капиталом» и определите его балансирующую статью (чистоекредитование или чистое заимствование)
Решениезадания № 6.
1. Счёт производства:Использование Ресурсы
4. Промежуточное потребление
9560 + 4210 = 13770
1. Валовой выпуск в основных ценах
17798 + 12750 = 30548
2. Налоги на продукты и импорт 2602
3. Субсидии на продукты и импорт — 1050
5. ВВП = 1+ 2 + 3 + 4 = 45870
Итого: 32100
Итого: 32100
2. Счёт образования доходов:Использование Ресурсы
3. Оплата труда 6725
4. Налоги на продукты и импорт 2602
1. ВВП 32100
2. Субсидии на продукты и импорт 1050
5. ВПЭ = 1 + 2 – 3 – 4 = 23823
Итого: 33150
Итого: 33150
3. Счёт первичного распределения доходов:Использование Ресурсы
5. Доходы от собственности переданные «остальному миру» 1512
1. ВПЭ 23823
2. Доходы от собственности, полученные от «остального мира» 2493
3. Оплата труда 6725
4. Чистые налоги 3242
6. ВНД = 1 + 2 + 3 + 4 – 5 = 34771
Итого: 36283
Итого: 36283
4. Счёт вторичного распределения доходов:Использование Ресурсы
3. Текущие трансферты, переданные «остальному миру»93
1. ВНД 34771
2. Текущие трансферты, полученные от «остального мира»180
4. ВНРД = 1 + 2 – 3 = 34858
Итого: 34951
Итого: 34951
5. Счёт использования доходов:Использование Ресурсы
2. РКП 10680
1. ВНРД 34858
3. ВНС = 1 – 2 = 24178
Итого: 34858
Итого: 34858
6. Счёт операций с капиталом:Использование Ресурсы
3. Капитальные трансферты, переданные «остальному миру» 17
4. ИЗМОС 560
5. ВНОК 4240
1. ВНС 24178
2. Капитальные трансферты, полученные от «остального мира» 5920
6. ЧК/ЧЗ = 1 + 2 – 3 – 4 – 5 = 25281
Итого: 30098
Итого: 30098
Балансирующей статьей является чистоекредитование.