Українськаакадемія банківської справи
Національногобанку України
Кафедраекономічної кібернетики
КУРСОВА РОБОТА
з дисципліни «Моделювання економічної динаміки»
«Моделюванняоптимального розподілу інвестицій за допомогою динамічного програмування»
Виконала: студентка 5-го курсу
групи ЕК-21
Бабенко Т.М.
Нормоконтроль: канд. фіз.-мат. наукБратушка С.М
Перевірила: ас. Хайлук С.О.
ЗМІСТ
Вступ
1. Теоретичні аспекти математичного моделюваннядинамічних систем
1.1 Основні поняття теорії моделювання
1.2 Принципи моделювання динамічних систем
1.3 Моделі і методи прийняття управлінських рішень з урахуваннямфактору часу
1.4 Моделі динамічного програмування
2. Теоретичні аспекти динамічного програмування
2.1 Постановка задачі динамічного програмування. Основніумови й область застосування
2.2 Складання математичної моделі динамічногопрограмування
2.3 Етапи рішення задачі динамічного програмування
3. Оптимальний розподіл інвестицій, як задачадинамічного програмування
Висновки
Список використаної літератури
Додатки
ВСТУП
Дана курсоваробота присвячена вивченню методології динамічного програмування. Необхідністьтакого вивчення обґрунтована насамперед тим, що у ряді реальних економічних івиробничих завдань необхідно враховувати зміну моделюємого процесу в часі йвплив часу на критерій оптимальності. Для рішення зазначених завданьвикористається метод динамічного планування (динамічне програмування). Цейметод більш складний у порівнянні з методами зі статичних оптимізаційних задач.Також не простою справою є процес побудови для реальної задачі математичноїмоделі динамічного програмування.
Динамічнепрограмування – розділ математики, який присвячено теорії і методам розв’язаннябагатокрокових задач оптимального керування.
Удинамічному програмуванні для керованого процесу серед множини усіх допустимихкерувань шукають оптимальне у сенсі деякого критерію тобто таке яке призводитьдо екстремального (найбільшого або найменшого) значення цільової функції –деякої числової характеристики процесу. Під багатоступеневістю розуміють абобагатоступеневу структуру процесу, або розподілення керування на рядпослідовних етапів (ступенів, кроків), що відповідають, як правило, різниммоментам часу. Таким чином, в назві “Динамічне програмування” під“програмуванням” розуміють “прийняття рішень”, “планування”, а слово“динамічне” вказує на суттєве значення часу та порядку виконання операцій впроцесах і методах, що розглядаються.
Методидинамічного програмування використовуються не лише в дискретних, але і внеперервних керованих процесах, наприклад, в таких процесах, коли в коженмомент певного інтервалу часу необхідно приймати рішення.
У даній роботірозглядаються теоретичні аспекти математичного моделювання динамічних систем,основні поняття теорії моделювання, принципи моделювання динамічних систем,моделі і методи прийняття управлінських рішень з урахуванням фактору часу, атакож моделі динамічного програмування. Детально вивчаються процес постановкизадачі динамічного програмування і особливості складання математичної моделідинамічного програмування.
Метою даноїкурсової роботи є вивчення методології динамічного програмування і проведенняавтоматизації розподілу інвестицій. Об’єктом практичного дослідження виступає розподілінвестицій між підприємствами, а предметом дослідження є методика динамічногопрограмування, котра забезпечить оптимальний розподіл інвестицій.
1.ТЕОРЕТИЧНІ АСПЕКТИ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ
1.1Основні поняття теорії моделювання
У прикладнихобластях розрізняють наступні види абстрактних моделей:
а) традиційне(насамперед для теоретичної фізики, а також механіки, хімії, біології, рядуінших наук) математичне моделювання без якої-небудь прив’язки до технічнихзасобів інформатики;
б) інформаційнімоделі й моделювання, що мають додатки в інформаційних системах;
в) вербальні(тобто словесні, текстові) язикові моделі;
г) інформаційні(комп’ютерні) технології, які треба ділити:
1) на інструментальневикористання базових універсальних програмних засобів (текстових редакторів,СУБД, табличних процесорів, телекомунікаційних пакетів);
2) на комп’ютернемоделювання, що представляє собою:
- обчислювальне (імітаційне)моделювання;
- “візуалізацію явищ іпроцесів” (графічне моделювання);
- “високі” технології, щорозуміють як спеціалізовані прикладні технології, що використають комп’ютер (якправило, у режимі реального часу) у сполученні з вимірювальними апаратурами,датчиками, сенсорами й т.д.
Отже, укрупненакласифікація абстрактних (ідеальних) моделей така:
а) Вербальні(текстові) моделі. Ці моделі використають послідовності пропозицій наформалізованих діалектах природної мови для опису тієї або іншої областідійсності (прикладами такого роду моделей є міліцейський протокол, правиладорожнього руху).
б) Математичнімоделі – дуже широкий клас знакових моделей (заснованих на формальних мовах надкінцевими алфавітами), що широко використає ті або інші математичні методи.Наприклад, можна розглянути математичну модель зірки. Ця модель буде являтисобою складну систему рівнянь, що описують фізичні процеси, що відбуваються внадрах зірки. Математичною моделлю іншого роду є, наприклад, математичніспіввідношення, що дозволяють розрахувати оптимальний (найкращий з економічноїточки зору) план роботи якого-небудь підприємства.
в) Інформаційні моделі– клас знакових моделей, що описують інформаційні процеси (виникнення,передачу, перетворення й використання інформації) у системах найрізноманітнішоїприроди.
Границя міжвербальними, математичними й інформаційними моделями може бути проведена доситьумовно; цілком можливо вважати інформаційні моделі підкласом математичнихмоделей. Однак, у рамках інформатики як самостійної науки, відділеної відматематики, фізики, лінгвістики й інших наук, виділення інформаційних моделей вокремий клас є доцільним.
Існують й іншіпідходи до класифікації абстрактних моделей; загальноприйнята точка зору тут щене встановилася. Зокрема, є тенденція різкого розширення змісту поняття“інформаційна модель”, при якому інформаційне моделювання містить у собі йвербальні, і математичні моделі.
Математичнамодель виражає істотні риси об’єкта або процесу мовою рівнянь й іншихматематичних засобів. Власне кажучи, сама математика зобов’язана своїміснуванням тому, що вона намагається відбити, тобто промоделювати, на своїйспецифічній мові закономірності навколишнього світу.
Шляхматематичного моделювання в наш час набагато більш всеосяжний, ніж моделюваннянатурного. Величезний поштовх розвитку математичного моделювання дало появаЕОМ, хоча сам метод зародився одночасно з математикою тисячі років тому.
Математичнемоделювання динамічних систем, як таке, аж ніяк не завжди вимагає комп’ютерноїпідтримки. Кожен фахівець, що професійно займається математичним моделюванням,робить все можливе для аналітичного дослідження моделі. Аналітичні рішення(тобто представлені формулами, що виражають результати дослідження черезвихідні дані) звичайно зручніші й інформативніші чисельних. Можливостіаналітичних методів рішення складних математичних завдань, однак, дуже обмеженій, як правило, ці методи набагато складніше чисельних. На рисунку 1представлена процес математичного моделювання з використанням комп’ютерноїтехніки.
/>
Рисунок 1.1 – Загальна схема процесукомп’ютерного математичного моделювання
Найважливішиметапом моделювання динамічних систем є поділ вхідних параметрів за ступенемважливості впливу їхніх змін на вихідні. Такий процес називається ранжируванням(поділом по рангах). Найчастіше неможливо (та й не потрібно) ураховувати всіфактори, які можуть вплинути на значення величин, що цікавлять, />. Від того, наскільки вміловиділені найважливіші фактори, залежить успіх моделювання, швидкість йефективність досягнення мети. Виділити більш важливі (або значимі) фактори йвідсіяти менш важливі може лише фахівець у тій предметній області, до якоївідноситься модель.
1.2Принципи моделювання динамічних систем
інвестиціямоделювання динамічний програмування
Розглядаютьсяосновні принципи моделювання динамічних систем, у стислій формі відображаючитой достатньо багатий досвід, що накопичений до теперішнього часу в областірозробки й використання математичних моделей динамічних систем.
– Принципінформаційної достатності. При повній відсутності інформації про досліджуванусистему побудова її моделі неможлива. При наявності повної інформації їїмоделювання позбавлене змісту. Існує деякий критичний рівень апріорнихвідомостей про систему (рівень інформаційної достатності), при досягненні якогоможе бути побудована її адекватна модель.
– Принципздійсненності. Створювана модель повинна забезпечувати досягнення поставленоїмети дослідження з імовірністю, що істотно відрізняється від нуля, і закінцевий час. Звичайно задають деяке граничне значення /> імовірності досягненняцілі моделювання />, а такожприйнятну границю /> часу досягненняцієї мети. Модель вважають здійсненною, якщо може бути виконана умова />.
– Принципмножинності моделей. Даний принцип, незважаючи на його місцезнаходження у данійкласифікації, є ключовим. Мова йде про те, що створювана модель повиннавідбивати в першу чергу ті властивості реальної системи (або явища), яківпливають на обраний показник ефективності. Відповідно при використаннібудь-якої конкретної моделі визнаються лише деякі сторони реальності. Для більшповного її дослідження необхідний ряд моделей, що дозволяють із різних сторін із різним ступенем детальності відбивати розглянутий процес.
– Принципагрегування. У більшості випадків складну систему можна представити такою, щоскладається з агрегатів (підсистем), для адекватного математичного опису якихвиявляються придатними деякі стандартні математичні схеми. Принцип агрегуваннядозволяє, крім того, досить гнучко перебудовувати модель залежно від завданьдослідження.
– Принциппараметризації. У ряді випадків система, що моделюється, має у своєму складідеякі відносно ізольовані підсистеми, що характеризуються певним параметром, утому числі векторним. Такі підсистеми можна заміняти в моделі відповіднимичисловими величинами, а не описувати процес їхнього функціонування. Принеобхідності залежність значень цих величин від ситуації може задаватися увигляді таблиці, графіка або аналітичного вираження (формули). Принциппараметризації дозволяє скоротити обсяг і тривалість моделювання. Однак требамати на увазі, що параметризація знижує адекватність моделі [7].
1.3Моделі і методи прийняття управлінських рішень з урахуванням фактору часу
При прийняттірішень в практиці управління постає питання про задачу прийняття рішень зурахуванням фактору часу. Задача прийняття рішень спрямована на визначеннянайкращого (оптимального) або сприятливого способу дій для досягнення однієїабо декількох цілей. Під ціллю розуміється в широкому значенні ідеальне уявленнябажаного стану чи результату діяльності. Бажаний стан чи результат для особи,що приймає рішення може означати прибуток фірми, заволодіння долею ринку,подолання конкурентної боротьби, зниження собівартості продукції тощо.Найчастіше у житті трапляється так, що бажаний стан дещо віддалений або взагалівідсутній і той стан який існує в конкретний момент прийнято називати фактичнимстаном, тобто тим, що не залежить від волі особи, яка приймає рішення (ОПР).Отже, якщо фактичний стан не відповідає бажаному стану, то має місце проблемнаситуація, або проблема, розробка плану подолання якої і складає сутність задачіприйняття рішень.
Проблемнаситуація може виникати за умов коли:
а) функціонуванняуправлінської системи в певний момент часу не забезпечує досягнення бажанихцілей організації;
б) функціонуванняцієї системи не може забезпечити досягнення цих цілей і в майбутньому;
в) системавимагає докорінних змін поставлених цілей.
Виявленняпроблемної ситуації являє собою перший етап процесу прийняття рішень. Процесприйняття управлінських рішень з урахуванням фактору часу складається знаступних етапів, котрі зображенні на рисунку 1.2.
/>
Рисунок 1.2 – Етапи процесу прийняттяуправлінських рішень з урахуванням фактору часу
Другий етап процесу прийняття рішень– це накопичення інформації з проблеми, а саме збирання відомостей щодопроблеми, яка вирішується. На третьому етапі при опрацюванні альтернативпотрібно враховувати такі вимоги як взаємовиключність альтернатив тазабезпечення однакових умов описування альтернатив. Для виконання четвертогоетапу – оцінки альтернатив, необхідно відповісти на наступні питання:
– Чи єальтернатива реалістичною?
– Чи відповідаєальтернатива можливостям організації?
– Чи єприйнятними наслідки реалізації альтернативи?
Тепер, колиописані всі етапи процесу прийняття рішень, слід визначити саме поняттяприйняття рішення: прийняття рішення – це порівняння альтернатив за очікуванимиефектами їх реалізації на закладі критеріїв етапу діагнозу проблеми і прийняттяостаточного рішення.
Кінцевимрезультатом задачі прийняття рішень з урахуванням фактору часу являєтьсярішення. Із змістовної точки зору рішенням може бути курс дії, спосіб дії, планроботи, варіант проекту тощо. Рішення являється одним з видів розумовоїдіяльності і волевиявлення людини.
Слід зазначити,що не кожен метод може застосовуватись в будь-якій ситуації. Тобто кожнерішення або кожна задача прийняття рішення з урахуванням фактору часу можевирішуватися в різних умовах. Для визначення цих умов слід провестикласифікацію задач прийняття рішень за різними ознаками (ступінь визначеностіінформації, зміст рішень, направленість рішень тощо), серед яких найбільшецікавить ступінь визначеності інформації – ступінь повноти і достовірностіданих, необхідних для прийняття рішень. За ступенем повноти визначеностіінформації задачі прийняття рішень класифікують на три групи:
– задачі в умовахвизначеності;
– задачі в умовахімовірнісної визначеності;
– задачі в умовахневизначеності.
Отже, для кожної групиумов в практиці управління використовуються та чи інша методологія.
Прийняття рішень в умовахвизначеності проводяться при наявності повної і достовірної інформації щодопроблемної ситуації, умов рішень і наслідках його реалізації. Для даного класузадач прийняття рішень немає необхідності довизначати проблемну ситуаціюгіпотетичними ситуаціями. Цілі і обмеження формально визначаються у виглядіцільових функцій. Критерій вибору обирається у вигляді мінімуму або максимумуцільової функції. Наявність переліченої інформації дозволяє побудуватиформальну математичну модель задачі прийняття рішень і здійснити знаходженняоптимального рішення алгоритмічним шляхом без втручання людини. Для вирішенняцього класу задач прийняття рішень застосовуються різні методи оптимізації,наприклад, методи математичного програмування: лінійного, нелінійного,динамічного.
Задачі прийняттярішень в умовах невизначеності безпосередньо пов’язані з управлінськимирішеннями. Для цих задач характерна більша неповнота і недостовірністьінформації, різноманіття і складність впливу різних факторів соціального,економічного, політичного та іншого характеру. Ці обставини не дозволяють, покрайній мірі в теперішній час, побудувати адекватні математичні моделівирішення задач по визначенню оптимального рішення. Тому активну роль в пошукуоптимального або сприятливого рішення виконує людина.
Математичнімоделі, що розглядаються в задачах прийняття рішень в умовах визначеності таімовірнісної визначеності, описують найпростіші ситуації, характерні дляфункціонування технічних систем. Тому задачі даного класу широко застосовуютьсядля синтезу управління в автоматичних системах і мають дуже посереднєвідношення до задач прийняття управлінських рішень в організаційних системах.
Згідно зі схемою, котра зображена на рисунку 1.3,методи обґрунтування управлінських рішень підрозділяються на дві основні групи:кількісні та якісні методи. До якісних методів відносяться лише експертніметоди, а решта методів (класифікація за ступенем визначеності) відноситься докількісних. Аналітичні методи характеризуються тим, що встановлюють аналітичні(функціональні) залежності між умовами вирішення задач прийняття рішень та їхрезультатами.
Статистичні методи. Їх характерною рисою є врахуваннявипадкових впливів та відхилень. Ці методи дозволяють отримувати знакопичуваної інформації, яка здається хаотичною, основні тенденції тазакономірності. Ця група охоплює методи теорії ймовірностей та математичноїстатистики. Найбільш широко використовуються такі методи, як кореляційнийаналіз, факторний аналіз, дисперсійний аналіз, методи статистичного контролюякості та надійності продукції.
/>
Рисунок 1.3 – Схема методівобґрунтувань управлінських рішень
Методи математичного програмування. Застосовуються прирішенні умовних екстремальних задач з багатьма змінними.
Теоретико-ігровіметоди та методи статистичних рішень. Теорія статистичних рішеньвикористовується, коли невизначеність ситуації викликана об’єктивнимиобставинами, які або невідомі, або носять випадковий характер. Метод теоріїігор використовується в тих випадках, коли невизначеність ситуації викликанасвідомими діями розумного противника.
1.4Моделі динамічного програмування
Модель є образнимпредставленням якогось об’єкту чи процесу і використовується для аналізу абовивчення цього об’єкту чи процесу.
Моделі математичногопрограмування – це так звані одноетапні моделі, які допомагають аналізуватистатичні, не залежні від часу умови. Вони мають оптимальний розв’язок за умовстабільності господарського процесу, або на короткий проміжок у майбутньому.
Вперше математичнімоделі були використані для рішення практичного завдання в 30-х роках уВеликобританії при створенні системи протиповітряної оборони. Для розробкиданої системи були залучені вчені різних спеціальностей. Система створювалася вумовах невизначеності щодо можливих дій супротивника, тому дослідженняпроводилися на адекватних математичних моделях. У цей час вперше бувзастосований термін: “операційне дослідження”, що припускало дослідженнявоєнної операції. У наступні роки операційні дослідження або дослідженняоперацій розвиваються як наука, результати якої застосовуються для виборуоптимальних рішень при керуванні реальними процесами й системами.
Можна виділитинаступні основні етапи операційного дослідження:
- спостереженняявища й збір вихідних даних;
- постановказадачі;
- побудоваматематичної моделі;
- розрахунокмоделі;
- тестуваннямоделі й аналіз вихідних даних. Якщо отримані результати не задовольняютьдослідника, то треба або повернутися на етап побудови математичної моделі,тобто запропонувати для рішення задачі іншу математичну модель; або повернутисяна етап постановки задачі, тобто поставити задачу більш коректно;
- застосуваннярезультатів досліджень.
Таким чином,операційне дослідження є ітераційним процесом, кожен наступний крок якогонаближає дослідника до рішення стоячої перед ним проблеми. У центріопераційного дослідження знаходяться побудова й розрахунок математичної моделі.
Математичнамодель – це система математичних співвідношень, приблизно, в абстрактній формі описуючідосліджуваний процес або систему. Математична модель – абстракція реальноїдійсності, в якій відношення між реальними елементами, а саме ті, що цікавлятьдослідника, замінені відношенням між математичними категоріями. Економіко-математичнамодель – це математична модель, призначена для дослідження економічноїпроблеми.
Проведенняопераційного дослідження, побудова й розрахунок математичної моделі динамічногопрограмування дозволяють проаналізувати ситуацію й вибрати оптимальні рішенняпо керуванню нею або обґрунтувати запропоновані рішення. Застосуванняматематичних моделей динамічного програмування необхідно в тих випадках, колипроблема складна, залежить від великої кількості факторів, що по-різномувпливають на її рішення. У цьому випадку непродумане й науково не обґрунтованерішення може привести до серйозних наслідків. Прикладів цьому в нашому житті єчимало, зокрема в економіці. Використання математичних моделей динамічногопрограмування дозволяє здійснити попередній вибір оптимальних або близьких доних варіантів рішень за певними критеріями. Вони науково обґрунтовані, і особа,що приймає рішення, може керуватися ними при виборі остаточного рішення. Варторозуміти, що не існує рішень, оптимальних “взагалі”. Будь-яке рішення, отриманепри розрахунку математичної моделі динамічного програмування, оптимально поодному або декількох критеріях, запропонованим постановником завдання йдослідником. До речі, практика показує, що займатися операційними дослідженнямий побудовою математичних моделей динамічного програмування найкраще не “чистим”математикам, що не завжди представляють собі сутність досліджуваної проблеми йприділяють більшу увагу різним математичним особливостям побудови й розрахунку,і не предметникам, які не завжди можуть коректно поставити завдання. Гарнірезультати одержують фахівці, що знають предметну область і разом з тим володіючиматематичними методами дослідження у динамічному програмуванні. У теперішнійчас математичні моделі динамічного програмування застосовуються для аналізу,прогнозування й вибору оптимальних рішень у різних галузях економіки. Цепланування й оперативне керування виробництвом, управління трудовими ресурсами,управління запасами, розподіл ресурсів, планування й розміщення об’єктів,керівництво проектом, розподіл інвестицій і т.п.
Можна виділитинаступні основні етапи побудови математичної моделі динамічного програмування.
а) Визначення мети,тобто чого хочуть домогтися, вирішуючи поставлене завдання.
б) Визначенняпараметрів моделі, тобто заздалегідь відомих фіксованих факторів, на значенняяких дослідник не впливає.
в) Формування керуючихзмінних, змінюючи значення яких можна наближатися до поставленої мети. Значеннякеруючих змінних є рішеннями задачі.
г) Визначення областіприпустимих рішень, тобто тих обмежень, котрим повинні задовольняти керуючізмінні.
д) Виявленняневідомих факторів, тобто величин, які можуть змінюватись випадковим абоневизначеним чином.
е) Вираження метичерез керуючі змінні, параметри й невідомі фактори, тобто формування цільовоїфункції, котра називається також критерієм ефективності або критеріємоптимальності задачі.
Вводятьсянаступні умовні позначки: /> –параметри моделі; /> – керуючі змінніабо рішення; />– область припустимихрішень; /> – випадкові абоневизначені фактори; /> – цільовафункція або критерій ефективності (критерій оптимальності)./>
/>. (1.1)
У відповідністьіз введеними термінами математична модель задачі має наступний вигляд:
/>, /> (1.2)
Вирішити задачу –це значить знайти таке оптимальне рішення />,щоб при даних фіксованих параметрах /> й з урахуванням невідомихфакторів /> значення критеріюефективності /> було б по можливостімаксимальним (мінімальним).
/>. (1.3)
Таким чином,оптимальне рішення – це рішення, краще перед іншими за певним критеріємефективності (одному або декільком).
Основні принципипобудови математичної моделі динамічного програмування.
а) Необхідно порівнюватиточність і дрібниці моделі, по-перше, з точністю тих вихідних даних, якимиоперує дослідник, і по-друге, з тими результатами, які потрібно одержати.
б) Математичнамодель динамічного програмування повинна відбивати істотні риси досліджуваногоявища й при цьому не повинна його сильно спрощувати.
в) Математична модельдинамічного програмування не може бути повністю адекватна реальному явищу, томудля його дослідження краще використати декілька моделей, для побудови якихзастосовані різні математичні методи. Якщо при цьому виходять подібнірезультати, то дослідження закінчується. Якщо результати сильно розрізняються,то варто переглянути постановку задачі.
г) Будь-якаскладна система завжди піддається малим зовнішнім і внутрішнім впливам, отже,математична модель динамічного програмування повинна бути стійкої, тобтозберігати свої властивості й структуру при цих впливах.
На рисунку 1.4зображена класифікація математичних моделей і місце динамічних моделей узагальній структурі [1].
По числукритеріїв ефективності математичні моделі діляться на однокритеріальні й багатокритеріальні.Багатокритеріальні математичні моделі містять два й більше критерії.
По облікуневідомих факторів математичні моделі діляться на детерміновані, стохастичні ймоделі з елементами невизначеності.
У стохастичнихмоделях невідомі фактори – це випадкові величини, для яких відомі функціїрозподілу й різні статистичні характеристики (математичне очікування, дисперсія,середньоквадратичне відхилення й т.д.). Серед стохастичних можна виділити:
- моделістохастичного програмування, у яких в цільову функцію (1.2) входять випадковівеличини;
- моделітеорії випадкових процесів, призначені для вивчення процесів, стан яких у коженмомент часу є випадковою величиною;
- моделі теоріїмасового обслуговування, у якій вивчаються багатоканальні системи, зайнятіобслуговуванням вимог. Також до стохастичних моделей можна віднести моделітеорії корисності, пошуку й прийняття рішень.
/>
Рисунок 1.4 – Класифікаціяматематичних моделей
Для моделюванняситуацій, що залежать від факторів, для яких неможливо зібрати статистичні даній значення яких не визначені, використаються моделі з елементаминевизначеності. У моделях теорії ігор задача представляється у вигляді гри, уякій беруть участь кілька гравців, що переслідують різні цілі, наприкладорганізацію підприємства в умовах конкуренції.
В імітаційнихмоделях реальний процес розвертається в машинному часі, і простежуютьсярезультати випадкових впливів на нього, наприклад організація виробничогопроцесу. У детермінованих моделях невідомі фактори не враховуються. Незважаючина гадану простоту цих моделей, до них зводяться багато практичних задач, утому числі більшість економічних задач. По виду цільової функції й обмеженьдетерміновані моделі діляться на лінійні, нелінійні, динамічні й графічні.
У лінійнихмоделях цільова функція й обмеження лінійні по керуючім змінним. Побудова йрозрахунок лінійних моделей є найбільш розвиненим розділом математичногомоделювання, тому часто до них намагаються звести й інші задачі або на етапіпостановки, або в процесі рішення.
Нелінійні моделі– це моделі, у яких або цільова функція, або яке-небудь із обмежень (або всіобмеження) нелінійні по керуючим змінним. Для нелінійних моделей немає єдиногометоду розрахунку. Залежно від виду нелінійності, властивостей функції йобмежень можна запропонувати різноманітні способи рішення. Однак, може трапитисяй так, що для поставленої нелінійної задачі взагалі не існує методу розрахунку.У цьому випадку задачу варто спростити, або звести її до відомих лінійнихмоделей, або просто лінеаризувати модель.
У динамічнихмоделях на відміну від статичних лінійних і нелінійних моделей враховуєтьсяфактор часу. Критерій оптимальності в динамічних моделях може бути самогозагального виду (і навіть взагалі не бути функцією), однак для нього повиннівиконуватися певні властивості. Розрахунок динамічних моделей складний, і длякожної конкретної задачі необхідно розробляти спеціальний алгоритм рішення [4].
Графічні моделівикористаються тоді, коли завдання зручно представити у вигляді графічноїструктури.
2.ТЕОРЕТИЧНІ АСПЕКТИ ДИНАМІЧНОГО ПРОГРАМУВАННЯ
2.1Постановка задачі динамічного програмування. Основні умови й областьзастосування
Динамічнепрограмування – це метод дослідження операцій, на кожному етапі якого можнакерувати перебігом досліджуваного процесу та оцінювати якість такогоуправління.
Загальнапостановка задачі динамічного програмування. Досліджується перебіг деякогокерованого процесу, тобто на стан і розвиток якого можна впливати через певніпроміжки (в економічних процесах управління – перерозподіл коштів, замінаобладнання, визначення обсягів поставок сировини на період і т. ін.).Приймається, що процес управління можна реалізувати дискретно за /> етапів. Будь-яку багатоетапну задачу можна реалізувати по-різному або відразу шукати всі елементирозв’язку для всіх />етапів, або знаходити оптимальнеуправління поетапно, на будь-якому етапі визнаючи розв’язок стосовно лише цьогоетапу – такий варіант простіший.
Параметри цихмоделей доцільно розбити на дві множини: параметри стану (для дослідженнявластивостей яких була розбудована модель) та параметри управління (фактори,які можуть впливати на стан процесу).
Нехай /> – кількість етапів. Набудь-якому і-му етапі процес може бути в різних станах {/>}/>, кожний з яких характеризується скінченоюмножиною параметрів. Множину параметрів доцільно розглядати як компонентидеякого вектора />, де /> – кількість параметрів,обраних для характеристики стану. На будь-якому з /> досліджуванихетапів система може бути в кількох станах.
Перебіг процесувизначається певною послідовністю переходів з одного стану в інший. Якщо процесна і-му етапі перебував у деякому стані />,то наступний стан /> на (і+1)-мукроці визначається не лише попереднім станом, а й вибором певного управлінняпри досягненні /> (/>;/>). У загальному випадкубудь-яке управління на будь-якому етапі доцільно розглядати як />-мірний вектор />. Числові значеннякомпонент вектора управління будуть залежати як від вихідного стану /> на і-му кроці, так і віднаступного стану на (і+1)-му кроці />/>, тобто вектор /> визначається чотирмаіндексами /> і має бути вибраний зпевної множини допустимих управлінь.
Для спрощеннязаписів вектори можливих поточного стану та управління будемо позначати лишеодним індексом, спів ставляючи їх певному кроку (етапу), тобто щодо стану />, мається на увазі один ізможливих станів множини {/>}/>, а щодо вектора /> – один ізможливих векторів множини {/>}/>, (/>).
/>
Рисунок 1.5 – Можливі стани системина кожному етапі
На рисунку 1.5схематично кругами зображені можливі стани на кожному етапі, лініями – можливіпереходи від одного стану до іншого за вибору певного управління. Таким чином,стан процесу на і-му етапі визначається певною функціональною залежністю відстану на попередньому кроці та значеннями параметрів управління на початкучергового кроку, тобто />. Процесуправління моделюється як вибір за кожного можливого j-го стану на і-му етапіпевного k-мірного вектора /> здеяких допустимих множин векторів {/>}/>. Для спрощення вінпозначається />. Множина послідовностіуправлінь позначається – />, якіпереводять систему зі стану /> у стан />, схематично цепредставлено на рисунку 1.6.
/>
Рисунок 1.6 – Перехід системи ізстану /> у стан />
Будь-якупослідовність />, що переводитьсистему зі стану /> у стан />, називається стратегією, авектори /> – її складовими.
Ефективністьвибору послідовності управлінь /> (стратегії)оцінюється за вибраним критерієм певною цільовою функцією />:
/>. (2.1)
Модельдинамічного програмування можна використовувати в тих випадках, коли є підставиприйняти такі допущення стосовно досліджуваної системи:
– Стан /> системи в кінці і-го крокувизначається лише попереднім станом /> тауправлінням /> на і-му кроці і незалежить від попередніх станів та управлінь. Формула (2.2) – рівняння стану.
/>, />. (2.2)
– Цільова функція(2.1) є адитивною стосовно кожного етапу і залежить від того, яким був стансистеми /> на початку етапу та якебуло обране управління. Нехай /> –показник ефективності і-го кроку.
/>, />. (2.3)
Тоді цільовафункція (2.1) буде представлена формулою (2.4)
/>. (2.4)
Метод динамічногопрограмування також можна використовувати при розв’язанні задач з так званою“мультиплікативною” цільовою функцією, тобто:
/>. (2.5)
Задачадинамічного програмування за названих умов формується так: визначити такудопустиму стратегію управління:
/>. (2.6)
Дана стратегіяпереводить систему /> зі стану /> у стан /> і за якої цільова функція(2.4) досягає екстремального значення.
Нехайрозглядається задача, що розпадається на m кроків або етапів, наприкладпланування діяльності підприємства на кілька років, поетапне плануванняінвестицій, керування виробничими потужностями протягом тривалого строку.Показник ефективності задачі в цілому позначиться через W, а показникиефективності на окремих кроках – через />,/>. Якщо W має властивістьадитивності, тобто:
/>, (2.7)
то можна знайтиоптимальне рішення задачі методом динамічного програмування.
Таким чином,динамічне програмування – це метод оптимізації багатокрокових або багатоетапних процесів, критерій ефективності яких має властивість (2.7). У задачахдинамічного програмування критерій ефективності називається виграшем. Даніпроцеси керовані, і від правильного вибору керування залежить величина виграшу.
Змінна /> від якої залежать виграшна і-м кроці й, отже, виграш у цілому, називається кроковим керуванням, />.
Управліннямпроцесу в цілому /> називаєтьсяпослідовність крокових управлінь />.
Оптимальнеуправління />– це значення управління />, при якому значення /> є максимальним (абомінімальним, якщо потрібно зменшити програш):
/>,/>, (2.8)
де – областьприпустимих управлінь.
Оптимальнеуправління /> визначається послідовністюоптимальних крокових управлінь:
/>. (2.9)
В основі методудинамічного програмування лежить принцип оптимальності Беллмана, щоформулюється в такий спосіб: керування на кожному кроці треба вибирати так, щобоптимальною була сума виграшів на всіх кроках, що залишилися до кінця процесу,включаючи виграш на даному кроці [1].
Тобто, прирішенні задачі динамічного програмування на кожному кроці вибираєтьсякерування, що повинне привести до оптимального виграшу. Якщо вважати всі крокинезалежними друг від друга, то оптимальним кроковим управлінням буде те управління,що приносить максимальний виграш саме на даному кроці. Але, наприклад, припокупці нової техніки замість застарілої на її придбання затрачаються певні кошти.Тому прибуток від її експлуатації спочатку може бути невеликий. Однак унаступні роки нова техніка буде приносити більший прибуток. І навпаки, якщокерівник прийме рішення залишити стару техніку для отримання прибутку впоточному році, то надалі це приведе до значних збитків. Даний прикладдемонструє наступний факт: у багатокрокових процесах всі кроки залежать другвід друга, і, отже, управління на кожному конкретному кроці треба вибирати зобліком його майбутніх впливів на весь процес.
Інший момент, котрийварто враховувати при виборі управління на даному кроці, – це можливі варіантизакінчення попереднього кроку. Ці варіанти визначають стан процесу. Наприклад,при визначенні кількості коштів, вкладених у підприємство в і-му році,необхідно знати, скільки коштів залишилося в наявності до цього року і якийприбуток отриманий у попередньому (і-1)-м році. Таким чином, при виборікрокового управління необхідно враховувати:
– можливі результатипопереднього кроку;
– вплив управлінняна всі кроки, що залишилися, до кінця процесу.
У задачахдинамічного програмування перший пункт враховують, роблячи на кожному кроціумовні припущення про можливі варіанти закінчення попереднього кроку йпроводячи для кожного з варіантів умовну оптимізацію. Виконання другого пунктузабезпечується тим, що в задачах динамічного програмування умовна оптимізаціяпроводиться від кінця процесу до початку. Спершу оптимізується останній m-йкрок, на якому не треба враховувати можливі впливи обраного управління /> на всінаступні кроки, тому що ці кроки просто відсутні. Роблячи припущення про умовизакінчення (m-1)-го кроку, для кожного з них проводять умовну оптимізацію m-гокроку й визначають умовне оптимальне управління />. Аналогічно діють для (m-l)-гокроку, роблячи припущення про стан закінчення (m-2)-го кроку й визначаючиумовне оптимальне управління на (m-1)-му кроці, що приносить оптимальний виграшна двох останніх кроках – (m-1)-му і m-му. Так само діють на всіх інших крокахдо першого. На першому кроці, як правило, не треба робити умовних припущень,тому що стан системи перед першим кроком звичайно відомо.
Для цього станувибирають оптимальне крокове управління, що забезпечує оптимальний виграш напершому й всіх наступних кроках. Це управління є безумовним оптимальним управліннямна першому кроці й, знаючи його, визначаються оптимальне значення виграшу йбезумовні оптимальні управління на всіх кроках.
2.2Складання математичної моделі динамічного програмування
Додаткововводяться наступні умовні позначки:
/> – стан процесу;
/>– безліч можливих станівпроцесу перед і-м кроком;
/>– виграш із і-го кроку докінця процесу, />.
Можна визначитинаступні основні етапи складання математичної моделі задачі динамічногопрограмування [1].
– Розбивка задачіна кроки (етапи). Крок не повинен бути занадто дрібним, щоб не проводити зайвихрозрахунків і не повинен бути занадто великим, ускладнюючий процес кроковоїоптимізації.
– Вибір змінних, щохарактеризують стан /> моделюємого процесуперед кожним кроком, і виявлення обмежень, що накладаються на них. У якостітаких змінних варто брати фактори, що представляють інтерес для дослідника,наприклад річний прибуток при плануванні діяльності підприємства.
– Визначеннябезлічі крокових управлінь />, /> й накладених на нихобмежень, тобто області припустимих управлінь />.
– Визначеннявиграшу:
/>, (2.10)
який принесе на і-мукроці управління />, якщо системаперед цим перебувала в стані />.
– Визначеннястану />, у яке переходить системазі стану />підвпливом керування />:
/>, (2.11)
де /> – функція переходу на і-мукроці зі стану /> у стан />.
– Складання управління,що визначає умовний оптимальний виграш на останньому кроці, для стану /> моделюємого процесу:
/>. (2.12)
– Складанняосновного функціонального рівняння динамічного програмування, що визначаєумовний оптимальний виграш для даного стану /> з і-го кроку й до кінця процесучерез уже відомий умовний оптимальний виграш із (і+1)-го кроку й до кінця:
/>. (2.13)
У рівнянні (2.13)у вже відому функцію />, що характеризуєумовний оптимальний виграш із (і+1)-го кроку до кінця процесу, замість стану /> підставлений новий стан />, у яке система переходитьна і-му кроці під впливом управління />.
Структура моделідинамічного програмування відрізняється від статичної моделі лінійногопрограмування. Дійсно, у моделях лінійного програмування управляючі змінні – цеодночасно й змінні стану моделюємого процесу, а в динамічних моделях окремовводяться змінні управління />, ізмінні, що характеризують зміну стану /> під впливом управління. Такимчином, структура динамічних моделей більш складна, що природно, тому що в цихмоделях додатково враховується фактор часу.
2.3Етапи рішення задачі динамічного програмування
Після того яквиконані основні етапи складання математичної моделі задачі динамічногопрограмування, математична модель складена, приступають до її розрахунку.Визначаються основні етапи рішення задачі динамічного програмування.
– Визначеннябезлічі можливих станів /> дляостаннього кроку.
– Проведення умовноїоптимізації для кожного /> наостанньому m-му кроці по формулі (2.12) й визначення умовного оптимальногоуправління />,/>.
– Визначеннябезлічі можливих станів /> дляі-го кроку, />.
– Проведенняумовної оптимізації і-го кроку, /> для кожногостану /> по формулі (2.13) івизначення умовного оптимального управління />,/>, />.
– Визначенняпочаткового стану системи />,оптимального виграшу /> і оптимального управління/> по формулі (2.13) при />. Це є оптимальний виграшдля всієї задачі />.
– Проведеннябезумовної оптимізації управління. Для проведення безумовної оптимізаціїнеобхідно знайдене на першому кроці оптимальне управління /> підставити у формулу (2.11)і визначити наступний стан системи />. Длязміненого стану знайти оптимальне управління />,підставити у формулу (2.11) і так далі. Для і-гo стану />, знайти /> і /> і т.д. [1].
3. Оптимальний розподіл інвестицій, як задачадинамічного програмування
Інвестор виділяєкошти в розмірі /> умовних одиниць,котрі повинні бути розподілені між />-підприємствами. Кожне і-тепідприємство при інвестуванні в нього коштів /> приносить прибуток /> умовних одиниць, />. Необхідно вибратиоптимальний розподіл інвестицій між підприємствами, котрий забезпечить максимальнийприбуток.
Виграшем /> у даній задачі є прибуток,принесена /> підприємствами.
Побудоваматематичної моделі.
– Визначення числакроків. Число кроків /> дорівнює числу підприємств, вкотрі здійснюється інвестування.
– Визначення станівсистеми. Стан системи на кожному кроці характеризується кількістю коштів />, наявних перед данимкроком, />.
– Вибір кроковихуправлінь. Управлінням на і-му кроці />, /> є кількість коштів, котріінвестуються і-те підприємство.
– Функція виграшуна і-му кроці:
/>. (3.1)
– це прибуток,котрий приносить і-те підприємство при інвестуванні в нього коштів />.
/>. (3.2)
Отже, дана задачаможе бути вирішена методом динамічного програмування.
– Визначенняфункції переходу в новий стан:
/>. (3.3)
Таким чином, якщона і-му кроці система знаходиться у стані />,а вибрано управління />, то на (і+1)-мукроці система буде знаходитись у стані />.Іншими словами, якщо в наявності маються кошти в розмірі /> умовних одиниць, й в і-тепідприємство інвестуються /> умовниходиниць, то для подальшого інвестування залишається /> умовниходиниць.
– Складанніфункціонального рівняння для />.
/>. (3.4)
А також:
/>. (3.5)
На останньомукроці, тобто перед інвестування коштів в останнє підприємство, умовнеоптимальне управління відповідає кількості коштів, що маються в наявності;тобто скільки коштів залишилось, стільки й необхідно вкласти в останнєпідприємство. Умовний оптимальний виграш дорівнює прибутку, котрий приноситьсяостаннім підприємством.
– Складанняосновного функціонального рівняння.
Підставивши уформулу (2.13) вираження (3.1) і (3.3), отримуємо наступне функціональнерівняння:
/>. (3.6)
Пояснюючи данерівняння зазначається, що нехай перед і-м кроком в інвестора залишились кошти урозмірі /> умовних одиниць. Тоді /> умовних одиниць він можевкласти в і-те підприємство, при цьому даний вклад принесе дохід />, а /> умовних одиниць, щозалишились – в останні підприємства з (/>)-годо />-го. Умовний оптимальнийвиграш від такого вкладу />.Оптимальним буде те умовне управління />,при якому сума /> і /> максимальна.
Проведенняавтоматизації розподілу інвестицій між підприємствами здійснюється іззастосуванням ЕОМ, оснащеної спеціальним програмним засобом MS EXCEL. До розглядубереться, що />=5000, />=3.
Таблиця 3.1 – Прибуток /> підприємств />, від інвестування в нихкоштів
/>, тис. у.о.
/>, тис. у.о.
/>, тис. у.о.
/>, тис. у.о. 1 1,5 2 1,7 2 2 2,1 2,4 3 2,5 2,3 2,7 4 3 3,5 3,2 5 3,6 4 3,5
Для /> />, />.
Вхідні умовизображені на рисунку А.1 (Додаток А). Для простоти у задачі зробленоприпущення, що вкладаються тільки тисячі умовних одиниць. Проводиться умовнаоптимізація. По її результатам заповнюється таблиця 3.2.
Таблиця 3.2 – Результати умовноїоптимізаціїs
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1 1 1,7 2 2 2 2,4 1 3,7 3 3 2,7 1 4,4 4 4 3,2 1 4,7 5 5 3,5 1/4 5,2 2 6,4
У першій колонцітаблиці записуються можливі стани системи />,у верхньому рядку – номера кроків />. Накожному кроці визначаються умовні оптимальні управління /> і умовні оптимальнівиграші />, />; />.
Детальний розглядрезультатів умовної оптимізації.
а) Проведенняумовної оптимізації для останнього кроку />.Функціональне рівняння на останньому кроці має вигляд:
/>, />. (3.7)
На рисунку 3.1ілюстраційно зображено результати проведення умовної оптимізації для останньогокроку.
Виходячи з цього,два стовпця таблиці 3.2, котрі відповідають />, заповнюються автоматично потаблиці вихідних даних.
/>
Рисунок 3.1 – Результати умовноїоптимізації для останнього кроку
б) Умовнаоптимізація для />.
Функціональнерівняння має вигляд:
/>. (3.8)
Для проведенняумовної оптимізації заповнюються допоміжні таблиці 3.3–3.7, котрі відповідаютьрізним значенням />, тобто різнимзакінченням попереднього кроку, результати практичного дослідження відображені нарисунках А.2–А.4 (Додаток А).
Таблиця 3.3 – Наявність коштів урозмірі /> умовних одиниць післязакінченням попереднього кроку
/>
/>
/>
/>
/> 1 1,7 1,7 1 2 2
/>, звідси:
– />;
– />.
Таблиця 3.4 – Наявність коштів урозмірі /> умовних одиниць післязакінченням попереднього кроку
/>
/>
/>
/>
/> 2 2,4 2,4 1 1 2 1,7 3,7 2 2,1 2,1
/>, звідси:
– />;
– />.
Таблиця 3.5 – Наявність коштів урозмірі /> умовниходиниць після закінченням попереднього кроку
/>
/>
/>
/>
/> 3 2,7 2,7 1 2 2 2,4 4,4 2 1 2,1 1,7 3,8 3 2,3 2,3
/>, звідси:
– />;
– />.
Таблиця 3.6 – Наявність коштів урозмірі /> умовних одиниць післязакінченням попереднього кроку
/>
/>
/>
/>
/> 4 3,2 3,2 1 3 2 2,7 4,7 2 2 2,1 2,4 4,5 3 1 2,3 1,7 4 4 3,5 3,5
/>, звідси: />;– />.
Таблиця 3.7 – Наявність коштів урозмірі /> умовниходиниць після закінченням попереднього кроку
/>
/>
/>
/>
/> 5 3,5 3,5 1 4 2 3,2 5,2 2 3 2,1 2,7 4,8 3 2 2,3 2,4 4,7 4 1 3,5 1,7 5,2 5 4 4
/>.
Для /> />, можливі два умовнихоптимальних рівняння:
– />;
– />.
/>
Рисунок 3.2 – Результати умовноїоптимізації для другого підприємства
в) Умовнаоптимізація для />.
Перед першимкроком стан системи відомий. /> тисячумовних одиниць, й умовну оптимізацію слід проводити тільки для цього значення.
Таблиця 3.8 – Наявність коштів урозмірі /> умовниходиниць перед першим кроком
/>
/>
/>
/>
/> 5 5,2 5,2 1 4 1,5 4,7 6,2 2 3 2 4,4 6,4 3 2 2,5 3,7 6,2 4 1 3 2 5 5 3,6 3,6
/>, звідси:
– />;
– />.
Вираз (3.9)відображає оптимальний прибуток, що дають три підприємства при інвестуванні вних коштів у розмірі 5 тисяч умовних одиниць, дорівнює 6,4 тисяч умовниходиниць.
/>. (3.9)
/>
Рисунок 3.3 – Результати умовноїоптимізації для першого підприємства
Проведеннябезумовної оптимізації. Її результати ілюстраційно відображено на рисунку Б.1 додаткуБ.
– />, />, />; />.
– /> по формулі (3.3) />. />; />.
– />, />. />; />.
Отриманийрезультат – />.
Таблиця 3.9 – Результати проведеннябезумовної оптимізації
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Таким чином, дляотримання максимального прибутку у розмірі 6400 умовних одиниць, необхідно по2000 умовні одиниці вкласти в перше і третє підприємства і 1000 умовну одиницю– у друге підприємство. Графічно це відображено на графіку В.1 у додатку В.
ВИСНОВКИ
Динамічнепрограмування – це метод дослідження операцій, на кожному етапі якого можнакерувати перебігом досліджуваного процесу та оцінювати якість такогоуправління. При рішенні задачі динамічного програмування на кожному кроцівибирається керування, що повинне привести до оптимального виграшу. Якщо вважативсі кроки незалежними друг від друга, то оптимальним кроковим управлінням будете управління, що приносить максимальний виграш саме на даному кроці.
У даній роботібули розглянуті теоретичні аспекти математичного моделювання динамічних систем,основні поняття теорії моделювання, принципи моделювання динамічних систем,моделі і методи прийняття управлінських рішень з урахуванням фактору часу, атакож моделі динамічного програмування. Детально вивчені процес постановкизадачі динамічного програмування і особливості складання математичної моделідинамічного програмування.
Практичний аналіздинамічного програмування розглядався на прикладі оптимального розподілуінвестицій між підприємствами, мета розподілу полягала у максимізаціїзагального прибутку від інвестування. У результаті практичної реалізації буловстановлено, що для отримання максимального прибутку у розмірі 6400 умовниходиниць, необхідно по 2000 умовні одиниці вкласти в перше і третє підприємстваі 1000 умовну одиницю – у друге підприємство. Необхідно зазначити, що отриманерішення є лише деяким наближенням до оптимального рішення. Його можнапокращити, тобто приблизити до оптимального, взявши менший крок оптимізації,наприклад вкладати у підприємства кошти, кратні 500 умовним одиницям, а отжеіснує широкий простір для подальшої і більш глибокої роботи.
СПИСОКВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Хазанова И.Э. Математическое моделирование вэкономике: Учебное пособие. –М.: Издательство БЕК, 1998. – 132 с.
2. Сіднєв С.П., Шарапов О.Д. Математичні методипідвищення якості управлінських рішень: Підручник.-К.: ІЗМН, 1997. – 258 с.
3. Основи комп’ютерних алгоритмів. Динамічнепрограмування. – moodle.ukma.kiev.ua.
4. Вікіпедія. Вільна енциклопедія. Стаття продинамічне програмування. – uk.wikipedia.org.
5. Мажукин В.И., Королева О.Н. Математическоемоделирование в экономике: Учебное пособие. – М.: Издательство “Флинта” МГУ,2004. – 232с.
6. Самарский А.А., Михайлов Ф.П. Математическоемоделирование. М.: Наука. 1997. – 212 с.
7. Клебанова Т.С., Дубровина Н.А., Полякова О.Ю.,Раевнева Е.В., Моделирование экономической динамики: Учебное пособие. – Х.:Издательский дом “ИНЖЭК”, 2005. – 244 с.
Додаток А
/>
Лист “Вхідна форма”
/>
Проведення умовної оптимізації длядругого підприємства за умови вкладання 1000 і 2000 умовних одиниць
/>
Проведення умовної оптимізації длядругого підприємства за умови вкладання 3000 і 4000 умовних одиниць
/>
Проведення умовної оптимізації длядругого підприємства за умови вкладання 5000 умовних одиниць
/>
Проведення умовної оптимізації дляпершого підприємства за умови вкладання 5000 умовних одиниць
Додаток Б
/>
Результати проведення безумовноїоптимізації
Додаток В
/>
Оптимальний розподіл інвестицій