Зміст
Вступ…………………………………………………………………………....….2
Розділ 1.Теоретичні відомості про визначний інтеграл……..............................5
1.1 Задачі,що привели до поняття визначеного інтеграла…………………......5
1.2 Означеннявизначеного інтеграла та його зміст………………………….....7
1.3 Основнівластивості визначеного інтеграла……………….……………......9
1.4 Зв'язокміж визначеним та невизначеним інтегралами…………………...10
Розділ 2.Практичне застосування визначеного інтегралу в економіці….......18
Висновок…………………………………………………………………….........33
Списоквикористаної літератури…………………………………......................34
Вступ
Інтеграл — одне з найважливіших понять математики, що виникло у зв'язку з потребою, зоднієї сторони відшукувати функції по їхніх похідних (наприклад, знаходитифункцію, що виражає шлях, пройдений точкою, що рухається, по швидкості цієїточки), а з іншого боку — вимірювати площі, обсяги, довжини дуг, роботу сил запевний проміжок часу й т.п.
Символ інтегралууведений Лейбніцем. Цей знак є зміною латинської букви S (першої букви словасума). Саме слово інтеграл придумав Я. Бернуллі. Імовірно, воно походить відлатинського іntegero, що переводиться як приводити в колишній стан,відновлювати. Можливе походження слова інтеграл інше: слово іnteger означаєцілий.
Виникненнязавдань інтегрального вирахування пов'язане зі знаходженням площ й обсягів. Рядзавдань такого роду був вирішений математиками древньої Греції. Античнаматематика внесла ідеї інтегрального вирахування в значно більшому ступені, чимдиференціального вирахування. Більшу роль при рішенні таких завдань грав вичерпнийметод, створений Евдоксом Книдським і широко застосовувався Архімедом.
ОднакАрхімед не виділив загального змісту інтеграційних прийомів і понять проінтеграл, а тим більше не створив алгоритму інтегрального вирахування. УченіСереднього й Близького Сходу в ІX-XV ст. вивчали й переводили праці Архімеда назагальнодоступну у їхньому середовищі арабську мову, але істотно новихрезультатів в інтегральному вирахуванні вони не одержали [2].
Діяльністьєвропейських учених у цей час була ще більш скромною. Лише в XVІ й XVІІстоліттях розвиток природничих наук поставило перед математикою Європи ряднових завдань, зокрема завдання на знаходження квадратур (завдання наобчислення площ фігур), кубатур (завдання на обчислення обсягів тіл) івизначення центрів ваги.
ПраціАрхімеда, уперше видані в 1544 р. (на латинській і грецькій мовах), сталипривертати широку увагу, і їхнє вивчення з'явилося одним з найважливішихвідправних пунктів розвитку інтегрального вирахування. Архімед передбачивбагато ідей інтегрального вирахування. Але треба було більше півтори тисячроків, перш ніж ці ідеї знайшли чітке вираження й були доведені до рівнявирахування .
Математики17 ст., що одержали багато нових результатів, училися на працях Архімеда.Активно застосовувався й інший метод — метод неподільних, котрий такожзародився в Древній Греції. Наприклад, криволінійну трапецію вони уявляли собіскладеної з вертикальних відрізків довжиною f(x), яким проте приписували площа,рівну нескінченно малій величині f(x)dx. Відповідно до такого розуміння шуканаплоща вважалася рівній сумі S = нескінченно великого числа нескінченно малихплощ. Іноді навіть підкреслювалося, що окремі доданки в цій сумі — нулі, аленулі особливого роду, які складені в нескінченному числі, дають цілкомпозитивну суму.
На такийгаданій тепер щонайменше сумнівній основі І. Кеплер (1571 — 1630) у своїхтворах «Нова астрономія» (1609) і «Стереометрія виннихбочок» (1615) правильно обчислив ряд площ (наприклад площа фігури,обмеженої еліпсом) і обсягів (тіло різалося на нескінченно тонкі пластинки).
В 17 ст.були зроблені багато відкриттів, що ставляться до інтегрального вирахування.Так, П. Ферма вже в 1629 р. вирішив завдання квадратури будь-якій кривій, і націй основі вирішив ряд завдань на знаходження центрів ваги. І. Кеплер привисновку своїх знаменитих законів руху планет, фактично опирався на ідеюнаближеного інтегрування. І. Барроу (1603-1677), учитель Ньютона, близькопідійшов до розуміння зв'язку інтегрування й диференціювання. Велике значеннямали роботи з подання функції у вигляді статечних рядів [6].
Однак привсій значимості результатів, отриманих з 17 ст., вирахування ще не було.Необхідно було виділити загальні ідеї, що лежать в основі рішення багатьохприватних завдань, а також встановити зв'язок операцій диференціювання йінтегрування, що дає досить точний алгоритм. Це зробили Ньютон і Лейбніць, щовідкрили незалежно друг від друга факт, відомий вам за назвою формули Ньютона-Лейбніца. Тим самим остаточно оформився загальний метод. Стояло ще навчитисязнаходити первісні багатьох функцій, дати логічні основи нового вирахування йт.п. Але головне вже було зроблено: диференціальне й інтегральне вирахуваннястворене.
Методиматематичного аналізу активно розвивалися в наступному сторіччі (у першу чергуварто назвати імена Л. Ейлера, що завершило систематичне дослідженняінтегрування елементарних функцій, і І. Бернуллі).
Строгийвиклад теорії інтеграла з'явилося тільки в минулому столітті, Рішення цьогозавдання пов'язане з іменами О. Коші, одного з найбільших математиківнімецького вченого Б. Римана (1826-1866), французького математика Г. Дарбу(1842-1917).
Відповіді набагато питань, пов'язані з існуванням площ й обсягів фігур, були отримані зістворенням К. Жорданом (1826 -1922) теорії міри.
Різніузагальнення поняття інтеграла вже на початку 20 сторіччя були запропонованіфранцузькими математиками А. Лебегом (1875-1941) і А. Данжуа (1884-1974)радянським математиком А. Я. Хичиним (1894-1959).
Об’єктроботи – інтегральне вирахування. Предмет роботи – застосування інтегральноговирахування в економіці.
Задачіроботи: розглянути поняття визначеного інтегралу та його застосування векономіці.
Розділ 1.Теоретичні відомості про визначний інтеграл
1.1 Задачі,що привели до поняття визначеного інтеграла
Розглянемодві задачі — геометричну та фізичну.
1.Обчислення площі криволінійної трапеції. Нехай на відрізку [а, b] визначенанеперервна функція у = f (х) і будемо поки що вважати, що f (х)/>0 для усіх x є [а, А].
Фігуру,обмежену кривою у = f (х), відрізком [а, b] осі 0х, прямими х = а та х = b,називають криволінійною трапецією. В окремих випадках може f (а) = 0 або f (b)= 0 і тоді відповідна сторона трапеції стягується в точку.
Дляобчислення площі S цієї криволінійної трапеції поділимо відрізок [а,b]довільним чином на n частин точками
а = х0
/>
Довжини цихчастин
/>
Перпендикуляридо осі 0х, проведені із точок ділення до перетину із кривою у = f (х),розділяють усю площу трапеції на n вузьких криволінійних трапецій. Замінімокожну із цих трапецій прямокутника з основою />та висотою />, де />. Площа кожного такогопрямокутника дорівнює />
Сума площусіх таких прямокутників буде дорівнювати
/>
Таким чином,площа S криволінійної трапеції наближено дорівнює цій сумі, тобто
/>
Ця формулабуде тим точнішою, чим менше величина />.
Щоб одержатиточну формулу для обчислення площі S криволінійної трапеції, треба в ційформулі перейти до границі, коли /> Тоді
/>(1)
2.Обчислення шляху, який пройшла точка. Нехай потрібно визначити шлях S, якийпройшла матеріальна точка, що рухається в одному напрямі із змінною швидкістюV(t) за час від t0 до T [3].
Поділимопроміжок часу T-t0 на n частин: Δt1,Δt2,…,Δtn.
Позначимочерез /> довільниймомент часу із проміжку Δtk, а значення швидкості у цій точці позначимо
/>/>.
Точка, щорухається з постійною швидкістю Vk на проміжку часу Δtk, проходить за цейчас шлях /> аза час T — t0 вона пройде шлях
/>
Будемовважати, що шлях S, пройдений точкою, наближено дорівнює цій сумі. КолиΔtk→0, тоді змінна швидкість на проміжку Δtk мало відрізняєтьсявід постійної Vk. Тому дійсне значення шляху, пройденого точкою за час T — t0буде дорівнювати границі цієї суми при max Δtk→ 0, тобто
/>(2)
Доаналогічної суми зводиться задача про роботу змінної сили, що направлена попрямій лінії — траєкторії руху точки, до якої прикладена ця сила та іншізадачі.
1.2 Означеннявизначеного інтеграла та його зміст
Нехайфункція f (х) задана на відрізку [a, b]. Розіб'ємо цей відрізок на n частинточками ділення а = х0
У кожномупроміжку [xk-1, xk] довжиною
Δхk =хk- хk-1
оберемодовільну точку /> і обчислимо відповідне значенняфункції />.
Побудуємо суму/>якуназивають інтегральною сумою для функції f (х) на відрізку [а,b].
Означення 1.Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при />, незалежна від способу діленнявідрізка [а,b] на частини та добору точок />, то ця границя називаєтьсявизначеним інтегралом від функції f (х) на відрізку [а,b] і позначається />
Математичноце означення можна записати так:
/>(3)
Відмітимо,що числа а та b називають нижньою та верхньою межами, відповідно.
Згідно з цимозначенням рівності (1) та (2) тепер можна записати у вигляді
/> />(4)
тобто площакриволінійної трапеції S та шлях S, пройдений точкою із змінною швидкістю V = f(t) виражаються визначеним інтегралом. Перевірка існування скінченної границіінтегральної суми для кожної функції утруднена. Але такої перевірки робити нетреба тому, що використовують таку відому теорему [1].
Теорема 1.Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [а, b] або обмежена і має скінченнукількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує,тобто функція f (х) інтегрована на [a, b].
1.3 Основнівластивості визначеного інтеграла
Із означення(3) визначеного інтеграла та основних теорем про граниш випливають слідуючівластивості.
Постійниймножник можна виносити за знак визначеного інтеграла, тобто якщо А — стала, то
/>
Визначенийінтеграл від алгебраїчної суми скінченної кількості функцій дорівнює такійсамій алгебраїчній сумі інтегралів від кожного доданку, тобто
/>
Якщопоміняти місцями межи інтегрування, то визначений інтеграл змінює свій знак напротилежний, тобто
/>
Визначенийінтеграл з рівними межами дорівнює нулю, тобто
/>
длябудь-якої функції f (х).
Якщо f (х) />/>(х), х /> [а, b], то
/>
Якщо m та M— найбільше та найменше значення функції f (х) на відрізку [a,b], то
/>
/> де />
/> />
1.4 Зв'язокміж визначеним та невизначеним інтегралами
Означення 2.Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межеюназивають інтегралом із змінною верхньою межею.
Щоб матизвичне позначення, змінну верхню межу позначимо через х, а змінну інтегрування— t.
Одержимоінтеграл /> якийє функцієюх, тобто Ф(х) =/>
Теорема 2.Якщо f (х) неперервна функція, то похідна визначеного інтеграла від неперервноїфункції по змінній верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції дляцієї верхньої межі, тобто
/> (5)
Доведення.Надамо аргументу х приріст Δх, тоді функція Ф(х) одержить приріст, якийзгідно з властивістю 8 визначеного інтеграла можна записати у вигляді
/>
Доостаннього інтеграла застосуємо властивість 7, тоді
/> де />
Згідно зозначенням похідної маємо
/>
що й требабуло довести.
Теорема 3. Визначенийінтеграл від неперервної функції дорівнює різниці значень будь-якої їїпервісної для верхньої та нижньої меж інтегрування, тобто якщо F(x) є первіснафункції f (х), то має місце рівність ь
/> (6)
яканазивається формулою Ньютона-Лейбніца.
Доведення.Нехай F(x) деяка первісна функції f (х). За теоремою 2 /> також первісна для f (х). Але двіпервісні функції f (х) відрізняються лише на постійний доданок С. Тому
/> (7)
Ця рівність(7) при відповідному обранні С буде тотожністю, тобто має місце для усіх х.
Длявизначення С візьмемо у формулі (7) х = а. Тоді
/>
Отже,
/>
Якщо у ційрівності покласти х = b, то одержимо
/>
Змінюючизмінну інтегрування t на х, одержимо формулу (6), що й треба було довести.
Відмітимо,що різницю />позначаютьчасто так:
F(x)/>, тобто F(x)/>=/>
Тому формулуНьютона-Лейбніца (6) можна записати у вигляді
/>
Ця формулавказує не тільки на зв'язок визначеного інтеграла з невизначеним, але й спосібобчислення />.
Якщопроінтегрувати обидві частини рівності
d[u(x) ·v(x)] = v(x)du(x) + u(x)dv(x)
в межах віда до b, то одержимо
/>
Звідсиодержуємо важливу формулу інтегрування частинами визначеного інтеграла.
/>(8)
Приклад 2.Обчислити інтеграл />xcosxdx.
Розв'язування.Нехай u = x, dv = cosxdx, тоді знаходимо du = dx, /> (взята первісна без сталої С).Застосовуючи до заданого інтеграла формулу (8), одержимо
/>
Теорема 4.Нехай задано інтеграл />, де f (х) неперервна на відрізку[а,b]. Зробимо підстановку х = />(t), а/>t/>ß, де />(t) неперервнодиференційована функція на відрізку [/>,ß].
Якщо: призміні t від /> доß змінна х змінюється від а до b, тобто />(а)= а, />(ß) = b; складна функція f[/>(t)] визначенаі неперервна на відрізку [/>,ß], тоді має місце рівність
/> (9)
Доведення.Нехай F(x) деяка первісна для функції f (х), тобто F'(X) = f (х). Розглянемоскладну функцію F [/>(t)]. Застосовуючи правилодиференціювання складної функції, одержимо
/>
Це означає,що функція F[/>(t)] є первісною для функції />
Звідси, заформулою Ньютона-Лейбніца і рівностей />(/>) = a та />(ß) = b, одержуємо
/>
що й требабуло довести.
Приклад 3.Обчислити
/>.
Розв’язування.Нехай t = /> ,тоді t2 = 1 + х/>х = t2 — 1, dx= 2tdt. Знайдемомежі інтегрування, використовуючи рівність
/>
/> />
Отже,
/>
/>
Для деякихнеперервних надінтегральних функцій f (х) первісну не можна виразитиелементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла заформулою Ньютона-Лейбніца неможливе [4].
Крім того, упрактичній діяльності часто досить знати лише наближене значення визначеногоінтеграла і знаходити це наближене значення такими методами, які дозволяютьвикористовувати сучасну обчислювальну техніку.
Томуматематики багатьох країн розробляють ефективні методи наближеного обчисленнявизначеного інтеграла.
Найбільшчасто використовують три методи — метод прямокутників, метод трапецій та методпарабол (метод Сімпсона).
Якщовідрізок інтегрування [а,b] поділити на n рівних частин довжиною
/>
і позначитичерез /> середнюточку відрізку /> визначений інтеграл можнаобчислити за формулою
/>(10)
якуназивають формулою прямокутників. Чим більше буде n, тим менше буде крок
/>
і правачастина (10) буде давати більш точне значення інтеграла.
Якщоподілити відрізок інтегрування точками ділення
а = х0
на n рівнихчастин довжиною
/>
i позначитизначення функції в точках ділення f (хk), тоді визначений інтеграл можнаобчислити за формулою
/>(11)
якуназивають формулою трапецій. Легко бачити, що при зростанні n крок
/>
зменшується,тому значення інтеграла буде більш точним.
Якщовідрізок інтегрування [а,b] поділити на парну кількість рівних частин (тобто n= 2m) i позначити уk = f (xk), де xk = а + />х·k — точки ділення, k = 0, 1,..., 2m, тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою
/>(12)
якуназивають формулою Сімпсона. Ця формула дає більш точне значення визначеногоінтеграла тому, що для її доведення використовується метод парабол, за яким накожному відрізку [xk-1, xk] три значення функції f (х) входять до інтегральноїсуми.
Розділ 2.Практичне застосування визначеного інтегралу в економіці
Останнімчасом з'явилася велика кількість шкіл і класів, учні яких вибирають економічніспеціальності як своя подальшу діяльність. Як правило, учителя, що працюють утаких класах, дають учням більш глибокі знання по звичайних темах шкільногокурсу математики, найчастіше орієнтуючись на програми для шкіл і класів зпоглибленим вивчанням математики. Але при такій організації навчання практичноне розглядаються економічні додатки тієї або іншої теми, мало часу приділяєтьсязастосуванню математичного моделювання до рішення економічних завдань. Не євиключенням і тема, присвячена застосуванню певного інтеграла в інших областяхзнань.
Традиційнопрактичний додаток інтеграла ілюструється обчисленням площ різних фігур,знаходженням обсягів геометричних тіл і деяких додатків у фізиці й техніці.Однак роль інтеграла в моделюванні економічних процесів не розглядається.Найчастіше про економічні додатки інтеграла не йде мови й у класах економічногонапрямку. Разом з тим, інтегральне вирахування має багатий математичний апаратдля моделювання й дослідження процесів, що відбуваються в економіці [4].
Зупинимосяна декількох прикладах використання інтегрального вирахування в економіці.Почнемо із широко використовуваного в ринковій економіці поняття споживчого надлишку.Для цього введемо кілька економічних понять і позначень.
Попит наданий товар — сформована на певний момент часу залежність між ціною товару йобсягом його покупки. Попит на окремий товар графічно зображується у виглядікривої з негативним нахилом, що відбиває взаємозв'язок між ціною P одиниціцього товару й кількістю товару Q, що споживачі готові купити при кожнійзаданій ціні. Негативний нахил кривої попиту має очевидне пояснення: чимдорожче товар, тим менше кількість товару, що покупці готові купити, і навпаки.
Аналогічновизначається й інше ключове поняття економічної теорії — пропозиція товару:сформована на певний момент часу залежність між ціною товару й кількістютовару, пропонованого до продажу. Пропозиція окремого товару зображуєтьсяграфічно у вигляді кривої з позитивним нахилом, що відбиває взаємозв'язок міжціною одиниці цього товару P і кількістю товару Q, що споживачі готові продатипри кожній ціні.
Відзначимо,що економісти порахували зручним зображувати аргумент (ціну) по осі ординат, азалежна змінну (кількість товару) по осі абсцис. Тому графіки функцій попиту тапропозиції виглядають у такий спосіб (малюнок 1).
/>
І, нарешті,уведемо ще одне поняття, що грає більшу роль у моделюванні економічних процесів- ринкова рівновага. Стан рівноваги характеризують такі ціна й кількість, прияких обсяг попиту збігається з величиною пропозиції, а графічно ринковарівновага зображується точкою перетинання кривих попиту та пропозиції (малюнок2), E*(p*; q*) — точка рівноваги.
/>
Надалі длязручності аналізу ми будемо розглядати не залежність Q = f(P), а зворотніфункції попиту та пропозиції, що характеризують залежність P = f(Q), тодіаргумент і значення функції графічно будуть зображуватися звичним для насобразом.
Перейдемотепер до розгляду додатків інтегрального аналізу для визначення споживчогонадлишку. Для цього зобразимо на графіку зворотну функцію попиту P = f(Q).Допустимо, що ринкова рівновага встановилася в точці E*(q*; p*) (кривапропозиції на графіку відсутній для зручності подальшого аналізу, малюнок 3).
/>
Якщо покупецьздобуває товар у кількості Q* за рівноважною ціною P*, то очевидно, що загальнівитрати на покупку такого товару складуть P*Q*, що дорівнює площі заштрихованоїфігури A (малюнок 4).
/>
Алеприпустимо тепер, що товар у кількості Q* продається продавцями не відразу, анадходить на ринок невеликими партіями Q. Саме таке допущення разом ізприпущенням про безперервність функції попиту та пропозиції є основним привисновку формули для розрахунку споживчого надлишку. Відзначимо, що данедопущення цілком виправдане, тому що така схема реалізації товару доситьпоширена на практиці й випливає з мети продавця підтримувати ціну на товарякнайвище.
Тодіодержимо, що спочатку пропонується товар у кількості Q1=Q (малюнок 5), щопродається за ціною P1 = f(Q1). Тому що по припущенню величина Q мала, то можнавважати, що вся перша партія товару реалізується за ціною P1, при цьому витратипокупця на покупку такої кількості товару складуть P1 Q, що відповідає площізаштрихованого прямокутника S1 (малюнок 5).
/>
Далі наринок надходить друга партія товару в тім же кількості, що продається за ціною
P2 = f(Q2),
де
Q2 = Q1+Q
— загальнакількість реалізованої продукції, а витрати покупця на покупку другої партіїскладуть P2Q, що відповідає площі прямокутника S2.
Продовжимопроцес доти, поки не дійдемо до рівноважної кількості товару Q* = Qn. Тоді стаєясно, якою повинна бути величина Q для того, щоб процес продажу товарузакінчився в крапці Q*:
/>
У результатіодержимо, що ціна n-й партії товару Pn = f(Qn) = f(Q*) = P*, а витратиспоживачів на покупку цієї останньої партії товару складуть PnQ, або площапрямокутника Sn.
Таким чином,ми одержимо, що сумарні витрати споживачів при покупці товару дрібними партіямиQ рівні
Q/>
Тому щовеличина Q дуже мала, а функція f(Q) безперервна, тих містимо, що /> приблизно дорівнює площі фігури B (малюнок 6), що, як відомо, прималих збільшеннях аргументу Q дорівнює певному інтегралу від зворотної функціїпопиту при зміні аргументу від 0 до Q*, тобто в підсумку одержимо, що
/>
/>
Згадавши, щокожна точка на кривій попиту Pі = f(Qі) (і = 1, 2, ..., k) показує, яку сумуспоживач готовий заплатити за покупку додаткової одиниці продукту, одержимо, щоплоща фігури B відповідає загальній грошовій сумі, що споживач готовийвитратити на покупку Q* одиниць товару. Різниця між площею фігури B і площеюпрямокутника A є споживчий надлишок при покупці даного товару — перевищеннязагальної вартості, що споживач готовий сплатити за всі одиниці товару, надйого реальними витратами на їхнє придбання [4] (площа заштрихованої фігури намалюнку 7).
/>
Таким чином,споживчий надлишок можна порахувати по наступній формулі
/>
Далірозглянемо кілька завдань на визначення надлишку споживача.
Завдання 1.Відомо, що попит на деякий товар задається функцією p = 4 — q2, де q — кількість товару (у шт.), p — ціна одиниці товару, а рівновага на ринку даноготовару досягається при p* = q* = 1. Визначите споживчого надлишку
Рішення.
/>
Завдання 2.Відомо, що попит на деякий товар описується функцією
/>
а пропозиціяданого товару характеризується функцією q = 500 грн. Знайдіть величину надлишкуспоживача при покупці даного товару.
Рішення. Длярозрахунку надлишку споживача спочатку визначимо параметри ринкової рівноваги(p*; q*). Для цього вирішимо систему рівнянь/>
Таким чином,p* = 2, q* = 1000.
Запишемоформулу для обчислення споживчого надлишку (1), де f(q) — функція, зворотнафункції
/>
Звідси
/>
Завдання 3.Відомо, що попит на деякий товар задається функцією
/>
пропозиція –функцією
p = q + 11.
Визначитевеличину виграшу споживача при покупці даного товару.
Рішення.Виграш споживача є не що інше, як споживчий надлишок. Для того, щоб знайтийого, визначимо спочатку рівноважні значення кількості товару і його ціни,вирішивши для цього систему
/>
Вирішимоперше рівняння системи.
(q + 1)(q +11) = 231,
q2 + 12q –220 = 0,
(q + 22)(q –10) = 0.
Одержимо q*=10.Отже, p* = 10 + 11 = 21.
Тоді
/>
Подібнонадлишку споживача визначається й надлишок виробника. Не вдаючись у деталі,відзначимо, що надлишок виробника являє собою різницю між тією грошовою сумою,за якої він був би готовий продати Q* одиниць товару, і тією сумою, що вінреально одержує при продажі цієї кількості товару [3].
Графічно вінможе бути представлений площею фігури, обмеженої кривої пропозиції, віссю цін іпрямій, паралельній осі абсцис, що проходить через крапку ринкової рівноваги(малюнок 8).
/>
Очевидно, що
/> (2)
Розглянемо,як отримана формула може бути застосована при рішенні завдань.
Завдання 4.Відомо, що крива пропозиції деякого товару має вигляд p = 4q3 + 2, а рівновагана ринку даного товару досягається при обсязі продажів Q* = 3. Визначитедодаткову вигоду виробника при продажі такої кількості продукції.
Рішення.Спочатку з функції пропозиції знайдемо рівноважне значення ціни
P* = f(q*) =f(3) = 4*33 + 2 = 110.
Підставимоотримане значення у формулу (2)
/>
Мирозглянули, як визначаються надлишки споживача й виробника. Відзначимо, що сумацих двох надлишків — площа заштрихованої фігури на малюнку 9 — характеризуєзагальний ефект виробництва й споживання на розглянутому ринку.
/>
Однакабсолютні значення PS й CS становлять невеликий інтерес для економістів.Економістів більше хвилює відповідь на питання, як і на скільки змінитьсянадлишок споживача в результаті проведення того або іншого заходу державноїполітики, що робить вплив на рівновагу на ринку, зокрема, при встановленні податків,введенні субсидій і т.п.
Допустимо,наприклад, що товар обкладає податком у розмірі t на одиницю товару (такийподаток економісти називають потоварным податком), тоді його ціна збільшиться зP1 до P2.
P2 = P1 + t
Вплив даногоподатку на добробут споживача характеризує ситуація, представлена на малюнку10.
/>
Таким чином,одержуємо, що CS — зменшення добробуту споживача, оцінюване за допомогоюспоживчого надлишку, є різниця площ двох фігур, що відповідають CS1 й CS2, і заформою нагадує трапецію, площу якої, у свою чергу, дорівнює сумі площ фігур T1й T2, тобто CS =ST1 +ST2, ST1 де вимірює втрати надлишку споживача, викликанізбільшенням ціни одиниці товару на розмір податку й дорівнює t2, а ST1 вимірюєвтрати добробуту споживача, пов'язані зі зменшенням кількості споживаноготовару (Q2
/>
Таким чином,для випадку введення по товарного податку в розмірі t маємо
/>
У загальномуж випадку результат зміни споживчого надлишку внаслідок збільшення ціни натовар може бути записаний, наприклад, у наступному виді
/>
Розглянемоприклад оцінки наслідків введення по товарного податку.
Задача 5.Дана крива попиту
/>.
Які грошовівтрати споживача при введенні на даний товар податку з одиниці продажів урозмірі 1 грн., якщо відомо, що спочатку ринкова рівновага на даному ринкуспостерігалося при ціні P* = 2 грн.?
Рішення.Дане завдання можна вирішувати різними способами. Проаналізуємо основні з них.
1-й спосібзаснований на використанні формули (3) для обчислення CS.
Длявизначення споживчих втрат при збільшенні рівноважної ціни товару з 2 грн. до 3грн. подивимося, як при цьому міняється обсяг продажів. Якщо P1=2, то Q1=16,при P2=3 Q2=14.
Отже,
/>
2-й спосіб.Тому що в цьому випадку функція попиту линейна, те розглянуту ситуацію легкопредставити графічно (мал. 11).
Одержимо, що
/>
Незважаючина те, що другий спосіб простіше першого й не вимагає знань математичногоаналізу, проте учні повинні бути знайомі й із загальним методом знаходженнязміни споживчого надлишку за допомогою певного інтеграла, тому що часто функціїпопиту та пропозиції не лінійні й мають більше складний вид.
Розглянутийнами спосіб оцінки наслідків мер економічної політики широко застосовується напрактиці. Так, при підготовці податкових реформ економісти розраховують зміниспоживчих надлишків залежно від різних варіантів оподатковування й, аналізуючиотримані результати з урахуванням необхідного розміру податкових надходжень,зупиняються на тих варіантах, які викликають найменше скорочення споживчихвигід.
Дляілюстрації практичного використання даного аналізу розглянемо приклад, щоприводить у своїй роботі «Аналіз впливу податкових реформ на добробут звикористанням даних по домогосподарствах» сучасний англійський економіст М. Кінг,досліджуючи наслідку проведеної у Великобританії в 1983 р. реформиоподатковування житлових послуг.
Суть даноїреформи зводилася до скасування податкових знижок при сплаті податку напроживання для власників власних будинків з одночасним збільшенням орендноїплати за проживання в муніципальних будинках. Додаткові засоби, отримані врезультаті такого заходу, підлягали поверненню домогосподарствам у формібезоплатних соціальних виплат, пропорційних доходу домогосподарства [3].
Дослідившивитрати на житлові послуги по 5895 домогосподарствам, Кінг вивів функцію попитуна житлові послуги. У підсумку їм було встановлено, що дана податкова реформазробила б позитивний вплив на добробут 4888 з 5895 домогосподарств. Більшетого, він зміг точно ідентифікувати ті домогосподарства, які понесли бнайбільші втрати від такої реформи. Він виявив, що від реформи виграли б 94 %домогосподарств, що мають найвищі доходи, і лише 58 % осіб з найменшимидоходами. Отримані ним результати вплинули на концепцію розроблювальних реформ.У результаті зміни, що намічались, у реформуванні системи оподатковуванняжитлової сфери були кардинально переглянуті й змінені для більше повноївідповідності поставленим цілям.
Висновок
Важконазвати наукову область, у якій би не застосовувалися методи інтегральноговирахування, загалом, і властивості визначеного інтеграла, зокрема.
Такінтегральне вирахування може використовуватися в області фізики, геометрії,механіки, біології й економіки. Звичайно, це ще далеко не вичерпний списокнаук, які використають інтегральний метод для пошуку встановлюваної величинипри рішенні конкретного завдання, і встановленні теоретичних фактів.
Такожвизначений інтеграл використається для вивчення властиво самої математики.Наприклад, при рішенні диференціальних рівнянь, які у свою чергу вносять свійнезамінний внесок у рішення завдань практичного змісту.
Можнасказати, що визначений інтеграл — це деякий фундамент для вивчення математики.Звідси й важливість знання методів їхнього рішення.
В данійроботі була зроблена спроба огляду основних відомостей про визначений інтегралта його застосування в такій сфері суспільного життя як економіка.
Списоквикористаної літератури
1. Баврин И.И. Высшая математика – М.: Просвещение,1993. – 319.
2. Бермантт А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курсматематического анализа для вузов — М.: Наука, 1971. – 736 с.
3. Вэриан Х.Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень.Современный подход. – М., ЮНИТИ, 1997.
4. Колесников А.Н. Краткий курс математики дляэкономистов. – М., Инфра-М, 1998.
5. Математическая энциклопедия. Ред. Виноградова. Т.2.- М.: Советская энциклопедия, 1979.
6. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа.Т.1. — М.: Наука, 1968.