1 Методологічні основисоціально-економічного прогнозування
Прогнозом називають науково обґрунтований висновок промайбутні події і перспективи розвитку процесів, про можливі наслідкиуправлінських рішень.
За специфікою об'єктів прогнози поділяють нанауково-технічні, економічні, соціальні, військово-політичні тощо. Економічніпрогнози класифікують за масштабністю об'єкта на глобальні, макроекономічні, структурні(міжгалузеві та міжрегіональні), регіональні, галузеві, мікроекономічні.
B світовій практиці прикладного прогнозуваннявикористовують різні методи: статистичні (прогнозна екстраполяція),функціонально-ієрархічні (прогнозні сценарії), методи структурної аналогії,імітаційного моделювання, експертні оцінки.
При прогнозуванні соціально-економічних процесівперевага віддається статистичним методам, прогнозним результатом яких єочікувані у майбутньому значення характеристик процесу, тобто статистичний прогноззавжди є умовним.
Іншою особливістю статистичного прогнозу євизначеність його в часі. Часовий горизонт прогнозу називають періодомупередження. За тривалістю цього періоду вирізняють прогнози:короткострокові (до 1 року), середньострокові (до 5 років) і довгострокові (від5 до 20 років і більше). Тривалість періоду упередження залежить від специфікиоб'єкта прогнозування, інтенсивності динаміки, тривалості дії виявленихзакономірностей та тенденцій.
Прогнозний результат на період упередження можна представитиодним числом (точковий прогноз) або інтервалом значень, до якого з певноюймовірністю належить прогнозна величина (інтервальний прогноз).
Статистичні прогнози ґрунтуються на гіпотезах простабільність значень величини, що прогнозується; закону її розподілу;взаємозв'язків з іншими величинами тощо. Основний інструмент прогнозування — екстраполяція.
Суть прогнозної екстраполяції полягає в поширеннізакономірностей, зв'язків і відношень, виявлених в t-му періоді, за йогомежі.
Залежно від гіпотез щодо механізму формування іподальшого розвитку процесу використовуються різні методи прогнозноїекстраполяції. Їх можна об'єднати в дві групи:
- екстраполяціязакономірностей динаміки — тренду і коливань;
- екстраполяціяпричинно-наслідкового механізму формування процесу — факторне прогнозування.
Ці методи різняться не процедурою розрахунківпрогнозу, а способом описування об'єкта моделювання. Екстраполяціязакономірностей розвитку ґрунтується на вивченні його передісторії, виявленнізагальних і усталених тенденцій, траєкторій зміни в часі. Абстрагуючись відпричин формування процесу, закономірності його розвитку розглядають як функціючасу. Інформаційною базою прогнозування слугують одномірні динамічні ряди.
При багатофакторному прогнозуванні процес розглядаєтьсяяк функція певної множини факторів, вплив яких аналізується одночасно або з деякимзапізненням. Інформаційною базою виступає система взаємозв'язаних динамічнихрядів. Оскільки фактори включаються в модель у явному вигляді, то особливогозначення набуває апріорний, теоретичний аналіз структури взаємозв'язків.
Важливим етапом статистичного прогнозування є верифікаціяпрогнозів, тобто оцінювання їх точності та обґрунтованості. Ha етапіверифікації використовують сукупність критеріїв, способів і процедур, які даютьможливість оцінити якість прогнозу.
Найбільш поширене ретроспективне оцінюванняпрогнозу, тобто оцінювання прогнозу для минулого часу (ex-post прогноз).Процедура перевірки така. Динамічний ряд поділяється на дві частини: перша —для t= 1,2,3, ...,p — називається ретроспекцією(передісторією), друга — для t=p + 1, p + 2, p + 3, ..., p +(n—р) — прогнозним періодом.
За даними ретроспекції моделюється закономірністьдинаміки і на основі моделі розраховується прогноз Yp+v, де v— період упередження. Ретроспекція послідовно змінюється, відповідно змінюєтьсяпрогнозний період, що унаочнює рис. 1.1 (для v = 1).
/>
Оскільки фактичні значення прогнозного періоду відомі,то можна визначити похибку прогнозу як різницю фактичного уt іпрогнозного Ytрівнів: et = yt –Yt. Всього буде n —р похибок. Узагальнюючою оцінкоюточності прогнозу слугує середня похибка:
абсолютна />,квадратична />.
Для порівняння точності прогнозів, визначених зарізними моделями, використовують похибку апроксимації (%):
/>
Якщо результат оцінювання точності прогнозу задовольняєвизначені критерії точності, скажімо, 10%, то прогнозна модель вважаєтьсяприйнятною і рекомендується для практичного використання. Очевидно, що похибкапрогнозу залежить від довжини ретроспекції та горизонту прогнозування. Оптимальнимспіввідношенням між ними вважається 3: 1.
При оцінюванні та порівнянні точності прогнозіввикористовують також коефіцієнт розбіжності Г. Тейла, який дорівнює нулю завідсутності похибок прогнозу і не має верхньої межі:
/>
Існуючі методи верифікації прогнозів у більшості своїйґрунтуються на статистичних процедурах, які зводяться до побудови довірчих межпрогнозу, себто до побудови інтервальних прогнозів.2 Методи і моделі прогнозуванняодновимірних процесів
Ряди динаміки характеризують процеси розвиткусоціально-економічних явищ. Цим процесам властиві дві взаємопов'язані риси:динамічність та інерційність, що формують закономірність розвитку.
Ряди, в яких рівні коливаються навколо постійноїсередньої, називаються стаціонарними. Економічні ряди, як правило,нестаціонарні. Для більшості з них характерна систематична зміна рівнів знерегулярними коливаннями, коли піки і западини чергуються з різноюінтенсивністю. Скажімо, економічні цикли (промислові, будівельні, фондовогоринку тощо) повторюються з різною тривалістю і різною амплітудою коливань. Короткостроковепрогнозування на основі ковзних середніх
Досить поширеним і простим методом аналізу динаміки єзгладжування ряду. Суть його полягає в заміні фактичних рівнів уt,середніми за певними інтервалами. Варіація середніх порівняно з варіацієюрівнів первинного ряду значно менша, а тому характер динаміки проявляєтьсячіткіше. Процедуру згладжування називають фільтруванням, а оператори, задопомогою яких вона здійснюється, — фільтрами. На практиці використовують переважнолінійні фільтри, з-поміж яких найпростіший — ковзна середня з інтерваломзгладжування m Інтервали поступово зміщуються на один елемент:
/>
Для кожного з них визначається середня />, яка припадає насередину інтервалу. Якщо m — непарне число, тобто m = 2p + 1, аваги членів ряду в межах інтервалу однакові
/>, то
/>
де yi — фактичне значення рівня в i-ймомент; i —порядковий номер рівня в інтервалі.
При парному m середина інтервалу знаходитьсяміж двома часовими точками і тоді проводиться додаткова процедура центрування(усереднення кожної пари значень).
Ковзна середня з однаковими вагами аrпризгладжуванні динамічного ряду погашає не лише випадкові, а й властивіконкретному процесу періодичні коливання. Припускаючи наявність таких коливань,використовують зважену ковзну середню, тобто кожному рівню в межах інтервалузгладжування надають певну вагу. Способи формування вагової функції різні. Bодних випадках ваги відповідають членам розкладання біному /> , при m=3, скажімо,ar = 1/4, 1/2,1/4. B інших випадках до даних інтервалузгладжування добирається певний поліном, наприклад, парабола /> ,де i = -р, …, p. Тоді вагова функція така:
Для m = 5 />
Для m = 7 />і т.д.
Як видно з формул, ваги симетричні відносно центраінтервалу згладжування, сума їх з урахуванням винесеного за дужки множникадорівнює />.
Основна перевага ковзної середньої — наочність іпростота тлумачення тенденції. Проте не слід забувати, що ряд ковзних середніхкоротший за первинний ряд на 2p рівнів, а отже, втрачається інформаціяпро крайні члени ряду. I чим ширший інтервал згладжування, тим відчутнішівтрати, особливо нової інформації. Окрім того, маючи спільну основурозрахунку, ковзні середні виявляються залежними, що при згладжуванні значнихколивань навіть за відсутності циклів у первинному ряду може вказувати нациклічність процесу (ефект Слуцького).
У симетричних фільтрах стара і нова інформаціярівновагомі, а при прогнозуванні важливішою є нова інформація. У такому разівикористовують асиметричні фільтри. Найпростіший з них — ковзна середня, яказамінює не центральний, а останній член ряду (адаптивна середня):
/>.
У наведеній формулі перший елемент характеризуєінерцію розвитку, другий — адаптує середню до нових умов. Таким чином середня />з кожним кроком нібионовлюється. Ступінь оновлення визначається постійною вагою />. При використанні зваженихасиметричних фільтрів вагова функція формується з урахуванням ступеня новизниінформації. Такою є середня з екс-поненційно розподіленими вагами:
/>,
де Yt, — експоненційна середня, тобтозгладжене значення рівня динамічного ряду на момент t; /> — вага( t — r )-гoрівня; a — параметр згладжування, якийвизначає вагу t-гoрівня, значення його коливаються в межах від 0до 1.
Розклавши формулу за елементами суми, маємо
/>,
або
/>
Друга складова останньої формули є не що інше, якекспоненційна середня для (t- l)-гo моменту. Отже, експоненційну середнюможна представити як лінійну комбінацію фактичного рівня t-гoмоментута експоненційної середньої (t — l)-гo моменту: />.
Чим віддаленіший від t-гомоменту рівеньряду, тим менша його відносна вага і вклад у тенденцію. Так, при a = 0,2ваги становлять: для t- гомоменту — 0,2, для ( t – 1)- гомоменту — 0,2(1 -O,2) = 0,16; для (t-2)-roмоменту — 0,2(1 -0,2)2 = 0,128 і т. д. Надаючи більшу вагуновій інформації, експоненційна середня адаптується до нових умов, що робить їїдосить ефективним і надійним методом короткострокового прогнозування.
Для розрахунку експоненційної середньої Yt,необхідно визначити початкові умови: початкову величину Y0іпараметр а. Як початкову величину можна використати середній рівень заминулий (до динамічного ряду) період, або за відсутності таких даних, першийрівень ряду, тобто Yo=yt. Щодо параметра а, тона практиці найчастіше використовують його значення в інтервалі від 0,1 до 0,3. Оскільки від параметра а залежить сума вагових коефіцієнтів /> на певному часовомуінтервалі m, то можна за наперед заданим значенням цих величинорієнтовно визначити параметр а:
/>
Наприклад, якщо часовий інтервал m = 10місяців, а сума ваг /> = 0,90, то />. Тобто, при a = 0,2десять членів динамічного ряду визначать 90% величини експоненційної середньої.
При прогнозуванні процесу вдаються до багаторазовогозгладжування. Якщо період упередження v = 1, то використовують подвійнезгладжування. Експоненційна середня другого порядку /> визначаєтьсяза такою ж самою рекурентною формулою на основі згладженого ряду />:
/>.
Якщо припустити наявність лінійного тренда, прогнознийрівень Yt+1можна розрахувати за формулою :
/>
Довірчі межі прогнозного рівня визначаютьсятрадиційно:
/>
де /> ¾ дисперсія рівнів первинного динамічного
ряду; t— квантильрозподілу Стьюдента для ймовірності ( 1 — a).
Очевидно, що за умови значної варіації рівнівдинамічного ряду довірчі межі будуть досить широкими.
Базову модель експоненційного згладжування можнавикористати при моделюванні рядів, які мають сезонну компоненту.Оцінювання сезонної компоненти
Сезонні коливання формуються під впливом не лишеприродно-кліматичних, але й соціально-економічних факторів. Сила і напрям діїокремих факторів формує різну конфігурацію сезонної хвилі. За своїм характеромсезонна компонента може бути адитивною або мультиплікативною. Для адитивноїкомпоненти характерні сталі коливання навколо середнього рівня чи тренда, длямультиплікативної — зростання амплітуди коливань з часом.
Кожний рівень ряду уt, належить допевного сезонного циклу s, Довжина якого становить 12 місяців, або 4квартали. Відношення Ytдо середнього рівня за циклназивається індексом сезонності:
/>.
За умови, що вплив несезонних факторів еліміновано,середня з iндексіву j-го циклу становить 1, або 100 % .
У нестаціонарних рядах замість середньоївикористовують лі-н'ю тренда Yt = y(t), яка плавнопроходить через ряд динаміки і, як і середня, елімінує його нерівномірності.Сукупність індексів Сезонності в межах циклу характеризує сезоннийритм.
Прогнозування сезонних процесів ґрунтується надекомпозиції динамічного ряду. Припускають, що у майбутньому збережетьсятенденція і такий же характер коливань. За таких умов прогноз на будь-якиймісяць (квартал), визначений методом екстра-поляціїтренда, коригується індексомсезонності: /> , де v —період упередження. Скажімо, поквартальна динаміка обсягів імпорту пального(тис. т) за два роки (n = 8, t1= -3,5, tn= 3,5) описується трендом Yt = 923,7 + 33,8t, за якимтеоретичний обсяг імпорту у восьмому кварталі становить 1042,0 тис.т, а в 1-мукварталі наступного року (v=1) передбачається Yt+v=1042,0 + 33,8 * 1 = 1075,8. Якщо середній індекс сезонності 1-го кварталу It= 1,34, то скоригований на сезонність прогнозний рівень дорівнює />,= 1,34 — 1075,8 = 1441,6тис.т.
Динаміка більшості показників не виявляє чітко вираженоїтенденції розвитку. Через постійний перерозподіл впливу факторів, які формуютьдинаміку процесу, змінюється інтенсивність динаміки, частота та амплітудаколивань. До таких фактичних даних більш еластичною виявляється ковзна середня,інтервал згладжування якої дорівнює сезонному циклу (4 або 12). Коригуванняковзної середньої на сезонність здійснюється так само, як коригування лінійноготренда.
Ha використанні експоненційної середньої ґрунтуєтьсяceзонно-деколіпозиційна модель Холта-Вінтера, в якій поєднуються моделістаціонарності, лінійності та сезонності. Послідовність операцій така:
1. Визначаються індекси сезонності It
2. Ряд динаміки фільтрується від сезонних коливаньділенням ytна коефіцієнт сезонності з лагом s; рядut = yt :It-sназивається декомпозиційним.
3. Перші різниці декомпозиційного ряду bt= (ut – ut-1 ) розглядаються якхарактеристики лінійного тренда.
Кожна з компонент моделі згладжується за допомогоюекспоненційної середньої. При комбінації лінійної та сезонно-адитивної моделейтренда:
/>
Значення параметрів згладжування A, Dі C в системі Statistica за умовчування визначаються нарівні 0,1, в [10] рекомендуються: A = 0,2; B = 0,2; C = 0,5.
За умови ізольованої оцінки трьох факторів прогноз наперіод упередження v визначається як скоригована на сезонність сумапрогнозного рівня ut, і лінійного тренда:
/>.
При комбінації лінійного та сезонно-мультиплікативноготрендів кінцевий прогноз визначається за формулою:
/>, де />.Типитрендових моделей
При моделюванні динамічних процесів причинний механізмформування властивих їм особливостей у явному вигляді не враховується.Будь-який процес розглядається як функція часу. Певна річ, час не є факторомконкретного соціально-економічного процесу, змінна часу t простоакумулює комплекс постійно діючих умов і причин, які визначають цей процес.
У моделях динаміки процес умовно поділяється на чотирискладові:
- довгострокову, детерміновану часом еволюцію —трендf(t));
- періодичні коливання різних частот Ct;
- сезонні коливання St;
- випадкові коливання et.
Зв'язок між цими складовими представляється адитивно(сумою) або мультиплікативно (добутком):
/>
Така умовна конструкція дає змогу, залежно від метидослідження, вивчати тренд, елімінуючи коливання, або вивчати коливання,елімінуючи тренд. При прогнозуванні здійснюється зведення прогнозів різнихелементів в один кінцевий прогноз.
Характерною властивістю будь-якого динамічного ряду єзалежність рівнів: значення уt, певною мірою залежить відпопередніх значень:/> i т. д. Дляоцінювання ступеня залежності рівнів ряду використовують коефіцієнтиавтокореляції rрз часовим лагом p = 1, 2, ..., т.
Коефіцієнт rрхарактеризує щільністьзв'язку між первинним рядом динаміки і цим же рядом, зсуненим на p моментів.У табл. 2.1 наведено зсунені ряди динаміки з лагами p — 1, 2, 3. Яквидно, із збільшенням лага p кількість пар корельованих рівнівзменшується. Так, при p = 1 довжина корельованих рядів менша запервинний ряд на один рівень, при p = 2 — на два рівні і т. д. Через цена практиці при визначенні автокореляційної функції дотримуються правила, заяким кількість лапв />.
Таблиця 2.1
Змінна часу t
Рівень ряду у
р=1
р = 2
р = 3 1
/> — —
— 2
/>
/> — — З
/>
/>
/> — … … … … …
n-2
/>
/>
/>
/>
n-1
/>
/>
/>
/>
n
/>
/>
/>
/>
Значення коефіцієнта автокореляції rрвизначаєтьсявеличиною лага p і не виходить за межі ±1:
/>
де />
Послідовність коефіцієнтів rрназиваютьавтокореляційною функцією і зображують графічно у виглядіавтокорелограми з абсцисою p та ординатою rp.
За швидкістю згасання автокореляційної функції можназробити висновок про характер динаміки. Найчастіше використовується значення r1.Характеризуючи ступінь залежності двох послідовних членів ряду, коефіцієнтавтокореляції є мірою неперервності цього ряду. Якщо />, то ряду динаміки властиватенденція розвитку, якщо /> — рівніряду незалежні. Відносно високі значення коефіцієнта автокореляції при p =k, 2k, 3k, … свідчать про регулярні коливання.
На відміну від детермінованої складової випадковаскладова не зв'язана із зміною часу. Аналіз цієї складової є основою перевіркигіпотези про адекватність моделі реальному процесу. За умови, що модель вибраноправильно, випадкова складова являє собою стаціонарний процес з математичнимсподіванням M(e) = 0 і дисперсією
/>
де m — число параметрів функції.
Для оцінювання стаціонарності випадкової складовоївикористовують циклічний коефіцієнт автокореляції першого порядку r1.Корелюються ряди залишкових величин: /> та />
Припускаючи, що/>,формула розрахунку спрощується:
/>.
Існують таблиці критичних значень циклічногокоефіцієнта автокореляції для додатних і від'ємних значень (додаток 5). Якщофактичне значення r1менше за критичне, автокореляціявважається неістотною, а випадкова складова — стаціонарним процесом. У разі,коли фактичне значення r1перевищує критичне, можна зробитивисновок про неадекватність детермінованої складової реальному процесу.
Важливою складовою динамічних процесів є тенденціясередньої, тобто основний напрям розвитку. B аналізі динамічних рядів тенденціюпредставляють у вигляді плавної траєкторії та описують певною функцією, якуназивають трендом Yt = f(t), де t= 1, 2, …, n — змінначасу. Ha основі такої функції здійснюється вирівнювання динамічного ряду іпрогнозування подальшого розвитку процесу.
Процедура вирівнювання динамічних рядів включає дваетапи: обґрунтування (вибір) типу функції, яка б адекватно описувала характердинаміки, та оцінювання параметрів функції. Ha практиці переважно використовуютьфункції, параметри яких мають конкретну інтерпретацію залежно від характерудинаміки. Найбільш поширені поліноми (многочлени), різного роду експоненти та логістичні криві. Так, параметри полінома p-ro ступеня Yt= a + bt + ct2 + dt3… характеризують:
а — рівень динамічного ряду при t = 0;
b — абсолютну швидкість зміни рівнів ряду (ординат);
2c — прискорення (прирощення абсолютної швидкості);
d — зміну прирощення тощо.
Поліном 1-го ступеня, тобто лінійний тренд Yt= a + bt, описує процеси, які рівномірно змінюються в часі і маютьстабільні прирости ординат. Поліном 2-го ступеня (парабола) Yt= a + bt + ct2 здатний описати процес, характерноюособливістю якого є рівноприскорене зростання або зменшення ординат. Формапараболи визначається параметром c: при c > 0 гілки параболиспрямовані вгору — парабола має мінімум, при c 0 гілки параболиспрямовані вниз — парабола має максимум. При визначенні екстремуму (max, min)похідну параболи прирівнюють до нуля і розв'язують систему рівнянь відносно t.Наприклад, динаміка захворювань при епідемії грипу (чол.) описуєтьсяпараболою Yt = 264 + 45t — 1,5t2. Похідна параболи45-2,25t = 0, a t = 20. Максимум захворювань буде зафіксованочерез 20 днів від початку відліку часу (t = 0) і становитиме Ymах= 264 + 45 – 20 — 1,5 ×202 = 564 чол. Уполінома 3-го ступеня Yt = a + bt + ct2 + dt3знак прирощення ординати може змінюватися один чи два рази.
Якщо характерною властивістю процесу є стабільнавідносна швидкість (темпи приросту), такий процес описується експонентою якаможе набувати різних еквівалентних форм. Основна (показникова) форма експоненти
Yt = abt
деb — середня відносна швидкість зміниординати: при b > 1 ордината зростає з постійним темпом, при b1, навпаки, зменшується. Абсолютний приріст пропорційний досягнутомурівню. Експоненту можна представити у формі:
/> або />
де l = lnb,е = 2,718 — основа натурального логарифма, lne = 1.
Експоненти приводяться до лінійного виду заміною ytдесятковими або натуральними логарифмами:
lgY =lga + tlgb, |
lnY = lna + ltlne= lna + lt,
lnY = lnea+ lnebt= lna + lnbt = lna + lt .
Оцінювання параметрів трендових рівнянь найчастішездійснюється методом найменших квадратів (MHK), основною умовою якого ємінімізація суми квадратів відхилень фактичних значень ytвідтеоретичних Yt, визначених за трендовим рівнянням:
/>.
Параметри поліноміального тренда визначаютьсябезпосередньо розв'язуванням систем p + 1 нормальних рівнянь.Експонента, як показано вище, приводиться до лінійного виду логарифмуванням;розраховані параметри підлягають потенціюванню.
Виявлену тенденцію можна продовжити за межідинамічного ряду Така процедура називається екстраполяцією тренда.Принципова можливість екстраполяції ґрунтується на припущенні, що умови, яківизначали тенденцію у минулому, не зазнають істотних змін у майбутньому.Формально операцію екстраполяції можна представити як визначення функції:
/>,
де Yt+v— прогнозне значення наперіод упередження v; /> — база екстраполяції, найчастіше це останній,визначений за трендом рівень ряду.
Екстраполяція тренда дає точковий прогноз. Очевидно,що «влучення в точку» малоймовірне. Адже тренду властива невизначеність,передусім через похибки параметрів. Джерелом цих похибок є обмежена сукупністьспостережень yt, кожне з яких містить випадкову компоненту et,.Зсунення періоду спостереження лише на один крок веде до зсунення оцінокпараметрів. Випадкова компонента буде присутня і за межами динамічного ряду, аотже, її необхідно врахувати. Для цього визначають довірчий інтервал, який би зпевною ймовірністю окреслив межі можливих значень Yt+vТочковий інтервал перетворюється в інтервальний. Ширинаінтервалу залежить від варіації рівнів динамічного ряду навколо тренда таймовірності висновку (1 — а): />
Де Sp— середня квадратична похибкапрогнозу, значення якої залежить від дисперсії тренда /> та дисперсії відхиленьвід тренда />. Зокрема,для лінійного тренда
/>.
Якщо база прогнозування — останній рівень ряду, то />, a /> замінюється на />.Після нескладних алгебраїчних перетворень похибку прогнозу за лінійним трендомможна представити так:
/>
або, позначивши підкореневий вираз символом z, sp= sez.
Тобто похибка прогнозу залежить від залишковоїдисперсії />, довжини динамічногоряду (передісторії) n та періоду упередження v. Чим довший періодпередісторії, тим похибка менша, а збільшення періоду упередження, навпаки,веде до зростання похибки прогнозу.Прогнозуванняповних циклів
Свої особливості має моделювання динамічних процесів зефектом насичення, коли темпи зростання (зниження) уповільнюються і рівеньнаближується до певної межі (питомі витрати ресурсів, споживання продуктівхарчування на душу населення тощо). Для їх описування використовують класкривих, що мають горизонтальну асимптоту />.Найпростішою з-поміж них є модифікована експонента:
/>
де параметр а — різниця між ординатою Yt,при t = 0 та асимптотою K. Якщо a 0, асимптотазнаходиться вище кривої, якщо a > 0 — асимптота нижче кривої.Параметр b характеризує співвідношення послідовних приростів ординати.За умови рівномірного розподілу ординати по осі часу ці співвідношення є сталими:
/>.
Модифікована експонента описує процеси, на які дієпевний обмежувальний фактор, і вплив цього фактора зростає зі зростанням Yt.У разі, коли обмежувальний фактор впливає лише після певного моменту, доякого процес розвивався за експоненційним законом, то такий процес найкращеапроксимується S-подібною функцією з точкою перегину P, в якійприскорене зростання змінюється уповільненням. Наприклад, попит на новий товарпопервах незначний; потім, після визнання споживачами, він стрімкозростає, але у міру насичення ринку темпи зростання уповільнюються, згасають.Попит стабілізується на певному рівні. Аналогічні фази розвитку мають процесинововведень і винаходів, ефективність використання ресурсів тощо. З-поміж S-подібнихкривих, що описують повний цикл розвитку, найпоширенішою є функція Перла-Ріда —логістична крива:
/>.
Якщо показник процесу — частка, що змінюється в межахвід 0 до 1, то формула логістичної функції спрощується:
/>.
У страховій і демографічній статистиці використовуютьіншу S-подібну функцію — криву Гомперца: /> абов логарифмах
/>.
Тобто крива Гомперца приводиться до модифікованоїекспоненти, у якої сталими є відношення приростів ординат у логарифмах.
Оцінювання параметрів функцій, які мають асимптоти,порівняно з поліномами та експонентами значно складніше. Тут можливі дваваріанти.
За першим варіантом асимптота у вигляді нормативу,стандарту тощо визначається апріорі — />.Тоді модифіковану експоненту можна представити так:
/>.
Замінивши /> на z іпрологарифмувавши рівняння, дістанемо лінійну функцію логарифмів lgz = lga+ tlgb. Аналогічно приводиться до лінійного виду логістична функція />, яка при заміні /> на z у логарифмахнабуває такого ж вигляду: lgz = lga + tlgb. Параметриприведених до лінійного виду функцій, як і параметри поліномів, можна оцінитиметодом найменших квадратів.
Отже, клас моделей динаміки досить широкий, і вониописують різні процеси розвитку. Вибір типу моделі у конкретному дослідженніґрунтується передусім на теоретичному аналізі специфіки процесу, йоговнутрішньої структури, взаємозв'язків з іншими процесами. Ha основі такогоаналізу в загальних рисах визначається характер динаміки (рівномірний,рівноприскорений, з насиченням тощо) та окреслюється коло функцій, здатнихапроксимувати цей процес. Серйозною підмогою при виборі конкретної моделі слугуютьформальні методи. Скажімо, для поліномів — це аналіз послідовних різниць.Рівність різниць р-го порядку розглядається як симптом того, що процесописується поліномом р-го порядку. Якщо приблизно однакові різниці 1-го порядку/>, використовуютьлінійний тренд, якщо однакові різниці 2-го порядку — /> — параболу і т. д. Певніскладнощі можуть виникнути при виборі експоненти. Адже S-подібна крива до точкиперегину описує експоненційний тренд, а сама точка перегину може бути за межамидинамічного ряду. Отже, якщо межа насичення теоретично можлива і процес умайбутньому може згасати або існують певні обмеження для процесу (правові,матеріальних ресурсів, виробничих потужностей тощо), то перевага віддаєтьсяS-подібній кривій.
Оскільки первинним рядам динаміки властива значнаваріація рівнів ytто аналіз послідовних різниць більшкоректно проводити на основі рядів ковзних середніх. У табл.2.2 наведеноосновні характеристики такого аналізу (апріорні тести), за якими визначаєтьсяконкретний тип моделі повного циклу.
Таблица2.2Характеристика Властивості характеристик Тип трендової моделі
/> Приблизно однакові Поліном 1-го ступеня
/> Лінійно змінюються Поліном 2-го ступеня
/> Приблизно однакові Експонента
/> Лінійно змінюються Модифікована експонента
/> Лінійно змінюються Логістична крива
/> Лінійно змінюються Крива Гомперца
При зворотному напрямку тенденції різницірозраховуються, починаючи з кінця. За наявності від'ємних різницьлогарифмування неможливе, тому необхідно збільшити інтервал згладжуванняковзних середніх.Типимоделей взаємозв'язку
Усіявища навколишнього світу взаємопов'язані й взаємозумовлені. У складномупереплетенні всеохоплюючого взаємозв'язку будь-яке з них є наслідком дії певноїмножини причин і водночас причиною інших явищ.
Логічнийзміст і практичну значущість статистичних моделей взаємозв'язку слід розглядатисаме в площині співвідношення причинності і зв'язків, що вимірюютьсястатистичними методами. Суть причинності полягає в породженні одногоявища іншим. Причина — активна основа, що примушує інше явище змінюватися. Самапо собі причина не визначає наслідку. Останній залежить і від умов, у яких дієпричина. Через нерозрізненість причин і умов при моделюванні вони об'єднуютьсяв одне поняття «фактор», а наслідок розглядається як результат дії факторів.Отже, в рамках моделі досліджується детермінованість результату факторами.
Методологічніпроблеми побудови моделей взаємозв'язку можна об'єднати в дві групи:
- формування ознакової множини моделі, себтовизначення кількості факторів та їх числових еквівалентів;
- модельна специфікація — вибір функціонального виду моделі, ідентифікація та оцінюванняпараметрів.
Приформуванні ознакової множини моделі різноманітні прояви причинно-наслідковихзв'язків доцільно представляти візуально у вигляді спеціальних конструкцій — графівзв'язку, елементами яких е вершини та орієнтовані ребра (дуги). Вершиниграфа відповідають ознакам, а дуги показують відношення між ознаками. На рис.2.1 ілюструється граф зв'язку чотирьох ознак. За дугами графа можна простежитисистему відношень між ними: х впливає на у прямо, безпосередньо,z — прямо та опосередковано двома шляхами: /> та/>. У такій логічнійконструкції ознака у єрезультатом, а х, z і />— факторами, що визначаютьрезультат.
/>
Графвідображує теоретично обґрунтовану систему відношень між ознаками. Кожна ланкацієї системи розглядається як окрема гіпотеза, що підлягає перевірці вподальшому аналізі на усіх етапах побудови моделі. Основна мета моделейвзаємозв'язку — виявити і кількісно виміряти вплив факторів на результат. Очевидно,щоб визначити ефект впливу і-го фактора, необхідно елімінувати (усунути) впливінших факторів, умовно зафіксувавши їх шляхом відповідних розрахунків на одномуі тому ж рівні.
Наетапі модельної специфікації враховується характер зв'язку та особливостінаявної інформації. За своїм характером зв'язки поділяються на стохастичні, різновидомяких є кореляційні зв'язки, та жорстко детерміновані (функціональні).Перші відображують стохастичний характер причинно-наслідкових відношень,Другі — адитивні чи мультиплікативні зв'язки між елементами розрахунковихформул показників. Відповідно вибирається функціональна форма моделі:кореляційні зв'язки описуються переважно регресійними моделями, функціональні — балансовими або індексними. У моделях, що описують функціональні зв'язки,ступінь вільності при формуванні ознакової множини обмежена, маневрувати можналише кількістю факторів, укрупнюючи їх чи деталізуючи. Для регресійних моделейхарактерна багатоваріантність як ознакової множини, так і функціональної формимоделі. Інформаційна база моделі залежить від того, як представлено об’єктмоделювання. Якщо він розглядається як сукупність елементів у просторі, то інформаціяподається просторовими рядами
Увигляді матриці обсягом />, деп — обсяг сукупності, т — кількість включених у модель факторів.Класична регресія передбачає однорідність сукупності, тобто всі одиницісукупності мають бути однотипними щодо комплексу умов існування, а властиві їмзакономірності однаковими для усіх одиниць без винятку. Якщо сукупністьвнутрішньо диференційована, має у своєму складі певні групи (класи) одиниць зіспецифічним характером зв'язку, в моделі слід врахувати неоднорідність за принципомструктурної подібності. Методи відображення неоднорідності залежать відхарактеру та сталості міжгрупових розбіжностей.
Моделі,побудовані у просторовій площині, охоплюють одиничний, фіксований інтервалчасу. Серія такого типу моделей за певний період дає можливість простежитидинаміку взаємозв'язків, оцінити зміну потужності впливу окремих факторів, йогоперерозподіл.
Якщооб'єкт моделювання розглядається як первинний, неподільний елемент (галузьекономіки, регіон, країна), то інформаційна база представляється багатовимірнимдинамічним рядом у вигляді матриці обсягом (т • Т), де Т- довжинадинамічного ряду. В такому разі в моделі необхідно відобразити властиві процесузакономірності динаміки, як-от: тенденції, коливання, запізнення впливу тощо.За умови, що об'єкт моделювання нечисленний, а довжина динамічного рядуобмежена, просторові та динамічні ряди об'єднуються.
Напрактиці використовують переважно автономно побудовані моделі, тобто моделіодного показника-функції. Специфікація моделі залежить від її призначення,природи і структури взаємозв'язків, специфіки об'єкта моделювання, наявноїінформації. Поєднання, комбінація усіх цих елементів визначає безліч типівмоделей.
Вавтономних регресійних моделях (одного рівняння) відбувається складний процес елімінуваннявпливів між включеними в модель факторами і виокремлення безпосереднього впливукожного з них на результат. Фактичне використання такої моделі передбачає, що вразі необхідності рівні факторів можна змінювати незалежно один від одного.Проте в реальних умовах зміна одного фактора не може відбуватися за незмінностіінших, вона спричиняє ланцюгову реакцію в усій системі взаємозв'язанихпоказників. Поряд з безпосереднім прямим впливом має місце опосередкованийвплив, часом за різними напрямами, що потребує оцінювання сумарного впливу.Іноді одна й та сама змінна виступає водночас причиною і наслідком. Тодівиникає необхідність одночасного оцінювання прямого і зворотного впливів.
Складнепереплетення взаємозв'язків соціально-економічних явищ потребує і складнихінструментів аналізу. З-поміж таких інструментів є системи рівнянь, замінамножин висококорельованих ознак інтегральними факторами (головнимикомпонентами) тощо. Методологічні засади модельної специфікації розглядаютьсяза принципом «від простого до складного».Класичнарегресія
Регресійнамодель описує об'єктивно існуючі між явищами кореляційні зв'язки. За своїмхарактером кореляційні зв'язки надзвичайно складні та різноманітні. В однихвипадках результат у зі зміною фактора х, зростає чи зменшуєтьсярівномірно, в інших — нерівномірно. Іноді зростання може змінитися зменшенням інавпаки. Простежити всі ці взаємозв'язки і встановити точний функціональний видпрактично неможливо. А тому при виборі типу функції йдеться лише проапроксимацію відносно простими функціями незрівнянно більш складних за своєюприродою взаємозв'язків. На практиці перевагу віддають моделям, які є лінійнимиабо приводяться до лінійного виду шляхом перетворення змінних, наприкладлогарифмуванням. Такий підхід, безперечно, містить у собі певну умовність,оскільки передбачає однаковий характер зв'язку з усіма факторами. Протевикористання надто складних функцій неминуче веде до збільшення кількостіпараметрів, а отже, зменшує точність вимірювання та ускладнює інтерпретацію результатів.
Приобґрунтуванні типу функції слід враховувати й той факт, що межі варіаціїкорельованих ознак у конкретних умовах простору і часу, в конкретній сукупностізначно вужчі за їх можливі значення, і в цих межах варіації навіть лінійнафункція може задовільно апроксимувати зв'язок.
Улінійному щодо параметрів рівнянні регресії індивідуальне значеннярезультативного показника /> (де j —порядковий номер одиниці сукупності) записується так:
/>,
де/> — вільний член рівняння;економічного змісту, як правило, не має, лише окреслює область існуваннямоделі; />— коефіцієнт регресії;показує, як в середньому змінюється /> зізміною />на одиницю її шкаливимірювання за незмінності інших включених в модель факторів і за інших рівнихумов; />— залишковавеличина.
Урегресійній моделі основне навантаження покладається на коефіцієнт регресії />, він розглядаєтьсяяк своєрідна міра «очищеного» впливу /> нау і називається ефектом впливу.
Процедураоцінювання параметрів регресійної моделі ґрунтується на методі найменшихквадратів (МНК). Оскільки алгоритми МНК описано в математико-статистичнійлітературі й реалізовано в комп'ютерних програмах, наведемо лише загальну схемурозрахунку статистичних характеристик моделі, акцентуючи увагу на їх змістовнійінтерпретації.
Первиннаінформація представляється як матриця факторних ознак X розміром (п • т) івектора результативної ознаки у розміром (п • 1). Задля зручностівикористання алгоритмів МНК матриця X розширюється за рахунок додаткововведеної фіктивної змінної /> , вектор якої представленийодиницями. Параметри моделі — вектор /> визначаютьсярозв'язуванням системи нормальних рівнянь, яка записується так:
X'ХВ = />у,
де/>X — матриця розміромп (т + 1).
Послідовністьрозрахунків включає етапи:
- обчислення матриці />Xі вектора />у
- обертання матриці С =/>;
- розрахунок параметрів />;
- визначення теоретичних значень результативноїознаки /> та залишків />.
Значеннякоефіцієнтів регресії певною мірою залежать від складу введених у модель факторів.
Зрозширенням ознакової множини моделі відбувається перерозподіл впливупопередньо введених факторів. Чим вагоміший вплив нововведеного фактора, тимпомітніші зміни. Ілюстрацією перерозподілу впливу факторів може слугуватирегресійна модель урожайності рису, ц/га [11]. У модель послідовно вводилисьагротехнічні фактори: /> —попередник, балів; />— внесення добривпід основний обробіток, центнерів поживної речовини (ц п. р.) на 1 га посіву; />— передпосівний обробіток,та м'якої оранки; />— підживлення, цп. р.; />— норма висіву; />— кількість прополювань.Відповідно отримано такі рівняння регресії:
1.Y=30,432 + 3,001/>;
2.Y= 26,208 + 2,049/> + 5,995/>;
3.Y= 21,563 + 1,970/> + 4,610/> + 2,906/>;
4.Y= 22,332 + 1,321/> + 4,558/> + 1,465/>+ 9,791/>;
5.Y= 18,960 + 1,342/> + 4,483/> + 1,347/> + 9,545/> + 1,756/>;
6.Y= 19,387+ 0,965/>, + 3,400/> + 0,501/> + 7,500/> + 1,73/> + 3,433/>.
Якбачимо, введення кожного нового фактора спричиняє зменшення впливу попередньовведених факторів, таку ж тенденції має й вільний член рівняння.
Оскількифакторні ознаки мають, як правило, різні одиниці вимірювання, то для порівнянняефектів їх впливу в рамках моделі використовують стандартизовані коефіцієнтирегресії /> (бета-коефіцієнти)або коефіцієнти еластичності — />.Бета-коефіцієнт характеризує ефект впливу /> нау в середньоквадратичних відхиленнях, коефіцієнт еластичності — впроцентах. У табл. 5.2 наведено бета-коефіцієнти останнього (шостого) варіантамоделі врожайності рису. Згідно із значеннями Р, найвагоміший вплив наврожайність рису мають: прополювання (/>=0,360), підживлення />= 0,264),внесення добрив під основний обробіток (/>=0,248).
Дляоцінювання адекватності регресійної моделі використовують:
- стандартне відхилення;
- множинні коефіцієнти детермінації та кореляції;
- частинні коефіцієнти детермінації та кореляції;
- коефіцієнти окремої детермінації;
- критерії перевірки істотності зв'язку.
Стандартне відхилення характеризує варіаціюзалишковихвеличин
/>,
деn — обсяг сукупності, т — кількість коефіцієнтів регресії.
Розрахунокхарактеристик щільності зв'язку ґрунтується на декомпозиції (розкладанні) варіаціїу за джерелами формування:
/>,
де/> — загальна сумаквадратів відхилень, зумовлена впливом усіх можливих факторів; /> — факторнасума квадратів відхилень, зумовлена впливом включених у модель факторнихознак/>; /> — залишковасума квадратів відхилень, розмір якої залежить від потужності впливу невключених у модель факторів.
Відношенняфакторної суми квадратів до загальної характеризує частку варіації у, пов'язануз варіацією включених у модель факторів, і називається множиннимкоефіцієнтом детермінації
/>.
Завідсутності зв'язку /> = 0. Якщозв'язок функціональний, то />= 1.Очевидно, що /> пов'язаний ізстандартним відхиленням />. Призменшенні /> значення /> зростатиме і навпаки.Корінь квадратний із коефіцієнта детермінації називають коефіцієнтом кореляції/>. Для моделіврожайності рису R = 0,8394, /> = 0,7029,тобто 70,29% варіації врожайності рису лінійно пов'язані з агротехнічнимифакторами, включеними в модель.
Окрімназваних множинних коефіцієнтів щільності зв'язку, в комп'ютерних програмахпередбачено розрахунок /> з урахуваннямчисла ступенів вільності:
/>,
де /> — оцінка дисперсіїрезультативної ознаки у; /> — оцінка залишкової дисперсії.
Скоригований коефіцієнт множинної детермінації /> відрізняєтьсявід /> співвідношенням числаступенів вільності дисперсій: залишкової /> ізагальної /> . Для розглянутої моделіце співвідношення становить (34-1): (34-6-1) = 1,2222, а /> = 1-(1-0,7029) • 1,2222 =0,6369.
Умоделях множинної регресії поряд з оцінкою сукупного впливу всіх включених умодель факторів вимірюється кореляція між функцією у та кожним окремим фактором/>, при елімінуванні впливуінших факторів. Для цього використовують частинні коефіцієнти детермінації />. Схему розрахунку /> розглянемо на прикладіфактора /> моделі врожайності рису.До введення його в модель п'ять факторів пояснювали 64,61% варіації врожайності(/> = 0,6461), непоясненими залишалися (1 — 0,6461) • 100 = 35,39% варіації. Фактор /> додатково пояснив0,7029 — 0,6461 =0,0568 варіації у, що відносно не поясненої іншимифакторами варіації становить 0,0568:0,3539 = 0,1605. Це і є частиннимкоефіцієнтом детермінації фактора />.
Отже,розрахунок /> ґрунтуєтьсяна порівнянні двох регресійних моделей: повної, з урахуванням фактора /> і скороченої, у якійфактор /> відсутній.Чисельник /> дорівнює різницісукупних коефіцієнтів детермінації цих моделей, знаменник — одиниці мінуссукупний коефіцієнт детермінації скороченої моделі. Загальну схему йогорозрахунку можна представити як відношення сум квадратів: частинної /> і залишкової /> :
/>,
де/>; /> —діагональний елемент оберненої матриці.
Коріньквадратний із частинного коефіцієнта детермінації називають частиннимкоефіцієнтом кореляції.
Інодідля характеристики ролі кожного фактора у відтворенні варіації у сукупнийкоефіцієнт детермінації розкладають на складові:
/>,
де/> — коефіцієнт окремоїдетермінації, який залежить від потужності впливу і-го фактора на yта щільності зв'язку між ними ( />— парнийкоефіцієнт кореляції).
Ефективпливу факторів на врожайність рису та характеристики щільності зв'язку наведенов табл. 2.3.
Таблиця 2.3Фактор
/>
/>
/>
/>
/>
/> 0,597 0,965 0,192 0,1146 0,0727
/> 0,614 3,400 0,248 0,1521 0,1160
/> 0,489 0,501 0,045 0,0221 0,0039
/> 0,638 7,500 0,264 0,1687 0,1168
/> 0,411 1,730 0,029 0,0119 0,0020
/> 0,716 3,443 0,362 0,2335 0,1605
Утаблиці для кожного фактора наведено три характеристики спільності зв'язку:парний коефіцієнт />, частинний /> і коефіцієнтокремої детермінації />. Найбільшізначення мають парні коефіцієнти кореляції. Це пояснюється тим, що факторивзаємозалежні, і парний коефіцієнт кореляції акумулює вплив інших факторів.Частинні коефіцієнти характеризують відносну зміну залишкової дисперсії зарахунок відповідного фактора; для кожного з них база порівняння інша, а томуаналітичні можливості їх обмежені. Коефіцієнти окремої детермінації, сума якихдорівнює множинному коефіцієнту детермінації />=0,7029, упорядковуючи фактори за потужністю впливу, практично дублюютьвисновки, які можна зробити на основі бета-коефіцієнтів.
Перевірка істотності зв'язку статистичнеформулюється як перевірка нульових гіпотез:/>;/>.Гіпотеза />відхиляється чи визнаєтьсядопустимою на основі статистичних критеріїв, зокрема дисперсійного F-критерію,статистична характеристика якого розраховується відношенням оцінок факторної ізалишкової дисперсій:
/> або />.
Критичнізначення />, де /> — рівень істотності, />, /> — числа ступенів вільностічисельника та знаменника, наведено в додатку 10. Оскільки F-критерійфункціонально зв'язаний з коефіцієнтом детермінації /> ,то перевірку істотності зв'язку можна здійснити, використовуючибезпосередньо критичні значення /> ,наведені в додатку 11.
Паралельноз оцінюванням адекватності моделі проводиться перевірка істотності впливуокремих факторів />, на у задопомогою t-критерію:
/>,
де/> — стандартна похибкакоефіцієнта регресії; /> —оцінка залишкової дисперсії; /> — діагональний елементоберненої матриці С.
Критичнізначення />, де /> наведено в додатку 5. Ефектвпливу і-го фактора визнається істотним, якщо />.Так, при />= 0,05 і /> = 20 коефіцієнт /> в 2,15 раза перевищуєстандартну похибку /> , що свідчитьпро його значущість (істотність).
Довірчімежі ефекту впливу визначаються за правилами вибіркового методу /> , де /> — значеннядвостороннього t-критерію.
Рівняннярегресії має такий вигляд:
/>.
Іззбільшенням цукристості буряка на 1%, за умови незмінності інших факторів,вихід цукру з 1 т сировини зростає в середньому на 0,953%; щодо порушеньтехнології зберігання та переробки сировини, то вони мають негативний вплив,особливо порушення технології зберігання. Включені в модель фактори пояснюють84,5% варіації виходу цукру з 1 т сировини; ефекти впливуусіх факторів істотні.3 Методи і моделіпрогнозування багатовимірних процесівБагатофакторнііндексні моделі
Прививченні функціональних зв'язків між показниками широко використовуютьсяіндексні моделі. Основою індексної моделі є мультиплікативний зв'язок міжпевною множиною показників; один з них розглядається як результат у, інші- як фактори />:
/>.
Послідовністьфакторів у моделі не може бути довільною, вона визначається економічним змістомпоказників і методикою їх розрахунку. Кожний наступний фактор-множникрозраховується на одиницю попереднього, а отже, добуток будь-якої кількостіфакторів є економічно змістовною величиною. Наприклад, прибутковість активівкомпанії у є функцією прибутковості продажу продукції />та оборотності мобільнихактивів />, тобто />. Оборотністьмобільних активів />, в своючергу, є функцією оборотності матеріальних запасів />ічастки матеріальних запасів у мобільних активах />.Отже, />.
Схематичнопослідовність розширення моделі можна представити так:
/> і т.д.
Характерноюрисою мультиплікативної моделі є взаємозв'язок факторів: чисельникрозрахункової формули одного фактора є знаменником розрахункової формулинаступного. Введення в ланцюгову схему нового фактора означає лише деталізаціюфункціонального зв'язку і не змінює його сутності. Ступінь деталізації залежитьвід мети дослідження.
Припобудові індексної моделі функція /> розглядаєтьсядля двох періодів: базисного /> іпоточного />.
Абсолютнуі відносну зміну показника-функції у можна розкласти зафакторами-множниками />. Оцінюванняступеня та абсолютного розміру впливу кожного з них на динаміку функціїздійснюється в рамках індексної моделі, в якій відтворюються взаємозв'язки міжпоказниками:
/>
Прирозрахунку частинного індексу /> необхідноелімінувати вплив інших включених у модель факторів. Задля цього всіфактори-множники, окрім />, фіксуютьсяна постійному рівні. Найчастіше фактори, розміщені в ланцюгу зліва від />, фіксуються нарівні поточного періоду, а розміщені справа від />-на рівні базисного періоду. Скажімо, в моделі /> принциппослідовно-ланцюгового елімінування впливу фактора х2реалізуєтьсятаким чином:
/>.
Затакою ж схемою визначається абсолютний вплив його на у:
/>.
Абсолютнийвплив факторів можна визначити з використанням відповідних частинних індексів.При послідовному множенні (за ланцюговою схемою) базисного рівняпоказника-функції на індекси факторів визначаються розрахункові рівні, тобтотакі рівні, які мав би показник у під впливом і-го фактора і принезмінному рівні решти факторів. Якщо базисний його рівень позначити />, розрахунковийрівень для першого фактора — у', для другого — у" і т. д.,то порядок розрахунку абсолютного впливу і-го фактора />схематично можна представититак:
/>.
Методикупобудови багатофакторної індексної моделі розглянемо на прикладі взаємозв'язкупоказника прибутковості капіталу з індикаторами фінансового стану таплатоспроможності підприємства. Для окремої компанії (фірми, корпорації)прибутковість капіталу розраховується відношенням чистого прибутку до власногокапіталу. Динаміку цього показника можна розкласти за такою множиною факторів:
a — чистий прибуток на одиницю валовогообороту (реалізації продукції, послуг);
b — оборотність поточних активів;
с — поточна ліквідність;
d — частка поточних пасивів у залученихкоштах, (коефіцієнт заборгованості);
f — співвідношення залучених і власних коштів.
Взаємозв'язокміж ними має вигляд:
/>
Наприклад,прибутковість капіталу умовної фірми становила: в базисному періоді — 115,1%, употочному — 129,0%, тобто прибутковість зросла на 13,9 процентного пункту, індексприбутковості — 1,121. Індекси включених у модель факторів — множників ірозрахунок внеску кожного з них в абсолютний приріст прибутковості капіталунаведено в табл. 3.1.
Таблиця3. 1Фактор Індекс фактора Розрахунковий рівень прибутковості Абсолютний внесок фактора в приріст прибутковості
а 1,057 121,7 +6,6
b 0,986 120,0 -1,7
с 1,012 121,4 + 1,4
d 1,025 124,4 +3,0
f 1,037 129,0 +4,6 Разом X X + 13,9
Абсолютнийприріст прибутковості в розмірі 13,9 процентного пункту розкладено зафакторами. Всі фактори, окрім оборотності поточних активів, мали позитивнийвплив на динаміку прибутковості. З-поміж них найвагоміший вплив фактора а — чистогоприбутку на одиницю валового обороту, на другому місці фактор f — співвідношення власних і залучених коштів, на третьому — фактор d — коефіцієнт заборгованості.
Системувзаємозв'язаних показників можна представити у матричному вигляді. На головнійдіагоналі матриці за певною стратегією розміщуються т абсолютних величин/> на основі яких можнавизначити т(т- 1) відносних величин />,де />.
Очевидно,що недіагональні елементи, симетрично розташовані щодо головної діагоналі, єоберненими одна до одної величинами, тобто />.Система взаємозв'язаних абсолютних і відносних величин утворює квадратнуматрицю. Аналогічно складається матриця індексів.
Утабл. 3.2 наведено індексно-матричну модель економічного розвитку умовноїкраїни за певний період. На головній діагоналі розміщено індекси макропоказників(D-національний дохід. М-матеріальні витрати, F-виробничіфонди, Т -чисельність зайнятих працівників). Вони ранжовані заекономічною нормаллю, згідно з якою темпи зростання кінцевих результатів маютьбути вищими за темпи зростання витрат і ресурсів, тобто/>.
Таблиця3.2Показник нормалі
D
M
F
Т
D 1,142
М
/>=1,005 1,136
F
/>=0,935
/>= 0,930 1,222
Т
/>=1,І71
/>= 1,165
/>= 1,253 0,975
Заданими таблиці економічна нормаль порушена у двох ланках: /> та />.Значення індексів свідчать про фондоємкийтрудозберігаючий тип відтворення. Піддіагональні елементи матриці — церезультат бінарних відношень між індексами, на перетині яких знаходитьсявідповідний елемент. За змістом вони характеризують динаміку показниківінтенсивності та ефективності економіки: />—продуктивності праці, />— фондовіддачі, Іт-— матеріаловіддачі, />—фондоозброєності праці, />—співвідношення матеріальних витрат і вартості основних фондів. Аналізуючиспіввідношення цих індексів, можна виявити диспропорції У використанні живої тауречевленої праці.
Віндексно-матричній моделі ранжування показників і ступінь їх деталізаціїцілковито залежить від економічної стратегії та мети дослідження.Особливості моделювання взаємозв'язаних динамічних рядів
Якщоінформаційна база регресійної моделі представлена рядами динаміки, то виникаютьпевні методологічні труднощі, спричинені залежністю рівнів, їх автокореляцією.Наявність останньої порушує одну з передумов регресійного аналізу —.незалежність спостережень — і призводить до викривлення його результатів.
Упрактиці регресійного аналізу застосовують різні способи усуненняавтокореляції. Найпростішим є спосіб різницевих перетворень, коли замістьпервинних рівнів взаємозв'язаних рядів динаміки />,/> використовуютьабсолютні прирости (різниці). Так, різниці першого порядку /> та /> усувають лінійний тренд,однофакторна регресія набуває такого вигляду:
/>,
деb інтерпретується як звичайний коефіцієнт регресії; a — вільнийчлен рівняння.
Якщотенденція нелінійна, доцільно застосувати спосіб відхилень від тенденції, колипервинні рівні />,/> замінюютьсявідхиленнями від тренда
/>.
Усуненнюавтокореляції сприяє також уведення фактора часу t у рівняння регресії />. Навантаження на змінну tзалежить від комплексу включених у модель факторів. Зміст параметрів такоїмоделі розглянемо на прикладі взаємозв'язку динаміки імпорту нафти /> і цін за барельнафти /> на світовому ринку.За даними табл. 3.3, обсяги імпорту нафти в країну систематично зменшувалися,що зумовлено як зміною цін, так і внутрішніми факторами. Зв'язок між цимипоказниками можна подати лінійною функцією
/>,
деb — середній приріст результативної ознаки у на одиницю приростуфакторної ознаки х; с — середній щорічний приріст у під впливомзміни неідентифікованих факторів, які рівномірно змінюються в часі.
Таблиця3.3Порядковий номер року
Iм порт нафти, />, млн. барелів
Ціна за 1 барель, />, дол.
/>
/> 1 1749 13,48 1808 -59
2 1702 14,76 1743 -41 3 1769 18,92 1653 116 4 1600 22,97 1562 38 5 1431 30,29 1442 -11 6 1325 34,66 1349 -24 7 1302 30,77 1332 -30 8 1341 29,36 1292 49 9 1232 28,07 1251 -19 10 1180 26,40 1213 -33 11 1162 27,79 1147 15 Разом 15793 х 15793
Модельімпорту нафти описується рівнянням:
Y= 1984,340-2,497/>,-52,986t
(27,97) (-2,50) (-6,99).
Наведенів дужках значення t-критерію перевищують критичне />(8) = 2,31, що дає підставиз імовірністю 0,95 вважати вплив кожного фактора на обсяги імпорту істотним.Згідно із значеннями коефіцієнтів регресії підвищення ціни одного бареля нафтина 1 долар зменшує імпорт нафти в країну в середньому на 2,5 млн. барелів. Зарахунок інших факторів, передусім політики енергозбереження, імпорт нафтищорічно зменшується в середньому на 53 млн. барелів.
Значеннякоефіцієнта детермінації /> =0,951 та дисперсійного критерію F(2,8) = 77,48 свідчать про адекватністьмоделі.
Отже,за наявності лінійної тенденції в рядах у модель вводиться змінна часу
/>
де/> — чистий ефектвпливу i-го фактора на у; с — ефект неідентифікованих факторів, які формують тенденцію ряду.
Удинамічній моделі можна відобразити не лише тенденцію, а й більш складнікомпоненти ряду, скажімо, періодичні чи сезонні коливання, перервність процесутощо.
Особливістюрегресійного аналізу динамічних рядів є оцінка автокореляції залишкових величин/>. Якщо автокореляціяістотна, значить включені в модель фактори не повністю розшифровують механізмформування процесу, модель визнається неадекватною. Перевірку істотностіавтокореляції можна здійснити на основі циклічного коефіцієнта першого порядку />.
Упрограмних засобах для перевірки істотності автокореляції частішевикористовують критерій Дарбіна-Ватсона, характеристика якого Dфункціональнозв'язана з />:
/>,
Завідсутності автокореляції між суміжними членами ряду значення Dстановитьприблизно 2, при високій додатній автокореляції Dнаближається до 0, привисокій від'ємній автокореляції— до 4. Визначені критичні межі його значень:нижня /> і верхня />, на основі якихприймається або відхиляється гіпотеза про відсутність автокореляції: /> : /> = 0.
Приперевірці гіпотези можливі три висновки:
- D >/> —автокореляція відсутня;
- D —гіпотеза про відсутність автокореляції відхиляється;
- /> /> D /> />— висновок залишаєтьсяневизначеним.
Критичнімежі Dзалежать від кількості членів ряду п і кількостіпараметрів моделі т. У додатку 8 наведено критичні значення Dдлядодатної автокореляції при /> = 0,05.Перевірка від'ємної автокореляції проводиться на основі значень (4 – D).
Заданими табл. 7.1 D= 1,831, що потрапляє в інтервал допустимих значеньгіпотези /> , а отже, істотністьавтокореляції не доведено. Аналогічний висновок дає перевірка гіпотези задопомогою циклічного коефіцієнта автокореляції, значення якого /> = 0,085 значноменше за критичне />(11) =0,353. Відсутність автокореляції залишків підтверджує адекватність моделі. Характерноюрисою механізму формування варіації та динаміки соціально-економічнихпоказників є запізнення впливу факторів, коли причина і наслідок розірвані вчасі (наприклад, інвестиції в іригацію і введення в дію зрошувальних земель).Часові лаги зумовлені тривалістю виробничого циклу, інерційністю процесів,наявністю зворотного зв'язку тощо. Для оцінювання ефектів запізнення впливу i-гофактора в модель вводиться лагова змінна />.Фактори, що мають два і більше лагів (розподілений у часі лаг), вводятьсяв модель блоками лагових змінних. Загальний вигляд моделі з розподіленимилагами:
/>
деp = 0, 1,...,k — лаги; т — кількість включених у модель факторів.
Теоретичномодель з розподіленими лагами можна узагальнити на будь-яку кількість факторів,проте практична реалізація такої моделі натикається на непереборні труднощі, зумовленіобмеженістю динамічних рядів і складністю внутрішньої їх структури. Як правило,в модель включаються такі лагові змінні, для яких лаги обґрунтовано теоретичноі перевірено емпірично. Інструментом визначення лагів слугує взаємокореляційнафункція, яка являє собою множину коефіцієнтів кореляції між рядами /> та y зсуненимивідносно один до одного на лаг р. Зі збільшенням лага взаємокореляційнафункція згасає. У табл. 3.4 наведено коефіцієнти кореляції між попитом налегкові автомобілі у та двома факторами: середньодушовим доходом /> та цінами х2.
Таблиця3.4Лаг
/>
/> 0,823 0,612 1 0,646 0,441 2 0,416 0,187 3 0,098 0,098
Дляфактора /> істотними виявилисялаги p = 0,1,2; для фактора х2—лаги p = 0,1. Модель набуває вигляду:
/>.
депараметри /> i /> характеризуютьефекти впливу факторів з відповідними лагами, параметр с — впливнеідентифікованих факторів (мода, смаки тощо).Динамічнамодель для сукупності об'єктів
Черезобмеженість динамічних рядів соціально-економічних явищ неможливо врахувати вмоделі усі особливості розвитку процесу. Аби розширити інформаційну базумоделі, практикують об'єднання просторових і динамічних рядів. Скажімо,описується залежність /> заданимипо 10 об'єктах за п'ять років. Можливі різні варіанти використання такоїзмішаної статично-динамічної інформації. Розглянемо два з них.
1.Динамізація просторових моделей. Для кожного i-го рокувизначається статична модель />.У нашомуприкладі їх буде п'ять. Коефіцієнти регресії статичних моделей утворюютьдинамічні ряди. Якщо ефект впливу i-го фактора змінюється в часі, тотака зміна виявиться трендом ряду />.Методом екстраполяції тренда можна визначити очікуваний ефект впливу на періодупередження />. Водночас визначається прогнозний рівень самого фактора />. Поєднання цих прогнозівдає прогноз функції y:
/>.
Завідсутності тренда коефіцієнта регресії в прогнозній моделі використовуютьсереднє його значення. В табл. 3.5 наведено фрагменти динамічних рядівпараметрів регресійної моделі продуктивності праці в цементній промисловості(тонн на одного робітника). Фактори: /> —енергоозброєність праці, кВт-г; /> — продуктивність цементних печей т/г; /> — коефіцієнтвикористання календарного часу роботи цементних печей.
Таблиця3.5Рік
/>
/>
/> 1 11,8 11,3 18,5 2 11,5 11,9 19,1 3 11,3 12,2 17,7 4 10,6 13,4 18,2 5 9,9 13,7 18,6
Яквидно з даних таблиці, в цементній промисловості відбувається перерозподілефектів впливу факторів на продуктивність праці: зменшується впливенергоозброєності праці (/>), збільшуєтьсявплив продуктивності устаткування (х2) і практично незміннимзалишається вплив використання календарного часу устаткування (х3).
Прогнозуванняефектів впливу факторів та їх рівнів можна здійснити у будь-який спосіб,обґрунтувавши функціональний вид прогнозної моделі. Звісно, щоб характер динамікичітко виявився, довжина динамічного ряду має бути достатньою. Умова достатностіінформації стосується і просторового ряду.
2.Модель об'єкто-періодів. У невеликих за обсягом сукупностях просторовіта динамічні ряди об'єднуються в один інформаційний масив, одиницею якого єоб'єкто-період. Для 10 об'єктів і п'яти років маємо 10*5=50 об'єкто-періодів.Такий підхід до об'єднання просторово-динамічних рядів значно розширюєінформаційну базу моделі, водночас наділяє її особливими властивостями. Головнаособливість статично-динамічної інформації — залежність спостережень. Залежнимивиявляються не лише рівні динамічних рядів, але й ряди в цілому ( і просторові,і часові), оскільки належність рівнів до того чи іншого ряду фіксована. Так,залежність між рядами динаміки — це результат просторової варіації, яка черезінерційність процесів зберігається певний час. Залежність просторових рядіввідбиває синхронність динаміки показників по окремих об'єктах, зумовленуспільними умовами розвитку. Ігнорування цих особливостей інформаційної базимоделювання призводить до помилкових висновків.
Особливостіпросторової варіації враховуються в моделі за допомогою структурних зміннихокремих об'єктів />. Властивийусім об'єктам тренд функції у фільтрується за допомогою змінної часу t. Протечерез нерівномірність розвитку окремих об'єктів сукупності поряд зі спільнимтрендом можуть виявитися істотними індивідуальні тренди. Для їх фільтраціїможна використати змінні динамічної взаємодії: для факторів — />, для об'єктів — />. З урахуванням усіх цихособливостей регресійну модель для сукупності об'єкто-періодів можна записатитак:
/>.
Параметримоделі вимірюють:
/> — чистий, елімінований від взаємозв'язків у межах моделі, ефект впливуфактора />;
/> — зміну ефектів впливу />, учасі;
/> — різницюміж значеннями функції на j-му об'єкті та в ці. лому по сукупності;
/> — зміну цихвідмінностей у часі;
f — спільний для всіх об'єктів сукупностітренд — вплив неідентифікованих в моделі факторів;
/> — вільний член рівняння. Для кожного j-го об'єкта вільний членрівняння дорівнює сумі />; на відміну від /> сума має економічний зміст— вимірює вплив факторів, які визначають специфіку цього об'єкта.
Отже,модель об'єкто-періодів включає дві групи параметрів. Одна з них представляєоцінки ефектів впливу факторів і зміну їх у часі, друга — особливостісукупності, специфіку розвитку окремих об'єктів. Уникнути перевантаження моделіі зберегти максимум інформації для оцінки параметрів можна, скориставшисьалгоритмом покрокового регресійного аналізу.
Якприклад розглянемо параметри моделі продуктивності праці в агрогосподарствах,які спеціалізуються на вирощуванні винограду та фруктів і мають власніпереробні цехи. Інформаційний масив сформовано за даними 18 господарств зап'ять років. До ознакової множини моделі включено фактори: /> — економічна оцінкасільськогосподарських угідь, бали; х2— частка садів і виноградниківу загальній площі сільськогосподарських угідь; х3 — частка працімеханізаторів у загальній кількості відпрацьованих людино-днів. Для оцінюваннятенденцій ефектів впливу кожного з цих факторів введено змінні динамічноївзаємодії />. Два нетипових(аномальних) господарства представлено в моделі структурними змінними /> , а індивідуальніїх тренди — змінними динамічної взаємодії />.
Істотнимивиявилися ефекти впливу всіх факторів />,параметр при змінній динамічної взаємодії другого фактора />, параметри приструктурних змінних обох господарств />, параметрпри змінній динамічної взаємодії другого господарства /> - Значення параметрівнаведено в табл. 3.6.
Таблиця3.6Параметр моделі
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> Значення параметра 39,86 15.63 20,46 1,17 -42,65 56,78 -3,52
Коефіцієнтирегресії /> інтерпретуютьсятрадиційно як чисті ефекти впливу включених у модель факторів. При цьому, якпоказує параметр />, ефектвпливу спеціалізації (частки садів і виноградників у загальній площі сільськогосподарськихугідь) на продуктивність праці щорічно збільшується в середньому на 1,17 тис.грн. Істотність параметрів /> іа2підтверджує нетиповість господарств, представлених умоделі структурними змінними. За рахунок специфічних умов функціонування цихгосподарств рівень продуктивності праці на першому з них нижчий за середній на42,65 тис. грн, на другому, навпаки, на 56,78 тис. грн. вищий. Останнійпараметр має тенденцію до зменшення щорічно в середньому на 3,52 тис. грн.
Отже,модель об'єкто-періодів більш універсальна і повніше використовує інформаціюпро взаємозв'язки порівняно зі схемою динамізації просторових моделей.
4 Методи експертнихоцінок
При прогнозуванніпроцесів, розвиток яких повністю або частково не піддається формалізації(наприклад, розвиток науки і техніки, соціально-економічні та політичнінаслідки прийняття певних управлінських рішень), використовують методиекспертних оцінок. Вони ґрунтуються на мобілізації професійного досвіду таінтуїції експертів, які добираються за принципом компетентності.
Характерною особливістю моделювання та прогнозуваннясоціально-економічних процесів є багатоваріантність, тобто можливістьвикористання різних методів, моделей, інформаційного забезпечення, критеріївоцінювання адекватності моделі тощо. Вибір між конкуруючими варіантами базуєтьсяна певній системі правил, що забезпечують надання обґрунтованих оцінок кожномуваріанту. Вважається, що експерт володіє цією системою правил і може порівнятиваріанти, приписуючи кожному з них числа. Найчастіше перевага чи відносназначущість варіантів встановлюється за допомогою методів ранжування, попарнихпорівнянь або безпосереднього оцінювання.
При ранжуванні експерт повинен розміститиваріанти (фактори, моделі, об'єкти тощо) у порядку, який вважає раціональним, іприписати кожному з них числа натурального ряду — ранги 1, 2, ..., n. Кількістьрангів дорівнює кількості варіантів. Якщо експерт надає двом і більше варіантамоднакові ранги, то кожному з цих варіантів приписується середній ранг,обчислений з відповідних чисел натурального ряду.
При обґрунтуванні складних управлінських рішень вумовах невизначеності, при довгостроковому прогнозуванні розвитку науки,техніки, економіки використовують групові експертизи. Надійність груповихоцінок залежить від узгодженості думок експертів, що потребує відповідноїстатистичної обробки інформації.
При груповій експертизі (n експертів) длякожного /-ro варіанта визначається сума рангів SRt, за якою упорядковуються варіанти. Скажімо, перший —найвищий — ранг надається варіанту, який набирає найменшу суму рангів, аостанній — варіанту з найбільшою сумою рангів. Результати опитування експертівоформляються у вигляді матриці.
Наприклад, за даними ранжування трьох варіантівп'ятьма експертами (табл. 4.1), перший ранг надається варіанту A, для якого SRt = 6, другий — варіанту B, третій — варіанту C. Слідзазначити, що ранги визначають лише місця варіантів поміж іншими, не враховуючиіснуючих між ними відстаней.
Таблица4.1Варіант Експерт Сума рангів
d
d 1 2 з 4 5 А 2 1 1 1 1 6
-4 16 В 1 2 з 2 2 10 C З З 2 3 З 14 4 6 Разом X X X X X З0 X 32
Статистична обробка результатів ранжування передбачаєоцінювання ступеня узгодженості думок експертів. Мірою узгодженості слугує коефіцієнтконкордації W, в основу розрахунку якого покладено відхилення d сумрангів за окремими варіантами SRiвід середньої суми рангів,яка становить 1/2 n (m +1). Коефіцієнт конкордації — цевідношення суми квадратів названих відхилень S = Sd2до максимально можливої суми квадратів відхилень Smax= n2 (m3 — т) / 12. Якщо ранги не повторюються, то
/>
де m — кількість варіантів;n — кількістьекспертів.
При неузгодженості думок експертів W = 0. Чимвищий ступінь узгодженості, тим більше значення W наближається до 1. Заданими табл. 1.1, середня сума рангів становить 30:3 = 10, сумаквадратів відхилень S — 32, а коефіцієнт конкордації
/>,
що свідчить про певні розбіжності в оцінкахекспертів щодо значущості варіантів.
Перевірка істотності коефіцієнта конкордації W здійснюєтьсяза допомогою критерію c2з (m — 1)числомступенів вільності (свободи). Статистична характеристика критеріюрозраховується за формулоюc2=Wn(m — 1). Длянаведеного прикладу c2= 0,64 * 5(3 — 1)= 6,4, що перевищує критичне значенняc2(2) = 5,99 (див. додаток 2). Це дає підстави стверджувати зімовірністю 0,95, що значення W= 0,64 не випадкове і думкиекспертів узгоджені. При попарних порівняннях експерти використовуютьдві оцінки: 0 або 1. Більш вагомому варіанту надається оцінка 1, менш вагомому— 0. Результати попарних порівнянь оформляються у вигляді матриці, елементамиякої є кількості наданих переваг aij. Діагональні елементитакої матриці представлені нулями. Одна із властивостей матриці aij +aji = n, де n — кількість експертів.
Таблиця 4.2Варіант А В C Разом
wi А 4 5 9 0,60 В 1 4 5 0,33 C 1 1 0,07 Разом 1 5 9 15 1,00
Відношення кількості наданих відповідному варіантупереваг до загальної суми елементів матриці характеризує його вагомість. Заданими табл. 4.1, найвагомішим виявився варіант A, для якого w= 9: 15 = 0,60.
Часто завданням експерта є не ранжування варіантів, абезпосереднє оцінювання рівнів певного явища чи окремих його властивостей,скажімо, якості продукції, конкурентоспроможності фірм тощо. У таких ситуаціяхспершу визначається шкала (діапазон) оцінок, у межах якої експерт і оцінюєявище (властивість) певним баломzij, де і —властивість, j— елемент сукупності.
Для певної множини m властивостей одного явищавизначається середній бал Gj = S zij /m.
Ha таких методичних засадах ґрунтується більшістьрейтингових систем. Так, всесвітньо відома рейтингова система CAMEL, якоюкористуються органи нагляду за банківською діяльністю, має п'ятибальну шкалуоцінок: від 1 (добре) до 5 (незадовільно). Для кожного банку оцінюєтьсядостатність капіталу, якість активів, ефективність менеджменту, прибутковість іліквідність балансу. Середній бал Gjє рейтингом фінансовогостану j-го банку. Від його значення залежить ступінь втручання органівбанківського нагляду і комплекс заходів щодо усунення недоліків.
Якщо властивості z, не рівновагомі, то рейтингвизначається як середня арифметична зважена Gj = S zijwi , де wi — вага i-ойвластивості. Саметак оцінюються комерційні, політичні ризики тощо. Наприклад, комерційний ризик,пов'язаний з інтернаціоналізацією банківської діяльності, оцінюється індексомБері. Ознакова множина цього індексу включає 15 різновагомих показників, якіхарактеризують політичну та економічну ситуацію в країні-партнерові. Зокрема,політична стабільність (вага 12 %), стан платіжного балансу (вага 6 %), темпекономічного розвитку (вага 10 %), інші. Сума ваг становить 100 %.
Одним з популярних методів формування груповоїекспертизи є метод Дельфи, назва якого походить від дельфійських мудреців, якіславилися в давнину передбаченнями майбутнього. Основні принципи методу Дельфи:анонімність, регульованість зворотного зв'язку та узгодженість групової оцінки.
Автономне опитування експертів проводиться, якправило, в чотири тури. Кожного разу експерт виражає свою думку певною оцінкоюв межах визначеної шкали. Результати опитування групи експертівупорядковуються; на основі упорядкованого ряду визначається медіана Me йквартилі оцінок — нижній Q1і верхній Q3 — Медіана розглядається як узагальнююча групова оцінка процесу; дляхарактеристики варіації оцінок використовують інтерквартильний розмах R =Q3 — Q1 .
Значення медіани і розмаху повідомляють усім експертам.Тим з них, чиї оцінки виявилися за межами діапазону (Q3 — Q1) , пропонують аргументувати свої висновки, абиознайомити з ними решту експертів. Такий зворотний зв'язок відсікає «шуми»,зменшує вплив індивідуальних і групових інтересів, не пов'язаних з проблемою.
Ітераційна процедура упорядкування та узагальненняекспертних оцінок дає можливість зблизити точки зору експертів, що робитьгрупові оцінки надійнішими за просте усереднення. Проте сама по собі процедураопитування не розв'язує всіх проблем точності прогнозів. Вирішальну рольвідіграють компетентність експертів і досконалість програми опитування.
5. Оцінювання якості прогнозівЗабезпеченняадекватності регресійної моделі
Адекватність регресійної моделі означаєздатність її правильно описати реальну структуру взаємозв'язків між ознаками /> та y. Методологічноюосновою вирішення проблеми адекватності є теоретичний, змістовний аналізматеріальної природи процесу (явища) та обґрунтування типу й структури моделі,яка описує механізм його формування. Практично з метою забезпеченняадекватності моделі змістовний аналіз поєднується з формальними процедурами перевіркигіпотез щодо дотримання логіко-статистичних умов використання МНК.
Міроюадекватності моделі слугують відхилення фактичних значень від теоретичних />. На величину цихвідхилень впливає весь комплекс умов, зокрема:
- обсяг та однорідність сукупності;
- незалежність спостережень;
- інформативність включених у модель факторів;
- стабільність не включених у модель факторів;
- тип моделі.
Репрезентативністьоцінок регресійного аналізу прямо пропорційна обсягу та однорідностісукупності. Саме недостатній обсяг сукупності та її неоднорідність вважаютьсянайвагомішими чинниками неадекватності моделей. Тому при формуванні ознаковоїмножини моделі слід враховувати співвідношення між обсягом вибірки і кількістювключених у модель факторів (воно має бути приблизно 8:1).
Оцінюванняоднорідності сукупності здійснюється на етапі розвідувального аналізу даних.Так, наявність аномальних значень, які не узгоджуються з розподілом основноїмаси даних, може бути наслідком помилок спостереження або результатомнезвичайної комбінації причин і умов, у яких функціонує одиниця сукупності.Ідентифікація таких спостережень дає можливість Усунути помилки, а якщо ценеможливо, то вилучити аномальний об'єкт з подальшого аналізу. Якщо сукупністьрозшарована на групи (кластери), то в моделі можна врахувати такунеоднорідність.
Інформативністьвключених у модель факторних ознак залежить як від соціально-економічногозмісту, так і від шкали вимірювання ознаки. Якщо ознака за змістом не інформативна,то ніякий спосіб моделювання не забезпечить належних результатів. Так саморезультати аналізу будуть суттєво різнитися залежно від того, якою шкалоюпредставлено одну й ту саму ознаку (метричною, ранговою чи номінальною).
Тівластивості, що безпосередньо не вимірюються або не мають єдиного вимірника,включаються в модель у вигляді інтегральних оцінок. Наприклад, погодні умовихарактеризуються середньодобовою температурою повітря, кількістю опадів,тривалістю сонячного світла, хмарністю і т. ін. Усі ці характеристикиагрегуються в індексі погодних умов.
Важливоюумовою регресійного аналізу є відсутність мультиколінеарності, яка веде дозсунення оцінок параметрів моделі та унеможливлює коректну інтерпретаціюрезультатів. Два фактори вважаються колінеарними, якщо коефіцієнт кореляції міжними перевищує сукупний коефіцієнт кореляції, тобто />.Найпростіший спосіб усунення мультиколінеарності — виключити одну ізкорельованих ознак із моделі або замінити її іншою. Часом колінеарні факториагрегуються в одну узагальнюючу оцінку.
Стабільністьне включених у модель факторів означає, що вплив їх на варіацію у незначнийі врівноважується, він однаковий в усіх частинах сукупності. Математичноюосновою дотримання цих передумов МНК слугує імовірнісний розподіл залишків />. Передбачається,що:
- для кожного спостереження залишок /> — випадковавеличина, яка має нормальний розподіл. Умова нормальності необхідна длявизначення довірчих меж коефіцієнтів регресії і для перевірки гіпотез щодо їхістотності;
- математичне сподівання залишків М(е) = 0;
- дисперсія залишків однакова в усіх частинахсукупності: />. Ця умова пов'язана зоднорідністю сукупності;
- залишки незалежні, тобто відсутня серійна кореляціячи автокореляція даних.
Використовуючипараметри моделі, можна також оцінити потенційно можливі рівніпоказника-функції для кожної одиниці Окупності, визначити резерви збільшення(зменшення) показника у за рахунок факторів, які піддаються регулюванню(суб'єктивних факторів). У нашому прикладі — це збільшення виходу цукру з 1 тсировини за рахунок зменшення витрат при зберіганні цукрового буряка і впроцесі його переробки. Така оцінка, природно, орієнтована на кращі досягненняв галузі. Ефект регулювання і-го фактора на />-муоб'єкті визначається за формулою
/>,
де/> — база порівняння, /> — коефіцієнт регресії і-гофактора.
Застосовуючицю методику, визначимо резерв збільшення виходу цукру з 1 т сировини для />-го заводу (табл. 5.1).
Таблиця 5.1Фактор Рівень втрат, % Відхилення Коефіцієнт регресії Ефект регулювання фактора фактичний мінімальний
/> 1,06 0,90 0,16 -10,084 -1,613
/> 2,68 2,0 0,68 -1,729 -1,175 Разом X X X X -2,788
Якщомінімальні втрати цукрового буряка при переробці — 2,0%, а на />-му заводі — 2,68%, тоефект доведення втрат до мінімального рівня становить (2,68-2,0)(-1,729) =-1,175. Зменшення втрат при зберіганні цукрового буряка дає ефект(1,06--0,90)(-10,084) = -1,613. Отже, сумарний ефект за рахунок обох факторів-2,788, а потенційно можливий вихід цукру з 1 т сировини за незмінностіцукристості буряка, яка є зовнішнім, об'єктивним фактором, становить 11,91 кг. Відношення фактичного рівня до потенційно можливого характеризує ступінь використанняоб'єктивних можливостей. У розглянутому прикладі це відношення становить9,13: 11,91 =0,777, тобто ефективність використання сировини на заводі нижчаза потенційно можливу на 23,3%. При визначенні резервів збільшення (зменшення)показника функції за рахунок регулювання суб'єктивних факторів базою порівнянняможе бути середня величина, норматив, стандарт тощо.
Функція нормального розподілу />.
Додаток 1
z 00 11 22 23 44 55 66 77 88 99 00,0 500 504 508 512 516 520 524 528 532 536 00,1 540 544 548 552 556 560 564 567 571 575 00,2 580 583 587 591 595 599 603 606 610 614 00,3 618 622 626 629 633 637 641 644 648 652 00,4 655 659 663 666 670 674 677 681 684 688 00,5 691 695 698 702 705 709 712 716 719 722 00,6 726 729 732 736 739 742 745 749 752 755 00,7 758 761 764 767 770 773 776 779 782 785 00,8 788 791 794 797 800 802 805 808 811 813 00,9 816 819 821 824 826 829 831 834 836 839 11,0 841 844 846 849 851 853 855 858 860 862 11,1 864 867 869 871 873 875 877 879 881 883 11,2 885 887 889 891 893 894 896 898 900 901 11,3 903 905 907 908 910 911 913 915 916 918 11,4 919 921 922 924 925 926 928 929 931 932 11,5 933 934 936 937 938 939 941 942 943 944 11,6 945 946 947 948 950 951 952 953 954 954 11,7 955 956 957 958 959 960 961 962 962 963 11,8 964 965 966 966 967 968 969 969 970 971 11,9 971 972 973 973 974 974 975 976 976 977 22,0 977 978 978 979 979 980 980 981 981 982 22,1 982 983 983 983 984 984 985 985 985 986 22,2 986 986 987 987 987 988 988 988 989 989 22,3 989 990 990 990 990 991 991 991 991 992 22,4 992 992 992 992 993 993 993 993 993 994 22,5 994 994 994 994 994 995 995 995 995 995 22,6 995 995 996 996 996 996 996 996 996 996 22,8 997 998 998 998 998 998 998 998 998 998 22,9 998 998 998 998 998 998 998 999 999 999
Критичні значення />
Додаток2/с 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Квантилі t-розподілу Стьюдента t1-0,05(k): | t | 1 — двосторонній критерій; t— одностороннійкритерій
Додаток 3
Іс І'І
І £ І'І
І 5 2,57 3,04 18 2,10 2,17 6 2,45 2,78 20 2,09 2,15 7 2,37 2,62 25 2,06 2,11 8 2,31 2,51 30 2,05 2,08 9 2,26 2,43 40 2,02 2,05 10 2,23 2,37 50 2,01 2,03 11 2,20 2,33 60 2,00 2,02 12 2,18 2,29 100 1,98 1,99 14 2,15 2,24 ¥ 1,96 1,96 16 2,12 2,20
Значення Z* для оцінювання довірчих меж прогнозу(лінійний тренд)
Додаток 4
n V n v 1 2 3 1 2 3 5 1,366 1,524 1,702 10 1,211 1,270 1,335 7 1,309 1,427 1,558 11 1,191 1,239 1,293 8 1,267 1,358 1,459 12 1,174 1,215 1,260 9 1,236 1,308 1,389
Критичні значення циклічного коефіцієнта автокореляції(а = 0,05)
Додаток5n Додатні значення Від'ємні значення n Додатні значення Від'ємні значення 5 0,253 -0,753 20 0,299 -0,399 6 0,345 -0,708 25 0,276 -0,356 7 0,370 -0,674 ЗО 0,257 -0,356 8 0,371 -0,625 35 0,242 -0,300 9 0,366 -0,593 40 0,229 -0,279 10 0,360 -0,564 50 0,208 -0,248 11 0,353 -0,539 60 0,191 -0,225 12 0,348 -0,516 70 0,178 -0,207 13 0,341 -0,497 80 0,170 -0,195 14 0,335 -0,479 90 0,161 -0,184 15 0,328 -0,462 100 0,154 -0,174
Квантилі F-розподілу (a=0,05)
Додаток6
k2
k1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,59 3,50 3,44 3,39 3,35 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2.51 2,42 2,36 2,30 2,25 26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,17 2,09 2,02 1,96 1,91 ¥ 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Критичні значення коефіцієнта детермінації R2 кореляційного відношення h2для рівня істотності α = 0,05
Додаток7
k2/k1 1 2 3 4 5 5 0,569 699 764 806 835 6 500 632 704 751 785 7 444 575 651 702 739 8 399 527 604 657 697 9 362 488 563 618 659 10 332 451 527 582 624 12 283 394 466 521 564 14 247 348 417 471 514 16 219 312 378 429 477 18 197 283 345 394 435 20 179 259 318 364 404 24 151 221 273 316 353 28 130 193 240 279 314 32 115 171 214 250 282 36 102 153 192 226 256 40 093 139 176 207 234 50 075 113 143 170 194 60 063 095 121 144 165 80 047 072 093 110 127 100 038 058 075 090 103 120 032 049 063 075 087 200 019 030 038 046 053