Олег Лытнев
Впрактике финансовых расчетов часто возникает необходимость расчета среднейдоходности набора (портфеля) инвестиций за определенный период или средней доходностивложения капитала за несколько периодов времени (например, 3 квартала или 5лет). В первом случае используется формула среднеарифметической взвешенной, вкоторой в качестве весов используются суммы инвестиций каждого вида. Вернемся кпримеру из предыдущего параграфа с вложением 1000 рублей в два видадеятельности: торговую и финансовую. Можно сказать, что владелец этих денегсформировал инвестиционный портфель, состоящий из двух инструментов –инвестиции в собственный капитал магазина и финансовые (спекулятивные)инвестиции. Сумма каждого из вложений составила 500 рублей. Доходность попервому направлению вложений составила 10%, по второму – 40% годовых. Применивформулу средней арифметической (в данном случае, ввиду равенства весов, можноиспользовать среднюю арифметическую простую) получим среднюю доходностьинвестиций за год, равную 25% ((10 + 40) / 2). Она в точности соответствуетполной доходности “портфеля”, рассчитанной в предыдущем параграфе. Если бывладелец изменил структуру своих инвестиций и вложил в торговлю только 300рублей (30%), а в финансовые спекуляции 700 рублей (70%), то при неизменныхуровнях доходности каждого из направлений средняя доходность его “портфеля”составила бы 31% (10 * 0,3 + 40 * 0,7). Следовательно, общую формулу расчетасредней доходности инвестиционного портфеля можно представить следующимобразом:
/>, где (5.2.1)
n– число видов финансовых инструментов в портфеле;
ri– доходность i-го инструмента;
wi– доля (удельный вес) стоимости i-го инструмента в общей стоимости портфеля наначало периода.
Реальныйсрок вложения капитала может принимать любые значения – от одного дня до многихлет. Для обеспечения сопоставимости показателей доходности по инвестициямразличной продолжительности эти показатели приводятся к единой временной базе –году (аннуилизируются). Методика аннуилизации доходности была рассмотрена в предыдущемпараграфе. Однако, годовая доходность одних и тех же инвестиций может бытьнеодинаковой в различные промежутки времени. Например, доходность владенияфинансовым инструментом (за счет прироста его рыночной цены) составила за год12%. В течение второго года цена увеличилась еще на 15%, а в течение третьего –на 10%. Возникает вопрос: чему равна средняя годовая доходность владенияинструментом за 3 года? Так как годовая доходность суть процентная ставка,средняя доходность за период рассчитывается по формулам средних процентныхставок. В зависимости от вида процентной ставки (простая или сложная) еесредняя величина может определяться как среднеарифметическая, взвешенная подлительности периодов, в течение которых она оставалась неизменной, или как среднегеометрическая,взвешенная таким же образом (см. § 2.2).
Впринципе возможно применение обоих способов для определения средней занесколько периодов доходности. Например, среднеарифметическая доходностьинструмента, о котором говорилось выше, составит за три года 12,33% ((12 + 15 +10) / 3). В данном случае продолжительность периодов, в течение которыхдоходность оставалась неизменной (год), не менялась, поэтому используетсяформула простой средней. Применив формулу средней геометрической, получим rср =12,315% (((1 + 0,12) * (1 + 0,15) * (1 + 0,1))1/3-1). При незначительнойразнице в результатах, техника вычисления среднеарифметической доходностизначительно проще, чем среднегеометрической, поэтому довольно частоиспользуется более простой способ расчета.
Однакопри этом допускается существенная методическая ошибка: игнорируется цепнойхарактер изменения доходности от периода к периоду. Доходность 12% быларассчитана к объему инвестиций на начало первого года, а доходность 15% — к ихвеличине на начало следующего года. Эти величины не равны друг другу, так как втечение первого года инвестиции подорожали на 12%. За второй год они сталидороже еще на 15%, то есть их объем на начало третьего года также отличался отдвух предыдущих сумм. Применяя формулу средней арифметической, молчаливопредполагают, что объем инвестиций оставался неизменным в течение всехпериодов, то есть по сути рассчитывается средний базисный темп прироста. Вданном случае это предположение совершенно неверно, поэтому следует рассчитыватьсредний цепной темп прироста по формуле средней геометрической, так какначальная сумма инвестиций меняется от периода к периоду. Представим исходныеданные примера в табличной форме (табл. 5.2.1).
Таблица5.2.1
Динамикадоходности акции за 3 года руб. Годы Стоимость акции на начало года Прирост стоимости акции за год Годовая доходность, (гр. 3 / гр. 2) 1 2 3 4 1 100 12 12% 2 112 16,8 15% 3 128,8 12,88 10%
Изтаблицы видно, что 10% доходности за третий год, по абсолютной величине дохода(12,88 руб.) “дороже” 12% за первый год (12 руб.). Простое арифметическоеусреднение неоднородных величин в принципе является бессмысленным занятием,хотя иногда оно дает результаты, близкие к правильным. Среднеарифметическаядоходность всегда выше среднегеометрической и эта разница увеличивается по мереусиления разброса исходных показателей.
Неправомерностьиспользования средней арифметической становится особенно наглядной, когданаряду с положительными возникают и отрицательные значения доходности.Предположим, что в течение первого года цена акции возросла вдвое, но к концувторого года она вернулась на свое исходное значение (100 руб.). Занесемсоответствующие данные в таблицу (табл. 5.2.2).
Таблица5.2.2
Динамикадоходности акции за 2 года руб. Годы Стоимость акции на начало года Прирост стоимости акции за год Годовая доходность, (гр. 3 / гр. 2) 1 2 3 4 1 100 100 100% 2 200 -100 -50%
Поформуле средней арифметической получим, что среднегодовая доходность за весьпериод составила 25% ((100 – 50) / 2). Очевидно, что это абсолютно неверныйрезультат, так как богатство владельца акции нисколько не изменилось исоставило к концу второго года те же самые 100 рублей, что и в начале первогогода. Полная доходность за период владения составила 0% ((100 – 100) / 100).Такой же результат получим, применив формулу средней геометрической доходности:((1 + 1) * (1 – 0,5))1/2 – 1 = 0%.
Причинастоль грубой ошибки заключается не в изначальной “порочности” среднейарифметической, а в том, что в данном случае она применялась не по назначению.Для расчета доходности за каждый отдельный год в качестве величиныпервоначальных инвестиций бралась новая сумма, включающая в себяреинвестированный доход, полученный за прошлые годы. По умолчанию, для расчетадоходности использовалась сложная процентная ставка, поэтому и среднююдоходность за период владения следовало рассчитывать по формуле среднейгеометрической. Такой подход является общепринятым в финансовой теории и онвсегда применяется для операций, длительность которых превышает 1 год. Однако вслучае краткосрочных операций (продолжительностью до 1 года) допускаетсяиспользование простой процентной ставки, среднее значение которойрассчитывается по формуле средней арифметической. В этом случае, доходность закаждый период должна рассчитываться путем деления суммы полученного дохода наодну и ту же величину – инвестиции в данный финансовый инструмент, сделанные вначале первого периода.
Предположим,что срок владения акцией составил не 2 года, а 2 месяца. После двукратного увеличенияее стоимости в течение 1 месяца, инвестор решил подержать ее подольше, надеясьна дальнейший рост курса. Однако в следующем месяце цена акции резко упала ивернулась к своей исходной величине – 100 рублей. Решив не испытывать большесудьбу, владелец продал акцию в конце второго месяца за эту цену. Доходностьакции, рассчитанная по ставке простых процентов (К = 360 дней), составит: запервый месяц 1200% ((200 – 100) / 100) * 360 / 30); за второй месяц -1200%(отрицательная величина) ((100 – 200) / 100) * 360 / 30). Таким образом,среднеарифметическая доходность будет равна 0 ((1200 – 1200) / 2).
Можносделать вывод, что расчет средней за несколько периодов времени доходностилучше производить по формуле средней геометрической. Вычисление среднеарифметическойдоходности оправдано лишь в тех случаях, когда доходность за каждый период вотдельности рассчитывается как простая процентная ставка. Это допускается прианализе краткосрочных финансовых операций.
Доходностьне обязательно должна изменяться каждый год. Один и тот же уровень доходностиможет наблюдаться в течение ряда лет. В этом случае для расчета средней годовойдоходности используется формула средней геометрической взвешенной. В качествевесов используются длительности периодов, в течение которых наблюдался один итот же уровень доходности. Например, 1 млн. рублей был вложен в собственныйкапитал предприятия. Чистая прибыль за первый год составила 200 тыс. рублей, завторой – 120 тыс. рублей, в третьем году было получено 264 тыс. рублей чистой прибыли.Ежегодно 100% чистой прибыли реинвестировалось. Рассчитаем среднюю годовуюдоходность вложения капитала за весь период (табл. 5.2.3). Как видно изтаблицы, доходность за первый и за третий годы составила 20% годовых.Следовательно, для расчета средней доходности за три года следует применитьсреднюю геометрическую взвешенную. Для 10-процентной доходности вес будет равен1, а для доходности 20% – 2. Подставив эти значения в формулу (2.2.4), получим:
/>
Следовательно,данная инвестиция приносила в среднем по 16,57% в год своему владельцу. Капиталпредприятия к концу третьего года составил 1 млн. 584 тыс. рублей (1320 + 264).Эквивалентный результат мог бы быть получен при размещении 1 млн. рублей набанковский депозит под эффективную годовую ставку 16,57% (1000000 * (1 +0,1657)3 = 1584000).
Применивформулу среднеарифметической взвешенной, получим:
/>
Таблица5.2.3
Изменениесобственного капитала, тыс. руб. Годы Размер капитала на начало года Чистая прибыль за год Годовая доходность, (гр. 3 / гр. 2) 1 2 3 4 1 1000 200 20% 2 1200 120 10% 3 1320 264 20%
Вданном случае нельзя сказать, что эквивалентный результат (1 млн. 584 тыс.рублей) мог бы быть получен путем размещения 1 млн. рублей на трехлетнийдепозит под простую процентную ставку 16,67%. Начисление простых процентов поэтой ставке даст лишь 1 млн. 500 тыс. 100 рублей через 3 года. Это служит ещеодним доказательством некорректности использования арифметической средней вподобных вычислениях.
Таблица5.2.4
Графиквыплаты дивидендов
тыс.руб. Годы Размер капитала на начало года Чистая прибыль (дивиденды) за год Годовая доходность, (гр. 3 / гр. 2) 1 2 3 4 1 1000 200 20% 2 1000 120 12% 3 1000 264 26,4%
Вовсех вышеприведенных примерах рассматривался только один вид дохода – приростстоимости капитала. При определении доходности за единичный период (например –год) данный факт не играет существенной роли, так как и прирост капитала итекущий доход абсолютно равноценны для инвестора, и тот и другой одинаковоувеличивают его богатство. Однако, при расчете средней доходности за нескольколет необходимо учитывать различия между этими видами дохода. Получая текущийдоход, инвестор оставляет неизменной сумму первоначальных инвестиций.Предположим, что вся чистая прибыль, отраженная в таблице 5.2.3, ежегодноизымалась собственником капитала в виде дивидендов (табл. 5.2.4). В этом случаеразмер инвестированного капитала на начало каждого года оставался неизменным –1 млн. рублей. Средняя геометрическая доходность за три года составит 19,32%((1 + 0,2) * (1 + 0,12) * (1 + 0,264))1/3 – 1); среднеарифметическая доходностьбудет равна 19,47% ((20 + 12 + 26,4) / 3).
Дляанализа инвестиций, приносящих оба вида дохода (текущий и прирост стоимости)широкое распространение получило использование еще одного показателя средней заряд периодов доходности. В данной роли выступает многократно упоминавшаясяранее внутренняя норма доходности (irr). Данный показатель учитывает всетекущие доходы за период инвестиций и прирост стоимости капитала в конце этогопериода. Он незаменим при выполнении прогнозных расчетов по возвратныминвестициям (долгосрочным кредитам, облигационным займам и т.п.), так какпозволяет определять полную доходность инвестиций или доходность к погашению(yield to maturity – YTM). Так же как и внутренняя норма доходности, доходностьк погашению представляет собой среднюю эффективную процентную ставку,дисконтирование по которой приравнивает приведенную величину совокупных доходовк сумме первоначальных инвестиций:
/>, где (5.2.2)
P– сумма первоначальных инвестиций;
CF– поток ежегодных текущих доходов от инвестиций;
N– разовая выплата инвестору в конце срока, на который вложен капитал (например,возврат основной суммы кредита);
n– общий срок вложения капитала.
Являясьсредней процентной ставкой, YTM по своему значению может отличаться как отсреднеарифметической, так и среднегеометрической доходности, хотя часто онаблизка последней. Например, вложение ста тысяч рублей на срок 3 годагарантирует инвестору получение ежегодного текущего дохода в сумме 10 тыс.рублей (в конце каждого года) и возврат всей вложенной суммы в конце третьегогода. Соответствующий денежный поток может быть представлен следующим образом(табл. 5.2.5).
Таблица5.2.5
Денежныйпоток от инвестиций тыс. руб. Годы Размер капитала на начало года Доход за год Годовая доходность, (гр. 3 / гр. 2) Денежный поток для расчета YTM 1 2 3 4 5 – – – -100 1 100 10 10% 10 2 100 10 10% 10 3 100 10 10% 110
Очевидно.что как среднеарифметическая, так и среднегеометрическая доходности составятодну и ту же величину – 10%. Использовав данные гр. 5 табл. 5.2.5 и финансовуюфункцию ВНДОХ электронного табличного процессора MS Excel, получим внутреннююдоходность потока равную также 10%. Несколько изменим структуру ожидаемогоденежного потока – в первый год текущий доход составит 0, зато во втором годубудет получено 20 тыс. рублей дохода. Среднеарифметическая доходность при этомостанется неизменной (10%), средняя геометрическая уменьшится до 9,7% (((1 + 0)* (1 + 0,2) * (1 + 0,1))1/3 – 1), а внутренняя норма доходности составит 9,68%.Это объясняется более поздним поступлением доходов – приведенная стоимостьдополнительных 10 тыс. рублей, полученных во втором году, ниже, чем у той жесуммы, выплаченной годом раньше.
Предположим,что первоначальные инвестиции составят не 100, а только 95 тыс. рублей, атекущий доход поступает равномерно по 10 тыс. рублей в год (табл. 5.2.6).
Таблица5.2.6
Денежныйпоток от инвестиций тыс. руб. Годы Размер капитала на начало года Доход за год Годовая доходность, (гр. 3 / гр. 2) Денежный поток для расчета YTM 1 2 3 4 5 – – – -95 1 95 10 10,53% 10 2 95 10 10,53% 10 3 95 15 15,79% 110
Среднеарифметическаядоходность составит 12,28% ((10,53 * 2 + 15,79) / 3); среднегеометрическая –12,25% (((1 + 0,1053)2 * (1 + 0,1579))1/3 – 1). Доходность к погашению такжевозрастет и составит 12,09%.
Техническиетрудности вычисления IRR обусловили разработку упрощенного методаприблизительной оценки величины доходности к погашению. Для этих целейиспользуется следующая формула:
/>(5.2.3)
Условныеобозначения те же, что и в формуле (5.2.2). Применив ее к данным из табл.5.2.6, получим:
/>
Отклонениеот точной величины YTM составило 0,12 процентных пункта (12,09 – 11,97). Приболее высоких уровнях доходности и более длительных сроках инвестиций, точностьрасчетов по данной формуле значительно ухудшается. Так, если предположить, чтопервоначальные инвестиции составили не 95, а 80 тыс. рублей, ежегодный текущийдоход равен 30, а не 10 тыс. рублей, и поступать он будет в течение пяти, а нетрех лет, то приближенное значение YTM по формуле (5.2.3) составит 42,35%, в товремя как точная ее величина равна 46,34% (больше на 3,99 процентных пункта).Любопытно, что значение среднегеометрической доходности составит в этом случае50,55%, то есть она превысит YTM на 4,21 процентных пункта (50,55 – 46,34).Иными словами, расчет по предлагаемой формуле дает не намного более точныйрезультат, чем вычисление среднегеометрической доходности.
Взаключение, следует отметить, что ни один из рассмотренных выше показателейсредней доходности (арифметическая, геометрическая и ytm) не является наиболее“точным” или “правильным”. Каждый из них имеет четко очерченную сферу своегоприменения. Средняя арифметическая незаменима при расчете средней доходностиинвестиционного портфеля за один и тот же период. Средняя геометрическаяявляется инструментом анализа временных рядов, поэтому ее следует использоватьдля нахождение средней доходности за несколько смежных периодов. Как правило,подобные задачи возникают при ретроспективном анализе уже совершенных сделок, окоторых известны лишь значения их доходности за отдельные периоды. Потребностьв расчете YTM появляется при планировании финансовых операций, по которым нарядус текущими доходами ожидается возникновение прироста стоимости вложенногокапитала. Вся сумма этого прироста относится на самую крайнюю дату – сроквозврата первоначальных инвестиций – отсюда название показателя “доходность кпогашению”.
Список литературы
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.cfin.ru/