Задание 1
Раскрыть сущность экономико-математической модели. Привестиклассификацию экономико-математических моделей; дать понятиеэкономико-математического моделирования и рассмотреть его этапы.
С понятием «моделирование экономических систем» (а такжематематических и др.) связаны два класса задач:
задачи анализа, когда система подвергается глубокому изучению еесвойств, структуры и параметров, то есть исследуется предметная областьбудущего моделирования.
Задачи, связанные с задачами синтеза (получения ЭММ данной системы).
Модель – изображение, представление объекта, системы,процесса в некоторой форме, отличной от реального существования.
Различают физическое и математическое моделирование.
Классификация моделей:
— вещественные
— символьные
— словесно-описательные
1. математические
2. аналитические
· имитационные
· структурные
= формальные
= функциональные
Этапы практического моделирования
1. Анализ экономической системы, ее идентификация и определение достаточнойструктуры для моделирования.
2. Синтез и построение модели с учетом ее особенностей и математическойспецификации.
3. Верификация модели и уточнение ее параметров
4. Уточнение всех параметров системы и соответствие параметров модели, ихнеобходимая валидация (исправление, корректирование).
Задание 3
В качестве примера построим модель оптимального размещения активовдля некоторого гипотетического банка, работающего более двух лет, баланскоторого приводится в таблицах ниже.
Пассив балансаНаименование статей баланса Сумма, млн. руб. Риск одновременного снятия, % Средства банков на корреспондентских счетах 5,1 25 Кредиты и депозиты банков (включая НБ РБ)
Кредитные ресурсы, полученные от других банков,
депозиты других банков до востребования 2,8 55
Кредитные ресурсы, полученные от других банков,
и депозиты других банков с договорными сроками 3,4 Средства клиентов
Остатки на текущих (расчетных) счетах юридических и
физических лиц 196 25 Вклады (депозиты) юридических и физических лиц: до востребования 5,8 25 с договорными сроками 85 Прочие пассивы 7,6 Итого пассивов 305,7 Собственный капитал банка 68
Актив балансаНаименование статей баланса Сумма, млн. руб. Доход-ность, % Степень риска, % Ликвид-ность, % Касса и приравненные к ней средства
х1 100 Средства на корреспондентских счетах в банках Средства в НБ РБ
х2 100 Средства в банках стран – членов ОЭСР до востребования
х3 5 30 75
Средства в банках стран, не являющихся членами ОЭСР,
до востребования
х4 7 65 55 Обязательные резервы в НБРБ 33,5 Кредиты и депозиты банкам
Кредиты банкам-резидентам РБ под обеспечение
государственных ценных бумаг РБ в бел. руб.
х5 32 100 Депозиты в банках-резидентах РБ под гарантии НБ РБ
х6 25 100 Кредиты юридическим и физическим лицам:
обеспеченные залогом ценных бумаг, эмитированных
юридическими лицами
х7 38 100 обеспеченные гарантийными депозитами в бел. руб. и СКВ
х8 33 обеспеченные залогом имущества
х9 39 100 обеспеченные гарантиями и поручительствами юридических лиц
х10 34 100 Государственные ценные бумаги РБ, номинированные в бел. руб.
х11 25 100 Основные средства и нематериальные активы 12,4 100
Запишем целевую функцию, в данной модели представляющую процентныйдоход банка от размещения активов, который следует максимизировать:
f(x)= 0,05х3 + 0,07х4 + 0,32х5 + 0,25х6 + 0,38х7 + 0,33х8 + 0,39х9 +
+ 0,34х10 + 0,25х11→max
Первое ограничение следует из условия баланса: сумма активных статейбаланса должна быть равна сумме пассивных его статей + собственный капитал
х1 + х2 + х3 + х4 + 33,5 + х5 + х6 + х7 + х8 + х9 + х10 + х11 + 12,4 = 373,7
Второе ограничение следует из норматива по достаточности капитала,при этом предположим, что R = 0
/>
Третье ограничение следует из норматива мгновенной ликвидности,которое представляет собой отношение балансовых сумм активов и пассивов довостребования и с просроченными сроками:
/>
Четвертое ограничение следует из норматива краткосрочнойликвидности, которое представляет соотношение фактической и требуемойликвидности:
/>
Пятое ограничение запишем исходя из минимально допустимого значениясоотношения ликвидных и суммарных активов баланса:
/>
Шестое ограничение следует из ограниченности совокупной суммыкрупных рисков.
Пусть х5≥0,1×68 и х6≥0,1×68,тогда
х5 + х6≤6×68
Седьмое ограничение следует из ограниченности средств, размещенных вбанках стран — не членов ОЭСР
х4≤68
Далее запишем ограничения, вытекающие из норматива максимальногоразмера риска на одного клиента, считая для простоты, что одна статья балансасоответствует одному клиенту:
х3≤0,25×68;х4≤0,25×68; х5≤0,25×68;
х6≤0,25×68; х7≤0,25×68; х8≤0,25×68;
х9≤0,25×68; х10≤0,25×68
/>В завершение напишем условиенеотрицательности:
хj ≥ 0, j = 1,11/>
Таким образом, все вышеперечисленные ограничения представляют собоймодель оптимального распределения активов банка с рассмотренным выше балансом.
Задание 4
Построить уравнение регрессии, описывающее зависимость прибыли банка(у) от объема межбанковских кредитов и депозитов (х), оценить ее качество истепень зависимости. С помощью построенной регрессии прогнозировать, какойбудет средняя прибыль банка при достижении объема межбанковских кредитов и депозитоввеличины 53 млн. руб.№ банка 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Кредиты и депозиты 18 23 28 29 34 36 37 42 44 45 49 50 Прибыль 12 17 15 25 20 32 25 35 30 40 41 45
Решение
Информацию, представленную в исходных данных представим графически:
/>
Из диаграммы рассеяния видно, что зависимость между прибылью банка иобъемом межбанковских кредитов и депозитов носит линейный характер. Кроме того,исследуется зависимость прибыли банка только от одногофактора — объема межбанковских кредитов и депозитов, поэтомурегрессию будем строить в виде
у = а + bх
т.е. это будет простая линейная регрессия. Для расчета ее параметроввоспользуемся известными формулами:
/>
Для этого в рабочей таблице рассчитаем нужные суммы:i
xi
yi
xiyi
xi2
yi2 1 18 12 216 324 144 2 23 17 391 529 289 3 28 15 420 784 225 4 29 25 725 841 625 5 34 20 680 1156 400 6 36 32 1152 1296 1024 7 37 25 925 1369 625 8 42 35 1470 1764 1225 9 44 30 1320 1936 900 10 45 40 1800 2025 1600 11 49 41 2009 2401 1681 12 50 45 2250 2500 2025 ∑ 435 337 13358 16925 10763
Подставим результаты, полученные в таблице в формулы:
/>
/>
Таким образом, уравнение регрессии, описывающее зависимость междуприбылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов, имеет вид:
у = –7,71 + 0,987х
Оценим качество построенной регрессии. Для этого рассчитаемкоэффициент детерминации, используя формулу:
/>
Значение коэффициента детерминации достаточно близко к единице,поэтому качество построенной регрессии хорошее. Можно утверждать, что изменениеприбыли банка на 86,8% зависит от изменения межбанковских кредитов и депозитов,и на 13,2% – от прочих факторов.
Степень зависимости между исследуемыми показателями оценивается наосновании коэффициента корреляции:
/>
Коэффициент корреляции близок к единице, поэтому имеем достаточносильную линейную зависимость между прибылью банка и объемом межбанковскихкредитов и депозитов.
Так как качество построенной регрессии хорошее, ее можноиспользовать для прогнозирования. Подставим прогнозное значение хпр = 53в построенное уравнение регрессии:
упр = –7,71 + 0,987×53 = 44,623(млн. руб.)
Таким образом, если объем межбанковских кредитов и депозитовдостигнет 53 млн. руб., то средняя прибыль коммерческого банка составит 44 млн.623 тыс. руб.
Задание 5
За компаниями A, B и С проводились наблюдения в течение трехпериодов. Данные в процентах приводятся в таблице ниже. Оценить ожидаемуюдоходность и риск каждой акции, на основании этих оценок дать сравнительнуюхарактеристику. Рассчитать ковариации доходностей акций друг с другом. Датьопределение эффективного портфеля ценных бумаг и построить модели, позволяющиеопределить структуру эффективных портфелей.Период наблюдения Доходность компании А Доходность компании В Доходность компании С 1 27 25 22 2 30 20 18 3 33 26 16
Решение
Оценим ожидаемую доходность каждой акции:
/>
Оценим риск каждой акции, который выражается вариацией:
/>
Из приведенных расчетов следует, что самыми привлекательными дляинвестора ценными бумагами являются акции компании А, так как они имеют самуювысокую ожидаемую доходность и наименьший риск. Если же сравнить между собойкомпании В и С, то акции компании В имеют несколько большую ожидаемуюдоходность, но и больший риск, поэтому выбор зависит от отношения инвестора криску.
Рассчитаем ковариации доходностей акций друг с другом:
/>
/>
/>
Из расчетов видно, что ковариация доходностей компаний А и Сотрицательна, т.е. зависимость между доходностями акций этих компаний обратная,под воздействием одних и тех же факторов доходности меняются в разныхнаправлениях. Ковариации доходностей акций компаний А и В, В и С положительные,что свидетельствует о прямой зависимости между доходностями акций этихкомпаний, под воздействием одних и тех же факторов доходности меняются в одномнаправлении.
Дадим определение эффективного портфеля. Портфель, имеющийминимальный риск при заданном уровне ожидаемой доходности или максимальнуюожидаемую доходность при заданном уровне риска, называется эффективным.
пусть хА, хВ, хС — доликапитала инвестора, вложенные в акции компаний А, В, С соответственно. Суммадолей равна единице, т.е.:
хА + хВ+ хС = 1
Так как риск портфеля, составленного из акций компаний А, В и С,выражается формулой:
/>
а ожидаемая доходность этого же портфеля выражается формулой
/>
/>то, подставляя рассчитанные значения вариаций, ковариаций, получаеммодели, определяющие структуру эффективных портфелей:
/>
/>
хА + хВ + хС = 1
/>/>
/>
хА + хВ + хС = 1
Задание 6
Руководство одного из банков решило разместить ресурсы в операциях спроцентным арбитражем с целью получения прибыли от разницы процентных ставок наразличных кредитных рынках с учетом изменения валютных курсов. Для проведенияопераций с процентным арбитражем на домашнем кредитном рынке было приобретено500000 рос. руб. под 7,5% годовых на месяц. На момент начала операции наиболеепривлекательными для банка оказались кредитный рынок США и еврорынок.Процентная ставка по вкладам на месяц на кредитном рынке США равнялась 7,75%годовых, а на еврорынке по вкладам в евро на месяц 7,7% годовых. Соотношениекурсов валют было следующее: RUR/€ = 37,7 руб., RUR/$ = 27,8 руб. Через месяц на момент окончания операциипрогнозируются следующие курсы валют: с вероятностью 0,4 RUR/€= 36,3 руб., RUR/$ = 28,2 руб., с вероятностью 0,6 RUR/€ = 38,2 руб., RUR/$ = 26,6 руб.Определить наилучшую стратегию размещения ресурсов сроком на один месяц,используя критерии Вальда, Гурвица и Байеса.
Решение
В данной задаче выделяются 2 игрока: руководство банка, принимающеерешения, и природа — рынок валют. Предположим, что руководство банкаопределило для себя три стратегии:
А1 — разместить 500000 руб. на еврорынке;
А2— разместить 500000 руб. на рынке США;
А3— разместить 250000 руб. на рынке США и 250000руб. на еврорынке.
У природы будут две стратегии, соответствующие двум прогнозамкурсов. Для определения наилучшей стратегии построим платежную матрицу. Ееразмерность будет 3×2 в соответствии с количеством стратегий.
Элементы платежной матрицы будут равны прибыли, которую получит банкв каждой из возможных ситуаций.
Рассчитаем элемент платежной матрицы а 11:
1. Конвертируем валюту:
500000/37,7 = 13262,6 €
2. Вкладываем получившуюся в валюте сумму на соответствующем рынкена месяц:
13262,6×(1+0,077/12) = 13347,7 €
3. Конвертируем полученную сумму в рубли соответственно стратегииприроды:
13347,7×36,3 = 484,521 руб.
4. Рассчитаем сумму, которую нужно вернуть через месяц на домашнемрынке:
500000×(1+0,075/12) = 503125 руб.
5. Находим чистый доход от операции
484521,6 – 503125 = –18603,4 руб.
Аналогично рассчитываются все остальные элементы платежной матрицы.В результате расчетов она принимает вид: П1 П2 A1 -18603,45 6757,18 A2 7344,87 -21617,96 A3 5629,29 7430,39
Для выбора лучшей стратегии воспользуемся следующими критериями:
1. КритерийВальда — критерий крайнего пессимизма. Наилучшая, по Вальду,стратегия — соответствующая наибольшему из наименьших выигрышей.Наилучшей, по Вальду, будет стратегия А3, т.е. разместив по 250000тыс. руб. на рынках США и Европы, банк получит прибыль не менее, чем на 5629,29руб.
2. КритерийСэвиджа — критерий минимального риска. Наилучшей, по Сэвиджу,считается стратегия, соответствующая наименьшему из наибольших рисков. Для ееопределения построим дополнительную матрицу R: П1 П2 A1 25948,32 673,20 A2 0,00 29048,34 A3 1715,59 0,00
Стратегия А3 соответствует минимальному из максимальныхрисков, т.е. наилучшей, по Сэвиджу будет вложение по 250000 руб. на обоихрынках.
3. КритерийГурвица — критерий пессимизма-оптимизма. Параметр γ в нашемслучае равен 0,4. Рассчитаем числа и выберем из них максимальное:
a1 = 0,4×(-18603,45) + 0,6×6757,18 = -3387,07
a2 = 0,4× (-21617,96) + 0,6×7344,87 = -4240,26
a3 = 0,4×5629,29 + 0,6×7430,39 = 6709,95
Таким образом при γ = 0,4, если руководство банка настроенооптимистично оно принимает решение вложить по 250000 руб. на обоих рынках.
4.Критерий Байеса — используется тогда, когда известнывероятности состояний природы. Такая ситуация называется ситуацией риска.Наилучшей, по Байесу, стратегией считается соответствующая наибольшемуожидаемому выигрышу. Рассчитаем а1, а2, а3:
a1 = 0,4×(-18603,45) + 0,6× 6757,18 = -3387,07
a2 = 0,4×7344,87 + 0,6× (-21617,96) = -10032,82
a3 = 0,4×5629,29 + 0,6×7430,39 = 6709,95
Наилучшей, по Байесу, стратегией будет стратегия А3.
Задание 7
Компания рассматривает строительство филиалов в четырех местах,соответственно имеются четыре проекта, продолжительностью 5 лет. Первоначальныеинвестиции и доходы по годам приведены в таблице исходных данных.Инвестиционные возможности компании ограничены. В силу определенных соображенийсумма расстояний от компании до филиалов не должна превышать 450 км. Из-за ограниченности фонда заработной платы общее число работников филиала на должнопревышать 450 человек. Совместное строительство филиалов не допускается, таккак они располагаются достаточно близко друг к другу.
Построить модель оптимального распределения инвестиций по проектам,в качестве критерия оптимальности использовать сумму NPV проектов. Ставкадисконта равна 15%.Номер проекта
I0 Доходы по годам первый второй третий четвертый пятый первый 1250 -200 600 1200 1300 1400 второй 1300 100 830 700 570 720 третий 1400 500 250 400 320 710 четвертый 2200 -330 1000 1150 1600 1800
Решение
Для расчета NPV будем использовать следующую формулу:
/> i = 1,2,3,4
Отсюда:
NPV1 = 1258,12
NPV2 = 558,68
NPV3 = 22,78
NPV4 = 835,05
Введем переменные. Пусть хi, i = 1,2,3,4 характеризуетi-й проект и может принимать только 2 значения — 0 или 1. Если хi= 0, это значит, что i-й проект не следует инвестировать. Если хi =1, то i-й проект следует инвестировать.
Используя введенные переменные запишем целевую функцию:
NPV = 1258,12х1 + 558,68х2+ 22,78х3 + 835,05х4
Теперь запишем ограничения, которые вытекают из условий задачи.
Первое ограничение следует из ограниченности инвестиционныхвозможностей компании:
1250х1 + 1300х2 + 1400х3 + 2200х4≤5600
Второе ограничение следует из того, что в первом году некоторыепроекты еще не требуют инвестиций, которые должны быть покрыты доходами отдругих проектов:
-200х1 + 100х2 + 500х3 — 300х4≥0
Далее запишем ограничение, вытекающее из ограниченности суммырасстояний:
100х1 + 90х2 + 120х3 + 160х4≤450
Аналогично запишем ограничение, которое следует из того, что общееколичество работников филиалов ограничено:
100х1 + 120х2 + 120х3 + 150х4≤450
Наконец, запишем условие того, что второй и третий филиалыодновременно строить нельзя:
х2 + х3 ≤1
/>Модель оптимального распределения инвестиций по проектам состоит вмаксимизации целевой функции при ограничениях, т.е.
NPV = 1258,12х1 + 558,68х2+ 22,78х3 + 835,05х4 (max)
1250х1 + 1300х2 + 1400х3 + 2200х4≤5600
-200х1 + 100х2 + 500х3 — 300х4≥0
100х1 + 90х2 + 120х3 + 160х4≤450
100х1 + 120х2 + 120х3 + 150х4≤450
х2 + х3 ≤1
/>0, если i-й проект неинвестировать
xi =
1, если i-й проект инвестировать, i=1,2,3,4