Содержание
Введение……………………………………………………….............…………..2
1. Модификациямодели М. Калецкого, описывающей динамику капитала....5
2. Пример1………………………………………………………………….........10
3. Пример2………………………………………………………………….........12
Выводы……………………………………………………………………...........15
Переченьссылок………………………………………………………................16
Введение
В работе приведена модель динамики капитала, предложеннаявыдающимся польским ученым Михаилом Калецким. Эта модель модифицирована сучетом распределенных опозданий во время реализации инвестиций. Получено интегро-дифференциальноеуравнение для описания динамики капитала, выполнен экономико — математичнийанализ выявленных циклических изменений в нагромождении капитала и инвестиций.
Мировой финансово-экономический кризис вызвалнеобходимость в разработке новых экономических концепций и развитии ужепризнанных трактовок особенностей современного капитализма. Отечественная наукапризвана активно включиться в эту работу также ввиду низкой эффективностирыночных преобразований, реализованных на основе монетаризма, в абсолютнойуверенности, что англосакский путь экономической эволюции есть неоспоримыйэталон. Как известно, выполняя рекомендации западных институтов, наширеформаторы существенно ослабили роль государства в экономике. Предполагалось,что стремительно появившийся вследствие всеобъемлющей приватизации класспредпринимателей немедленно возьмет на себя заботу о народном благе иосуществит долгожданное «национальное экономическое чудо». Какизвестно, ожидания не оправдались. Вполне очевидны различия в практическихустановках «новых украинцев» и западных предпринимателей: ведьмировоззрение последних сформировалось на базе прочных либеральныхдемократических традиций и глубокого понимания социальной ответственностибизнеса перед обществом. Сегодня как никогда остро Украина нуждается вэффективной государственной политике, ориентированной на устойчивыйэкономический рост, который обеспечит достижение европейских стандартовкачества жизни граждан. В этом убеждают как рецессионные явления в хозяйстве,так и возможные новые угрозы во многих сферах хозяйствования. Такая политикадолжна опираться на точный прогноз направлений поступательного развития,исходящий из научных исследований динамики капитала.
Тезис о неразрывной связи политики и экономики ненуждается в доказательствах. Для принятия обоснованных долгосрочныхполитических решений по управлению государством следует использовать ужеапробированные инвестиционные теории. В этой связи, по нашему мнению,заслуживают самого пристального внимания теоретические идеи и экономико-математическиемодели выдающегося польского ученого Михаила Калецкого (1899—1970). Еслипринять во внимание, что Дж Кейнс и М. Калецкий, оттолкнувшись от диаметральнопротивоположных точек зрения, в анализе реальных экономических процессов пришлик весьма близким выводам, то есть основания говорить о приложимости этихконцепций, соответствующим образом модифицированных, к отечественным условиям.Попутно заметим, что, по мнению Дж Робинсон, М. Калецкий даже лучше, чем ДжКейнс, изучил такие аспекты, как несовершенная конкуренция и эффективный спрос.
Идеи М. Калецкого можно с успехом использовать дляразработки стратегии развития государства, направленной на достижениемаксимальной занятости трудоспособного населения путем выбора самогорационального варианта инвестиционных программ и планов, нацеленных насбалансированный рост валового продукта и благосостояния.
Многие специалисты вполне заслуженно считают М. Калецкогоодним из главных создателей теории, которая получила имя Дж Кейнса. В традицияхклассиков политэкономии польский ученый развил марксистские начала вэкономических реалиях середины XX ст. и фактически предвосхитил главные идеикейнсианства. В академических кругах Запада, особенно в Англии, его наследиеполучило широкое признание. В Советском Союзе труды М. Калецкого были известныменьше (правда, в год смерти ученого вышла его книга о теории ростасоциалистической экономики). В современных российских и украинских учебниках поэкономической теории его имя упоминается крайне редко. Исключением являются уженазванное учебное пособие и две статьи, где содержится полное жизнеописание М.Калецкого и дана надлежащая оценка его научным достижениям, а между тембиблиография ученого насчитывает свыше 550 публикаций.
Цель настоящей работы — раскрыть определяющую роль инвестицийв накоплении капитала. Для этого подробно рассмотрен первоначальный вариантразработанной М. Калецким динамической модели, представленный в книге Р.Аллена.
1. Модификация модели М. Калецкого, описывающей динамикукапитала
Следуя Р. Аллену и сохраняя его терминологию, мы принялидопущение о том, что условием действия модели служит известное разложение величиныобъема выпуска продукции через «доход» Y на потребление С, накоплениеI и независимые расходы G.
Y=C + I + G, (1)
где С=cY(c — предельная склонность к потреблению) и G — заданные величины. Доход определяется взаимодействием капиталовложений и статистическогомультипликатора без запаздываний, то есть планируемые затраты полностьюсовпадают во времени с реальными инвестициями:
/> (2)
Величина I(t) есть не что иное, как фактические чистыезатраты на капиталовложения; как правило, она имеет денежное выражение.
Ключевой переменной с позиции капиталовложений являетсявеличина B(t), определяющая программу инвестирования в момент времени t. М.Калецкий высказывает предположение, что в соответствии с решениями обинвестировании (по существу, с формированием портфеля заказов на капитальноеоборудование) через планируемый интервал времени Q реализуются поставки ипроизводятся финансовые расчеты в течение периода производства и ввода вэксплуатацию необходимого оборудования.
Обозначим через K(t) величину основного капитала в моментвремени t и допустим, что скорость поставок нового оборудования являетсяпроизводной по времени величины капитала, то есть составит dK/dt. Тезис о том,что капиталовложения запаздывают, приводит к следующим уравнениям связи:
I(t) = /> (3)
/> (4)
Уравнения (3) и (4) отражают важную идею М. Калецкого осущественных различиях между плановыми инвестиционными проектами B(t) ифактически реализованными инвестициями I(t). Заметим, что в уравнениях (3) и(4) присутствует величина единственного фиксированного значения временногозапаздывания Q, и это, на наш взгляд, весьма упрощает механизмы планирования иреализации инвестиционных программ.
Мы предлагаем, в отличие от М. Калецкого, рассмотретьвзаимосвязи между капиталом K, решениями об инвестициях В и фактическими капиталовложениямиI с использованием распределенных запаздываний. Формулы (3) и (4) получатследующий вид:
I(t) = /> (5)
K(t) = K0+/> (6)
где К0- значение величины капитала в момент времени t=0; φ(t,τ) — ядро интегрального преобразования (5), имеющее смысл«экономической памяти» о всех прошлых значениях планируемыхинвестиций на интервале времени τ />[1, t]; ψ(t,τ) — ядро интегрального преобразования (6), интерпретируемое как реакция капитала намгновенный скачок реальных инвестиций.
Часто в экономической теории, пренебрегая амортизациейкапитала, полагают ψ(t, τ)=1. В таком случае уравнение (6)равносильно с начальным условием K(t = 0) = К0 дифференциальному уравнению
/> (7)
Далее рассматриваются предпосылки, на основании которыхформируется структура плановых инвестиций B(t). Здесь мы солидарны с М. Калецкими Р. Алленом и утверждаем, что
B=aS-βK+ε, (8)
где S=(1—c)Y— сбережения, влияющие на В в прямомнаправлении; α, β— положительные константы; ε— слагаемое,отражающее автономную тенденцию планирования инвестиций.
Не нарушая единства, положим ε=const. Кроме того,отметим, что положительность коэффициента β характеризует в формуле (8)отрицательную корреляцию между величинами В и К. При этом β имеетразмерность, обратную единице времени, а является безразмерной величиной.
Используя формулу (2), исключим из (8) зависимость отуровня дохода Y:
В=а1-βк+ε. (9)
Таким образом, уравнения (5), (7), (9) определяютфункциональную взаимосвязь между переменными K(t), B(t), I(t). В данном случаенаиболее просто вывести интегро-дифференциальное уравнение для динамики капитала:
/> (10)
Интегро-дифференциальное уравнение (10) вместе сначальным условием К(t=0)=К0 целиком описывает эволюцию капитала в даннойэкономической системе. Сложность исследования поведенческих свойств уравнения(10) во многом определяется явным видом ядра — функции φ (t, τ).
Рассмотрим случай, когда оно является вырожденным, тоесть
φ (t, τ) = ξ(t)η(τ).
При такой структуре функции φ (t, τ) базовоеинтегро-дифференциальное уравнение (10) путем дифференцирования по времени спомощью несложных преобразований получает вид обыкновенного дифференциальногоуравнения второго порядка. Для простоты примем, что G — постоянное число, тогдавеличина А=/> также является постоянной.
Целесообразно ввести в рассмотрение переменную x(t) =K(t) — А, имеющую смысл отклонения величины капитала от некоего характерногопостоянного значения А. В такой ситуации уравнение (10) примет следующую форму:
/>=/>dτ(11)
Отдифференцировав (11) по независимой переменной t ивыполнив необходимые тождественные преобразования, получим искомое обыкновенноедифференциальное уравнение второго порядка по переменной X(t):
/> (12)
где
ρ(t) = />
q(t)=βξ(t)η(t)
с ненулевыми начальными условиями;
X(0)=K0 – A,/> (13)
Дифференциальное уравнение (12) занимает особое место вобщей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, и совершенно невозможнодать исчерпывающий обзор свойств решения этого уравнения.
По поводу дифференциального уравнения (12) известныйамериканский математик Р. Беллман утверждал, что значение уравнений указанноговида в физике трудно переоценить. Существует много исследований, связанных сданным уравнением. С математической точки зрения оно представляет собойпостоянный вызов искусству аналитика: надо получать всевозможные свойства решенийэтого уравнения, не пользуясь такой роскошью, как явное представление последнихчерез коэффициенты р и q.
Из-за многообразия возможных случаев и вытекающей отсюдатрудности объединения их в общей теории мы ограничимся рассмотрением некоторыхчастных примеров, которые, кроме того что представляют экономико-математическийинтерес, иллюстрируют применение разработанных основных методов к исследованиюзадач экономической динамики.