Задача2. Постройте рядраспределения студентов по успеваемости: 2, 3, 3, 4, 2, 5, 5, 3,3, 4, 5, 4, 5, 5, 5, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 4, 4, 4. Подсчитайтелокальные и накопительные частоты. Постройте полигон и кумуляту распределения.Определите моду, медиану, среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение,коэффициент вариации.
Решение:
Рядраспределения –это рядчисел, в котором значение изучаемого признака (варианты), расположены вопределенном порядке: либо в порядке возрастания, либо убывания. Наряду свариантами ряд распределения включает и частоты – величины, показывающие сколько раз каждаяварианта встречается в данной совокупности. Сумма частот равна объемусовокупности. Таким образом, ряд распределения состоит из вариант (х) и частот (f)
Взависимости от прерывности или непрерывности варьирующего признака рядыраспределения удобно представлять в виде двух разновидностей: дискретного ивариационного (интервального). Дискретный ряд представляет собой ряд прерывныхчисел. Например, распределение студентов по успеваемости (табл. 1). При непрерывнойвариации распределение признака называется интервальным. Частоты относятся ковсему интервалу.
Взависимости от вида ряда распределения по-разному можно изобразить ихграфически. Если ряд дискретный – строится полигон распределения. Величина признака откладывается наоси абсцисс, частоты – на оси ординат. Вершины ординат соединяются прямыми линиями. Гистограмма распределения отличаетсяот полигона тем, что на оси абсцисс берутся не точки, а отрезки, изображающиеинтервал, т.е. гистограмма, строится на
Оценка (балл) Число студентов (частоты) Накопленные 2 2 2 3 8 10 4 12 22
5 8 30 Итого 30
В основе вариационного(интервального) ряда. По накопленным частотам строится кумулятивная кривая(кумулята).
Для определения средней арифметической надо сложить все варианты и полученнуюсумму разделить на число единиц, входящих в совокупность (объем совокупности).Средняя арифметическая бывает простая и взвешенная. Простая средняяиспользуется тогда, когда каждая варианта встречается лишь один раз (1). Есликаждая варианта встречается несколько раз, то следует подсчитать частоты иумножить (взвесить) каждую варианту на соответствующую частоту (2).
Простая средняяарифметическая х = (1)
Средняя арифметическаявзвешенная х =(2)
Средний процент влажности найдёмпо формуле средней арифметической взвешенной:
/>=/>=/>
При расчете среднейарифметической для интервального ряда нужно сначала определить серединыинтервалов как полусуммы значений верхней и нижней границ интервала. Приналичии интервалов, где
Для характеристики рядовраспределения кроме средней степенной применяются структурные средние: модаи медиана.
Мода – варианта, котораянаиболее часто встречается в данной совокупности, т.е. варианта с наибольшейчастотой. Мо=4
Медиана – варианта, находящаяся всередине ряда распределения.
Мода для дискретного рядаопределяется просто и соответствует варианте с наибольшей частотой.
Медиану для дискретногоопределяют по накопленным частотам делением объема совокупности пополам: потаблице 1 – 30:2=15. Это соответствуетмедиане, равной 4.
Размах вариации – разность между наибольшейи наименьшей вариантой:
R=/>=5–2=3
Среднее квадратическоеотклонение – показатель вариации, измеряющий величину, на которую все вариантыв среднем отклоняются от средней арифметической.
Квадрат среднегоквадратического отклонения называется дисперсией, или средним квадратом отклонений.
Найдем дисперсию:
s2=/>=/>
s=/>=0,885 – среднееквадратическое отклонение.
Нарядус абсолютным показателем колеблемости признака – средним квадратическим отклонением – широко применяется иотносительный показатель – коэффициент вариации, который показывает меру колеблемостипризнака относительно его среднего значения и измеряется в процентах.
V=/>
Задача12. Используяданные задачи 2, проверьте при уровне значимости 0,05 гипотезу о нормальномзаконе распределения студентов по успеваемости.
Решение:
Применяемкритерий согласия – Пирсона.
Каждомуряду распределения достаточно большой совокупности объективно свойственнаопределенная закономерность. Моделирование кривой распределения позволяет вкомпактной форме дать характеристику закономерности распределения, используя еев планировании и прогнозировании. Одним из наиболее распространенных законовраспределения, применяемых в качестве стандарта, с которым сравнивают другиераспределения и которое имеет важное значение для решения задач выборочногонаблюдения является нормальное распределение. для того чтобы установить, верно,ли предположение о том, что эмпирическое распределение подчиняется законунормального распределения, необходимо сравнить его с теоретическимраспределением. Важно определить, являются ли различия между ними результатомдействия случайных причин или обусловлены неправильно подобранной функцией.
КритерийX-Пирсона:
/>
ЗначениеХ 2факрi,рассчитываетсяпо изложенной выше формуле, для которой предварительно определяютсятеоретические частоты.
/>
Нормированноеотклонение определяется по формуле:
/>
Таблица– Эмпирическое и теоретическое распределение студентов по успеваемостиОценка балл Число студентов t F(t) fm
/> 2 2 2,1 0,0880 3 0,3 3
8 0,98 0,2017 7 0,14 4 12 0,15
0,3212 11 0,09 5 8 1,28 0,2617 9 0,11 Итого 30 х Х 30 0,64
/>
/>
Х2 табл 8,95 при уровне значимости0,05 и числе степеней свободы число интервалов – 1.
Таккак Х 2 фактХ 2 табл критического(допустимого) значения, то эмпирическое распределение соответствуетнормальному.
Задача27. На основании данныхтаблицы б (с 1 по 26 предприятие) о выпуске продукции и размере прибылипостройте аналитическую группировку, а также исследуйте наличие и характервзаимосвязи между ними. Рассчитайте коэффициент корреляции, детерминации.Сделайте выводы.
Таблица6– Исходные данные деятельности предприятий, млн. руб.
№
предприятия – Выпуск продукции, Среднегодовая стоимость ОПФ, Численность работающих, чел. Потери рабочего времени, тыс. чел. дн. Прибыль. 1
65,0
54,6 340 66,0 15,7 2 78,0 73,6 700 44,0 18,0 3 41,0 42,0 100 91,0 12,1 4 54,0 46,0 280 78,0 13,8
5 66,0 62,0 410 57,4 15,5 6 80,0 68,4
650 42,0 17.9 7 45,0 36,0 170 100,0 12,8 8 57,0 49,6 260 79,8 14,2 9 67,0 62,4 380 57,0 15,9 10 81,0 71,2 680 38,0 17,6 11 92,0 78,8 800 23,1 18,2 12 48,0 51,0 210 112,0 13,0 13 59,0 60,8 230 72,0 16,5 14 680 69,0 400 55,7 16,2 15 83,0 70,4 710 36,0 16,7 16 52,0 50,0 340 85,2 14,6 17 62,0 55,0 290 72,8 14,8 18 69,0
58,4 520
54,6 16,1 19 850 83,2 720 37,0 16,7 20 70,0
75,2 420
56,4 15,8 21 71,0 67,2 420
56,0
16,4 22 64,0 64,2 400 70,4
15,0 23 72,0
65,0 430
53,6 16,5 24 88,0 76,2 790 34,9 18,5
25 73,0 68,0
560
55,4 16,4 26 740
65,6
550 52,0 16,0
27
28 96,0 87,2 810 20,4 19,1
75,0 71,8
570 53,1 16,3 29 101,0 96,0 820 12,0 19,6 30 76,0 69,2 600 46,0 17,2 /> /> /> /> /> /> /> /> />
Решение:
Результатыгруппировки сведем в групповую таблицу, которая имеет вид:
Таблица4 – Пример групповой таблицыГруппы предприятий по… (факторный признак ВП)
Число предприятий Вгруппе Факторный признак (ОПФ) Результативный признак (Прибыль) всего
в среднем
на 1 пред –
приятие всего
в среднем
на 1 пред –
приятие всего
в среднем
на 1 пред –
приятие
41–58
58–75
75–92
6
13
7
274,6
827,4
521,8
45,77
63,65
74,5
80,5
206,8
123,6
13,4
15,9
17,66 Итого в среднем 26 1623,8 62,45 410,9 15,8
Найдемкоэффициент детерминации и корреляции по формулам:
/>
/>
/>/>
/>-эмпирический коэффициент детерминации
Найдемкоэффициент корреляции рангов Спирмена по формуле
/>
Полученноезначение коэффициента спирмена свидетельствует об очень тесной связи междустоимостью основных производственных фондов и прибылью.
Задача40 Известнытемпы прироста выпуска продукции предприятия в 1999–2005 гг., процент поотношению к предыдущему году:
Таблица12 – Темпы прироста выпускапродукции предприятия1999 г. 2000 г. 2001 г. 2002 г. 2003 г. 2004 г. 2005 г. 2 1 -3 -5 2 4 5
Определите:
1)базисные темпы роста (1998 г. – 100%) выпуска продукции предприятия;
2)среднегодовой темп роста и прироста.
Решение:Год 1999 г. 2000 г. 2001 г. 2002 г. 2003 г. 2004 г. 2005 г. Темп прироста 2 1 -3 -5 2 4 5 Темп роста 102 101 97 95 102 104 105
Расчетбудем производить по формулам:
/>
/>
Задача46. Имеютсяданные о продаже картофеля на рынках города в мае месяце:
Таблица17-Продажа картофеля на рынках города№ рынка Средняя цена, руб. Продано, тыс. кг. 1 8,0 70
2 7,8 25 З 8,2 30
Определитесреднюю цену реализации картофеля по 3 рынкам города, среднее квадратическоеотклонение и коэффициент вариации цены. Сделать выводы.
Решение:
/>
/>=
s2=/>=/>
s=/>=0,13 – среднееквадратическое отклонение.
V=/>
Задача60 Имеютсяследующие данные о продаже товаров:
Таблица30 – данные о продаже товаровТовары Базисный период Отчетный период
цена за
единицу, руб.
количество,
тыс, руб.
цена за
единицу, руб.
количество,
тыс, руб. А 30 10 40 9 Б 8 20 12 30 В 12
5 20 6
Определите:
1)общие индексы цен. физического объема, товарооборота;
2)абсолютное изменение товарооборота и влияние на него отдельных факторов.
Решение:
Будемиспользовать следующие формулы:
Абсолютныйи относительный прирост стоимости реализованной продукции в текущем году посравнению с базисным:
/>
Изменениеобщей стоимости за счет отдельных факторов:
1)За счет изменения количества(q)
Виндексной системе:
/>
Вабсолютном выражении
/>
2)за счет изменения цен на продукцию(p)
Виндексной системе:
/>
Вабсолютном выражении:
/>
Общееабсолютное изменение результативного показателя составит алгебраическую суммуабсолютных изменений за счет отдельных факторов:
/>