Міністерство освіти інауки України
Курсова робота
на тему: Середні величини та показники варіаціїуправовій статистиці
Харків 2011
Зміст
Вступ
1. Поняття середньої величини
2. Види середніх величин та технікаїх обчислення
3. Поняття моди та медіани
4. Показники варіації та способи їх обчислення
Висновки
Список літератури
Вступ
Середні величини відносяться до узагальнюючих показників.
У статистиці усі показники розподіляються на індивідуальніта середні. Індивідуальні показники завжди характеризують окремі одиниці сукупності.Усі суспільні явища, в тому числі й правові, мають масовий характер і обов`язкововідносяться до статистичних сукупностей. Кожна одиниця сукупності відрізняєтьсявід інших її одиниць розмірами ознаки, яка вивчається в процесі дослідження, томудати узагальнюючу характеристику статистичної сукупності можна тільки за допомогоюсередніх показників. Наприклад, щоб об`єктивно оцінити, на якому підприємстві вищазаробітна плата, слід спочатку обчислити середню заробітну плату на кожному підприємствіі тільки потім їх порівняти.
Закон великих чисел іноді називають законом середньої величини.Дійсно, значення кожної окремої одиниці може істотно змінюватися під впливом різнихумов. В нашому прикладі заробітна плата кожного окремого робітника розрізнюєтьсязалежно від стажу роботи, рівня кваліфікації, кількості відпрацьованого робочогочасу та інших умов. Але якщо проаналізувати середню заробітну плату, то можна встановититенденції її зміни і різницю в оплаті праці залежно від виду підприємства і проміжкучасу, за який наведені дані. Обчислена середня величина характеризує найбільш типовізакономірності у розвитку явища, абстрагуючись від тих відхилень, які властиві окремимодиницям сукупності.
Необхідність в обчисленні середньоївеличини обумовлюється тим, що суспільні явища, які вивчаються й правовою статистикою,завжди носять масовий характер, а ознаки у окремих одиниць сукупності відрізняютьсяодна від одної, інакше кажучи, варіюють. Якщо припустити можливість існування сукупності,в якій у всіх одиниць будуть однакові розміри ознаки, то в такій сукупності середнювеличину обчислювати безглуздо.
1. Поняття середньої величини
Середня величина в статистиці – це узагальнюючийпоказник, який характеризує типовий розмір ознаки якісно однорідної сукупності вконкретних умовах простору і часу.
Головною передумовою для обчисленняі застосування середніх величин є те, що вони не можуть обчислюватися для різнорідноїсукупності. Це визначає, що наукове використання середніх величин базується на поєднаннійого з методом групування: спочатку слід поділити сукупність на окремі групи, алише після цього обчислювати середні величини для якісно однорідних груп сукупностіта сукупності в цілому.
Середні величини дуже широко застосовуютьсядля обчислення середнього рівня сукупності, порівняння двох або більше об`єктів,характеристики динаміки явищ, вивчення зв`язку між ними.
У правовій статистиці середні величинивикористовуються для: обчислення зміни у структурі злочинності; середньої кількостіосіб, яка припадає на один злочин, характеристики зміни у середньому віці злочинцівпо окремих видах злочинів і по усій злочинності в цілому, для характеристики додержанняпроцесуальних строків (середні строки попереднього слідства, розгляду кримінальних,цивільних та адміністративних справ), середньої величини збитків по окремих видахзлочинів та інші показники.
Існують різні точки зору на визначенняпоняття середньої величини. Прихильники діалектичного підходу вважають, що в реальностііснують різні індивідуальні одиниці, а середня величина лише абстракція, яка характеризуєу загальному вигляді сукупність в цілому. На думку інших вчених, навпаки, – існуєлише середня величина, а кожна окрема одиниця, яка відхиляється від середньої, –це атавізм або ненормальний стан. Звісно, що така точка зору значно спрощує статистичнийаналіз – не треба вивчати окремі одиниці сукупності, достатньо вивчити лише середнівеличини та визначити тенденції їх зміни.
Нам здається, що точка зору прихильниківдіалектичного підходу є більш вірною. Представники багатьох наук вважають, що окрімвстановлення елементарних математичних закономірностей, усі науки у своїх дослідженняхповинні виявляти статистичні, а не функціональні закономірності. Лише в елементарнійматематиці ми можемо одержати точний результат, а вже коли із чотирьох добуваємоквадратний корінь, то одержуємо два результати: зі знаком або мінус два, або плюсдва.
Таким чином середній показник має лишеоціночне значення. В правовій статистиці, де окремі явища часто є унікальними вінні в якому разі не може підмінювати, і тим більше замінювати, вивчення індивідуального.Крім того, індивідуальні явища характеризують розподіл сукупності і дають змогувстановити одиниці, які істотно відрізняються від інших одиниць.
Щоб встановити їх закономірності таособливості в розвитку явища загальна середня величина, обчислена для усієї сукупності,повинна доповнюватися вивченням середніх по окремих групах,. У правовій статистицідуже часто загальна середня величина по країні в цілому доповнюється середніми показникамипо окремих регіонах. Взагалі середня величина є вельми небезпечним показником. Вонаможна не тільки виявити, а і приховати закономірності розвитку явища.
правовий статистика медіанаваріація
2. Види середніх величин та технікаїх обчислення
У практиці проведення статистичних дослідженьзастосовуються різні види середніх величин. Це обумовлено перш за все наявністювихідних даних і метою дослідження. За технікою обчислення усі середні величиниможуть бути прості (незважені) та зважені, за класом всі вони відносяться до степенноїсередньої. Загальна формула середньої степенної має такий вигляд (перша формула– проста; друга – зважена):
/>; або />,
де /> – степенна середня величина; x – варіанти (значення ознаки одиницьсукупності); n – загальна кількість одиницьсукупності; f – вага, частота, яка показуєскільки разів зустрічається те чи інше значення ознаки; m – показник ступеню середньої; Σ– знак суми.
За назвами в статистиці використовуютьсясередня арифметична, середня хронологічна, середня геометрична, середня квадратичнавеличини, середня гармонічна. Зміна значення показника степенної середньої величини(m) визначає вид середньої величини: якщо m = 1, то ми одержуємо середню арифметичнувеличину; якщо m = 2, то одержуємо середню квадратичну;якщо m = 3, то – середню кубічну; якщо m = — 1,– маємо середню гармонічну; якщоm = 0, то середню геометричну. З степеннихсередніх в правовій статистиці найчастіше використовують середню арифметичну, значнорідше – середню гармонічну; середня геометрична застосовується лише при обчисленнісередніх темпів динаміки, а середня квадратична – при обчисленні показників варіації.
Розмір обчисленої середньої величинизавжди відрізняється, оскільки обумовлюється показником степеню середньої величини.В загальному вигляді це правило має назву мажорантності середніх: чим більше показникступеня, тим більше величина середньої. При цьому слід мати на увазі, що правильнухарактеристику різних сукупностей в кожному окремому випадку визначає лише певнийвид середньої величини. Основний критерій визначення виду середньої величини – цемеханізм утворення обсягу ознаки, яка варіює. Середня тільки тоді буде вірно відображатиусю сукупність, коли при заміні усіх ознак (варіантів) середньою загальний обсягваріюючої ознаки залишиться незмінним.
Залежно від того, як формується загальнийобсяг сукупності, і визначається вид середньої величини. Середня арифметична застосовуєтьсятоді, коли обсяг варіючої ознаки утворюється як сума окремих варіантів, середняквадратична – коли обсяг варіючої ознаки має вигляд суми квадратів окремих варіантів,середня гармонічна – коли обсяг варіючої ознаки складається із суми обернених значеньокремих варіантів, середня геометрична – коли обсяг варіючої ознаки одержуєтьсяяк добуток окремих варіантів.
У правовій статистиці середні арифметичнівеличини застосовуються тоді, коли первинні (вихідні) дані наведені у такому вигляді,що загальний обсяг ознаки для усієї сукупності можна одержати шляхом підсумовуванняїх у всіх одиницях.
Середня арифметична проста (незважена)обчислюється шляхом ділення суми індивідуальних значень ознаки на їх загальну кількість.Спочатку підсумовують значення усіх варіантів, а потім ця сума ділиться на загальнукількість одиниць сукупності. Наприклад, один слідчий районної прокуратури закінчивза місяць 2 справи, інший – три. В результаті у середньому вони закінчили розгляд2,5 справи ((2+3): 2). При цьому не можна відкинути 0,5 справи і округлити цифру,тому що в такому разі результат буде помилковий.
Середня арифметична проста використовуєтьсядуже рідко, як правило, лише тоді, коли сукупність повністю симетрична (нормальнийзакон розподілу одиниць) або має невелику кількість одиниць (як в нашому прикладі).
У загальному вигляді середня арифметичнапроста обчислюється за формулою:
/>
де: />– середня арифметичнавеличина; x – значення ознаки одиниць сукупності;n – кількість варіантів, з яких обчислюється середня (обсяг статистичної сукупності);Σ – знак суми./> />
У правовій статистицізастосовуються середня арифметична зважена, яка обчислюється за формулою:
де ƒ1, ƒ2, …, ƒn – повторення (частота, вага) кожноговаріанта; x1, x2, …, xn – значення ознаки одиниць сукупності;Σ – знак суми.
Середня арифметична зважена завжди обчислюється тоді, коли окремізначення варіантів у сукупності повторюються кілька разів або коли ряд розподілузначення ознаки несиметричний. При обчисленні середньої арифметичної зваженої занаведеною формулою значення кожного варіанта (ознаки кожної одиниці сукупності)слід помножити на відповідну йому вагу (частоту або повторюваність кожного варіанта)і суму цих добутків поділити на суму частот (загальну кількість одиниць сукупності).При цьому перемноження значень ознак сукупності на кількість їх повторювання в сукупності(тобто варіантів на ваги) називається зважуванням, а одержана середня величина –зваженою.
Використання середньої арифметичної зваженої дає змогу замінитибагаторазове підсумовування однакових варіантів, як це має місце при обчисленнісередньої арифметичної простої.
Отже, за наявності значної кількості первинних даних можна обчислюватисередню величину двома способами:
1) шляхом підсумовування значень ознаки у кожної окремої одиницісукупності – за формулою арифметичної простої;
2) на підставі заздалегідь впорядкованих даних у вигляді варіаційногоряду розподілу – за формулою арифметичної зваженої. При цьому спочатку обов`язковобудується варіаційний ряд розподілу, для того щоб бути впевненими, що обчислюєтьсясередня для якісно однорідної сукупності.
Обчислимо середню арифметичну зваженуза даними табл. 1 (первинні дані наведені у вигляді дискретногоряду розподілу).
Таблиця 1.Кількістьрозглянутих кримінальних справ в місцевому судіКількість засуджених по справі, х Кількість розглянутих справ, ƒ
Добуток,
хƒ 1 20 20 2 14 28 3 12 36 4 10 40 5 4 20 Всього 60 144
За допомогою наведеної вище формули одержимо середню кількістьзасуджених по кримінальній справі: 2, 4 людини (144: 60).
Середня величина завжди має числовевираження в тих самих одиницях виміру, що й первинні дані. При цьому її розмір обов`язковознаходиться в межах від мінімального до максимального значення ознаки і вона неможе бути меншою за мінімальне і більшою за максимальне значення ознаки. Якщо жз якоїсь причини одержали середню величину, яка істотно відрізняється від варіантів,то слід обчислити її заново.
Округлювати одержані дані можна лишетаким чином, щоб не втратити реального змісту показника. Якщо в даному прикладіми відкинемо десяту частину дробу, то істотно зменшимо результат. Якщо 2 особи помножитина 60 кримінальних справ, одержимо 120 осіб, а в дійсності за цими розглянутимикримінальними справами було засуджено 144 особи, тобто маємо зменшення на 24 особи.
Частіше доводиться обчислювати середніарифметичні зважені з даних, наведених в статистичній звітності у вигляді інтервальнихваріаційних рядів розподілу, коли значення варіантів наведено не числом, а в межахінтервалу: від до Наприклад, маємо такі дані про вік засуджених ( табл. 2).
Таблиця 2.Кількістьзасуджених за віком за злочини проти власності
Вік особи,
рік
Кількість засуджених,
ƒ Середина інтервалу, рік, х
Добуток,
хƒ До 18 24 15,5 372 18 – 24 48 21 1008 25 – 29 30 27 810 30 – 49 22 39,5 869 50 і старше 6 59,5 357 Всього 130 _ 3416
Щоб обчислити середній вік усіх 130 осіб, засуджених за злочинипроти власності, спочатку необхідно визначити середній вік кожної групи, тому щовік в документах первинного обліку (статистична картка на підсудного) наводитьсяу вигляді інтервалів. Середній вік для кожної групи умовно приймають, як серединукожного інтервалу. Вона обчислюється як середня арифметична проста умовно, оскількине завжди однаково зустрічаються в межах групи особи з різним віком. Нижня межаінтервалу першої групи визначається згідно з кримінальним кодексом. Відповідальністьза вчинення цих видів злочинів настає з 14 років, таким чином середина першої віковоїгрупи буде дорівнювати 15,5 рокам ((14 + 17): 2). Аналогічно обчислюється серединаусіх інших інтервалів, крім останнього, оскільки в ньому відсутня верхня межа інтервалу.Останній інтервал повністю відкритий. Теоретично особа у будь-якому віці, якщо вонавчинила злочин, може буде засуджена. В такому разі ця межа встановлюється умовнотаким чином, щоб інтервал був рівним сусідньому з ним. В нашому прикладі величинапередостаннього інтервалу дорівнювала 19 рокам (49 – 30). Відповідно, приймаємоверхню межу останнього інтервалу рівною 69 років (50 + 19), тоді середина становить59,5 років ((69 + 50): 2).
Після встановлення середини кожногоінтервалу, за наведеною вище формулою середньої арифметичної зваженої обчислюємосередній вік 130 засуджених за злочини проти власності. Він складає 26,3 роки (3416: 130).
При цьому слід мати на увазі, що середнявеличина, обчислена за даними інтервального варіаційного ряду розподілу, завждиє наближеною, тому що при її обчисленні робиться припущення про однакові розміриознаки у кожної одиниці сукупності. Але точних даних одержати неможливо, оскількив звітності вони наведені у такому вигляді. Звісно, що чим більше величина інтервалуі чим більше одиниць в ньому, тим більше відхилень від дійсної середньої величиниможна одержати. Істотно вплинути на розмір середньої величини, обчисленої з інтервальногоряду, може й довільне встановлення межі відкритих інтервалів, тому що із підрахункуможуть повністю зникнути найбільш віддаленні значення ознаки.
Середня арифметична, яка обчислюєтьсяза даними варіаційного ряду, має ряд властивостей, які мають практичне значенняпри її обчисленні. Найголовніші властивості такі:
1. Добуток середньої на суму частотзавжди дорівнює сумі добутку варіантів на частоти.
2. Якщо від кожного значення варіантавідняти якесь число, то середня арифметична величина зменшиться на теж саме число.
3. Якщо до кожного значення варіантадодати якесь число, то середня арифметична величина збільшиться на теж саме число.
4. Якщо кожне значення варіантаподілити на якесь число, то середня арифметична величина зменшиться на теж самечисло разів. Ця властивість дає змогу значно простіше обчислити середню арифметичнувеличину.
5. Якщо кожне значення варіантапомножити на якесь число, то середня арифметична величина збільшиться на теж самечисло разів.
6. Якщо усі частоти (ваги) поділити(або помножити) на якесь число, то середня арифметична величина від цього не зміниться.Цією властивістю часто користуються, коли частоти (ваги) мають вигляд у відсоткахдо підсумку.
Дуже рідко в правовій статистиці застосовуютьсясередня гармонічна – обернена величина середньої арифметичної із обернених значеньваріантів. Застосування середньої арифметичної або гармонічної залежить від первиннихданих. Якщо за ваги (частоти) береться не кількість одиниць сукупності, а величини,одержані внаслідок множення значень варіантів на кількість одиниць, тобто зразумаємо добуток хƒ, то в цьому разі обчислюється середня гармонічна. У правовійстатистиці, як правило, такі дані не зустрічаються або зустрічаються дуже рідко.В інших галузях статистики ця величина застосовується для обчислення середньої врожайності,середньої продуктивності праці, середнього відсотка виконання плану тощо. До цьогочасу статистики так і не визначилися, за якою середньою слід обчислювати середнійтермін будівництва. За правилами математичної статистики (мажорантності середніхвеличин) середня арифметична завжди більша за середню гармонічну, особливо якщойдеться про значний розмір показника.
Для розрахунку середньої величини заформулою середньої гармонічної зваженою необхідно виходити з логічного усвідомленнявихідних величин. Наприклад, кількість оштрафованих осіб – це складова частина загальноїсуми штрафу. Тому щоб встановити середній розмір штрафу (розрахункова величина)ми повинні його обраховувати за формулою середньої гармонічної зваженої.
Але може обчислюватися і середня гармонічнапроста за формулою:
/>
Дана формула використовується лишетоді, коли вага кожного варіанта дорівнює одиниці. На практиці таке практично незустрічається.
Середня гармонічна зважена обчислюєтьсяза формулою:
/>
де: Х ¾ значення ознаки, що варіює; М=Xf ¾ результат перемноження значення варіантів на їхваги.
Якщо ми дійсно будемо розраховуватисередній розмір стягнутих штрафів тим чи іншим органом або в тій чи іншій місцевості,то знаменник дробу буде мати реальний зміст – кількість оштрафованих осіб, які сплатилиштраф.
Техніка обчислення середньої геометричноїі середньої хронологічної, які в правовій статистиці застосовуються при обчисленніпоказників в рядах динаміки, наведена розділі Х цього підручника.
3. Поняття моди та медіани
Крім математично обчислених степенних середніх величин у статистицізастосовуються показники описового характеру – структурні середні, з яких найчастішевикористовуються мода та медіана, які у впорядкованому ряду розподілу характеризуютьзначення тенденцій окремих варіантів.
Модою в статистиці називається такезначення ознаки, яке зустрічається найчастіше. Якщо дані розташовані у вигляді дискретногоряду розподілу, то модою буде значення того варіанту, який має найбільшу частоту.Мода в статистиці застосовується тоді, коли слід охарактеризувати показник, якийнайчастіше зустрічається в сукупності. Наприклад, при вивченні цін на ринку встановлюємоціни, які зустрічаються найчастіше; при встановленні найбільш ходового розміру взуттяі одягу визначаємо той, який користується найбільшим попитом. Ці показники даютьзмогу спланувати, які товари необхідно виробляти в більшій кількості, а також якітовари поставляти на ринок і за якими цінами.
Але в правовій статистиці такі показникизастосовуються лише для опису сукупності, а не для наукової характеристики явища.Наприклад, маємо такі первинні дані про вік осіб, які вчинили злочини проти особи,в районі міста за місяць: 17, 25, 30, 31, 27, 28, 15, 18, 21, 22, 25, 24, 16, 24,26, 19, 32, 35, 19, 17, 20, 21, 22, 23, 22, 26 (дані вибрані з первинних обліковихдокументів без їх обробки). Порядок заповнення документів первинного обліку даєзмогу позначити тільки ціле число повних років життя. Тому в цьому разі ми можемообчислювати моду за принципом дискретного ряду розподілу, хоча первинні дані відносятьсядо інтервального варіаційного ряду. Мода в нашому прикладі дорівнюватиме 22 роки,оскільки цей показник зустрічається найчастіше (три рази).
В інтервальному варіаційному ряду розподілулегко відшуковується лише модальний інтервал, а сама мода визначається приблизно.
Формула обчислення моди в інтервальномуряду має такий вигляд:
М0 = Х0 + і />,
де: М0 – мода; X0 – нижня границя модальногоінтервалу; i – величина модального інтервалу; f1 – частота інтервалу, який передує модальному;f2 – частота модальногоінтервалу; f3 – частота інтервалу,який слідує після модального.
За даними табл. 2 обчислимомоду. Модальний інтервал становить від 18 до 24 років, тому що йому відповідає максимальначастота (48 засуджених). Тоді мода матиме такий вигляд:/> />
Медіаною в статистиці називають значенняваріанти, яка ділить впорядкований ряд розподілу на дві рівні за чисельністю одиницьсукупності частини, знаходиться у середині ряду.
Якщо усі значення дискретного рядузаписати в певному порядку (зростання або зменшення значення показників), то цебуде значення, яке знаходиться у середині ряду. За наведеним раніш прикладом обчислимомедіану. Спочатку впорядкуємо дані про вік осіб, які вчинили злочини проти особи,розташувавши дані в ранжованому порядку зростання показників віку: 15, 16, 17, 17,18, 19, 19, 20, 21, 21, 22, 22, 22, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 27, 28, 30, 31,32, 35. Якщо б ми мали непарну кількість одиниць ряду, то центральна з них і булаб медіаною. В нашому ж прикладі наявне парне число одиниць сукупності. Тоді медіанаобчислюється як середня арифметична проста двох центральних варіантів або за формулою(∑ƒ + 1): 2. До загальної кількості одиниць сукупності необхідно додатиодиницю і одержане число поділити на два. В нашому прикладі було наведено 26 особи,які вчинили злочини. За наведеною формулою знаходимо місце медіани (26 + 1):2 =13,5. Медіана знаходиться посередині між 13 і 14 значеннями і дорівнює 22,5 рокам,тобто між 22 і 23 роками.
Складніше обчислюється медіана в варіаційномуряду. Існує така формула для її знаходження:
/>
де: Ме – медіана; хн – нижня границямедіанного інтервалу; І – величина медіанного інтервалу; Σf – сума частот ряду; SМе-1 – сума накопичених частот інтервалу,попереднього медіанному; fМе – частотамедіанного інтервалу.
За якою б формулою не обчислювали медіану, сутність її не видозмінюється.Медіана в якому завгодно випадку повинна поділити варіаційний ряд на дві рівні частиниза сумою частот. Тому спочатку в інтервальному ряду розподілу знаходимо інтервал,в якому розташована медіана, а потім приблизно обчислюємо саму медіану. За данимитабл. 10 обчислимо медіану. З`ясовуємо, що інтервал, в якому знаходиться медіана,дорівнює від 18 до 24 років. Потім за формулою, яка наведена, обчислюємо медіану:
/>
Медіана як показник має перевагу перед іншими видами середніхвеличин, тому що вона не залежить від наявності чи відсутності показників в окремихінтервалах. На її розмір впливає лише порядок розташування показників, а також те,наскільки вірно побудовано ряд розподілу. В такому разі її обчислення нескладне.
Слід зауважити, що мода і медіана єспецифічними видами середніх величин, тому що вони завжди характеризують лише центррозподілу статистичної сукупності.
Моду, медіану та середню арифметичнуслід завжди використовувати у сукупності, оскільки вони характеризують ряд розподілунеоднозначно. Якщо ряд симетричний, то вони повністю співпадають.
В нашому прикладі, мода дорівнює 22роки, медіана – 22,5 роки, а середній вік, який обчислюється за середньою арифметичною,– 23,3 роки (додаємо усі первинні дані (15 + 16 + 17 + … + 35 = 605) і ділимо їхна кількість осіб – на 26). Наведений ряд розподілу має асиметрію, але не значну.За даними табл. 10, маємо такі результати: середній вік – 26,3 роки; мода – 21,4роки; медіана – 23,1 роки, тобто цей ряд має значно більшу асиметрію.
4. Показники варіації та способиїх обчислення
Середні величини мають велике теоретичне і практичне значення,оскільки вони дають змогу однією величиною охарактеризувати сукупність однотипнихявищ. Проте для всебічної характеристики таких явищ їх не достатньо. Статистичнійсукупності притаманні коливання у кожної окремої одиниці, які у математиці називаютьсяваріацією. Ці коливання обумовлені тим, що статистичні сукупності виникають та існуютьпід впливом багатьох взаємопов`язаних причин. Деякі автори вважають, що на злочинністьвпливають від 230 до 250 різних факторів.
Причини, які впливають на суспільні явища, можуть бути основнимита другорядними. З точки зору діалектики основні причини формують сукупність і впливаютьна середні показники, а також на знаходження центру розподілу. Другорядні причиниобумовлюють варіацію ознак, сумісну їх дію, напрямки розвитку явища.
Істотним при цьому є те, що повністю дати оцінку явищу за допомогоютільки середніх показників неможливо: коливання окремих ознак в різних сукупностяхможуть бути значними і незначними, а середні величини при цьому будуть однакові.Для підтвердження цієї тези наведемо дані про розподіл засуджених за двома різнимискладами злочинної діяльності за строками позбавлення волі (табл. 3).
Таблиця 3.Розподілзасуджених за строками позбавлення волі за двомаскладами злочинної діяльності ПРИКЛАД № 1 ПРИКЛАД № 2
Строк позбавлення волі,
рік, х Кількість засуджених, ƒ Добуток, хƒ Строк позбавлення волі, рік, х Кількість засуджених, ƒ
Добуток,
хƒ
1 5 5 3 30 90
4 15 60 5 10 50
6 60 360 6 20 120
8 15 120 7 10 70
11 5 55 9 30 270
Всього 100 600 Всього 100 600
/> /> /> /> /> /> /> /> /> />
В обох прикладах ми взяли по 100 осіб засуджених. В кожному зних середній строк позбавлення волі, який обчислено за середньою арифметичною зваженою,має однакове значення, котре дорівнює 6 рокам (600: 100). Однак, навіть на першийпогляд видно, що сукупності є різними. В першій сукупності більшість осіб дійсноодержала середній строк позбавлення волі, в другій – навпаки, більшість осіб одержаламінімальні та максимальні строки позбавлення волі за цим складом злочинів.
Щоб встановити, як відрізняються наведені сукупності, а такожякі межі коливання має ознака, необхідно обчислити такі показники варіації: розмахваріації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення і коефіцієнтваріації. Кожний з цих показників має певні аналітичні переваги при вирішенні тихчи інших завдань статистичного аналізу.
Розмах варіації – це різниця між найбільшим і найменшим значеннямиознаки у сукупності. Залежно від того, в якому вигляді наведені первинні дані, технікаобчислення цього показника різна: це може бути різниця між верхньою межею останньогоінтервалу і нижньою межею першого інтервалу або різниця між середніми значеннямицих інтервалів. Обраховується за формулою:
R = xmax – xmin ,
де: R – розмах варіації; xmax – найбільше значення ознакив сукупності; xmin – найменше значення ознаки в сукупності.
За даними табл. 3в першому прикладі розмах варіації склав 10 років (11 – 1), а в другому– 6 років (9 – 3).
Розмах варіації відображає тільки крайні значення ознаки, томувін є головним показником у тих випадках, коли варіанти повторюються один раз. Вінших випадках розмах варіації застосовується для того, щоб одержати загальне уявленняпро варіацію ознаки у всієї сукупності. Наприклад, розмах варіації віку у студентіврізних форм навчання має бути різним, але він завжди буде меншим за розмах варіаціївіку всього населення певного регіону. В деяких регіонах він може бути більше 100років.
Безумовною перевагою цього показника, як міри оцінки коливанняознаки, можна вважати нескладність його обчислення і розуміння. Але його недолікомє те, що він оцінує лише крайні коливання ознаки, а вони можуть бути для сукупностівипадковими і зовсім не відображати розподіл відхилення ознаки в сукупності. У зв`язкуз цим, надійність даного показника є невисокою, але його часто використовують дляпопередньої оцінки варіації при статистичних розрахунках.
Так, в першому прикладі 60 % осіб засуджені на строк, який збігаєтьсяз середнім строком позбавлення волі; в другому – їх лише 20 %, але розмах варіаціїв другому прикладі менший, ніж в першому, що не відповідає ні логіці, ні дійсності.
За даними табл. 9 розмах варіації дорівнює 4 особам (5 – 1);за даними, які застосовані для розрахунку медіани, – 20 рокам (35 – 15). Це ще разпідтверджує висновок про те, що розмах варіації істотно залежить від значень ознакиі дає лише приблизну характеристику наявності коливань ознаки в сукупності.
Для характеристики реального розподілу відхилень окремих значеньодиниць сукупності від середньої величини застосовуються середнє лінійне та середнєквадратичне відхилення.
Середнє лінійне відхилення – це арифметична середня з абсолютнихзначень відхилень ознаки окремих варіантів від їх середньої арифметичної. Середнєлінійне відхилення обчислюється за формулою:
/>,де: Λ – середнєлінійне відхилення; x – значення ознаки; /> – середнє значення ознаки; f – частота(вага) кожного варіанта.
При обчисленні цього показника відхилення від середньої величиниоднаково оцінюються як в більший, так і менший бік. Це є не зовсім вірним з точкизору економічного аналізу, тому що нас завжди цікавлять зрушення і зміни в сукупностів якійсь-то один бік і ми дуже обережно ставимося до змін в іншій бік. Наприклад,незначні строки покарання свідчать про те, що особами вчинено менше тяжких злочинів. У табл. 4наведений розрахунок середнього лінійного та середнього квадратичноговідхилень.
Таблиця 4.Розрахуноксереднього лінійного та середнього квадратичного відхиленьПриклад № 1 Приклад № 2 x f
x – />
(x-/>)f
(х-/>)2f x f
x – />
(х-/>)f
(х-/>)2f 1 5 — 5 — 25 125 3 30 — 3 — 90 270 4 15 — 2 — 30 60 5 10 — 1 — 10 10 6 60 6 20 8 15 2 30 60 7 10 1 10 10 11 5 5 25 125 9 30 3 90 270 Всього 100 _ 370 _ 100 _ 560
На підставі даних, які наведені в табл. 4, видно, що для обчислення середнього лінійного відхилення слідбрати абсолютне значення показників. Якщо підсумувати усі значення з урахуваннязнаку, то в четвертому та дев`ятому стовпчиках табл. 4одержимо нуль. З точки зору математики одержання нуля є обов`язковим,які б первинні дані ми не мали. Для статистики нульовий результат немає сенсу.
Обчислимо за даними табл. 4середнє лінійне відхилення для першого прикладу – 1,1 роки (підсумуємоусі дані, наведені в четвертому стовпчику, незважаючи на знак перед числом, тобто25 + 30 + 0 + 30 + 25, цю суму слід поділити на загальну кількість засуджених осіб,на 100 чоловік); для другого прикладу – 2,0 роки ((90 + 10 + 0 +10 +90): 100),за даними, які наведені у дев`ятому стовпчику. Одержані дані характеризують, щодруга сукупність має більші коливання, ніж перша.
Найчастіше при економічних розрахунках для оцінки щільності взаємозв`язкуявищ, обчислення похибки репрезентативності тощо використовується середнє квадратичневідхилення.
Середнє квадратичне відхилення – це корінь квадратний із середньогоквадрату відхилень ознаки кожного варіанту від їх середньої арифметичної. Цей показникобчислюється за такою формулою:
/>,де: σ – середнє квадратичне відхилення; x – значенняознаки; /> –середнє значення ознаки.
Щоб його знайти, достатньо суму п`ятого і десятого стовпчиківтабл. 4 поділити на загальну кількістьпоказників і з одержаної величини добути корінь квадратний.
Середнє квадратичне відхилення в першому прикладі дорівнює 1,92рокам (370 ділимо на 100 і добуваємо корінь квадратний), в другому прикладі – 2,37рокам. Отже, середнє квадратичне відхилення дає змогу встановити, що друга сукупність(другий приклад) має значно більші коливання ознак – в 1,23 рази ( 2.37: 1.92).
Усі наведені показники (розмах варіації, середнє лінійне і середнєквадратичне відхилення) дають змогу встановити і оцінити міру коливання ознак вабсолютному розмірі, тому всі вони обов`язково мають точно такі ж одиниці виміру,як і одиниці сукупності. Для роз`яснення техніки обчислення показників варіаціїі були взяті дві однакові з точки зору одиниць виміру сукупності, тому їх можнаі порівнювати між собою.
Недоліком середнього квадратичного відхилення є те, що воно характеризуєтільки абсолютну міру коливання ознаки. Якщо обчислювати середнє квадратичне відхиленняза даними табл. 9, то можна одержати показник 1,28 чол. В цьому разі порівнюватийого з показниками наших прикладів не можна.
Між середнім лінійним, середньо величиною і середнім квадратичнимвідхиленням існує такий зв`язок 1,25 Λ = σ, а σ = 1/3 />. В симетричнихрядах розподілу середнє квадратичне відхилення можна визначити за формулою: σ= 1/6 (xmax– xmin),або ж σ = 1/6 R.
Розрахунок середнього квадратичного відхилення має логічний змістлише в тому випадку, коли фактичний розподіл ознаки близький до нормального. Дляявно асиметричних розподілень його розрахунок не має сенсу.
Квадрат середнього відхилення має назву дисперсії. Значення цьогопоказника істотно зростає, коли нам необхідно обчислити варіацію альтернативноїознаки. Як вже підкреслювалось, альтернативна ознака – це така, яку кожна одиницясукупності або має, або не має. Наприклад, наявність вченого ступеню у викладачіввищого учбового закладу.
Кількісно варіація альтернативної ознаки виражається двома значеннями:наявність ознаки позначається через одиницю, а її відсутність – нуль. Позначившичастку одиниць, які мають дану ознаку через р, а одиниці, які не мають цієї ознакичерез q= (1 – р), визначимо середню арифметичну альтернативноїознаки. Вона буде дорівнювати:
/> .
Після цього обчислимо дисперсію альтернативної ознаки:
/> = />q2p+ p2q =p q (q +p) =
=p*q = p (1 – p).
Отже частка для альтернативної ознаки замінює середню величину,а дисперсія є добутком частки на доповнення її до одиниці.
Для більш детальної характеристики сукупності застосовуєтьсявідносний показник – коефіцієнт варіації. Існують різні думки щодо того, за якимз показників його можна обчислювати. На практиці завжди порівнюють за допомогоюсереднього квадратичного відхилення, яке найбільш реалістично відображає коливанняознаки в сукупності.
Коефіцієнт варіації – це відсоткове відношення середнього квадратичноговідхилення до середнього рівня. Як правило, цей середній рівень обчислюється заформулою середньої арифметичної. Коефіцієнт варіації обчислюється за формулою:
/> ,
де: V – коефіцієнтваріації; /> –середнє квадратичне відхилення; /> – середній розмір ознаки в статистичнійсукупності.
За даними табл. 4коефіцієнт варіації в першому прикладі дорівнює 32,0 % ( 1,92: 6х 100), в другому прикладі – 39,5 % (2,37: 6 х 100); за даними табл. 9 – 53,3 %(1,28: 2,4 х 100).
Коефіцієнт варіації дає змогу порівняти різні сукупності. Чимменше цей показник, тим менше коливання ознаки в сукупності і тим більш одноріднасукупність, і навпаки.
Показник коефіцієнта варіації слід використовувати для оцінкиоднорідності сукупності. Існує оціночний критерій – сукупність однорідна і середнявеличина в ній є типовою, якщо коефіцієнт варіації не перевищує 33 %. Таким чином,тільки сукупність, яка наведена в першому прикладі, є однорідною, хоча в ній розмахваріації був значно більшим, ніж в інших сукупностях.
Розрізняють такі значення відносних коливань (варіації)
– незначну ознаку V ≤ 10 %
– середню V = 10,1 – 30 %.
– велику V > 30 %.
При розрахунку коефіцієнта варіації ознаки у різних сукупностяхта умовах виникає необхідність його оцінки. Наприклад, якщо вивчають кількість справ,розглянутих суддями різних місцевих судів за визначений період (місяць, рік), кількістьосіб засуджених повторно у різних виправних установах тощо, то істотність різницікоефіцієнтів варіації розраховують за формулою:
tф = />
Різницю коефіцієнтів варіації вважають невипадковою, якщо критерійзгоди tф › 3, якщо ж tф ‹ 3, роблять висновок, що при цій кількостіспостережень нульова гіпотеза не підтверджується, і тому істотна різниця не доведена.
Список літератури
1. Лунеев В.В. Юридическая статистика: Учебник. –М.: Юристъ, 2009. – 400 с.
2. Постанова Кабінету Міністрів України “Про порядокведення спеціальної митної статистики” від 12 грудня 2002 р. № 1865. // Урядовийкур`єр 19.12. 2002. – с. 20.
3. Правова статистика: Навч. посібник /О.Г.Кальман,І.0. Христич. – Х.: “Право”, 2008. – 204 с.
4. Правова статистика. Курс лекцій./ О.М. Джужа, Ю.В.Александров, В.В. Василевич та інші. Під заг. ред. О.М. Джужи. – К.: [НАВСУ: Правовіджерела], 2007. – 336 с.
5. Савюк Л.К. Правовая статистика: Учебник. – М.: Юристъ, 2009. – 588 с.
6. Словарь криминологических и статистических терминов.// Кальман А.Г., Христич И.А. – Х.:ИИПП АПрН Украины, изд-во “Гимназия”, 2008. – 96 с.
7. Статистика:Підручник/За ред, А.В. Головача, А.М. Єріної, О.В. Козирєва. — К.: Вища шк., 2008.– 623 с.
8. Статистика:Підручник/ С.С. Герасименко, А.В. Головач, А.М. Єріна та ін.; За наук. ред. д-раекон. наук С.С. Герасименка. – 2-ге вид., перероб. і доп. – К.: КНЕУ, 2007. – 467с.
9. Статистичнийоблік і звітність у правоохоронних органах України// Кальман О.Г., Христич І.О.Науково-практичний посібник. – Х.: ІВПЗ АПрН УКраїни, вид-во “Гимназия”, 2008. –140 с.
10. ТрофімоваГ.Г. Правова статистика: Навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц. – К.: КНЕУ,2006. – 75 с.
11. Чернадчук В.Д. Правовая статистика: конспект лекций. – К.: МАУП, 2009. – 72 с.