Министерство образования и наукиРоссийской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательноеучреждение высшего профессионального образования
Всероссийский ЗаочныйФинансово-Экономический институт
Филиал г. Тула
Контрольная работа
по дисциплине «Эконометрика»
Вариант 8
Выполнила:
Проверил:
Тула
2008
Задача 1
По предприятиям легкойпромышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объемавыпуска продукции (/>, млн. руб.) отобъема капиталовложений (/>, млн.руб.).
Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии,дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточнуюсумму квадратов; оценить дисперсию остатков />;построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимостипараметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента />
5. Вычислить коэффициент детерминации,проверить значимость уравнения регрессии с помощью />-критерияФишера />, найти среднююотносительную ошибку аппроксимации.Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднегозначения показателя /> при уровнезначимости />,если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические имодельные значения /> точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейнойрегрессии:
· гиперболической;
· степенной;
· показательной.
Привести графикипостроенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициентыдетерминации и средние относительные ошибки аппроксимации.Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Вариант 8
/> 17 22 10 7 12 21 14 7 20 3
/> 26 27 22 19 21 26 20 15 30 13
Решение:
1. Уравнениелинейной регрессии имеет следующий вид:
/>
Таблица 1
№наблюдения
X
Y
X2
X·Y
1 17 26 289 442
2 22 27 484 594
3 10 22 100 220
4 7 19 49 133
5 12 21 144 252
6 21 26 441 546
7 14 20 196 280
8 7 15 49 105
9 20 30 400 600
10 3 13 9 39
Сумма
133
219
2161
3211
Ср. значение
13,3
21,9
216,1
321,1
Найдем b:
/>
Тогда />
Уравнение линейнойрегрессии имеет вид: ŷx=11,779+0,761x.
Коэффициент регрессиипоказывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.
С увеличением объемакапиталовложений на 1 млн. рублей объем выпускаемой продукции увеличится всреднем на 761 тыс. рублей.
2. Вычислим остаткипри помощи. Получим:
Таблица 2
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение
/>
Остатки />
/>
1 24,72 1,284 1,649
2 28,52 -1,521 2,313
3 19,39 2,611 6,817
4 17,11 1,894 3,587
5 20,91 0,089 0,008
6 27,76 -1,76 3,098
7 22,43 -2,433 5,919
8 17,11 -2,106 4,435
9 27 3,001 9,006
10 14,06 -1,062 1,128
Сумма 219 -0,003 37,961
Найдем остаточную суммуквадратов:
/>
Дисперсия остатков равна:
/>.
График остатков имеетследующий вид:
График 1
/>
3. Проверимвыполнение предпосылок МНК.
· Случайныйхарактер остатков.
Случайный характеростатков εiпроверяется по графику.Как видно из графика 1 в расположении точек εiнетнаправленности (на графике полученагоризонтальная полоса). Следовательно,εi– случайные величины и применение МНКоправдано.
· Средняя величинаостатков или математическое ожидание равно нулю.
Так как расположениеостатков на графике не имеет направленности (расположены на графике в видегоризонтальной полосы), то они независимы от значений фактора xi. Следовательно, модель адекватна.
· Проверкагомоскедастичности остатков.
Выборка у нас малогообъема, поэтому для оценки гомоскедастичность остатков используем методГолдфельда — Квандта.
1) Упорядочим n = 10 наблюдений в порядкевозрастания х.
2) Разделим на двегруппы — с большим и меньшим x, идля каждой группы определим уравнения регрессии.
Таблица 3
х
y
x·y
x2
ŷ
εi=yi-ŷi
ε2 1 3 13 39 9 13,181 -0,181 0,033 2 7 19 133 49 17,197 1,803 3,251 3 7 15 105 49 17,197 -2,197 4,827 4 10 22 220 100 20,209 1,791 3,208 5 12 21 252 144 22,217 -1,217 1,481
Сумма 39 90 749 351 12,799
Ср.знач 7,8 18 149,8 70,2
х
y
x·y
x2
ŷ
εi=yi-ŷi
ε2 1 14 20 280 196 21,672 -1,672 2,796 2 17 26 442 289 24,252 1,748 3,056 3 20 30 600 400 26,832 3,168 10,036 4 21 26 546 441 27,692 -1,692 2,863 5 22 27 594 484 28,552 -1,552 2,409
Сумма 94 129 2462 1810 21,159
Ср.знач 18,8 25,8 492,4 362
/>
/>
/>
/>
/>
/>
3) Рассчитаем остаточныесуммы квадратов для каждой регрессии.
/>,
/>.
4) Вычислим F- распределения.
Fнабл=S2ŷ/S1ŷ =1,653.
5) Произведем сравнение Fнабл и Fтабл.
1,653
· Отсутствиеавтокорреляции.
Отсутствие автокорреляциипроверяется по d-критерию Дарбина- Уотсона:
Таблица 4
εi
εi-1
εi— εi-1
(εi— εi-1)2
1 1,284
2 -1,521 1,284 -2,805 7,868
3 2,611 -1,521 4,132 17,073
4 1,894 2,611 -0,717 0,5141
5 0,089 1,894 -1,805 3,258
6 -1,760 0,089 -1,849 3,4188
7 -2,433 -1,760 -0,673 0,4529
8 -2,106 -2,433 0,327 0,1069
9 3,001 -2,106 5,107 26,081
10 -1,062 3,001 -4,063 16,508
Сумма 75,282
/> ; d=75,282/37,961=1,983.
Так как d-критерий меньше двух, то мынаблюдаем присутствие положительной автокорреляции.
· Остаткиподчиняются нормальному закону распределения.
4. Осуществитьпроверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента />
/>; />,
/>; />,
где />
Тогда />, />; /> и />
tтабл=2,3060 (при 10-2=8 степенях свободы);tа и tb> tтабл, что говорит о значимости параметровмодели.
5. Коэффициентдетерминации находится по формуле:
/>.
Данные возьмем из таблицы5:
Таблица 5
№
x
y
/>
/>
/>
/>
/>
/>
1 17 26 3,7 4,1 13,69 16,81 1,284 4,938
2 22 27 8,7 5,1 75,69 26,01 -1,521 5,633
3 10 22 -3,3 0,1 10,89 0,01 2,611 11,868
4 7 19 -6,3 -2,9 39,69 8,41 1,894 9,968
5 12 21 -1,3 -0,9 1,69 0,81 0,089 0,424
6 21 26 7,7 4,1 59,29 16,81 -1,760 6,769
7 14 20 0,7 -1,9 0,49 3,61 -2,433 12,165
8 7 15 -6,3 -6,9 39,69 47,61 -2,106 14,040
9 20 30 6,7 8,1 44,89 65,61 3,001 10,003
10 3 13 -10,3 -8,9 106,09 79,21 -1,062 8,169
Сумма
133
219
392,1
264,9
83,979
Ср. знач.
13,3
21,9
Для проверки значимостимодели используем F-критерий Фишера:
/>.
Fтабл=5,32 (k1=1, k2=8 степенями свободы);
F>Fтабл, что говорит о значимости уравнения регрессии.
Среднюю относительнуюошибку аппроксимации находим по формуле:
/>;
В среднем расчетныезначения отклоняются от фактических на 8,4%.
Поскольку найденнаясредняя относительная ошибка аппроксимации находится в интервале от 5 до 10, томожно утверждать, что модель имеет хорошее качество.
6. Ширина доверительного интерваланаходится по формулам:
/>
/>
/>
где tα=1,86 приm=n-2=8 и α=0,1
Т.о.
/>
Верхн. граница:25,173+4,34=29,513
Нижн. граница:25,173-4,34=20,833
Таблица 6Нижняя граница Прогноз Верхняя граница 20,83 25,17 29,51
7. Фактические и модельные значения Y, точки прогноза представлены награфике 2.
График 2
/>
8. Составить уравнения нелинейнойрегрессии:
· Гиперболической
Уравнение показательнойкривой имеет вид: ŷ = a + b/x.
Произведем линеаризациюмодели путем заменыХ= 1/х.
Тогда уравнение приметвид:ŷ = a + bХ- линейное уравнение регрессии.
Данные, необходимые длянахождения параметров приведены в таблице 6
Таблица 7
№
y
x
X
X2
Xy
ŷ
εi
εi2
/> 1 26 17 0,0588 0,0035 1,5294 24,41 1,59 2,52 6,11 2 27 22 0,0455 0,0021 1,2273 25,10 1,90 3,61 7,04 3 22 10 0,1000 0,0100 2,2000 22,29 -0,29 0,09 1,33 4 19 7 0,1429 0,0204 2,7143 20,09 -1,09 1,18 5,72 5 21 12 0,0833 0,0069 1,7500 23,15 -2,15 4,63 10,24 6 26 21 0,0476 0,0023 1,2381 24,99 1,01 1,02 3,89 7 20 14 0,0714 0,0051 1,4286 23,76 -3,76 14,16 18,82 8 15 7 0,1429 0,0204 2,1429 20,09 -5,09 25,88 33,91 9 30 20 0,0500 0,0025 1,5000 24,87 5,13 26,35 17,11 10 13 3 0,3333 0,1111 4,3333 10,28 2,72 7,38 20,90
Сумма
219
133
1,0757
0,1843
20,0638
86,82
125,07
Ср.знач.
21,9
13,3
0,1076
0,0184
2,0064
/>
Значение параметров а иb линейной модели определим по формулам:
/>
Уравнение регрессии будетиметь вид ŷ = 27,44 – 51,47 X.
Перейдем к исходнымпеременным, получим уравнение гиперболической модели:
/>.
/>График 3
Степенная
Уравнение степенноймодели имеет вид: ŷ = a · xb
Для построения этоймодели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведемлогарифмирование обеих частей уравнения:
lg ŷ = lga + b lg x
Обозначим Y = lg ŷ; A= lg a; X = lg x
Тогда уравнение приметвид: Y = A+ bX — линейное уравнение регрессии.
Рассчитаем его параметры,используя данные таблицы 8:
Таблица 8
№
y
x
Y
X
YX
X2
ŷ
εi
εi2
/> 26 17 1,4150 1,2304 1,7411 1,5140 24,545 1,45 2,12 5,60 27 22 1,4314 1,3424 1,9215 1,8021 27,142 -0,14 0,02 0,52 22 10 1,3424 1,0000 1,3424 1,0000 19,957 2,04 4,17 9,29 19 7 1,2788 0,8451 1,0807 0,7142 17,365 1,63 2,67 8,60 21 12 1,3222 1,0792 1,4269 1,1646 21,427 -0,43 0,18 2,04 26 21 1,4150 1,3222 1,8709 1,7483 26,654 -0,65 0,43 2,51 20 14 1,3010 1,1461 1,4911 1,3136 22,755 -2,76 7,59 13,78 15 7 1,1761 0,8451 0,9939 0,7142 17,365 -2,37 5,59 15,77 30 20 1,4771 1,3010 1,9218 1,6927 26,151 3,85 14,81 12,83 13 3 1,1139 0,4771 0,5315 0,2276 12,479 0,52 0,27 4,01
Сумма
219
133
13,2729
10,5887
14,3218
11,8913
37,86
74,94
Ср.знач.
21,9
13,3
1,3273
1,0589
1,4322
1,1891
Значение параметров А и bлинейной модели определим по формулам:
/>
Значение параметров А и bлинейной модели определим по формулам:
/>
Уравнение регрессии имеетвид: Y=0,91 + 0,39X
Перейдем к исходнымпеременным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:
ŷ=100,91 · x0,39
ŷ =8,13 · x0,39.
График 4
/>
· Показательная
Уравнение показательнойкривой имеет вид: ŷ = a · bx
Для построения этоймодели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведемлогарифмирование обеих частей уравнения:
lg ŷ = lga + x lg b
Обозначим Y = lg ŷ; A = lg a;B = lg b
Тогда уравнение приметвид: Y = A+ Bx — линейное уравнение регрессии.
Данные, необходимы длянахождения параметров, приведены в таблице 9.
Таблица 9№наблюдения
y
x
Y
Yx
x2
ŷ
εi
εi2
/> 1 26 17 1,4150 24,0545 289 24,564 1,436 2,06 5,52 2 27 22 1,4314 31,4900 484 29,600 -2,600 6,76 9,63 3 22 10 1,3424 13,4242 100 18,920 3,080 9,49 14,00 4 19 7 1,2788 8,9513 49 16,917 2,083 4,34 10,96 5 21 12 1,3222 15,8666 144 20,385 0,615 0,38 2,93 6 26 21 1,4150 29,7144 441 28,516 -2,516 6,33 9,68 7 20 14 1,3010 18,2144 196 21,964 -1,964 3,86 9,82 8 15 7 1,1761 8,2326 49 16,917 -1,917 3,68 12,78 9 30 20 1,4771 29,5424 400 27,472 2,528 6,39 8,43 10 13 3 1,1139 3,3418 9 14,573 -1,573 2,47 12,10
Сумма
219
133
13,2729
182,8324
2161
45,75
95,84
Ср.знач.
21,9
13,3
1,3273
18,2832
216,1
/>
Значение параметров А и Bлинейной модели определим по формулам:
/>
Уравнение регрессии будетиметь вид: Y = 1,115 + 0,016x.
Перейдем к исходнымпеременным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:
ŷ =101,115·(100,016)x;
ŷ =13,03·1,038x.
График 5
/>
9. Для указанных моделей найти: R2 – коэффициент детерминации и средниеотносительные ошибки аппроксимации А.
/>для всех моделей = 264,9 (см. таблицу5).
· Степенная модель(см. таблицу 8):
/>;
/>;
· Показательнаямодель (см.таблицу 9):
/>;
/>;
· Гиперболическаямодель (см. таблицу 7):
/>
/>.
Таблица 10
Параметры
Модели
Коэффициент
детерминации R2 Средняя относительная ошибка аппроксимации А 1. Степенная 0,857 7,5 2. Показательная 0,827 9,6 3. Гиперболическая 0,672 12,5
Коэффициент детерминациипоказывает долю вариации результативного признака, находящегося подвоздействием изучаемых факторов. Чем ближе R2 к 1, тем выше качество модели.
Чем выше рассеяниеэмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняяошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7% свидетельствует о хорошемкачестве модели.
При сравнениигиперболической, степенной и показательной моделей по данным характеристикам мывидим, что наибольшее значение коэффициента детерминации R2 и наименьшую ошибку аппроксимации имеет степенная модель,следовательно, ее можно считать лучшей.
Задача 2
Даны две СФМ, которыезаданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системыодновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.
Таблица 1№ варианта № уравнения Задача 2а Задача 2б переменные переменные
y1
y2
y3
x1
x2
x3
x4
y1
y2
y3
x1
x2
x3
x4 8 1 -1
b12
b13
a12
a13 -1
b13
a11
a13
a14 2 -1
b23
a21
a22
a24
b21 -1
b23
a22
a24 3
b32 -1
a31
a32
a33
b31 -1
a31
a33
a34
Решение
2а) />, тогда система уравненийбудет иметь вид:
/>
/>
Модель имеет 3 эндогенные(y1, y2, y3) и 4 экзогенные (x1, x2, x3, x4) переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое идостаточное условие идентификации.
1 уравнение:y1= b12y2+b13y3+a12x2+a13x3;
Необходимое условие: D + 1 = H
Эндогенные переменные: y1, y2, y3; H=3
Отсутствующие экзогенныепеременные: х1, х4; D=2
2+1=3 — условиенеобходимости выполнено.
Достаточное условие: В уравнении отсутствуют х1,х4. Построим матрицу из коэффициентов для второго и третьегоуравнения:
Таблица 2Уравнение переменные
х1
х4
2
a21
a24
3
a31
Найдем определитель: />, ранг =2, следовательно,условие достаточности выполнено.
1-ое уравнениеидентифицируемо.
2 уравнение:y2= b23 y3+a21x1+a22x2+a24x4 ;
Необходимое условие: D + 1 = H
Эндогенные переменные: y2, y3; H=2
Отсутствующие экзогенныепеременные: х3; D=1
1+1=2 — условиенеобходимости выполнено.
Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y1, х3. Построим матрицу изкоэффициентов для первого и третьего уравнения:
Таблица 3Уравнение переменные
y1
х3
1 -1
a13
3
a33
Найдем определитель: />, ранг =2, следовательно,условие достаточности выполнено.
2-ое уравнениеидентифицируемо.
3 уравнение:y3= b32y2+a31x1+a32x2+a33x3;
Необходимое условие: D + 1 = H
Эндогенные переменные: y2, y3; H=2
Отсутствующие экзогенныепеременные: х4; D=1
1+1=2 — условиенеобходимости выполнено.
Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y1, х4. Построим матрицу изкоэффициентов для первого и второго уравнения:
Таблица 4Уравнение переменные
х1
х4
1 -1
2
a24
Найдем определитель: />, ранг =2, следовательно,условие достаточности выполнено.
3-е уравнениеидентифицируемо.
В целом вся системауравнений является идентифицируемой.
Решение
2б) />,
Тогда система уравненийбудет иметь вид:
/> />
Модель имеет 3 эндогенные(y1, y2, y3) и 4 экзогенные (x1, x2, x3, x4) переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое идостаточное условие идентификации.
1 уравнение:y1= b13y3+a11x1+a13x3+a14x4;
Необходимое условие: D + 1 = H
Эндогенные переменные: y1, y3; H=2
Отсутствующие экзогенныепеременные: х2; D=1
1+1=2 — условиенеобходимости выполнено.
Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y2, х2. Построим матрицу из коэффициентов длявторого и третьего уравнения:
Таблица 5Уравнение переменные
y2
х2
2 -1
a22
3
Найдем определитель: />, следовательно, условиедостаточности НЕ выполнено.
1-ое уравнениеНЕидентифицируемо.
2 уравнение:y2= b11 y1+b23y3+a22x2+a24x4 ;
Необходимое условие: D + 1 = H
Эндогенные переменные: y1, y2, y3; H=3
Отсутствующие экзогенныепеременные: x1, х3; D=2
2+1=3 — условиенеобходимости выполнено.
Достаточное условие: В уравнении отсутствуют x1, х3. Построим матрицу изкоэффициентов для первого и третьего уравнения:
Таблица 6Уравнение переменные
x1
х3
1
a11
a13
3
a31
a33
Найдем определитель: />, ранг =2, следовательно,условие достаточности выполнено.
2-ое уравнениеидентифицируемо.
3 уравнение:y3= b31y2+a31x1+a33x3+a34x4;
Необходимое условие: D + 1 = H
Эндогенные переменные: y1, y3; H=2
Отсутствующие экзогенныепеременные: х2; D=1
1+1=2 — условиенеобходимости выполнено.
Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y1, х4. Построим матрицу изкоэффициентов для первого и второго уравнения:
Таблица 7Уравнение переменные
y2
х2
1
2 -1
a22
Найдем определитель: />, следовательно, условиедостаточности НЕ выполнено
3-е уравнение НЕидентифицируемо.
В целом вся системауравнений является НЕидентифицируемой, так как первое и третье уравнение – НЕидентифицируемы.
2в) По данным, используякосвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида: y1=a01+b12y2+a11x1+ε1;
y2=a02+b21y1+a22x2+ε2
Таблица8Вариант n
y1
y2
x1
x2 8 1 51.3 39.4 3 10 2 112.4 77.9 10 13 3 67.5 45.2 5 3 4 51.4 37.7 3 7 5 99.3 66.1 9 6 6 57.1 39.6 4 1
Решение
1) Структурную формумодели (СФМ) преобразуем в приведенную форму модели (ПФМ):
Для этого из второгоуравнения выражаем y2 и подставляем его в первое, а изпервого выражаем y1 и подставляем его во второе уравнение.Получим:
y1=δ11x1+ δ12x2+u1;
y2=δ21x1+ δ22x2+u2,
где u1 и u1 –случайные ошибки ПФМ.
Здесь
/> /> /> />
2) В каждомуравнение ПФМ с помощью МНК определим δ – коэффициент.
Для первого уравнения:
/>/>
/>.
Для решения системыуравнений требуются вспомогательные расчеты, которые представлены в таблице 9,10.
Таблица 9n
y1
y2
x1
x2 1 51,3 39,4 3 10 2 112,4 77,9 10 13 3 67,5 45,2 5 3 4 51,4 37,7 3 7 5 99,3 66,1 9 6 6 57,1 39,6 4 1 Сумма 439 305,9 34 40 Сред. знач. 73,17 50,98 5,67 6,67
Для упрощения расчетовудобнее работать с отклонениями от средних уровней:
∆у = у — уср;∆х = х — хср
Таблица10n
∆y1
∆y2
∆x1
∆x2
∆y1∆x1
∆x12
∆x1∆x2
∆y1∆x2
∆y2∆x1
∆y2∆x2
∆x22 1 -21,9 -11,6 -2,7 3,3 58,31 7,11 -8,89 -72,89 30,89 -38,61 11,11 2 39,2 26,9 4,3 6,3 170,0 18,78 27,44 248,48 116,64 170,47 40,11 3 -5,7 -5,8 -0,7 -3,7 3,78 0,44 2,44 20,78 3,86 21,21 13,44 4 -21,8 -13,3 -2,7 0,3 58,04 7,11 -0,89 -7,26 35,42 -4,43 0,11 5 26,1 15,1 3,3 -0,7 87,11 11,11 -2,22 -17,42 50,39 -10,08 0,44 6 -16,1 -11,4 -1,7 -5,7 26,78 2,78 9,44 91,04 18,97 64,51 32,11 ∑ -0,2 -0,1 -0,2 -0,2 404,03 47,33 27,33 262,73 256,17 203,07 97,33
С учетом приведенныхданных получим:
404,03 = 47,33δ11+ 27,33δ12
262,73 = 27,33δ11+ 97,33δ12
/>/>
δ12 = 0,36;
/>
С учетом этого первоеуравнение ПФМ примет вид:
y1 = 8,33х1 + 0,36х2 +u1
Для второго уравненияопределим δ – коэффициент с помощью МНК:
/>/>
/>
Для дальнейших расчетовданные берем из таблицы 9, 10. Получим:
256,17=47,33δ21+27,33δ22
203,07=27,33δ21+97,33δ22
/>/>
δ22 =0,68;
/>
Второе уравнение ПФМпримет вид:
у2 = 5,02х1+ 0,68х2 + u2
3) Выполним переход отПФМ к СПФМ. Для этого из последнего уравнения найдем х2:
/>
Найденное х2подставим в первое уравнение.
/>,
тогда b12=0,53; a11=5,67
Из первого уравнения ПФМнайдем х1
/>
Подставим во второеуравнение ПФМ
/>,
тогда b21=0,6; a22=0,46
4) Свободные члены СФМнайдем из уравнения:
а01 = у1ср — b12у2ср — а11х1ср= 73,17 – 0,53 50,98 — 5,67 5,67 = 14,00;
а02 = у2ср — b21у1ср — а22х2ср= 50,98 — 0,6 73,17 — 0,46 6,67 = 4,00.
5) Записываем СФМ вокончательном виде:
y1=a01+ b12y2 + a11x1 + ε1;
y2=a02+ b21y1 + a22x2 + ε2.
y1 =14+ 0,53y2 + 5,67x1 + ε1;
y2 =4+ 0,6y1 + 0,46x2 + ε2.