Статистические методы анализа качества

ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ
АВТОМЕХАНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Кафедра Технология машиностроения
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА КАЧЕСТВА
Методическое пособие для студентов машиностроительных специальностей
Тольятти 2003

Вметодическом пособии представлен обзор методов статистического обеспечениякачества. Подробно рассмотрено применение 7 традиционных японских методованализа качества. Включены материалы, рассматривающие идею статистическогоприемочного контроля. В отдельной главе изложен необходимый для пониманиястатистических методов математический аппарат.

СОДЕРЖАНИЕ
СПИСОКОБОЗНАЧЕНИЙ
ВВЕДЕНИЕ
1.СТАТИСТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ
2. МЕТОДЫКОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА
2.1 Контрольныелистки
2.2 ДиаграммыПарето
2.2.1 Методпостроения диаграммы Парето
2.2.2 Анализдиаграмм Парето
2.3 ДиаграммыИсикавы
2.4 Гистограммы
2.4.1Построение гистограммы
2.4.2 Анализгистограмм
2.4.3 Оценкапроцесса по гистограммам
2.5 Диаграммырассеивания
2.5.1Построение диаграммы рассеивания (поля корреляции)
2.5.2 Анализдиаграммы рассеивания
2.6 Контрольныекарты        
2.6.1 Видыконтрольных карт и область их применения
2.6.2Построение контрольных карт
2.6.3 Анализконтрольных карт
2.6.4Использование контрольных карт для оценки корреляции
2.7 Расслоение
3. ОЦЕНКАВОСПРОИЗВОДИМОСТИ ПРОЦЕССА
3.1 Понятиевоспроизводимости процесса
3.2 Pacчeт индексоввоспроизводимости
4.ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ АНАЛИЗА ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
4.1 Контрольтехнологической точности
4.2Использование диаграмм Парето
5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
5.1 Случайнаявеличина. Общие определения
5.2 Числовыехарактеристики случайных величин
5.3 Типовыетеоретические распределения случайных величин
СПИСОКРЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОКОБОЗНАЧЕНИЙ
ВГД- верхняя граница поля допуска:
НГД- нижняя граница поля допуска;
ВКГ- верхняя контрольная граница на контрольной карте;
НКГ- нижняя контрольная граница на контрольной карте;
Ср,Срк — индексы воспроизводимости:
n-объемвыборки;
Р(А)- вероятность случайного события А;
R — размах (длина интервала, в который попадают все значения наблюдаемогопараметра);
s — стандартное отклонение;
- среднее квадратичное отклонение;
х-выборочное среднее (среднее арифметическое всех значений наблюдаемогопараметра);
х — медиана.

ВВЕДЕНИЕ
Статистическиеметоды — важный инструмент повышения качества в любом современном производстве,тем более производстве серийном. Все ведущие автомобильные компании применяютстатистические методы практически на всех стадиях жизненного цикла, как дляанализа и контроля качества производственных процессов и произведеннойпродукции, так и для разработок новых технологий и принятия правильныхуправленческих решений.
Внастоящее время в международном стандарте ИСО 9001 одним из элементов Системыкачества является элемент «Статистические методы», а в комплекс международныхстандартов QS-9000 входит руководство «Статистическое управление процессами».
Настоящеепособие содержит описание основных приемов и методов статистического управлениякачеством.
Глава1 посвящена общим вопросам статистического управления процессами. В главах 2 и3 рассматриваются статистические методы контроля качества процесса производства(так называемые «семь простых японских методов качества») и вытекающие из нихвозможные управляющие воздействия. В главе 4 применение методов анализакачества производственных процессов иллюстрируется на конкретных примерах,характерных для производственной деятельности АО «АВТОВАЗ». В главе 5 изложеннеобходимый минимум математического аппарата для понимания статистическихметодов.

1.СТАТИСТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ
Процесс- это совокупность взаимосвязанных ресурсов и деятельности, которая преобразуетвходящие элементы в выходящие [10]. В результате процесса происходитпреобразование исходных элементов (материалов, информации), которое увеличиваетих ценность за счет применения квалифицированного труда и знаний.
Вавтомобилестроении под процессом понимается создание и эксплуатация автомобиля.Здесь элементами является сочетание поставщиков (входные материалы),производителей, оборудования, методов, окружающей среды, потребителей.
Взаводских производственных условиях распространен термин технологическийпроцесс как процесс изготовления некоторого продукта при наличии определенныхресурсов с наблюдаемым (контролируемым) результатом деятельности.
Способностьнекоторого объекта удовлетворять потребительским запросам покупателейсвязывается с понятием качество. Различают качество процессов и качествопродукции. Качество продукции обусловлено эффективностью изучения спроса,проектирования, изготовления, сопровождения в эксплуатации.
Качествопроцесса определяется тем, насколько потребительские свойства продуктаудовлетворяются на заводском уровне требованиями конструкторской итехнологической документации.
Эффективностьпроцесса оценивается как высокое качество выпускаемой продукции иобеспечивается с помощью системы управления.
Системауправления процессом строится как замкнутая система с использованием принципаобратной связи. Само управление процессом основывается на активном анализеинформации о продукции.
Информацияо продукции — показатели качества изделий, а также параметры, описывающиеусловия протекания процесса (такие как, температура, цикличность и т.д.);собирается на основе анализа фактического качества изготовленной продукции.Если эта информация собрана и правильно интерпретирована, то она можетпоказать, нуждается ли процесс я корректировке или нет.
Реализацияуправления процессом осуществляется с помощью различных мероприятий, распадающихсяна две группы по признаку функциональной направленности.
Мероприятия,направленные на продукцию — мероприятия, нацеленные на поиск дефектов в ужеизготовленной продукции. Если в процессе производства не выдерживаютсятехнологические условия, то всегда будет существовать необходимость сортироватьпродукцию, исправлять несоответствия в изделиях. Это будет продолжаться до техпор, пока не будут приняты необходимые меры по улучшению процесса. Мероприятияпо выявлению и устранению брака ориентированы нa npошлоe.
Мероприятия,направленные на улучшение процесса — мероприятия, связанные со структурнойперестройкой процесса, направлены на улучшение процесса (то есть позволяютизбежать брака). Такими мероприятиями являются, например, обучение сотрудников,изменения в сырье, переналадка оборудования или даже изменение технологии.Важно, что эти мероприятия ориентированы в будущее.
Очевидно,что контроль качества в производстве, за которым следуют только мероприятия попродукции, является плохой заменой для мероприятий по действительному улучшениюкачества процесса.
Припроизводстве любой продукции качество готового изделия зависит от множествасамых различных факторов. Например, на размеры обрабатываемой детали оказываютвлияние свойства и состояние:
a)станка (износ подшипника, износ элементов позиционирования),
b)инструмента (прочность, износ),
c)материала (твердость).
d)персонала (эффективность обучения),
e)рабочей среды (температура, бесперебойное электропитание) и т.п.
Врезультате, даже в условиях автоматизированного производства невозможнополучить два абсолютно одинаковых изделия.
Отличияв конечных результатах процесса называют изменчивостью. Изменчивость в качествеготового продукта связывается с изменчивостью в процессе производства, котораяобуславливает появление дефектных (несоответствующих) изделий даже приотлаженном производственном процессе. Выявление факторов, влияющих на качество,и уменьшение изменчивости процесса позволяет повысить качество выпускаемыхизделий и уменьшить количество брака.
Следуетраспознавать два вида источников изменчивости:
•обычные причины изменчивости,
•особые причины изменчивости.
Обычныепричины изменчивости представляют собой стабильную систему случайных факторов.В этом случае результаты процесса статистически предсказуемы.
Приведемпримеры группы факторов случайного характера:
•случайные разбросы характеристик материалов, полуфабрикатов и комплектующихизделий;
•случайные разбросы параметров технологических процессов (окружающая среда ирабочее тело);
•случайные разбросы характеристик и параметров средств технологическогооснащения, измерительных приборов, режущего и мерительного инструмента,стендового испытательного оборудования и т.д.;
•случайные неблагоприятные сочетания допусков в размерных технологических цепочкахпри изготовлении продукции и т.д.
Изменчивость,обусловленная факторами случайного характера, может быть уменьшена путемпроведения соответствующих организационно-технических мероприятий на основеисследования результатов их статистического анализа и описания их проявлениястатистическими закономерностями.
Особыепричины изменчивости представляют собой неслучайные факторы, нарушающиестабильный ход процесса.
Приведемпримеры группы факторов неслучайного характера:
•применение материалов, полуфабрикатов и комплектующих изделий, непредусмотренных технологическими процессами, в том числе с просроченнымисроками годности;
•несоблюдение установленных нормативно-технической документацией приемов,методов и режимов обработки изделий и их испытаний;
•использование не аттестованных во время средств контроля и средствтехнологического оснащения с просроченными сроками годности;
•неудовлетворительное состояние средств технологического оснащения, ремонтнойбазы, испытательного оборудования и т.д.:
•отсутствие закрепления конкретных видов работ (операций) за определеннымиисполнителями:
•неполное завершение предыдущих операций:
•несоблюдение последовательности выполнения работ (операций), заданных потехнологическим маршрутным картам:

2.МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА
Стремясьнаиболее эффективно использовать статистические методы управления качеством,японские специалисты разработали такие процедуры, которые достаточно просты дляприменения, то есть не требуют специальных знаний, но в то же время даютрезультаты, позволяющие профессионалам оперативно анализировать исовершенствовать производственный процесс.
Совокупностьиспользуемых методов получила название «семь простых методов контроля качества»и содержит:
•контрольные листки,
•диаграммы Парето,
•диаграммы Исикавы.
•гистограммы,
•диаграммы рассеивания,
•контрольные карты,
•расслоение (стратификация).
Рассмотримкаждый из этих методов.
2.1Контрольные листки
Анализлюбого вида деятельности возможен только на основании имеющейся информации,поэтому применение каждого из методов контроля качества должно начинаться сосбора необходимых данных. Прежде всего, необходимо четко сформулировать цельсбора интересующих нас сведений (контроль и регулирование производственногопроцесса; анализ отклонений от установленных требований; контроль продукции).Затем продумывают, какие типы данных нужно собрать, их характер, частоту испособы измерения, надежность получаемых результатов и т.п. Так как для анализаданных используются различные статистические методы, то в процессе сбораинформации следует позаботиться об упорядочении получаемых результатов, чтобыоблегчить их последующую обработку. Результаты наблюдений удобнее всегозаносить в контрольные листки.
Контрольныйлисток — это бумажный бланк для первичного сбора информации.
Контрольныйлисток предназначен для фиксации контролируемых параметров:
 •облегчения процесса сбора данных;
•автоматического упорядочивания сбора данных для упрощения дальнейшей обработки.
Основныетребования, предъявляемые к контрольному листку:
•простота фиксации результатов наблюдений;
•наглядность полученных результатов;
•полнота данных.
Длядостижения этих требований необходимо заранее продумать форму контрольныхлистков и постоянно совершенствовать эту форму с учетом замечаний и пожеланийтех, кто заполняет контрольные листки. Следует стремиться к тому, чтобы прификсации результатов требовалось производить минимум записей, например, простоделать отметки в нужных графах. Хорошо, когда в результате автоматическиполучается гистограмма (см. раздел 2.4) или диаграмма рассеивания (раздел 2.5).Но при этом контрольный листок должен содержать максимум исходной информации(не просто диаметр валика, а станок, на котором изготавливалась деталь, смена,время, обрабатываемая партия и т.п.)
Таккак полученная информация необходима для последующего анализа причин дефектов,связанных как с несовершенством технологического процесса, так и с различнымидругими факторами, то следует требовать очень тщательного заполнения всех графконтрольного листка. Пренебрежение какими-либо данными, например, о номерепартии или времени измерения исследуемого параметра, может потребоватьпоследующего дополнительного сбора информации, что усложнит работу.
Примерыконтрольных листков приведены на рисунках 2.1.1. — 2.1.4.
Нарис. 2.1.1 показан контрольный листок для регистрации распределения измеряемогопараметра в ходе производственного процесса. В данном случае фиксируютсяизменения в размерах некоторой детали, подвергающейся механической обработке,причем в чертеже был указан размер 8.300 0,008. При заполнении контрольноголистка после каждого замера в соответствующей клеточке ставился крест. Врезультате к концу измерений на контрольном листке оказалась готоваягистограмма.
Нарис. 2.1.2. показан контрольный листок для регистрации видов несоответствий,используемый при приемочном контроле некоторой детали. Здесь фиксируютсяопределенные несоответствия, выявляемые контролером и в конце рабочего дняможно быстро подсчитать число и разновидности обнаруженных несоответствий.Такой контрольный листок удобен для последующего построения диаграммы Парето,но он не дает возмож¬ности расслоения данных, то есть разбивки их на группы,например, по времени или месту изготовления детали.
Еслипредполагается последующий дополнительный анализ информации, лучше использоватьлисток, приведенный на рисунке 2.1.3. На этом листке регистрируютсянесоответствия в деталях (вал КПП), изготовленных на станках 003.716.33 и003.718.33 фирмы FISCHER с учетом станков, рабочих, дней изготовления и типовдефектов. Здесь сразу видно, что больше всего брака допускает рабочий В, асамым неудачным днем оказалась среда. Последующее исследование показало, что всреду смазывающе-охлаждающая жидкость была низкого качества.
Длявыявления причин несоответствий бывает удобно не просто фиксировать количествои виды несоответствий, но и отслеживать место их локализации. Примерсоответствующего контрольного листка приведен на рисунке 2.1.4. При контролеотливок фиксируются не только наличие, но и месторасположение раковин. Врезультате анализа такого контрольного листка проще выявлять возможные причинывозникновения исследуемого дефекта.
2.2Диаграммы Парето
Припроизводстве продукции неминуемо приходится сталкиваться с потерями(некачественные изделия и затраты, связанные с их производством). В большинствеслучаев подавляющее число несоответствий и связанных с ними потерь возникаетиз-за относительно небольшого числа причин. Этот постулат положен в основуанализа Парето, который предназначен для разделения проблем качества нанемногочисленные существенно важные и многочисленные несущественные.
Дляопределения немногочисленных существенно важных факторов строят диаграммыПарето.
ДиаграммаПарето — это графическое представление степени важности причин или факторов,влияющих на исследуемую проблему.
ДиаграммыПарето бывают двух видов:
1)Диаграмма Парето по результатам деятельности помогает выявить главную проблемуи отражает нежелательные результаты деятельности
• всфере качества: дефекты, поломки, ошибки, отказы, рекламации, ремонты, возвратыпродукции;
• всфере себестоимости: объем потерь, затраты;
• всфере поставок: нехватка запасов, ошибки в составлении счетов, срывы сроковпоставок:
• всфере безопасности: несчастные случаи, аварии.
2)Диаграмма Парето по причинам отражает причины проблем, возникающих в ходепроизводства, и помогает выявить главную
•по кадрам: смена, бригада, возраст, опыт работы, квалификация, индивидуальныехарактеристики работника;
•по оборудованию: станки, агрегаты, инструментальная оснастка, модели, штампы,технология;
•по сырью: изготовитель, вид сырья, поставщик, партия:
•по методам работы: условия производства, приемы работы, последовательностьопераций.
2.2.1Метод построения диаграммы Парето
Этап1:
1)Определить проблему, которую надо исследовать.
2)Выделить факторы, которые могут повлиять на сформулированную проблему.
3)Перечислить данные, которые надо собрать.
4)Установить метод и период сбора данных. Примечание. На этом этапе полезнопривлекать экспертов, в том числе наиболее опытных работников, сталкивающихся сданной проблемой
Этап2: Разработать контрольные листки для регистрации данных с перечнем видовсобираемой информации.
ПримечаниеРезультаты деятельности желательно пpедставлять в денежном выражении, так какзатраты являются важным критерием измерении и управлении
Этап3: Заполнить листы регистрации данных, собрать всю полученную информацию иподсчитать итоги.
Этап4: Составить общую таблицу данных, в которой отразить все проверяемые признаки(факторы), итоги по каждому признаку отдельно, накопленную сумму, проценты кобщему итогу для каждого признака и накопленные проценты.
Пример2.2.1.
Типы      Число    Накопленная      % числадефект  Накопленный
дефектов               дефектов               сумма    товк общей         процент
Сумме  
Деформация
Царапины Раковины        104
42
20           104
146
166         52
21
10           52
73
83
Трещины Пятна 10
6              176
182         5
3              88
91
Разрыв Прочие   4
14           186
200         2
7              93
100
Итого     200        
100        
Приэтом исследуемые признаки (факторы) располагают в порядке получившейсязначимости, есть по убыванию общего числа зарегистрированных данных, но группу«прочие» всегда записывают в последнюю строку.
Этап5: Построить столбиковую диаграмму, ориентируясь на левую вертикальную ось (тоесть над интервалом, соответствующим признаку А, изобразить прямоугольник(столбик), высота которого равна числу появления этого признака).
Этап6: На вертикалях, соответствующих правым концам каждого интервала, нанеститочки накопленных сумм процентов, ориентируясь на правую шкалу. Соединить этиточки отрезками прямых. Полученная ломаная называется кривой Парето(кумулятивной кривой).
Этап7: Нанести на диаграмму все необходимые надписи (название, наименованиеконтролируемого изделия, имя составителя диаграммы, период сбора информации,объект исследования и место его проведения, общее число объектов контроля, атакже разметку числовых значений на осях и расшифровку кодовых обозначений).
ДиаграммаПарето, соответствующая примеру 2.2.1, приведена на рисунке 2.2.1.
2.2.2Анализ диаграмм Парето
Значимостьфактора определяется частотой его регистрации, наибольшая частота указываетнаиболее существенный фактор. Поэтому на диаграмме Парето высоты столбцовуказывают степень влияния каждого фактора на всю проблему в целом, а криваяПарето позволяет оценить изменение результата при устранении нескольких наиболеесущественных факторов.
Послевыявления проблемы путем составления диаграммы Парето по результатам полезносоставить диаграмму Парето но причинам. Тогда появляется возможность определитьпричины возникновения проблемы и. следовательно, наметить пути устранениявыявленной главной причины. Таким образом, выделяется наиболее эффективный путьрешения проблемы.
Следуетзаметить, однако, что если какой-либо нежелательный фактор можно устранитьсразу с помощью простого решения, это надо сделать немедленно (каким бынезначительным этот фактор ни был). При этом из рассмотрения исключаетсянесущественный фактор, который просто перестает воздействовать.
Еслигруппа «прочие» факторы составляет большой процент, то надопопытаться использовать какой-либо другой способ классификации (группировки)признаков. При этом может возникнуть необходимость в дополнительныхисследованиях. Этого не следует бояться. Вообще для выявления сути проблемыимеет смысл строить много различных диаграмм Парето, исследуя самые разныефакторы и способы их взаимодействия. Только в этом случае становится понятно,какие из факторов наиболее существенны и каковы возможные пути ихпреобразования.
2.3Диаграммы Исикавы
Результатпроцесса зависит от многочисленных факторов, причем некоторые из них могут влиятьна другие, то есть быть связанными отношениями «причина — результат».Знание структуры этих отношений, то есть выявление цепочки причин ирезультатов, позволяет успешно решать проблемы управления, в том числе ипроблемы управления качеством. Для удобства анализа структуры причин ирезультатов используют диаграммы Исикавы — диаграммы причин и результатов.
Вобласти контроля качества диаграмма Исикавы — это диаграмма, которая показываетотношение между показателем качества и воздействующими на него факторами.
Диаграммупричин и результатов иногда называют диаграммой «рыбий скелет» в силуее специфического вида (см. рис. 2.3.1). Исследуя определенный показателькачества, стремятся сформулировать главные причины, влияющие на этотпоказатель. Затем выделяют вторичные факторы, влияющие на главные причины, атакже более мелкие причины, воздействующие на вторичные факторы, и т. д. Такимобразом, для составления диаграммы Исикавы надо проранжировать факторы по ихзначимости и установить структуру взаимовлияний.
Диаграммапричин и результатов графически отображает установленные связи следующимобразом: посередине листа проводится горизонтальная прямая(«хребет»), оканчивающаяся прямоугольником, в котором указанрассматриваемый показатель качества. Главные причины, влияющие на данныйпоказатель, записываются выше и ниже прямой и соединяются с хребтом стрелками.Вторичные причины записывают между прямой и соответствующей главной причиной исоединяют с этой причиной стрелками. Затем на диаграмме показывают факторы, влияющиена вторичные причины. Чтобы диаграмма была пригодна для дальнейшегоиспользования, на ней необходимо указать всю сопутствующую информацию(название, наименование изделия, процесса или группы процессов, участниковпроцесса и т. п.).
Послетого, как все факторы, влияющие на данный показатель качества, оказалисьотраженными на диаграмме, нетрудно установить степень их важности. Наиболеезначимые, оказывающие самое сильное воздействие, следует отметить, с тем, чтобыименно им уделить наибольшее внимание при последующей работе.
Частодиаграммы Исикавы используют для систематизации списка причин. В этом случаепри исследовании определенного показателя качества стараются найти максимальноечисло причин, влияющих на этот показатель, а уже затем располагают их вдиаграмму причин — результатов, связывая все факторы в единую иерархическуюструктуру.
Припостроении диаграмм Исикавы важно как можно точнее сформулировать показатель,тогда диаграмма будет более конкретной. Чтобы силу связей причина — результатможно было оценить объективно, желательно формулировать показатель качества ивлияющие на него факторы так, что бы их можно было измерить, то есть оценитьчисленно. В некоторых случаях для этого приходится вводить числовые параметры,характеризующие исследуемый показатель. Например, качество окраски будетхарактеризоваться количеством непрокрашенных мест, либо толщиной красочногослоя, либо сорностью.
Послевыявления наиболее важных причин надо постараться найти те факторы, по которымможно принять меры. Если по обнаруженной причине нельзя предпринять никакихдействий, проблема неразрешима, и поэтому следует попытаться разбить ее наподпричины. Использование диаграммы помогает обнаружить элементы, которые нужнопроверить, устранить или модифицировать, а также те элементы, которые надодобавить. Если стремиться усовершенствовать диаграмму, то можно не только лучшеразобраться в исследуемом процессе, но и найти пути улучшения технологииизготовления изделия.
2.4Гистограммы
Большинствофакторов, оказывающих влияние на производственный процесс, не остаютсянеизменными. Поэтому числовые данные, собранные в результате наблюдения, немогут быть одинаковыми, но обязательно подчиняются определеннымзакономерностям, называемым распределением (см. гл. 6).
Еслиизмерять контролируемый параметр непрерывно, можно построить его графикплотности распределения (см. раздел 6.3). Однако на практике проводят измерениятолько в определенные промежутки времени и не всех изделий, а только некоторых.Поэтому по результатам измерений строят обычно гистограмму — ступенчатуюфигуру, контуры которой дают приблизительное представление о графике плотности,то есть о характере распределения изучаемого параметра.
Гистограмма- это столбиковая диаграмма, служащая для графического представления имеющейсяколичественной информации.
Обычноосновой для построения гистограммы служит интервальная таблица частот, вкоторой весь диапазон измеренных значений случайной величины разбит нанекоторое число интервалов, и для каждого интервала указано количествозначений, попавших на данный интервал (частота ).
2.4.1Построение гистограммы
Отметитьна оси абсцисс максимальное и минимальное значения случайной величины и границыинтервалов — точки a1, ..., an,. Для удобства расчетов и последующего анализаможно немного расширить диапазон значений случайной величины, например, дограниц поля допуска.
Длинакаждого интервала h = ( an+1 – an ) / k .
Надкаждым интервалом построить прямоугольник высотой n/h (его площадь н,).Получившаяся ступенчатая фигура называется гистограммой частот. При этомплощадь гистограммы частот равна объему выборки n:
Отрезок[a, an,] назовем основанием гистограммы.
Аналогичностроится и гистограмма относительных частот — ступенча¬тая фигура, состоящая изпрямоугольников, площади которых равны n/h, то есть общая площадь гистограммыотносительных частот равна 1.
2.4.2Анализ гистограмм
Припостроении гистограмм могут встретиться следующие случаи (рис. 2.4.)-2.4.7):
1)Обычный тип (симметричный или колоколообразный). Наивысшая частота оказываетсяв середине основания гистограммы (и постепенно снижается к обоим концам). Формасимметрична (рис. 2.4.1). Такая гистограмма по внешнему виду приближается кнормальной (гауссовской) кривой, и можно предполагать, что ни один из факторов,влияющих на исследуемый процесс, не преобладает над другими.
Примечание.Эта форма встречается чаще всего. В этом случае среднее значение случайнойвеличины (применительно к технологической операции — это показатель уровнянастроенности) близко к середине основания гистограммы, а степень ее рассеянияотносительно среднего значения (для технологических операций — это показательточности) характеризуется крутизной снижения столбцов
2)Гребенка (мультимодальный тип). Классы через один имеют более низкие частоты(рис. 2.4.2).
Примечание.Такая форма встречается, кода число единичных наблюдении, попадающих в класс,колеблется от класса к классу или когда действует определенное пра¬вилоокругления данных Возможно требуется осуществить расслоение данных, то естьопределить дополнительные признаки для группировки наблюдаемых значений
3)положительно скошенное распределение (отрицательно скошенное распределение).Среднее значение гистограммы локализуется справа (сле¬ва) от середины основаниягистограммы. Частоты довольно резко спадают
придвижении влево (вправо) и, наоборот, медленно вправо (влево). Формаасимметрична (рис. 2.4.3).
Примечание.Такая форма встречается, когда нижняя (верхняя) граница регулируется либотеоретически, либо по значению допуска или когда левое (правое) значение недостижимо.В этом случае также можно предполагать, что на процесс оказывает преобладающеевлияние какой-либо фактор, в частности, подобная форма встречается, когда имеетместо замедленный (ускоренный) износ режущего инструмента.
Подобнаягистограмма характерна также для распределения Рэлея (раздел 6.3), котороехарактеризует форму либо несимметричность изделия.
4)Распределение с обрывом слева (распределение с обрывом справа). Среднееарифметическое гистограммы локализуется далеко слева (справа) от серединыоснования. Частоты резко спадают при движении влево (вправо) и, наоборот,медленно вправо (влево). Форма асимметрична (рис. 2.4.4).
Примечание.Это одна из тех форм, которые часто встречаются при 100 %-ном просеиванииизделий из-за плохой воспроизводимости процесса, а также когда проявляетсярезко выраженная положительная (отрицательная) асимметрия.
5)Плато (равномерное и прямоугольное распределения). Частоты в разных классахобразуют плато, поскольку все классы имеют более или менее одинаковые ожидаемыечастоты (рис. 2.4.5).
Примечание.Такая форма встречается в смеси нескольких распределений, имеющих различныесредние, но может также указывать на какой-либо преобладающий фактор, например,равномерный износ режущего инструмента.
6)Двухпиковый тип (бимодальный тип). В окрестностях середины основания частотанизкая, зато есть по пику с каждой стороны (рис. 2.4.6).
Примечание.Такая форма встречается, когда смешиваются два распределения с далекоотстоящими средними значениями, то есть имеет смысл провести расслоение данных.Такую же форму гистограммы можно наблюдать и в случае, когда какой-либопреобладающий фактор меняет свои характеристики, например, если режущийинструмент имеет сначала ускоренный, а затем замедленный износ.
7)Распределение с изолированный пиком. Наряду с распределением обычного типапоявляется маленький изолированный пик (рис. 2.4.7)
Примечание.Такая форма появляется при наличии малых включений данных из другогораспределения или ошибки измерения. При получении подобной гистограммы следуетпрежде всего проверить достоверность данных, а в том случае, когда результатыизмерений не вызывают сомнения, продумать обоснованность выбранного способа разбиениянаблюдаемых значений на интервалы
2.4.3Оценка процесса по гистограммам
Прииспользовании гистограмм для оценки качества процесса на шкале значенийнаблюдаемого параметра отмечают нижнюю и верхнюю границы поля допуска (поляспецификации) и через эти точки проводят две прямые параллельные столбцамгистограммы.
Еслився гистограмма оказывается внутри границ поля допуска (рис. 2.4.8), процессстатистически устойчив и не требует никакого вмешательства.
Еслилевая и правая границы гистограммы совпадают с границами поля допуска (рис.2.4.9), то желательно уменьшить разброс процесса, так как любое воздействиеможет привести к появлению изделий, не удовлетворяющих допуску.
Есличасть столбцов гистограммы оказывается за границами поля допуска (рис. 2.4.10 — 2.4.12), то необходимо провести регулировку процесса так, чтобы сместитьсреднее ближе к центру поля допуска (рис. 2.4.10,2.4.12) или уменьшитьвариации, чтобы добиться меньшего разброса (рис. 2.4.11, 2.4.12).
2.5Диаграммы рассеивания
Частоприходится выяснять, существует ли зависимость между двумя различнымипараметрами процесса. Например, зависят ли изменения в диаметре отверстия отизменений скорости вращения сверла.
Обычнопредполагается, что исследуемые параметры отражают характеристики качества ивлияющие на них факторы. Чтобы понять, есть ли какая-либо связь междурассматриваемыми параметрами, используют диаграммы рассеивания.
Диаграммарассеивания — это графическое представление пар исследуемых данных в видемножества точек на координатной плоскости.
Диаграммарассеивания дает возможность выдвинуть гипотезу о наличии или отсутствии корреляционнойсвязи (см. раздел 6.5) между двумя случайными величинами. При этом изучаютсяобычно величины, описывающие
•характеристику качества и влияющий на нее фактор;
•две различные характеристики качества;
•два фактора, влияющие на одну характеристику качества.
2.5.1Построение диаграммы рассеивания (поля корреляции)
1)Собрать парные данные (х, у) об изучаемых случайных величинах. Для удобства этиданные записывают в виде таблицы. Желательно, чтобы число наблюдений было неменьше 30, так как в противном случае результаты корреляционного ирегрессионного анализа (см. раздел 6.5) недостаточно достоверны.
2)Ввести на плоскости систему координат Оху, причем шкалы на горизонтальной ивертикальной осях подбираются таким образом, чтобы обе длины рабочих частейполучились примерно одинаковыми. В этом случае диаграмма рассеивания болееудобна для визуального анализа.
3)Каждую пару данных отметить на координатной плоскости точкой с координатами(х, у). Если какие-либо пары повторяются, то соответствующие им точки надо либоставить рядом, либо использовать условные обозначения, например,концентрические кружки.
4)Сделать поясняющие надписи, то есть название диаграммы; интервал времени,который отражается на диаграмме; число пар данных; названия и единицы измерениядля каждой оси; данные о составителе диаграммы.
2.5.2Анализ диаграммы рассеивания
Еслина диаграмме рассеивания есть далеко отстоящие точки (выбросы), необходимоисследовать причины их появления (ошибки измерения или записи данных, либоизменения в условиях работы). При этом можно получить неожиданную, но иногдавесьма полезную информацию, однако из последующего корреляционного анализа этиточки обычно исключают.
Еслиточки расположены хаотично (рис. 2.5.3), то полагают, что междурассматриваемыми случайными величинами нет корреляции.
Еслиточки группируются таким образом, что явно выражена некоторая тенденция (рис.2.5.1, 2.5.2), то говорят о положительной (рис. 2.5.1) или отрицательной (рис.2.5.2) корреляции.
Еслиточки расположены так, что можно предположить нелинейную зависимость (рис.2.5.4), то бывает полезно осуществить расслоение (стратификацию) данных, тоесть разделение данных по какому-либо дополнительному признаку. (Например, приисследовании зависимости равномерности окраски от марки применяемого красителяможно отдельно учесть степень загрузки резервуара для краски)
Таккак всегда может оказаться, что требуется провести расслоение или осуществитьгруппировку собранных данных каким-либо иным способом, то необходимо оченьтщательно подходить к исходной информации. Кроме того, становиться понятнымтребование полноты поясняющих надписей на диаграмме рассеивания. Любые выводы,сделанные на основании диаграммы рассеивания, должны сопровождаться подробнымперечислением условий сбора данных и составления этой диаграммы.
Вовсех случаях после визуального анализа диаграммы рассеивания необходимовычислить коэффициент корреляции по формулам (6.6.1) -(6.6.4). Это позволитподтвердить или опровергнуть выдвинутую гипотезу о наличии либо отсутствиикорреляционной связи и установить силу этой связи.
Еслидиаграмма рассеивания позволяет предположить линейную корреляцию междуизучаемыми величинами, то строятся линии регрессии, уравнения которых получаютпо формулам (6.6.7) — (6.6.9).
Прямыерегрессии наносят обычно на диаграмму рассеивания, что позволяет более нагляднопредставить себе тенденцию влияния одной случайной величины на другую. Припроведении регрессионного анализа предварительное построение диаграммырассеивания является необходимым этапом, так как анализ этой диаграммыпозволяет выдвинуть гипотезу о линейной или нелинейной зависимости, о степенидоверия к обрабатываемым результатам измерений и даже о надежности методикипроведения экспериментов.
Например,при обработке четырех различных множеств исходных данных, приведенных нарисунке 2.5.5, формулы (6.6.7) — (6.6.9) дают одинаковые прямые регрессии.Однако по диаграммам рассеивания можно предположить, что в случае а)действительно имеет место линейная корреляция; в случае b) — нелинейнаязависимость, в случае с) есть одна выпавшая точка, в случае d) наблюдается«странная» группировка точек. Отсюда следует, что в случае с) надо повторитьизмерения либо обосновать возможность пренебрежения этим результатом; в случаеd) необходимо получить дополнительные данные.
2.6Контрольные карты
2.6.1Виды контрольных карт и область их применения
Посколькувсякий процесс испытывает большое число незначительных случайных воздействий,то результаты измерений, полученные в ходе нормального течения процесса,непостоянны, то есть всякий процесс имеет некоторую изменчивость (разброс).
Считается,что процесс находится в статистически управляемом состоянии, если в немотсутствуют систематические сдвиги. В этом состоянии можно предсказывать ходпроцесса. Но как только на процесс станут воздействовать неслучайные (особые)причины, он станет статистически неуправляемым, а результат процесса окажетсянепредсказуем. Если процесс выведен из статистически управляемого состояния, тотребуется определенное вмешательство, чтобы сделать его снова статистическиуправляемым.
Чтобысудить о состоянии процесса, осуществляют отбор единиц продукции и измеряютконтролируемые параметры. Совокупность отобранных объектов (наблюдаемыхзначений) образуют выборку (см. раздел 6.1.).
Длясравнения информации о текущем состоянии процесса, полученной по выборке, сконтрольными границами, являющимися пределами собственного разброса, применяютконтрольные карты.
Контрольнаякарта — это графическое представление характеристики процесса, состоящее изцентральной линии, контрольных границ и конкретных значений имеющихся статистическихданных, позволяющее оценить степень статистической управляемости процесса.
Существуетмного разных типов контрольных карт в зависимости от природы данных, видастатистической обработки данных и методов принятия решений.
Взависимости от сферы применения выделяют три основных вида контрольных карт(рис. 2.6.1):
•контрольные карты Шухарта и аналогичные им, позволяющие оценить, находится липроцесс в статистически управляемом состоянии;
•приемочные контрольные карты, предназначенные для определения критерия приемкипроцесса;
•адаптивные контрольные карты, с помощью которых регулируют процесс посредствомпланирования его тренда (тенденции изменения процесса с течением времени) и проведенияупреждающей корректировки на основании прогнозов.
Данныедля контрольных карт разделяют на «количественные» и «качественные».
Количественныеданные — это результаты наблюдений, проводимых с помощью измерения и записичисловых значений данного показателя (при этом используется непрерывная шкалазначений).
Качественные(альтернативные) данные — это результаты наблюдений наличия (или отсутствия)определенного признака. Обычно подсчитывают, сколько элементов выборки имеютданный признак (например, сколько деталей из контролируемой партии имеютвнешние дефекты). Иногда считают число таких признаков, имеющихся в выборкеопределенного объема (например, количество различных дефектов, отмеченных водном изделии).
Взависимости от видов данных и методов их статистической обработки выделяютразличные типы контрольных карт, основные из которых представлены на рис.2.6.2.
Прииспользовании количественных данных применяют контрольные карты двух видов:
•контрольные карты расположения, характеризующие меру расположения (центр)изучаемых данных, например, выборочное среднее х или медиану У;
•контрольные карты разброса, характеризующие меру разброса (рассеяния) отдельныхвыборочных данных в выборке или подгруппе, например, размах R или выборочноестандартное отклонение s.
Дляанализа и управления процессами, показатели качества которых являютсянепрерывными величинами (длина, вес, концентрация, температура и т.п.), обычноиспользуют парные контрольные карты, например, карту для выборочного среднегозначения и карту размаха: х — карту и R -карту.
Контрольныекарты по качественному признаку используют, когда качество процесса оцениваютпо количеству несоответствий.
Еслиучитывается количество несоответствующих единиц продукции в выборке, топрименяют пр-карту (для выборок постоянного объема) или р-карту (для выборокменяющегося объема; в этом случае подсчитывают долю несоответствующих единиц);если учитывается количество несоответствий в исследуемом изделии либо процессе,то обычно применяют с-карту и и- карту.
Длявыбора подходящей контрольной карты по альтернативному признаку удобноиспользовать таблицу 2.6.1.
Таблица2.6.1.
Число на единицу выборки (объем выборкипеременный*) Общее число в выборке (объем выборки постоянный)
Несоответствующие единицы       Р              «Р
Несоответствия  и              с
*0бъемы выборок отличаются не более чем в 1.6 раз
Вконтрольных картах для количественных данных предполагают, что имеет местонормальное распределение. Параметры этого распределения используют дляустановления контрольных границ, которые обычно фиксируются на уровне ±3s отцентральной линии (здесь х — выборочное среднее изучаемых данных).
Вконтрольных картах для альтернативных данных используют либо биномиальное(пр-карты, р-карты), либо пуассоновское распределения (с-карты, м-карты).
2.6.2Построение контрольных карт
Дляпервоначального построения X- и R — карт вычисляют средние значения и размахдля каждой выборки R
X=(x1+x2+….Xn)/n                                                      (2.6.1)
R=Xmax-Xmin(2.6.2) Затем вычисляют среднее процесса и средний размах процесса
Xcp=(Xi+X2+...+Xk)/k                                                                    (2.6.3)
Rcp=(R1+R2+...+Rk)/k                                                                     (2.6.4)
гдеx, Ri, — среднее и размах i-ой (i=l,...,k) выборки. Эти величины определяютположение центральных линий на Х- карте и R — карте соответственно.
Положениеверхних (ВКГ) и нижних (НКГ) контрольных границ для размахов и среднихрассчитывается по формулам:
ВКГr=DrRср                 (2.6.5)
НКГr=D1,R,p; (2.6.6) BKГ x =x+A2,Rcp;                (2.6.7)
НКГx=x-A2Rср                                                  (2.6.8)
где–А2,D1,D4-константы, зависящие от объема выборки и приведенные в таблице 2.6.2.
n        2        3        4        5        6        7        8        9        10
D4     3.27   2.57   2.28   2.11   2.00   1.92   1.86   1.82   1.78
Di      *        *.       *        *        *        0.08   0.14   0.18   0.22
A2     1.88   1.02   0.73   0.58   0.48   0.42   0.37   0.34   0.31
Дляобъемов выборки меньше 7 значение D„ а также и значение НКГ являютсяотрицательными. В таких случаях не строится.
Послеэтого подготавливают бланки контрольных карт, на которых слева наносятвертикальную ось со шкалой возможных значений измеряемого параметра (x или R)сплошную горизонтальную линию, соответствующую значению вычисленному поформулам 2.6.3 или 2.6.4 и горизонтальные контрольные границы, рассчитанные поформулам (2.6.5 — 2.6.8). Если при расчете нижняя контрольная границаполучается отрицательной, ее обычно не рассматривают, то есть не указывают насоответствующей карте. На подготовленных таким образом бланках точками отмечаютзначения изучаемой характеристики (показателя качества), получаемые врезультате наблюдений. Примеры контрольных карт приведены на рис. 2.6.3. Дляудобства последующего анализа обычно х- карту и R — карту строят одну поддругой с одинаковым масштабом горизонтальных осей.
Еслипоказатель качества представлен числом несоответствующих изделий или процентов(долей) несоответствий применяют пр — карты (для выборок постоянного объема)или р — карты (для выборок меняющегося объема). Эти карты основаны набиномиальном распределении (см. раздел 6.3), которое определяется всего однимпараметром р, поэтому здесь нет необходимости строить пару карт. На бланке р — карты отмечают горизонтальную ось с номерами рассматриваемых подгрупп ивертикальную ось, где указаны возможные процентные значения несоответствий,встречающихся в подгруппах (или количество несоответствующих изделий — для пр — карты). Вычисляют среднее значение доли несоответствий р (или среднее числонесоответствующих изделий п ~р ) и отмечают его сплошной горизонтальной линией.
Еслианализ и управление процессом ведутся по несоответствиям, но при этом величинар мала, то применяют с — карты (карты числа несоответствий) или u=с/п — карты(карты числа несоответствий, приходящихся на единицу продукции).
2.6.3Анализ контрольных карт
Управляемоесостояние процесса — состояние, когда процесс стабилен, а его среднее и разбросне меняются. Определить, вышел ли процесс из данного состояния, можно поконтрольным картам на основании следующих критериев:
1)Выход за контрольные пределы. На карте есть точки, лежащие вне контрольныхграниц (рис 2.6.5).
2)Серия. Несколько (7 и более) точек подряд оказываются по одну сторону отцентральной линии (число таких точек называется длиной серии); либо 10 из 11последовательных точек находятся по одну сторону от центра(рис2.6.6).
3)Тренд. Точки образуют непрерывно повышающуюся или понижающуюся кривую(рис.2.6.7).
4)Приближение к контрольным пределам. Есть точки, которые приближаются кконтрольным границам, причем 2 или более точек оказываются на расстоянии более2о от центральной линии (рис.2.6.8).
5)Приближение к центральной линии. Большинство точек оказывается внутрицентральной трети полосы между контрольными границами (рис.2.6.9).
6)Периодичность Кривая повторяет структуру «то подъем, то спад» с примерноодинаковыми интервалами времени (рис.2.6.10).
Порядокисследования контрольных x- карты и R — карты задается следующим алгоритмом:
Есливстретилась одна из ситуаций, которая указывает на опасность выхода процесса изуправляемого состояния (рис. 2.6.5 — 2.6.10), то необходимо
•проверить координаты «опасных точек»;
•проверить расчет границ;
•провести анализ измерительной системы;
•проверить достоверность данных измерений;
и,наконец,
•приступить к поиску особых причин (то есть каких-либо неслучайных воздействийна процесс) с целью их устранения.
Вситуациях 4-6 (рис. 2.6.8 — 2.6.10) бывает полезно построить гистограмму ипровести расслоение процесса на подгруппы.
Пример2.6.1. Для контроля процесса обработки внешнего вала коробки передач (модель2108) на токарном одношпиндельном станке (фирмы FISCHER) замерялся контрольныйпараметр (линейный размер) обработанных деталей (см. рис. 4.1.1). Поспецификации процесс должен иметь следующие характеристики:
•линейный размер 274.5 ± 0.1
•верхний предел допуска 274.6
•нижний предел допуска 274.4
Порезультатам измерений 80 изделий были построены х- карта и R-карта (рис.2.6.11) со следующ

х =274.464; ВКГх = 274.493; НКГх = 274.435;
R=0.016; ВКГR= 0.05; HKFR отрицательна, поэтому на рисунке не указана Х-карта
Прианализе R- карты видно, что на участке 3-9 наблюдается понижающий тренд, научастке 11 -24 — повышающий тренд, много точек, вышедших за контрольные границы(9-15,17,27,30,36), а точки 9-10 находятся на границе поля допуска. Такимобразом, во-первых, процесс не является статистически устойчивым. В силу того,что границы поля допуска в данном случае шире контрольных границ, можетсложиться впечатление, что на участке 25 — 36 процесс является стабильным,однако выход за контрольные границы свидетельствует о наличии особых(неслучайных) воздействий. Необходимо провести технологический анализ условийпротекания процесса обработки. Так, например, понижающий тренд может бытьобусловлен образованием наклепа на инструменте, либо влиянием температурныхдеформаций в кинематике и гидравлике станка.
Приближениек центральной линии на R — карте может свидетельствовать о систематическом(неслучайном) торцевом биении базового центра, равном Rp=0.016.
Врезультате анализа контрольных карт можно сделать вывод о том, что в данномслучае технологическая точность не обеспечивается, технологический процесстребует доработки.
2.6.4Использование контрольных карт для оценки корреляции
Еслитребуется установить, имеется ли корреляционная зависимость между двумяисследуемыми параметрами Х и Y, вместо построения диаграммы рассеивания можноиспользовать контрольные карты.
Значенияпараметров Х и Y замеряют в одни и те же моменты времени и строят R- карту и X-карту. Центральная линия на этих картах соответствует значению медианы, т.е.Количество точек на обеих картах одинаково.
Затемна каждой из этих карт точки, находящиеся выше центральной линии, отмечаютзнаком «-», точки ниже центральной линии — знаком «-», точки, попавшие нацентральную линию, — знаком «О». После этого составляют таблицу знаков,соответствующих каждой паре (X,Y). К этой таблице добавляют еще одну строку, вкоторой ставится «код» пары по следующим правилам:
Х       +       -        0        +       -        0        +-
Y       +       -        0        -        +       +-      0
Код(X,Y)   +       +       +       -        -        0        0
Впоследней строке таблицы подсчитывают число «+» — М(+); число «-» — N(-); число«О» — М(0), а также общее число кодов — К.
Далеевычисляют Р = М(+) + N(0)/2; М = N(-) + N(0)/2 и выбирают меньшее из чисел Р иМ — min (min == min
Еслиmin > kmin то корреляционной зависимости нет, если min М — положительная (прямая)корреляция, при Р
Таблица2.6.3.
K
Kmin      8
о              9-11
1              12-14
2              15-16
3              17-22
5              23-25
6              25-27
7              28-29
8              30-32
9              33-34
10
К
Kmin      35-36
11           37-39 12                40-41
13           42-43
14           44-46
15           47-48
16           49-50
17           51-53
18           54-55
19           56-57
20
K
Kmin      58-60
21
61-62 22                63-64
23           65-66
24           67-69
25           70-7)
26           72-73
27           74-76
28           77-78
29           79-80
30
2.7Расслоение
Прианализе состояния процесса с помощью контрольных карт или гистограмм можетоказаться, что требуются какие-либо управляющие воздействия с целью устраненияпричин статистической неустойчивости процесса. Однако, если на процесс оказываютвлияние несколько различных факторов, то бывает полезно рассмотреть действиекаждого из этих факторов отдельно. Например, если сборка изделия производитсяна нескольких поточных линиях, то имеет смысл сгруппировать данные посоответствующим линиям и строить контрольные карты (или гистограммы) для каждойгруппы данных отдельно.
Расслоение- это разделение и группировка исследуемых данных в соответствии с различнымифакторами.
Обычнопри исследовании производственной проблемы производят группировку данных последующим признакам:
•раздельно по каждому станку;
•по различным типам исходного сырья;
•по дневной и ночной смене;
•по различным бригадам и т.д.
Припроведении расслоения по станкам обычно с каждого станка осуществляют выборку(объемом не менее 30 деталей), по полученным данным строят для каждого станкагистограмму, затем сравнивают эти гистограммы и выявляют станок, продукция которогоимеет повышенную дефектность.
Пример2.7.1. Обработка валиков происходит на двух шлифовальных станках.Технологический процесс должен быть настроен на диаметр 8.5 ±.0.25 (мм). Порезультатам контрольных замеров валиков после шли¬фовки была полученагистограмма, изображенная на рис. 2.7.1. Так как эта гистограмма имеет явновыраженный двухпиковый тип (см. раздел 2.4.2), было проведено расслоение, тоесть рассмотрение данных по каждому станку отдельно. В результате полученыгистограммы, представленные на рис. 2.7.2, 2.7.3. Таким образом былообнаружено, что на первом станке среднее значение и разброс меньше, чем навтором. Из рис. 2.7.2 и 2.7.3 видно, что на втором станке необходима переналадка,так как процесс вышел за правую границу поля допуска. Здесь нужно провестинастройку на центр поля допуска и постараться уменьшить разброс. На второмстанке результаты удовлетворительные, но при настройке желательно сместитьсреднее ближе к центру поля допуска.
Расслоениеприменяют и при оценке качества процесса производства с помощью контрольныхкарт. Так, в случае изготовления продукции на многошпиндельном станкепроизводят расслоение по каждому шпинделю. Для каждого шпинделя строят х- картуили х- карту; по ним отслеживают изменение настройки во времени, выявляютправильность настройки каждого шпинделя, строят кривые распределения и делаютзаключение. См. также пример 4.1.2.

3.ОЦЕНКА ВОСПРОИЗВОДИМОСТИ ПРОЦЕССА
3.1Понятие воспроизводимости процесса
Цельюсистемы управления процессом является принятие экономически верных решений,связанных с выработкой оптимальных воздействий. Это требует введения критериев,позволяющих количественно оценить полезность мероприятий.
Нарис. 3.1.а процесс находится в статистически неуправляемом состоянии(последовательным временным отсчетам соответствуют распределения случайнойвеличины с различными параметрами). В результате организационных мероприятий(устранение особых причин) процесс приведен в статистически управляемоесостояние (рис. 3.1.b). Однако продукция не соответствует запросам потребителя,так как часть изделий лежит вне поля допуска. Положение процесса, показанное нарис. 3.1.с должно удовлетворить и производителя, и потребителя: процессстатистически управляем и находится в поле допуска.
Количественноохарактеризовать качество производства в общем случае возможно путем расчета спомощью формул для вычисления вероятности процента несоответствий, оказавшихсявне поля допуска.
Достаточночасто в производстве наблюдаются процессы, статистические свойства которыхсоответствуют нормальному закону распределения случайных величин.
Однакона практике для оценки качества производства пользуются понятиемвоспроизводимость. Так как 99,7% значений нормальной случайной величиныпопадает в интервал 6σ, то доля несоответствующих изделий тесно связана свзаимным расположением этого интервала и поля допуска. Коэффициенты,характеризующие это расположение, называются индексами воспроизводимости.
Воспроизводимостьпроцесса определяется как полный размах присущей стабильному процессуизменчивости, оцениваемой как интервал, длиной шесть стандартных отклонений (6s).Количественно привязка данного понятия к конкретным условиям настройки процесса(разброс и центрированность относительно поля допуска) оценивается индексамивоспроизводимости Ср, Cpk.
Приинтерпретации воспроизводимости процесса с помощью указанных индексов примемследующие предположения:
•индивидуальные измерения соответствуют нормальному распределению;
•процесс статистически управляем;
•конструкторской целью является центр поля допуска (здесь рассматриваетсявариант двустороннего симметричного допуска).
3.2Расчет индексов воспроизводимости
Определимструктуру индексов и порядок их вычисления.
Индексвоспроизводимости Ср показывает, как соотносятся ширина поля допуска иизменчивость статистически устойчивого процесса, то есть, можно ли ожидать, чторазброс контролируемого параметра окажется в границах поля допуска.
ИндексСр равен отношению ширины поля допуска к полному размаху присущей стабильномупроцессу изменчивости.
Введемобозначения:
НГД- нижняя граница поля допуска,
ВГД- верхняя граница поля допуска,
Д — ширина поля допуска.
Вычислениеиндекса воспроизводимости Ср проводится по формуле:
Ср= Д/6σ. Здесь А = ВГД — НГД.
Иллюстрациявведенных обозначений показана на рис. 3.3.
Случай1 (базовый). Показан на рис. 3.3.а. В фиксированное поле допуска укладывается6s процесса, т.е. Д = 6s (Ср = 1). При этом настроенный на центр поля допускапроцесс содержит 0,27% несоответствий.
Случай2 (рис. З.З.Ь). Пусть 6s, 1 и число несоответствийокажется весьма малым.
Случай3 (рис. З.З.Ь). Пусть 6s, > Д, соответственно С
а)С,=1;Ь)Ср1
Итак,при зафиксированном поле допуска эффективность действий по управлениюпроцессом, направленных на снижение изменчивости (уменьшение s), ясно и понятнохарактеризуется ростом индекса Ср. Считаются общепринятыми следующие оценкипроцесса с помощью Ср:1) Ср
2)1,00
3)Ср > 1,33- хорошо.
Индексвоспроизводимости Срк характеризует настроенность процесса на центр полядопуска.
Индексравен отношению разности между средним процесса и ближайшим пределом полядопуска к половине присущей стабильному процессу изменчивости.
Введемобозначения:
Dвгд=ВГД-(Хср)ср
Dнгд=(Хср)ср-НГД
Dmin=min(Dвгд,Dнгд)
Zвгд=Dвгд/s
Zнгд=Dнгд/s
Zmin=min(Zвгд,Zнгд)
Тогдаиндекс воспроизводимости Срк вычисляется по формуле:
Cp=Z/3.
Заметим,что для одностороннего поля допуска формулы определения индекса сходны, но приэтом Zmin равно Zвгд или Zнгд в зависимости от случая расположения границы полядопуска.
Промежуточныйрасчет величин Z при вычислении Срk удобен тем, что позволяет при необходимостиоперативно оценить по таблицам стандартного нормального распределенияколичество единиц продукции, которые могут оказаться вне поля допуска.
Простейшийанализ формулы для вычисления Cpk, показывает, что при постоянном стандартномотклонении процесса качество процесса улучшается с ростом индекса. Между темдля управления процессом недостаточна оценка только одного этого индекса.
Нарис. 3.4 показаны варианты расположения управляемого процесса в полесимметричного допуска.
Введемв рассмотрение параметр , связывающий отклонение центра настройкипроцесса от центра поля допуска и характеризующий этим эффективность управлениянастройкой. Согласно схеме на рис. 3.4
d =0,5D — d.
Управлениепроцессом должно быть направлено на уменьшение 5. При этом числонесоответствующих изделий уменьшится, качество процесса улучшится, достигаяоптимального значения при =0.
ИндексыСр и Cpк удобно рассмотреть совместно, учитывая их связь с помощью отношенияCpк=Cp--D/3s. Из выражения видно:
•величина Срk не превосходит величины Ср
•при d == О получим Cpk = Ср
Областьвозможных значений Срk лежит ниже прямой Срk = Ср. Отсюда следуют простыерассуждения. При оптимальной настроенности процесса на середину допуска числоэкземпляров несоответствующей продукции связывается с величиной Ср и не можетбыть уменьшено.
Такимобразом, общий алгоритм управления процессом при заданном поле допускареализуется в виде итерационного процесса, состоящего из последовательнореализуемых шагов, удовлетворяющих направлению:
s →0, Cpk -> Ср.

4.ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ АНАЛИЗА ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
Рассмотримприменение вышеизложенных статистических методов контроля качествапроизводственных процессов на нескольких примерах.
4.1Контроль технологической точности
Пример4.1.1. Производится контроль технологической точности станка после среднегоремонта.
Типстанка: токарный одношпиндельный станок (фирмы FICSHER).
Видобработки детали: обработка внешнего диаметра вала коробки передач (модель2108).
Эскиз,поясняющий схему обработки: см. рис. 4.1.1.
Особенностипротекания технологического процесса с точки зрения особых причин: стабильныйучасток работы.
Конкретныечисловые характеристики технологического процесса (по спецификации):
•диаметр 25.3;
•допуск на обработку 0.1;
•верхний предел допуска 25.35;
•нижний предел допуска 25.25.
Первичноепредставление результатов: таблица, содержащая массив данных, полученных врезультате измерения 70 обработанных деталей.
Результатызамеров:
25.29725.300 25.279 25.282 25.294 25.300 25.301 25.304 25.282 25.292 25.292 25.29825.294 25.300 25.284 25.290 25.285 25.290 25.284 25.290 25.286 25.292 25.28825.296 25.290 25.300 25.298 25.303 25.292 25.300 25.289 25.300 25.282 25.28825.290 25.294 25.287 25.292 25.283 25.288 25.290 25.294 25.280 25.288 25.27925.282 25.300 25.301 25.274 25.285 25.290 25.280 25.292 25.294 25.300 25.29025.296 25.280 25.283 25.278 25.288 25.280 25.288 25.284 25.296 25.280 25.29025.288 25.302 25.284
n=70;max= 25.304; min = 25.274; R=0.03.
Вторичноепредставление результатов: интервальная таблица частот (в верхней строкеуказаны левые границы интервалов, в нижней строке — количество деталей, диаметркоторых попадает в данный интервал):25.272 25.276 25.280 25.284 25.288 25.292 25.296 25.300 25.304 25.308 2 11 9 9 15 9 12 3
Расчетстатистических характеристик процесса:
х =25.2902; σ = 0.0073; поле рассеяния' 0.0469. Контрольная Х-карта: см. рис.4.1.3: НКГ = 25.268; ВКГ = 25.312.
Расчетиндексов воспроизводимости: Ср=2.13.
Полерассеяния значений согласно СТП 37.101.9504 3-96 принимается равным w = k x s,
гдех, — результат измерений. s — стандартное отклонение.
k — поправочный коэффициент зависящий от объема выборки причем его величина такова,что поле рассеяния оказывается в большинстве случаев несколько шире, чем 6s
Анализэкспериментального и расчетного материала:
•контрольная х-карта диаметра обработанных деталей, расположение гистограммыпоказывают, что процесс статистически управляем; это же подтверждает и значениеиндекса воспроизводимости Ср =2.13, свидетельствующее о практическом отсутствиинесоответствий при обработке продукции;
•контрольная х-карта и расположение гистограммы относительно поля допускапоказывают, что процесс смещен от центра поля допуска в направлении нижнегопредела допуска, следовательно, есть возможность улучшения процесса с помощьюсмещения наладки на 0.0098 к середине поля допуска.
Выводы:вероятный брак равен 0%; технологическая точность обеспечивается; требуетсясмещение наладки, равное 0.0098.
Заключение:станок в работу утверждается с условием подналадки. Примечание. Так какконтрольная карта не показывает критической ситуации, можно обойтись безподналадки. Содержательный анализ технологического процесса показывает, что врезультате износа инструмента произойдет требуемая коррекция размера.
Пример4.1.2. Производится контроль технологической точности станка с целью аудита.
Типстанка: специальный круглошлифовальный однокамневый станок (фирмы TOYOТA).
Видобработки детали: обработка внешних диаметров шатунных шеек коленвала (модель2108).
Эскиз,поясняющий схему обработки: см. рис.4.1.4.
Особенностипротекания технологического процесса с точки зрения особых причин: стабильныйучасток работы.
Конкретныечисловые характеристики технологического процесса (по спецификации):
•ход (шатунной шейки коленвала) 71 мм;
•допуск на обработку 0.15 мм;
•верхний предел допуска 71.05;
•нижний предел допуска 70.90.
Первичноепредставление результатов: таблица, содержащая общий массив данных, полученныхв результате 80 замеров четырех шатунных шеек по параметру хода.
Результаты замеров:
70.900   70.900   70.880   70.880   70.900   70.900   70.870   70.880   70.900   70.880
70.880   70.900   70.890   70.870   70.900   70.910   70.890   70.880   70.880   70.900
70.940   70.930   70.900   70.930   70.900   70.890   70.900   70.940   70.950   70.930
70.900   70.930   70.940   70.900   70.930   70.940   70.920   70.900   70.910   70.930
70.950   70.960   70.930   70.940   70.940   70.930   70.940   70.930   70.980   70.960
70.930   70.950   70.970   70.940   70.960   70.940   70.930   70.940   70.930   70.970
70.960   70.920   70.890   70.910   70.910   70.920   70.910   70.900   70.870   70.890
70.870   70.910   70.900   70.890   70.920   70.930   70.900   70.900   70.890   70.940
n=80; max= 70.98; min = 70.87; R=0.11
Вторичноепредставление результатов: интервальная таблица частот (в верхней строкеуказаны левые границы интервалов, в нижней строке — количество измеренных значений,попадающих в данный интервал):70.860 70.870 70.880 70.890 70.900 70.910 70.920 4 7 7 18 6 4 70.930 70.940 70.950 70.960 70.970 70.980 70.990 13 11 3 4 2 1
Расчетстатистических характеристик процесса:
к =70.916; поле рассеяния 0.117; смещение наладки 0.059. В данном случае нерассчитывается о, так как рассматриваются сразу 4 параметра хода четырехшатунных шеек.
Расчетиндексов воспроизводимости: Ср=1.28; Ср,=0.27. Контрольная х-карта: см. рис.4.1.6: НКГ = 70.857; ВКГ= 70.975.
Анализэкспериментального и расчетного материала:
•Контрольная карта, а также расположение гистограммы показывают, что процесс неявляется статистически управляемым, так как имеется выход за верхнююконтрольную границу (49-я точка). Кроме того, имеет место выход процесса заграницы поля допуска, что говорит о большой вероятности брака (22.5%).Двухпиковый тип гистограммы, а особенно вид контрольной карты указывают нанеобходимость расслоения данных, то есть рассмотрения хода каждой шейки поотдельности.
•Большая разница в индексах воспроизводимости процесса (Ср« = 0.27
Расслоениеданных дало следующие результаты.
1-яшейка:
Интервальнаятаблица70.86 70.87 70.88 70.89 70.90 70.91 7092 9 2 8 1
n=20,max=70.91; min=70.87; R = 0.04.
х =70.89; а = 0.012; поле рассеяния 0.076; смещение наладки 0.086-Ср=1.9б.
2-яшейка:
Интервальнаятаблица 70.88 70.89 70.90 70.91 70.92 70.93 70.94 70.95 0162 6 5
n=20;max= 70.95; min = 70.89; R=0.06. х = 70.921; σ = 0.018; поле рассеяния0.118; смещение наладки 0.055;
С-1.27.
3-яшейка:
Интервальная      таблица      70.92 70.93 70.94 70.95 70.96 70.97 70.98 70.99 0 6 8 3 2 1
n=20;max= 70.98; mm =70.93; К =0.05. х = 70.946; σ = 0.016; поле рассеяния 0.1;смещение наладки 0.029;
Ср=1.49.
4-яшейка:
Интервальнаятаблица70.84 70.86 70.88 70.90 70.92 70.94 70.96 70.98 024 11 1 1 1
n=20;max= 70.96; min = 70.87; R=0.09.
х =70.907; о = 0.022; поле рассеяния 0.139; смещение наладки 0.069 Ср=1.075.
Выводы.
1.Сравнение статистических характеристик для отдельных шеек показывает, чтонаихудшие параметры имеет 4-ая шейка (поле рассеяния 0.139; С-= 1.075). Этоуказывает на необходимость проведения профилактического ремонта левогозажимного патрона.
2.Так как центральная линия на контрольной карте смещена относительно заданногономинального значения хода 71 мм, то требуется наладка станка, так, чтобы центрнастройки совпадал с номинальным (или серединой поля допуска).
3.Из гистограмм и контрольной карты видно, что в настоящее время наилучшаяналадка по исследуемому параметру на 3-ей шейке, поэтому на ней требуетсянаименьшая подналадка.
4.Необходимо добиться, чтобы все статистические параметры для всех четырех шеекбыли близки по своим значениям, то есть находились на одной линии, а полярассеяния отличались незначительно.
4.2.Использование диаграмм Парето
Длянаиболее успешного устранения несоответствий в готовой продукции по результатамконтроля строятся диаграммы Парето. Приведем пример такой диаграммы,показывающей распределение дефектов в цехе 46 за период с 01.01.95 no31.12.95.
Группа деталей — Генератор
Код дефекта        Наименование дефекта   Кол-во   Сумма
%
1              Не работает регулятор    852         42
2              Нет цепи обм. воз              291         56
3              Шум, магнитный шум      249         68
5              Утоплена клемма 61.        155         75
12           Нет цепи центра эв.          107         79
8              Клинит ротор     88           84
6              Замыкание диодов            52           86
4              Пробиты диоды 41           88
13           Замыкает             11           89
7              Не закреплен шкив            8              90
11           Прочие дефекты 196         100
Всего 2050
Устранениедефектов 1, 2, 3 даст возможность существенно повысить качество данного узла,следовательно, прежде всего надо сосредоточить усилия на выявлении причин этихнесоответствий и внедрению мероприятий по их преодолению.

5.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
5.1Случайная величина. Общие определения
Случайнаявеличина — это величина, измеряемая в исследуемых экспериментах, исходы которыхзаранее не известны и зависят от случайных причин.
Различаютдва вида случайных величин:
•дискретная — случайная величина, принимающая конечное или счетное множествозначений х,…, хn каждое с некоторой вероятностью pi,..., р,. Дискретнаяслучайная величина задается законом распределения, устанавливающим однозначноесоответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями;
•непрерывная — случайная величина, которая может принимать все значения изнекоторого конечного или бесконечного промежутка. Непрерывная случайнаявеличина характеризуется плотностью вероятности -непрерывной функцией, такойчто вероятность попадания случайной величины Х в интервал (а; Ь) равна
Пример6.1. На контроль поступило несколько партий деталей. Контролируется размеротверстия. Диаметр отверстия — это непрерывная случайная величина, количествонестандартных деталей в каждой партии -дискретная случайная величина.
Генеральнойсовокупностью называется весь набор однородных объектов, изучаемых относительнонекоторого качественного или количественного признака. Число всех изучаемых объектовN называется объемом генеральной совокупности.
Выборка- это та часть генеральной совокупности, элементы которой подвергаютсястатистическому обследованию. Число n вошедших выборку элементов называетсяобъемом выборки.
Выборкибывают бесповторные, когда отобранный (и статистически обследованный) объект вгенеральную совокупность не возвращается, и повторные, когда отобранный элементпосле обследования возвращается в генеральную совокупность.
Чтобырезультаты, полученные при изучении выборки, можно было достаточно увереннораспространить на всю генеральную совокупность, выборка должна бытьрепрезентативной (представительной). При статистическом контроле это достигаетсяпутем правильного выбора метода отбора исследуемых объектов. В зависимости отпоставленных целей применяют следующие способы сбора данных:
•Простой случайный отбор, когда выбор объектов осуществляется из всейгенеральной совокупности случайным образом. Этот способ применяется, например,при выборочном контроле партии деталей на соответствие некоторому стандарту.
•Типический отбор, когда объекты отбираются не из всей генеральной совокупности,а из каждой ее „типической“ части. Например, если однотипные деталиизготавливаются на нескольких станках, то отбор производится из продукциикаждого станка в отдельности.
•Механический отбор, когда генеральную совокупность делят на столько групп,сколько объектов должно войти в выборку, и из каждой группы выбирают одинобъект. При этом следует внимательно следить, чтобы не нарушаласьрепрезентативность выборки. Например, если отбирают каждый двадцатыйобтачиваемый валик, причем сразу же после замера производят замену резца, тоотобраны окажутся все валики, обточенные затупленными резцами. Если исследуемыйпараметр зависит от остроты резца, то следует устранить совпадение ритма отборас ритмом замены резца, например, отбирать каждый десятый валик из двадцатиобточенных.
•Серийный отбор, когда объекты отбирают из генеральной совокупности не поодному, а „сериями“, и обследуются все элементы каждой серии. Этотвид отбора применяют тогда, когда обследуемый признак колеблется в разныхсериях незначительно, например, если изделия изготавливаются большой группой станков-автоматов,то сплошному обследованию подвергают продукцию только нескольких станков. Дляполучения более достоверных результатов при этом можно менять наборы»серий", то есть в разные дни обследовать разные группы станков.
Приприменении статистических методов управления качеством для построенияконтрольных карт обычно используют мгновенные выборки.
Мгновеннаявыборка — это выборка, взятая из технических соображений таким образом, чтовнутри нее вариации (то есть изменения) могут появляться только как следствиеслучайных (общих) причин. Возможные вариации между такими выборками, какправило, определяются неслучайными (специальными) причинами. В производствемгновенная выборка должна быть сформирована из данных, собранных в короткийотрезок времени в однородных условиях (материал, инструмент, окружающая среда,один и тот же станок или оператор и т.п.).
Присборе данных применяют различные формы регистрации информации. Наиболее частоиспользуют вариационные ряды, таблицы, а также контрольные листки.
Вариационныйряд — запись результатов измерений какой-либо случайной величины в видепоследовательности чисел. Таким образом, получается одномерный массив чисел,обработка которого обычно начинается с его упорядочения и предполагаетиспользование вычислительной техники. Эта форма регистрации информации наименееудобна для получения оперативных результатов и чаще всего применяется прииспользовании автоматических датчиков, напрямую соединенных с ЭВМ.
Таблица- представление данных в виде двумерного массива чисел, в котором элементыстроки или столбца отражают состояние исследуемого признака при определенныхусловиях. Например, пусть некоторый параметр измеряется четыре раза в день напротяжении рабочей недели. Тогда результаты удобно занести в таблицу
День недели        9.00                        11.00      14.00      16.00
понедельник       
вторник
среда    
четверг 
пятница               
Такаятаблица позволяет учесть и рассчитать изменение исследуемого параметра как втечение дня — по строкам, так и в различные дни — по столбцам.
Контрольныйлисток — стандартный бланк, на котором заранее напечатаны контрольныепараметры, чтобы можно было легко и точно записать Данные измерений. Приправильно разработанном типе контрольного листа данные не только очень простофиксируются, но и автоматически упорядочиваются для последующей обработки инеобходимых выводов. Для обработки результатов статистических наблюдений ихудобно оформлять в виде таблицы частот.
Статистическоераспределение — таблица частот, в которой указаны значения случайной величиныn, и соответствующие частоты, показывающие, сколько раз в выборке встретилосьданное значение случайной величины.
Дляполучения интервальной таблицы частот (интервального вариационного ряда) весьдиапазон измеренных значений случайной величины Х делят на k равных интервалов(а,, tt,,,) и подсчитывают количество {и} значений случайной величины, попавшихна соответствующий интервал. Кроме того, в таблице указывают также величину х,- середину i'-oro интервала.

Интервальнаятаблица частот
Номер интервала /            Интервал (а,, а,,) Серединаинтервала
X,            Частота п,
1              (а,, а,)     X1          N1
2              (а,, а,)     X2          N2
k              (ak.ai)    Xi           Nk
Здесь n1, + n2… + ni= n — объему выборки.
Первичнаяобработка результатов статистических наблюдений заключается в графическомпредставлении собранной информации. Обычно для этого строят гистограммы.
Дляпостроения гистограммы на оси абсцисс отмечают границы интервалов — точки а,,..., ai-1. Над каждым интервалом строится прямоугольник площадью п, (очевидно,если длина каждого интервала h, то высота этого прямоугольника n/h ). Получившаясяступенчатая фигура называется гистограммой частот. При этом площадь гистограммычастот равна объему выборки п. Отрезок [а, аn,] назовем основанием гистограммы.
Аналогичностроится и гистограмма относительных частот — ступенчатая фигура, состоящая изпрямоугольников, площади которых равны n/h, то есть общая площадь гистограммыотносительных частот равна 1.
6.2Числовые характеристики случайных величин
Поведениелюбой случайной величины определяется ее распределением, средним значением иразбросом относительно этого среднего значения.
Среднимизначениями случайной величины являются ее
•математическое ожидание — среднее арифметическое всех значений случайнойвеличины;
•мода — значение случайной величины, которое встречается чаще всего, то есть имеетнаибольшую частоту;
•медиана — такое значение случайной величины, которое оказывается точно всередине упорядоченного вариационного ряда, то есть, если все
зафиксированныезначения случайной величины расположить в порядке возрастания, то слева и справаот медианы окажется одинаковое число точек. При этом, если число наблюдений нечетно(n=2k+l), то в качестве медианы берут среднюю точку хk-1,, а если числонаблюдений четно (n=2k), то медиана — это центр среднего интервала (хi.хk-1,),то есть ;X=(xi+Xk+1)/2.
Разбросслучайной величины относительно средних значений характеризуется дисперсией илисредним квадратическим отклонением (с.к.о.) — мерой рассеяния распределенияотносительно математического ожидания. При этом с.к.о. — это корень квадратныйиз дисперсии. Наибольший разброс случайной величины определяется размахомвыборки, то есть величиной интервала, в который попадают все возможные значенияслучайной величины.
Вматематической статистике говорят о статистических оценках параметровраспределения. Статистические оценки бывают точечные (определяемые однимчислом) и интервальные (определяемые двумя числами -концами интервала).Точечные оценки дают представление о величине соответствующего параметра, аинтервальные характеризуют точность и достоверность оценки.
Предположим,что в результате наблюдений получены n значений случайной величины Х: x1;,…, xn. Для вычисления точечных оценок параметров распределения пользуютсяформулами:
среднееквадратичное отклонение s = v/5 ;                 (6.2.8)
Пример6.2. Пусть в результате наблюдений получены следующие значения случайнойвеличины X: (5; 6; 3; 6; 4; 5; 3; 7; 6;7;5;6).

Упорядоченныйвариационный ряд: 3, 3,4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7.
Таблица частот                 статистическоераспределение:
X             3              4              5              6              7
2              1              3              4              2
Вычислим все числовые характеристики случайнойвеличины хmin = 3; xmax = 7; медиана 5- x=(X6+X7)/2 = (5 + 6)/2 = 5,5;
мода Х = 6, так как это значение встречалосьчаще всего (n = 4);
выборочное среднее х = (2 3+1 4+3 5+4 6+2 7)/12 =5,25 ;
размах R = 7 — 3 = 4 ;
выборочная дисперсия .S= D =(1/11) (2(3 — 5,25)2+1(4-5,25)2+ + 3 (5 — 5.25)2 + 4 (6 — 5,25)2 +2 (7 — 5,25)2) = 15/11 = 1,84 ;
среднее квадратичное отклонением s = 1,36 .
Замечание.Современная вычислительная техника, используя специальные пакеты прикладныхпрограмм, позволяет получить значения выборочной средней и дисперсии сразу жепосле введения данных выборки (наблюдаемых значений исследуемой случайнойвеличины)
6.3Типовые теоретические распределения случайных величин
Характерповедения случайной величины определяется ее распределением. Зная типраспределения случайной величины и его числовые характеристики, можнопрогнозировать, какие значения будет принимать случайная величина в результатенаблюдений, то есть можно делать определенные выводы обо всей генеральнойсовокупности.
Наиболеечасто встречается нормальное (гауссовское) распределение. Это связано с тем,что разброс характеристик качества обусловлен суммой большого числа независимыхошибок, вызванных различными факторами, а согласно центральной предельной теоремеЛяпунова в этом случае случайная величина имеет распределение, близкое кнормальному.
Нормальноераспределение описывает непрерывную случайную величину, поэтому его задаютплотностью вероятности/С.^. Плотность вероятности нормального распределенияимеет вид:
Параметри определяет точку максимума, через которую проходит ось симметрии графикафункции, и указывает среднее арифметическое значение случайной величины, sпоказывает разброс распределения относительно среднего значения, то естьопределяет «ширину» колокола (расстояние от оси симметрии до точкиперегиба графика
Дляудобства подсчета вероятностей любое нормальное распределение с параметрами а иσ преобразуют к стандартному (нормированному) нормальному распределению,параметры которого а = 0, s = 1, то есть плотность
Значенияфункции f(х) можно найти в справочных таблицах или получить, используя готовыекомпьютерные программы.
Другимчасто встречающимся в технике распределением непрерывной случайной величиныявляется закон Рэлея. Он описывает распределение погрешностей формы ирасположения поверхностей (биение, эксцентриситет, непараллельность,неперпендикулярность и т.п.), когда эти погрешности определяются радиусомкругового рассеяния н а плоскости.
Еслина плоскости задана система координат Оху, то точка с координатами (х, у;отстоит от начала координат на расстояние координат х и у — нормально распределеннаяслучайная величина, то г — случайная величина, имеющая распределение Рэлея.Плотность вероятности этого распределения:
Длядискретных случайных величин наиболее распространенным является биномиальноераспределение. Биномиальный закон распределения описывает вероятность того, чтов выборке объема п некоторый признак встретится ровно k раз. Точнее, пустьпроводится п независимых испытаний («опытов»), в каждом из которыхпризнак может проявиться («успех опыта») с вероятностью р. Рассмотримслучайную величину Х — число «успехов» в данной серии испытаний. Этодискретная случайная величина, принимающая значения О, 1,…, п, причем вероятностьтого, что Х примет значение, равное k, то есть что ровно в k испытаниях будетзафиксирован исследуемый признак, вычисляется по формуле
Формула(6.3.13) называется формулой Бернулли, а закон распределения случайной величиныX, задаваемый этой формулой, называется биномиальным, Параметрами биномиальногораспределения являются число опытов n и вероятность «успеха» р. Нотак как нас интересуют среднее значение и разброс случайной величиныотносительно своего среднего значения, то отметим, что для биномиальногораспределения математическое ожидание т → up. а дисперсия →прц .
Биномиальныйзакон описывает в самой общей форме осуществление признака в повторной выборке(в частности, появление несоответствий).
Например,пусть в партии из N деталей ровно М имеют внешний дефект (неравномерностьокраски). При контроле из партии извлекается деталь, фиксируется наличие либоотсутствие дефекта, после чего деталь извращается обратно. Если эти действияпроделаны n раз, то вероятность того, что при этом k раз будет зарегистрировандефект, вычисляется по формуле:
Еслиже извлеченная деталь не возвращается обратно (или все п деталей вынимаютсяодновременно), то вероятность того, что среди вынутых п деталей окажется ровноk с дефектом равна
Вэтом случае случайная величина Х — количество несоответствующих деталей ввыборке задается гипергеометрическим законом распределения. Этот законописывает осуществление признака в бесповторной выборке.
КогдаN очень велико по сравнению с п (то есть объем генеральной совокупности по крайнеймере на два порядка больше объема выборки), то несущественно, какая проводитсявыборка — бесповторная или повторная, ТО есть в этом случае вместо формулы(6.3.16) можно использовать формулу (6.3.15).
Прибольших значениях п формула Бернулли (6.3.13) заменяется формулой
котораяфактически совпадает с формулой (6.3.1), то есть с нормальным закономраспределения, параметры которого а = пр. s = npq.
Дляраспределения Пуассона математическое ожидание равно l, Дисперсия также равна l.
Нарисунке 6.4 представлены два биномиальных распределения P^(k). У одного п = 30;р = 0,3 — оно близко к нормальному распределению с математическим ожиданием т,= пр =-- 9. У другого п = 30; р = 0,05 — оно близко к распределению Пуассона сматематическим ожиданием mk = пр = 1,5.

СПИСОКРЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.Статистические методы повышения качества (Пер. с англ./ Под ред. С. Кумэ).-М.:Финансы и статистика, 1990.-304с.
2.Статистическое управление процессами (SPC). Руководство. Пер. с англ. (сдополн.). — Н.Новгород: АО НИЦ КД, СМЦ «Приоритет», 1997г.
3.Статистический контроль качества продукции на основе принципа распределенияприоритетов/В.А. Лапидус, М.И. Розно, А.В. Глазунов и др.-ВЙ.: Финансы истатистика, 1991 .-224с.
4. МиттагХ.-И… Ринне X. Статистические методы обеспечения качества М.: Машиностроение,1995.-616с.
5. ГОСТ Р50779.0-95 Статистические методы. Основные положения.
6. ГОСТ Р50779.30-95 Статистические методы. Приемочный контроль качества. Общиетребования.
7. ГОСТ Р50779.50-95 Статистические методы. Приемочный контроль качества поколичественному признаку. Общие требования.
8. ГОСТ Р50779.51-95 Статистические методы. Непрерывный приемочный контроль качества поальтернативному признаку.
9. ГОСТ Р50779.52-95 Статистические методы. Приемочный контроль качества поальтернативному признаку.
10. ИСО9000-ИСО 9004. ИСО 8402. Управление качеством продукции ( пер. с англ.).-М.:Изд-во стандартов, 1988.-96с.
11. ИСО 9000.Международные стандарты.