Задание 1
Сгруппируйте 30 совхозов по факторному признаку, образовав 5 – 6 групп сравными интервалами. Сделайте выводы относительно наличия (или отсутствия)связи между группировочным (факторным) и результативным признаком.
Решение
Группировка является основой научной сводки и обработки статистическихданных. Группировочный (факторный) признак в нашем примере – среднегодоваястоимость основных фондов сельскохозяйственного назначения, млн. руб.,результативный признак – выручка от реализации всей продукции совхоза, млн.руб.
Исходные данные представлены в табл. 1.
Таблица 1 — Основные показатели работы совхозов
№
п/п Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб. Выручка от реализации всей продук-ции совхоза, млн. руб.
№
п/п Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб. Выручка от реализации всей продук-ции совхоза, млн. руб. 1 7,1 24,6 16 6,6 16,3 2 5,8 14,1 17 6,9 22,0 3 4,2 12,2 18 6,5 26,7 4 7,0 13,5 19 6,8 20,9 5 6,6 14,2 20 7,2 23,6 6 11,0 30,9 21 10,5 40,5 7 6,9 21,8 22 10,6 33,6 8 6,7 16,3 23 6,8 23,5 9 4,6 17,0 24 6,8 25,7 10 6,9 24,8 25 6,5 22,5 11 6,1 20,2 26 7,0 20,5 12 6,6 12,5 27 4,7 12,5 13 6,9 17,5 28 7,9 32,3 14 7,2 24,6 29 4,2 13,9 15 5,8 16,2 30 3,3 6,6
Количество групп принимаем = 5 групп.
Необходимо определить интервалы группировки и их величины.
Величина интервала определяется по формуле:
i = />, (1)
где хmax – максимальное значение группировочногопризнака;
xmin – минимальное значение группировочногопризнака;
n – число намечаемых групп.
Величина интервала составит:
i = /> млн. руб.
После расчета шага интервала распределим все предприятия в рабочей таблице(табл. 2). После построим аналитическую таблицу (табл. 3).
Таблица 2 — Рабочая таблицаНомер группы Группы совхозов по среднегодовой стоимости основных фондов Порядковые номера совхозов Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб. Выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб. 1 3,3 – 4,84 3,9,27,29,30 21,0 62,2 2 4,84 – 6,38 2,11,15 17,7 50,5 3 6,38 – 7,92
1,4,5,7,8,10,
12,13,14,16,
17,18,19,20,
23,24,25,26,
28 130,9 403,8 4 7,92 – 9,46 ─ ─ ─ 5 9,46 – 11,0 6,21,22 32,1 105,0
Таблица 3 — Аналитическая таблицаНомер группы Группы совхозов по среднегодовой стоимости основных фондов Число совхозов Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб. Выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб. Всего На 1 совхоз Всего На 1 совхоз 1 3,3 – 4,84 5 21,0 4,2 62,2 12,4 2 4,84 – 6,38 3 17,7 5,9 50,5 16,8 3 6,38 – 7,92 19 130,9 6,9 403,8 21,2 4 7,92 – 9,46 ─ ─ ─ ─ 5 9,46 – 11,0 3 32,1 10,7 105,0 35,0 ИТОГО: ─ 30 201,7 ─ 621,5 ─
Изучив данные 30-ти совхозов о среднегодовой стоимости основных фондов ивеличине выручки от реализации всей продукции совхоза, можно сказать, что междуэтими показателями существует зависимость и она прямая, так как с ростомсреднегодовой стоимости основных фондов растет величина выручки от реализациивсей продукции совхоза.Задание 2
Используя, данные задачи 1, рассчитайте:
1. По факторному признаку – размах вариации и коэффициент вариации;
2. По результативному признаку – коэффициент детерминации и эмпирическоекорреляционное отношение.
Решение
Размах вариации (или размах колебаний) представляет собой разность междумаксимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности:
R = хmax – xmin(2)
R = 11,0 – 3,3 = 7,7 млн. руб.
Относительным показателем уровня вариации признака является коэффициентвариации. Он представляет собой отношение среднего квадратического отклонения ксредней величине признака и выражается обычно в процентах:
/> (3)
где δ – среднее квадратическое отклонение;
/>–средняя величина.
Если коэффициент вариации больше 33%, то совокупность неоднородна и еесредняя нетипична.
Для расчета показателей вариации составим вспомогательную таблицу (табл.4).
Таблица 4 — Вспомогательная таблицаГруппы предприятий по стоимости среднегодовой стоимости основных фондов
Число совхозов
f Расчетные показатели
Середина интервала />, млн. р.
/>, млн.р.
х-/>, млн.р.
(х-/>)2f, млн. р. 3,3 – 4,84 5 4,07 20,35 -2,72 36,99 4,84 – 6,38 3 5,61 16,83 -1,18 4,18 6,38 – 7,92 19 7,15 135,85 0,36 2,46 7,92 – 9,46 8,69 1,9 9,46 – 11,0 3 10,23 30,69 3,44 35,50
ИТОГО:
30 −
203,72 −
79,13
Среднюю величину среднегодовой стоимости основных фондов определим поформуле средней арифметической взвешенной:
/>, (4)
где х – варианта или значениепризнака;
f – частота повторения индивидуального значенияпризнака (его вес).
Средняя величина составит:
/> млн. руб.
Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько в среднем колеблетсявеличина признака у единицисследуемой совокупности и определяется в зависимости от характера исходныхданных.
Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:
/> (5)
Среднее квадратическое отклонениесоставит:
/> млн.руб.
Коэффициент вариации составит:
/>
Таким образом, коэффициент вариации меньше 33%. Следовательно,рассмотренная совокупность однородна.
Коэффициент детерминации и корреляционное отношение рассчитываются наосновании проведенной группировки в задаче 1 по результативному признаку(величине выручки от реализации всей продукции совхоза).
Коэффициент детерминации определяется по следующей формуле:
/>, (6)
где />-межгрупповая дисперсия;
/>-общая дисперсия.
Межгрупповаядисперсия отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величинеизучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного воснову группировки:
/>, (7)
Величина общей дисперсии /> характеризует вариацию признакапод влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности.
/> (8)
где />─среднее значение результативного признака в группе;
fi ─объем группы (число совхозов в группе);
/>─среднее значение результативного признака для всей совокупности.
Оценить тесноту связи можно по величине эмпирического корреляционногоотношения, используя формулу
/> (9)
Эмпирическое корреляционное отношение изменяется />, /> – при отсутствии связи, /> – прифункциональной зависимости.
Средняя величина выручки от реализации всей продукции совхоза составит:
/> млн. руб.
Составим вспомогательную таблицу 5.
Таблица 5 — Вспомогательная таблица№ группы
Число совхозов f Выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб.
Среднее значение выручки от реализации всей продукции совхоза />
(/>)2
/>−/>
(/>−/>)2f 1 5 62,2 12,4 399,9 -8,32 346,1 2 3 50,5 16,8 64,5 -3,92 46,1 3 19 403,8 21,2 470,1 0,48 4,4 4 ─ ─ ─ ─ ─ 5 3 105,0 35,0 660,7 14,28 611,7 ИТОГО:
30
621,5 ─
1595,2 ─
1008,3
Межгрупповая дисперсия составит:
/>
Общая дисперсия составит:
/>
Коэффициент детерминации составит:
/> или10,53%
Коэффициент детерминации показывает, что выручка от реализации продукциисовхозов на 10,53% зависит от среднегодовой стоимости основных фондов и на 89,47%от других факторов.
Эмпирическое корреляционное отношение составит:
/>
Корреляционное отношение показывает, что связь между среднегодовойстоимостью основных фондов и величиной выручки от реализации продукции совхозовне тесная.Задание 3
С вероятностью 0,997 определите предельную ошибку выборки и интервал, вкотором находится генеральная средняя факторного признака. При этом выборочная совокупность(30 совхозов) составляет 2% от объема генеральной, и была получена механическимспособом отбора.
Решение
Предельная ошибка выборки определяется по формуле:
/>, (10)
где t – коэффициент доверия, t=3при (Р) 0,997.
σ2 – дисперсия факторногопризнака;
n – объем выборочной совокупности;
N – объем генеральной совокупности;
/>–удельный вес объема выборочной совокупности в генеральной.
Так как выборочная совокупность составляет 2% от объема генеральной, тообъем генеральной совокупности будет равен 1500 совхозов.
Дисперсия среднегодовой стоимости основных фондов составляет 2,64 млн.руб. (см. задачу 2).
Тогда предельная ошибка выборки составит:
/>
Для определения интервальной оценки генеральной средней используетсяформула:
/>, (11)
где />–среднее значение факторного признака в генеральной совокупности;
/>–среднее значение факторного признака выборочной совокупности (средняя по 30совхозам).
Средняя среднегодовая стоимость основных фондов по 30 совхозам составляет6,79 млн. руб. (см. задачу 2).
6,79 – 0,44≤/>≤6,79+0,44
6,35≤/>≤7,23
Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что среднегодоваястоимость основных фондов в генеральной совокупности будет находиться впределах от 6,35 до 7,23 млн. рублей.Задание 4
Проведите корреляционно–регрессионный анализ по исходным данным задачи 1(используете линейную модель).
Решение
При линейной связи регрессионная модель описывается функцией вида:
/>, (12)
где а0и а1 – параметры уравнения регрессии,которые рассчитываются из системы нормальных уравнений.
Найдем параметры а0и а1, решив систему уравнений:
/>
Составим вспомогательную таблицу (табл. 6).
Таблица 6 — Вспомогательная таблицаx y
x2 xy
y2
/> 7,1 24,6 50,41 174,66 605,16 15,05 5,8 14,1 33,64 81,78 198,81 43,82 4,2 12,2 17,64 51,24 148,84 73,79 7,0 13,5 49,0 94,5 182,25 52,13 6,6 14,2 43,56 93,72 201,64 43,43 11,0 30,9 121,0 339,9 954,81 103,63 6,9 21,8 47,61 150,42 475,24 1,17 6,7 16,3 44,89 109,21 265,69 19,54 4,6 17,0 21,16 78,2 289,0 13,84 6,9 24,8 47,61 171,12 615,04 16,65 6,1 20,2 37,21 123,22 408,04 0,27 6,6 12,5 43,56 82,5 156,25 67,57 6,9 17,5 47,61 120,75 306,25 10,37 7,2 24,6 51,84 177,12 605,16 15,05 5,8 16,2 33,64 93,96 262,44 20,43 6,6 16,3 43,56 107,58 265,69 19,54 6,9 22,0 47,61 151,8 484,0 1,64 6,5 26,7 42,25 173,55 712,89 35,76 6,8 20,9 46,24 142,12 436,81 0,03 7,2 23,6 51,84 169,92 556,96 8,29 10,5 40,5 110,25 425,25 1640,25 391,25 10,6 33,6 112,36 356,16 1128,96 165,89 6,8 23,5 46,24 159,8 552,25 7,73 6,8 25,7 46,24 174,76 660,49 4,98 6,5 22,5 42,25 146,25 506,25 3,17 7,0 20,5 49,0 143,5 420,25 0,05 4,7 12,5 22,09 58,75 156,25 67,57 7,9 32,3 62,41 255,17 1043,29 134,10 4,2 13,9 17,64 58,38 193,21 46,51 3,3 6,6 10,89 21,78 43,56 199,37
Σ=201,7
621,5
1441,25
4487,07
14475,73
1582,62
/>
/>
/>
/>
Уравнение регрессии принимает следующий вид:
/>
Коэффициент регрессии (а1) имеет положительное значение,значит, между признаками существует прямая корреляционная зависимость.Уравнение показывает, что при снижении среднегодовой стоимости основных фондоввеличина выручки от реализации продукции в среднем изменяется на 3,62 млн. руб.
Линейный коэффициент корреляции является показателем степени теснотысвязи и определяется по формуле:
/>, (13)
где σх – среднеквадратическое отклонение по факторномупризнаку;
σу – среднеквадратическое отклонение по результативномупризнаку.
/> (14)
Значение коэффициента корреляции изменяется от – 1до 1.
При | r | >0,8 считают, что связь междупризнаками достаточно тесная.
Среднеквадратическое отклонение по результативному признаку составит:
/>
Линейный коэффициент корреляции составит:
/>
Коэффициент линейной корреляции далек от единицы, значит, связь междупризнаками не достаточно тесная. Положительный знак указывает на прямуюзависимость.
Задание 5
Рассчитайте производительность труда одного рабочего в среднем по заводу.Номер цеха Произведено продукции, тыс. руб. Производительность труда одного рабочего, тыс. руб. 1 57,0 1,9 2 46,0 2,0 3 65,0 2,5 4 70,0 2,8
Решение
Средняя величина – обобщающая характеристика изучаемого признака висследуемой совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете наединицу совокупности в конкретных условиях места и времени.
Так как в исходной информации задачи статистический вес (частотаповторения признака) не задан в явной форме, а входит сомножителем в один иззаданных показателей, то для расчета производительности труда одного рабочего всреднем по заводу будем использовать формулу средней гармонической взвешенной:
/> (15)
Таким образом, производительностьтруда одного рабочего в среднем по заводу составит:
/> тыс. руб.
Задание 6
Задание состоит из двух задач. Для его выполнения изучите тему «Индексы».Задача 1.
По данным своего варианта рассчитайте:
− индекс товарооборота;
− индекс цен;
− индекс физического объема реализации товара;
− экономию (или перерасход) денежных средств населения в результатеизменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным.