Гипероглавление:
Раздел 1 «Прогнозирование на основе стационарного временного ряда»
2. Отобразим исходные данные на рис.1:
3. Анализ методом коэффициента Кендэла:
4. Прогнозирование стационарного процесса:
2. Отобразим исходные данные на рис.2:
3. Сглаживание исходных данных методом скользящей средней:
4. Анализ методом Фостера-Стюарта:
5. Анализ методом коэффициента Кендэла:
6. Определение параметров линейного тренда методом усреднения по левой и правой половине ряда:
7. Определение параметров линейного тренда методом наименьших квадратов:
8. Определение параметров нелинейной трендовой модели:
9. Рассчитаем параметры для показательного тренда:
10.Сравним линейный и выбранный нелинейный – показательный тренды:
11. Сравнение трендовых моделей с помощью критерия наименьшей суммы квадратов отклонений:
12. Оценка адекватности выбранной трендовой модели:
13. Прогнозирование на основе трендовой модели:
13.1 Точечный прогноз:
Раздел 3 «Прогнозирование на основе сезонного цикла временного ряда»
2. Отобразим исходные данные на рис.8:
3. Анализ методом коэффициента Кендэла:
4.Сезонное прогнозирование:
Раздел 4 «Прогнозирование с помощью метода экспоненциального сглаживания»
2. Отобразим исходные данные на рис.9:
3. Метод экспоненциального сглаживания:
4.Критерий наименьшей суммы квадратов отклонений.
--PAGE_BREAK-- продолжение
--PAGE_BREAK--3. Анализ методом коэффициента Кендэла:
Оценим наличие тенденции среднего уровня ряда в исходных данных, с помощью коэффициента Кендэла. Отобразим расчет в таблице 2.
Таблица 2
t
Yt
P
t
1
8,7
-
2
10,0
1
3
10,3
2
4
10,1
2
5
10,4
4
6
9,1
1
7
9,4
2
8
9,2
2
9
9,9
4
10
9,7
4
Итого
-
22
Рассчитаем число случаев превышения текущим уровнем ряда предыдущих ему уровней ряда. Первый уровень ряда у1=8,7 не с чем сравнить (нет предыдущих уровней ряда), поэтому в графе 3 поставим прочерк. Второй уровень ряда у2=10,0 больше предыдущего у1=8,7 и к тому же он всего один, поэтому в графе 3 ставим 1. Третий уровень у3=10,3 больше у2=10,0 и у1=8,7, поэтому в графе 3 ставим 2. Четвертый уровень у4=10,1 меньше у3=10,3, но больше у2=10,0 и у1=8,7, поэтому в графе 3 ставим 2… Аналогичным образом определим число таких случаев и для остальных уровней ряда.
Подведя итог по графе Pt, найдем общее число случаев, когда текущий уровень ряда больше предыдущих по формуле :
Р=Σ Рt=1+2+2+4+1+2+2+4+4=22. (1)
Определим расчетное значение коэффициента Кендэла по формуле:
(2)
Рассчитаем теоретическую дисперсию по формуле:
(3)
Для оценки наличия в ряде тенденции среднего уровня ряда выберем вероятность, равную 0,95 (95%). С учетом выбранной вероятности коэффициент доверия t=1,96.
Сопоставим расчетное и теоретическое значения коэффициента Кендэла. При сопоставлении может возникнуть три варианта:
Первый вариант, когда с вероятностью t во временном ряде нет тренда;
(4)
— соотношение выполняется
Второй вариант, когда с вероятностью t во временном ряде есть убывающая тенденция среднего уровня ряда;
(5)
Третий вариант, когда с вероятностью – t во временном ряде есть возрастающая тенденция среднего уровня ряда.
(6)
Из трех вариантов мы выбираем первый, поскольку только в нем выполняется необходимое соотношение расчетного и теоретического значений коэффициента Кендэла
Из установленного соотношения следует, что с вероятностью 95% во временном ряде отсутствует тенденция среднего уровня ряда.
На основе ранее полученных частных выводов, можно сделать обобщенный вывод: с высокой вероятностью 95% во временном ряде отсутствует тенденция среднего уровня ряда. С учетом обобщенного вывода можно считать, что временный ряд является стационарным временным рядом или стационарным процессом.
продолжение
--PAGE_BREAK--4. Прогнозирование стационарного процесса:
Исходя из ранее произведенных анализов, выяснилось, что временной ряд является стационарным. При нахождении прогноза по такому временному ряду вначале определяется точечный прогноз, а затем уже – интервальный.
Определим точечный и интервальный прогнозы оборота овощной палатки на следующий (одиннадцатый) уровень ряда.
Для простоты расчетов воспользуемся таблицей 3.
Таблица 3
t
yt
1
2
3
4
1
8,7
-0,98
0,9604
2
10,0
0,32
0,1024
3
10,3
0,62
0,3844
4
10,1
0,42
0,1764
5
10,4
0,72
0,5184
6
9,1
-0,58
0,3364
7
9,4
-0,28
0,0784
8
9,2
-0,48
0,2304
9
9,9
,22
0,0484
10
9,7
0,02
0,0004
Итого:
96,8
2,836
Для расчета дисперсии ряда при определении интервального прогноза понадобиться разница между уt
и. Рассчитаем эту разницу для каждого уровня ряда и занесем в соответствующие строки графы 3. В графе 4 возведем выражение каждого ряда в квадрат.
Определим точечный прогноз по формуле:
(7)
Перед определением интервального прогноза рассчитаем дисперсию ряда по формуле:
(8)
Для того чтобы найти интервальный прогноз нам необходимо узнать значение tγ. Для этого выбираем уровень значимости, равный 0,05, т.е. а=0,05. Отсюда доверительная вероятность γ=1−а γ=1–0,05=0,95. Определим число степеней свободы k=n–1 k=10–1=9. Зная доверительную вероятность и число степеней свободы по приложению 2 (2, стр. 70), найдем табличное значение t
γ. Оно будет равно 2,262.
Найдем интервальный прогноз по формуле:
(9)
Отсюда верхняя граница интервального прогноза 10,082 (9,68+0,402), а нижняя – 9,278 (9,68–0,402).
Таким образом, с вероятностью 95% прогнозный оборот овощной палатки на следующую декаду будет лежать между 10,082 и 9,278.
Раздел 2 «Прогнозирование на основе тренда временного ряда»
Исходные данные для Варианта №23:
1. Таблица с исходными данными:
Таблица 4. Ежедневный оборот магазина «Ткани для дома»
t
yt
1
10,2
2
10,8
3
10,4
4
11,9
5
12,2
6
12,5
7
13,1
8
12,4
9
13,6
10
14,3
11
14,9
12
13,8
продолжение
--PAGE_BREAK--2. Отобразим исходные данные на рис.2:
На основе визуального анализа со средней вероятностью можно сделать вывод: во временном ряду присутствует тенденция в виде тренда, и он имеет линейный характер.
3. Сглаживание исходных данных методом скользящей средней:
Чтобы полученная визуальная оценка была более убедительной и наглядной, осуществим сглаживание временного ряда с помощью метода скользящей средней с интервалом сглаживания, равным трем. Рассчитаем сглаженные уровни ряда по формуле:
(10)
Так, первый сглаженный уровень ряда:
Аналогично рассчитаем остальные сглаженные уровни ряда:
Результаты расчетов внесем в таблицу 5:
Таблица 5
t
yt
y’t
1
10,2
-
2
10,8
10,47
3
10,4
11,03
4
11,9
11,50
5
12,2
12,20
6
12,5
12,60
7
13,1
12,67
8
12,4
13,03
9
13,6
13,43
10
14,3
14,27
11
14,9
14,33
12
13,8
-
И построим график сглаженного ряда на рис. 3:
На основе визуального анализа сглаженного временного ряда с высокой вероятностью можно сделать вывод: во временном ряду присутствует тенденция в виде тренда, и он имеет линейный характер.
4. Анализ методом Фостера-Стюарта:
Оценим данные, приведенные в таблице 5, с помощью метода Фостера–Стюарта с точки зрения наличия в них тенденции среднего уровня ряда и дисперсии. Расчет проведем с помощью таблицы 6.
Таблица 6
Для реализации этого метода вначале определим ut иlt
по следующим условиям :
в графе 3 определим ut.
Так как дляу1=10,2 нет предыдущего уровня у0, то в графе 3 поставим прочерк. Сравниваем у2=10,8 со всеми предыдущими уровнями ряда. Он всего один − у1=10,2. Поскольку у2>y1, постольку в графе 3 ставим 1. Сравниваем у3=10,4 со всеми предыдущими уровнями ряда (у2=10,8; у1=10,2). Так как у3 меньше хотя бы одного из предыдущих, а именно у2, то в графе 3 ставим 0. Сравниваем у4=11,9 со всеми предыдущими уровнями ряда (у3=10,4; у2=10,8; у1=10,2). Он больше у1, у2 и у3, поэтому в графе 3 ставим 1. Аналогично проводится сравнение и других уровней ряда.
для графы 4 определим lt
.
Расчет проводится так же как и для графы 3, но с обратным условием: текущий уровень ряда уtдолжен быть меньше всех предыдущих уровней:
Для у1 нет предыдущего уровня, значит в графе 3 ставим прочерк;
Для у2 – ставим 0 (у2>у1);
Для у3 – ставим 0 (у3у2; у3>у1);
Для у4 – ставим 0 (у4>у1, у3, у2);
Для у5 – ставим 0 (у5>у4, у3,у1, у2,);
Для у6 – ставим 0 (у6>у4, у5, у3, у2,у1);
Для у7 – ставим 0 (у7>у1, у2,у3, у4, у5, у6);
Для у8 – ставим 0 (у8>у5, у4, у3,у2,у1; у8у7, у6,);
Для у9 – ставим 0 (у9>у8, у7, у6, у4, у5, у3, у2,у1);
Для у10 – ставим 0 (у10>у9, у8, у6, у5, у3, у2, у1, у7,у4);
Для у11 – ставим 0 (у11>у10, у9, у8, у7, у6, у5, у4, у3; у2, у1);
Для у12– ставим 0 (у12у11, у10; у12>у9, у8, у7, у6, у5,у4, у3, у2,у1);
Затем, на основе величин ut иlt
,для графы 5 определим величину Sпо формуле:
S=ΣSt, гдеSt= ut +lt; (11)
Для t=1 в графе 5 поставим прочерк. Рассчитаем величну Sдля t=2:
S
2
=
u
2 +l
2=1+0=1
Дляt=2 в графе 5 поставим 1. Для остальных уровней ряда проводится аналогичные расчеты. Результаты заносятся в графу 5 таблицы 6.
Затем найдем итоговую сумму по графе 5:
S
=
ΣSt
=1+0+1+1+1+1+0+1+1+1+0=8 (12)
Для графы 6 по формуле:
D=ΣDt, гдеDt= ut – lt (13)
Dtдля t=1 в графе 6 ставим прочерк. Найдем значения Dt
дляt
=2:
D
2
=
u
2 – l
2
=1-0=1
в графе 6 ставим 1. Для остальных уровней ряда проводится аналогичные расчеты. Результаты заносятся в графу 6 таблицы 6.
Затем найдем итоговую сумму по графе 6:
D
=
ΣDt
=1+0+1+1+1+1+0+1+1+1+0=8 (14)
Выдвинемнулевую гипотезу: во временном ряде нет тенденции среднего уровня и нет тенденции дисперсии.
Проверим выдвинутую нулевую гипотезу по формулам:
, , (15)
Найдем значения μ, σ1,σ2. В приложении 1 (2, стр. 70) приведены данные дляn=10 и для n=15, а нам надо найти данные для n=12.
Найдемμ для n=12 следующим образом. Значение μ для n=10 равно 3,858, для n=15 равно 4,363. Увеличение μ при изменении nна 2 шага найдем следующим образом:
(16)
Отсюда μ(12)=μ(10)+Δμ=3,858+0,311=4,169
Найдем σ1. Значение σ1 для n=10 равно 1,288, для n=15 равно 1,521. Увеличение σ1 при изменении nна 2 шага найдем следующим образом:
(17)
Отсюда σ1 (12)=σ1 (10)+Δσ1=1,288+0,093=1,381.
Найдем σ2. Значение σ2 для n=10 равно 1,964, для n=15 равно 2,153. Увеличение σ2 при изменении nна 2 шага найдем следующим образом:
(18)
Отсюда σ2 (12)=σ2 (10)+Δσ2=1,964+0,076=2,040
Найдем значения t1 и t2:
Найдем табличное значение tγ. Для этого зададимся уровнем значимости, например а=0,05 (это стандартная величина). Затем определим доверительную вероятность γ=1– а=1– 0,05=0,95 и число степеней свободы k
=
n
– 1=12 –1=11. Относительно найденных значений γ и kпо приложение 2 (2, стр. 70) найдем табличное значение tγ— оно равно 2,201.
Сопоставим значения t1 и t2с tγ:
Поскольку |t1=2,77|>|tγ=2,201|, гипотеза отвергается, следовательно, во временном ряде имеет место тенденция дисперсии.
Поскольку |t2=3,92|>|tγ=2,201|, гипотеза отвергается, следовательно, во временном ряде имеет место тенденция среднего уровня.
На основе сопоставлений с выбранной вероятностью 95% можно утверждать, что во временном ряде присутствуют тенденция дисперсии и тенденция среднего уровня.
продолжение
--PAGE_BREAK--5. Анализ методомкоэффициента Кендэла:
Оценим наличие тенденции среднего уровня ряда в исходных данных, с помощью коэффициента Кендэла. Расчет проведем с помощью данных таблицы 4, а результаты расчета приведем в таблице 7.
Таблица 7
t
yt
P
t
1
10,2
-
2
10,8
1
3
10,4
1
4
11,9
3
5
12,2
4
6
12,5
5
7
13,1
6
8
12,4
5
9
13,6
8
10
14,3
9
11
14,9
10
12
13,8
9
Итого
-
61
Рассчитаем число случаев превышения текущим уровнем ряда предыдущих ему уровней ряда.
Первый уровень ряда у1=10,2 не с чем сравнить (нет предыдущих уровней ряда), поэтому в графе 3 поставим прочерк. Второй уровень ряда у2=10,8 больше предыдущего у1=10,2, поэтому в графе 3 ставим 1. Третий уровень у3=10,4 больше у1=10,2 и меньше у2=10,8), поэтому в графе 3 ставим 1. Четвертый уровень у4=11,9 больше у3=10,4, у1=10,2, у2=10,8, поэтому в графе 3 ставим 3.
Аналогичным образом определим число таких случаев и для остальных уровней ряда.
Подведя итог по графе 3, найдем общее число случаев, когда текущий уровень ряда больше предыдущих по формуле (1):
Р
=ΣР
t
=1+1+3+4+5+6+5+8+9+10+9=61.
Определим расчетное значение коэффициента Кендэла по формуле (2):
Рассчитаем теоретическую дисперсию по формуле (3):
Для оценки наличия в ряде тенденции среднего уровня ряда выберем вероятность, равную 0,95 (95%). С учетом выбранной вероятности коэффициент доверия t=1,96,
Сопоставим расчетное и теоретическое значения коэффициента Кендэла. При сопоставлении может возникнуть три варианта.
Первый вариант, когда с вероятностью tво временном ряде нет тренда;
соотношение не выполняется
Второй вариант, когда с вероятностью tво временном ряде есть убывающая тенденция среднего уровня ряда;
соотношение не выполняется
Третий вариант, когда с вероятностью – tво временном ряде есть возрастающей тенденция среднего уровня ряда.
.
соотношение выполняется
С выбранной вероятностью 95 % можно сделать вывод, что во временном ряде есть возрастающая тенденции среднего уровня.
Этот вывод согласуется с выводами, полученными нами ранее при визуальном анализе и применении метода Фостера-Стюарта.
продолжение
--PAGE_BREAK--6. Определение параметров линейного тренда методом усреднения по левой и правой половине ряда:
Рассчитаем параметры линейного тренда графическим методом – методом усреднения по левой и правой половине данных. Отобразим в таблице 8.
Таблица 8
t
yt
1
10,2
2
10,8
3
10,4
4
11,9
5
12,2
6
12,5
7
13,1
8
12,4
9
13,6
10
14,3
11
14,9
12
13,8
Разделим данные таблицы на две части. В первую часть попадут данные с 1-го по 6-й день, а во вторую часть – с 7-го по 12-й день работы. Рассчитаем по каждой половине среднее число дней и средние объемы продаж. По формулам:
(19)
(20)
найдем искомые значения для первой половины данных таблицы:
По формулам:
(21)
(22)
найдем искомые значения для второй половины данных таблицы:
В результате расчетов мы получили координаты двух точек А(3,5; 11,33) и В(9,5; 13,68). Построим эти точки, через них проведем прямую до пересечения с осью ординат (объем продаж) (рис. 4). Точка пересечения а0=9,95.
рис. 4 Определение параметра а0
Теперь определим значение параметра а1 по формуле:
(23)
В результате расчетов линейная модель будет иметь следующий конкретный вид
продолжение
--PAGE_BREAK--7. Определение параметровлинейного тренда методом наименьших квадратов:
Чтобы найти параметры линейного тренда , необходимо решить систему нормальных уравнений:
(24)
Для расчета параметров линейного тренда методом МНК используем данные таблицы 4. Для проведения промежуточных расчетов построим таблицу 9 и проведем в ней необходимые расчеты.
Таблица 9
Найдем параметры а0и а1 подставив цифры из итоговой строки в формулы:
(25)
(26)
В результате расчетов линейный тренд примет конкретный вид
.
Рассчитаем значения линейного тренда для каждого момента времени подставив соответствующие значения t в уравнения
и отобразим в таблице 10:
Таблица 10
Построим линейный тренд на графике (рис. 5):
На основе визуального анализа можно сделать вывод: что соответствие линейного тренда с трендом, который может иметь место во временном ряду очевидно. Ранее был сделан вывод, что во временном ряду присутствует тенденция в виде тренда, и он имеет линейный характер. На графике присутствует линейный тренд
Сравним параметры линейного тренда, вычисленные графическим методом – а0=9,95 и а1=0,394 и методом МНК – а0=9,929 и а1=0,397. Они достаточно близки.
Таблица 11
продолжение
--PAGE_BREAK--8. Определение параметровнелинейной трендовой модели:
8.1 Предварительным условием выбора параболы для описания исходных данных является относительное постоянство разностей второго порядка по абсолютной величине. Проверим, можно ли описать изменения данных с помощью параболы второго порядка. Для этого необходимо рассчитать абсолютный цепной прирост уровней временного ряда ∆tили разности первого порядка , разности второго порядка . Расчет будет производиться по сглаженным данным, так как их колебание меньше, чем колебание исходных данных.
Расчеты внесем в таблицу 12, с расчетами прироста первого (графа 4) и второго порядков (графа 5):
Таблица 12
Так как по сглаженным данным первый и двенадцатый уровни отсутствуют, а для второго уровня отсутствует предыдущий, рассчитаем абсолютный прирост уровней ряда с третьего по одиннадцатый.
Абсолютный цепной прирост третьего и последующих уровней ряда рассчитаем по формуле:
(27)
Итак,
Рассчитанные значения приростов занесем в графу 4 таблицы 12.
Условием выбора параболы для описания сглаженных данных является относительное постоянство разностей второго порядка по абсолютной величине
Определим их по формуле:
(28)
Расчет начнем с четвертого уровня, так как он является первым, имеющим предыдущий ряд, а закончим одиннадцатым рядом.
Итак,
Анализ графы 5 показывает, что разности второго порядка по абсолютной величине относительно постоянны (0,2, 0,3 или 0,4). Это позволяет предположить, что для описания исходных данных может быть использована и парабола. Но эта трендовая модель используется тогда, когда значения экономического показателя, в среднем, вначале возрастают (убывают), достигают максимального (минимального) значения, а затем – убывают (возрастает). У нас же, на лицо, наличие возрастающей тенденции, скорее свойственной для степенного или показательного тренда.
8.2 Степенной тренд используется тогда, когда темпы роста экономического показателя, в среднем, либо постепенно возрастают, либо постепенно убывают. Рассмотрим возможность использования степенного тренда для описания исходных данных в таблице 13, рассчитав цепные темпы роста.
Таблица 13
Рассчитаем цепные темпы роста для каждого уровня ряда, начиная со второго, по формуле:
(29)
Итак,
%
Анализ третьей графы таблицы 13 показывает, что по мере роста объема сбыта темп сбыта продукции остается относительно постоянным. Это позволяет предположить, что для описания исходных данных использование степенного тренда менее предпочтительно, чем показательный тренд.
8.3 Показательный тренд используется при условии, когда экономический показатель имеет относительно постоянный цепной темп роста, который в среднем равен а1.
Оценим возможность описания данных, приведенных в таблице 13 с помощью показательного тренда. Так как цепные темпы роста, приведенные в третьей графе, относительно постоянны, то исходные данные могут быть описаны с помощью показательного тренда.
продолжение
--PAGE_BREAK--9. Рассчитаем параметры для показательного тренда:
С помощью таблицы 14 рассчитаем необходимые промежуточные данные:
Таблица 14
t
yt
t2
lnyt
tlnyt
1
2
3
4
6
1
10.2
1
2.322388
2.322388
2
10.8.
4
2.379546
4.759092
Продолжение таблицы 14
3
10.4
9
2.341806
7.025418
4
11.9
16
2.476538
9.906152
5
12.2
25
2.501436
12.507180
6
12.5
36
2.525729
15.154374
7
13.1
49
2.572612
18.008284
8
12.4
64
2.517696
20.141568
9
13.6
81
2.610070
23.490630
10
14.3
100
2.660259
26.602590
11
14.9
121
2.701361
29.714971
12
13.8
144
2.624669
31.496028
78
-
650
30.23411
201.128675
На основе данных итоговой строки определим параметры линеаризированной модели показательного тренда lna
и lna1:
(34)
(35)
Найдем значение a
, пропотенцировав lna. Тогда . Найдем a
1, пропотенцировав величину lna1. Тогда . В результате расчетов параметров показательный тренд будет иметь следующий конкретный вид:
продолжение
--PAGE_BREAK--10.Сравним линейный и выбранный нелинейный – показательный тренды:
В одной системе координат, построим 3 графика: исходный временной ряд, линейную и показательную модели. Для построения графиков используем таблицу 15. Рассчитаем значения линейного и показательного трендов для каждого момента времени, подставив соответствующие значения t в уравнения и
Таблица 15
Нарисуем график по исходным данным на рис.6:
На основе визуального анализа можно сделать вывод: что совпадение выбранного нелинейного тренда с реальным трендом временного ряда очевидно.
11. Сравнение трендовых моделей с помощью критерия наименьшей суммы квадратов отклонений:
Выбранные тренды имеют одинаковое число параметров, поэтому для расчета критерия наименьшей суммы квадратов отклонений выберем формулу
. (36)
Для проведения промежуточных расчетов используем таблицу 16:
Таблица 16
В графу 5 внесем отклонение фактических данных от линейного тренда: для t=1 =(10,2–10,326)2=0,016, для t=2 =(10,8–10,723)2=0,006 и т.д. Аналогичным образом в графу 6 впишем отклонения фактических данных от показательного тренда, и подведем итог.
Сравним значения критерия наименьшей суммы квадратов отклонений для линейного и показательного трендов. Для линейного тренда критерий равен 2,789 (итог графы 5), а для показательного тренда 3,109 (итог графы 6). Коэффициент для линейного тренда меньше, чем для показательного, поэтому линейный тренд лучше аппроксимирует исходные данные. Следовательно, для прогнозирования необходимо взять линейный тренд
.
продолжение
--PAGE_BREAK--12. Оценка адекватности выбранной трендовой модели:
Чтобы оценить адекватность выбранной линейной трендовой модели теоретическому тренду временного ряда, найдем разность е
tмежду исходными данными у
tи нашей трендовой моделью по формуле
(37)
результаты занесем в таблицу 17.
Таблица 17
Построим график ряда отклонения е
t
по данным графы 4 на рис.7:
Визуальный анализ показывает, что колебание величины
е
t
не содержит элементов тенденции, т.е. носит случайный характер.
Оценим адекватность выбранной модели тренда исходному ряду на основе анализа данных ряда отклонений е
t. Величина е
tдолжна отвечать следующим четырем условиям (требованиям):
Условие 1. Колебание величины е
t
должно носить случайный характер.
Проверим условие 1 с помощью критерия поворотных точек.
Величина е
tсчитается поворотной, если она соответствует одному из двух условий:
е
t-1еt>еt+1 или е
t-1> еtеt+1
Для этого на базе данных графы 4 определим поворотные точки и в графе 5 проставим соответствующие им значения. Рассматриваемые точки обозначим Рt. Тем точкам, которые будут поворотными, присвоим значение Рt=1. А тем точкам, которые не будут поворотными, присвоим значение Рt=0. результаты занесем в таблицу 18.
Таблица 18
Определим общее число поворотных точек по формуле
Результат занесем в итоговую строку графы 6.
Для проверки выполнения условия 1 выдвинем нулевую гипотезу Н0: колебание величины еt
носит случайный характер
.
Для проверки этой гипотезы определим математическое ожидание числа поворотных точек по формуле:
; (38)
и его дисперсию по формуле:
(39)
Кроме того, для проверки нулевой гипотезы используем вероятность, равную 95%, которой соответствует коэффициент доверия t=1,96. С помощью формулы
(40)
проверим нулевую гипотезу, подставив в нее значения М(Р), D(P), t:
или 4,029
Расчет показывает, общее число поворотных точек – 7 находится в требуемом интервале. Это позволяет сделать следующий вывод: с вероятностью 0,95 (95%) колебание величины е
t
носит случайный характер и, следовательно, отвечает данному условию.
Условие 2. Распределение величины е
t
соответствует нормальному распределению.
Проверим распределениееtна соответствие нормальному распределению. Вначале определим среднее квадратическое отклонение по формуле:
(41)
для определения расчетного значения критерия RSриз графы 4 таблицы 18 найдем максимальное emax=0,604 и минимальное emin=−0,893 значения. Расчетное значение критерия RSр найдем по формуле:
(42)
Следующим шагом проверки условия 2 является нахождение табличного значения RS-критерия – RSTпо приложению 3 (2, стр. 71). В таблице приводятся нижнее и верхнее значения RS-критерия для n=10 и n=20; а у нас n=12. Для нахождения нижнего и верхнего значений RS-критерия для n=12 используем линейную интерполяцию. Найдем величину RS12н:
· Увеличение RSnн при изменеие n на 2 найдем по формуле:
· Значение RSnн при t=12 найдем по формуле:
Найдем величину RSnв:
· Увеличение RSnвпри изменеие n на 2 найдем по формуле:
· Значение RSnвпри n=12 найдем по формуле:
Выдвинем нулевую гипотезу Н0: величина еtсоответствует нормальному распределению. Сопоставим по формуле:
RSnн(43)
расчетное значение критерия RSр с табличным –RSТ… Сопоставление показывает, что RSр попадает в интервал, определяемый нижним и верхним табличными значениями RS-критерия, т.е. 2,772
Это позволяет нам сделать следующий вывод: с вероятностью 95% нулевая гипотезе принимается, т.е. величина еt
соответствует нормальному распределению и, следовательно, отвечает условию 2.
Условие 3. Математическое ожидание величины е
t
равно нулю
Для проверки данного условия выдвинем нулевую гипотезу Н0: математическое ожидание et=0.
Для промежуточных расчетов используем таблицу 19:
Таблица 19
Вначале определим среднюю арифметическую величину еt, использовав итог графы 3 таблицы 19;
(44)
Затем рассчитаем и внесем в графу 4 табл. 19 квадрат отклонения фактического значения еtот ее среднего значения. Так, дляt=1
=(−0,126−(-0,0012))2 =0,016 и т.д.
Далее определим среднее квадратическое отклонение, используя итог графы 4 таблицы 19 по формуле:
(45)
Теперь найдем расчетное значение величиныtpпо формуле:
(46)
Чтобы найти табличное значение величины tT, зададимся уровнем значимости а=0,05, относительно которого определим доверительную вероятность γ=1−0,05=0,95, а также число степеней свободы k
=12–1=11. Теперь, зная γ и k
,определим tT по Стьюденту (приложение 2 (2, стр. 70)); tТ =2,201.
Сопоставим расчетное tp=-0,0083 и табличное tT=2,201 значения:
t
p
t
T или -0,0083 2,201.
Сопоставление показывает, расчетное значение меньше табличного.
Это позволяет нам сделать следующий вывод: с вероятность 0,95 (95%) нулевая гипотеза принимается и мы может утверждать: математическое ожидание е
t
=0.
Условие 4. Независимость членов ряда друг от друга
Оценим наличие автокорреляции в ряде данных еtс помощью критерия Дарбина-Уотсона. Вначале в графу 3 таблицы 20 внесем квадраты величины еt, а в графе 4 – квадраты разниц между текущим и предыдущим значениями еt. Так, для t=1 мы не можем найти требуемое значение квадрата разницы, так как у нас нет значения е0. А для t=2
(е2–е1)2=(0.077 – (–0.126))2=0.041 и т.д. (47)
Таблица 20
Рассчитаем итоговые значения граф 3 и 4 и по ним определим расчетное значение критерия Дарбина — Уотсонаdpпо формуле:
(48)
Расчетное значение критерия Дарбина–Уотсона оказалось больше двух, (следовательно, коэффициент попал в область отрицательной автокорреляции), поэтому пересчитаем его для области с положительной автокорреляцией по формуле:
(49)
Найдем табличное значение критерия Дарбина–Уотсона dTпри n=12, и числе факторов в используемой трендовой модели V=1 (в линейном тренде один фактор –время).
При n=12 и V=1 в приложении 4 (2, стр. 71) находим табличное значение критерия Дарбина–Уотсона dT. Однако у нас n=12, а в таблице наименьшее значение n=15, поэтому возьмем табличное значение критерия Дарбина–Уотсона для n= 15. Его нижнее значение равно d1=1,08, а верхнее d2=1,36:
Сопоставим расчетное (1,786) и табличное (1,08; 1,36) значения критерия Дарбина–Уотсона. При этом могут возникнуть три ситуации:
1) d
p
d
1, что будет говорить о наличии в ряде автокорреляции
2) d
p
>
d
2, что будет говорить об отсутствии в ряде автокорреляции;
3) d
1
≤
d
p
≤
d
2, что будет говорить о необходимости дополнительной
проверки наличия в ряде автокорреляции.
Расчетное значение больше верхнего табличного, т.е. возникает вторая ситуация, когда d
p
>
d
2или 1,786>1,36.
С учетом этого мы может сделать вывод: с вероятностью 0,95(95%) в ряде е
t
отсутствует автокорреляция.
Поскольку соблюдаются 4 условия:
1.
Условие 1. Колебание величины еt должно носить случайный характер. Это условие означает, что колебание (изменение) величины еt не содержит элементов тенденции.
2.
Условие 2. Распределение величины еt соответствует нормальному распределению.
3.
Условие 3. Математическое ожидание величины еt равно нулю
4.
Условие 4. Независимость членов ряда друг от друга. Это условие означает отсутствие автокорреляции во временном ряде еt
Можно утверждать, что выбранная трендовая модель: адекватна тенденции, имеющей место во временном ряде.
продолжение
--PAGE_BREAK--13. Прогнозирование на основе трендовой модели:
13.1 Точечный прогноз:
Определим точечный прогноз на 13-й день. Из условия задачи вытекает: период основания прогноза n=12, а период упреждения прогноза τ=1. Одновременно определим уровень значимости а=0,05. Рассчитаем точечный прогноз по формуле:
(50)
13.2 Интервальный прогноз:
Для расчета интервального прогноза предварительно определим табличное значение критерия Стьюдента с уровнем значимостиа и числом степеней свободы k
=
n−2. Так как мы выбрали, а=0,05, доверительная вероятность γ=1−а=1−0,05=0,95, а число степеней свободы k=n−2=12−2=10. По приложению 2 (2, стр. 70) при γ=0,95 и k=10 табличное значение критерия Стьюдента tT=2,228. Найдем стандартную ошибку тренда, по формуле:
(51)
Определим интервальный прогноз по формуле:
(52)
Отсюда верхняя граница прогнозного интервала 15,09+1,381=16,471, а нижняя 15,09–1,381=13,709. Таким образом, прибыль от продаж на фабрике на 13-й день с вероятностью γ=0,95 будет расположена в интервале от 13,709 … 16,471.
Для расчета интервального прогноза с использованием формулы
(53)
определим К. Согласно исходным данным число уровней ряда n=12, а период упреждения прогноза τ=1, поэтому К= 2,1274 (2, стр. 73). Подставим найденное К в формулу и получим интервальный прогноз
Отсюда верхняя граница прогнозного интервала 15,09+1,123=16,213, а нижняя 15,09–1,123=13,967. Таким образом, прогноз оборота магазина на 13-й день с вероятностью γ=0,9 будет расположен в интервале 13,967 … 16,213.
Верхняя и нижняя границы прогнозного интервала отличаются от полученных ранее. Причиной этого является то, что при расчете по 1-й формуле был использован уровень значимости а=0,05, откуда доверительная вероятность γ=0,95, а при расчете по 2-й формуле была использована величина К, которая в приложении 6 (2, стр. 73) рассчитана относительно уровня значимости а=0,1, откуда доверительная вероятность равна 0,9.
Раздел 3 «Прогнозированиена основе сезонного цикла временного ряда»
Исходные данные для Варианта №23:
1. Таблица с исходными данными:
Таблица 21. Объем реализации продукции фирмы АО «Лен» (усл.ед.)
продолжение
--PAGE_BREAK-- 2. Отобразим исходные данные на рис.8:
Вначале в одной системе координат построим два графика – один по исходным данным, другой график линейной трендовой модели (рис. 8) и проведем его визуальный анализ.
Визуальный анализ графика временного ряда показывает, что исходный ряд содержит сезонную компоненту, так как характер колебания ряда стабильно повторяется из года в год и имеет приблизительно одинаковый характер изменения. Можно предположить о наличии тенденции в виде тренда. И он может быть описан линейным трендом
--PAGE_BREAK--4.Сезонное прогнозирование:
Осуществить прогноз сезонного цикла на основе линейной трендовой модели . Параметры прогнозирования отображены в таблице 23.
Таблица 23
Месяц
Год
2009
Январь
9979
Февраль
9222
Март
10526
Апрель
11740
Май
12466
Июнь
13801
Июль
14604
Август
14638
Сентябрь
13709
Октябрь
11790
Ноябрь
9849
Таким образом, согласно таблице необходимо осуществить прогнозирование с января по ноябрь 2009 года с использованием мультипликативной модели прогнозирования.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в январе 2006, 2007 и 2008 годов:
· в январе 2006 года:
· в январе 2007 года:
· в январе 2008 года:
Определим абсолютное отклонение фактических данных от тренда по формуле:
(54)
Рассчитаем эти отклонения:
· в январе 2006 года:
· в январе 2007 года:
· в январе 2008 года:
На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для января по формуле:
(55)
Перед определением сезонного тренда найдем значение тренда в январе 2009 года. Исходный ряд содержит данные за три года (k=3), период упреждения прогноза равен одному году (τ=1), январь имеет номер 1, поэтому январь 2009 года будет иметь номер . Отсюда объем реализации продукции в январе 2009 года по тренду:
В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в январе по формуле:
(56)
Отразим спрогнозированное значение на январь на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в феврале 2006, 2007 и 2008 годов:
· в феврале 2006 года:
· в феврале 2007 года:
· в феврале 2008 года:
Рассчитаем отклонения:
· в феврале 2006 года:
· в феврале 2007 года:
· в феврале 2008 года:
На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для февраля по формуле (55):
Объем реализации продукции в феврале 2009 года по тренду:
В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в феврале по формуле (56):
Отразим спрогнозированное значение за февраль на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в марте 2006, 2007 и 2008 годов:
· в марте 2006 года:
· в марте 2007 года:
· в марте 2008 года:
Рассчитаем отклонения:
· в марте 2006 года:
· в марте 2007 года:
· в марте 2008 года:
На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для марта по формуле (55):
·
Объем реализации продукции в марте 2009 года по тренду:
В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в марте по формуле (56):
Отразим спрогнозированное значение за март на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в апреле 2006, 2007 и 2008 годов:
· в апреле 2006 года:
· в апреле 2007 года:
· в апреле 2008 года:
Рассчитаем отклонения:
· в апреле 2006 года:
· в апреле 2007 года:
· в апреле 2008 года:
На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для апреля по формуле (55):
Объем реализации продукции в апреле 2009 года по тренду:
В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в апреле по формуле (56):
Отразим спрогнозированное значение за апрель на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в мае 2006, 2007 и 2008 годов:
· в мае 2006 года:
· в мае 2007 года:
· в мае 2008 года:
Рассчитаем отклонения:
· в мае 2006 года:
· в мае 2007 года:
· в мае 2008 года:
На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для мая по формуле (55):
Объем реализации продукции в мае 2009 года по тренду:
В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в мае по формуле (56):
Отразим спрогнозированное значение за май на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в июне 2006, 2007 и 2008 годов:
· в июне 2006 года:
· в июне 2007 года:
· в июне 2008 года:
Рассчитаем отклонения:
· в июне 2006 года:
· в июне 2007 года:
· в июне 2008 года:
На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для июня по формуле (55):
·
Объем реализации продукции в июне 2009 года по тренду:
В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в июне по формуле (56):
Отразим спрогнозированное значение за июнь на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в июле 2006, 2007 и 2008 годов:
· в июле 2006 года:
· в июле 2007 года:
· в июле 2008 года:
Рассчитаем отклонения:
· в июле 2006 года:
· в июле 2007 года:
· в июле 2008 года:
На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для июля по формуле (55):
·
Объем реализации продукции в июле 2009 года по тренду:
В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в июле по формуле (56):
Отразим спрогнозированное значение за июль на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в августе 2006, 2007 и 2008 годов:
· в августе 2006 года:
· в августе 2007 года:
· в августе 2008 года:
Рассчитаем отклонения:
· в августе 2006 года:
· в августе 2007 года:
· в августе 2008 года:
На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для августа по формуле (55):
·
Объем реализации продукции в августе 2009 года по тренду:
В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в августе по формуле (56):
Отразим спрогнозированное значение за август на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в сентябре 2006, 2007 и 2008 годов:
· в сентябре 2006 года:
· в сентябре 2007 года:
· в сентябре 2008 года:
Рассчитаем отклонения:
· в сентябре 2006 года:
· в сентябре 2007 года:
· в сентябре 2008 года:
На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для сентября по формуле (55):
·
Объем реализации продукции в сентябре 2009 года по тренду:
В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в сентябре по формуле (56):
Отразим спрогнозированное значение за сентябрь на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в октябре 2006, 2007 и 2008 годов:
· в октябре 2006 года:
· в октябре 2007 года:
· в октябре 2008 года:
Рассчитаем отклонения:
· в октябре 2006 года:
· в октябре 2007 года:
· в октябре 2008 года:
На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для октября по формуле (55):
·
Объем реализации продукции в октябре 2009 года по тренду:
В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в октябре по формуле (56):
Отразим спрогнозированное значение за октябрь на рис 8.
Определим объем реализации продукции на основе линейного тренда в ноябре 2006, 2007 и 2008 годов:
· в ноябре 2006 года:
· в ноябре 2007 года:
· в ноябре 2008 года:
Рассчитаем отклонения:
· в ноябре 2006 года:
· в ноябре 2007 года:
· в ноябре 2008 года:
На основе отклонений фактических данных от тренда определим среднее значение абсолютного отклонения, то есть сезонную компоненту для ноября по формуле (55):
·
Объем реализации продукции в ноябре 2009 года по тренду:
В итоге рассчитаем точечный прогноз продукции в ноябре по формуле (56):
Отразим спрогнозированное значение за ноябрь на рис 8.
продолжение
--PAGE_BREAK--Раздел 4 «Прогнозированиес помощью метода экспоненциального сглаживания»
Исходные данные для Варианта №23:
1. Таблица с исходными данными:
Таблица 24. Курсы акций АО «Московская швея»
Таблица 24
2. Отобразим исходные данные на рис.9:
По графику исходных данных интуитивно можно предположить, что курс акций на 13 день составит от 666-675.
3. Метод экспоненциального сглаживания:
Рассчитаем при помощи метода экспоненциального сглаживания прогнозные оценки на 7-, 8-, 9-, 10-, 11-, 12-ый дни
Параметр сглаживания, а=0,2
Рассчитаем прогноз курсов акций с параметрами сглаживания, а=0,1 по формуле
(57)
· На 7 день:
· На 8 день:
· На 9 день:
· На 10 день:
· На 11 день:
· На 12 день:
· На 13 день:
Занесем полученные прогнозное значение в последнюю строчку графы 2 и в предпоследнюю строчку графы 3 таблицы 25 (например, расчет, сделанный седьмого дня на восьмой равен 657,8 – это значение занесем в последнюю строчку графы 3 и в предпоследнюю строчку графы 4).
Параметр сглаживания, а=0,3
Рассчитаем прогноз курсов акций с параметрами сглаживания, а=0,3 по формуле (57):
· На 7день:
· На 8 день:
· На 9 день:
· На 10 день:
· На 11 день:
· На 12 день:
· На 13 день:
Занесем полученные результаты в таблицу 26.
Параметр сглаживания, а=0,45
Рассчитаем прогноз курсов акций с параметрами сглаживания, а=0,45 по формуле (57):
· На 7 день:
· На 8 день:
· На 9 день:
· На 10 день:
· На 11 день:
· На 12 день:
· На 13 день:
Занесем полученные результаты в таблицу 27.
--PAGE_BREAK--