Двокроковийметод найменших квадратів
Нехай маємо таку модель:
функція доходу:
/> (1)
функція пропозиції грошей:
/> (2)
де /> – доход; /> – запас грошей; /> – інвестиційні витрати; /> – витрати уряду на товарита послуги.
Змінні /> та /> є екзогенними, /> та /> – ендогенними.
Рівняння доходу, яке ми розглядаємо, показує, що доходвизначається пропозицією грошей, інвестиційними витратами та витратами уряду.Рівняння пропозиції грошей показує, що запас грошей визначається відповідно дорівня доходів. Очевидно, що ми маємо симультативну модель.
Застосовуючи умову порядку для її ототожнення, бачимо, щорівняння доходу неототожнене, тоді як рівняння пропозиції грошей –переототожнене. Переототожнена функція пропозиції грошей не може бути оціненаза допомогою методу ННК, тому що ми отримаємо дві різні оцінки />.
Якщо застосувати метод найменших квадратів для оцінкиневідомих параметрів рівняння пропозиції грошей, то отримані оцінки будутьзміщеними через кореляцію між змінною /> тавипадковою величиною />. Припустимо, щоми знайшли змінну, близьку до змінної /> втому сенсі, що вона високо корелює з />, але не є корельованою з />. Така змінна називаєтьсядопоміжною змінною. Якщо її можна знайти, то МНК можна застосовувати для оцінкифункції грошової пропозиції. Але як отримати таку допоміжну змінну? Задопомогою методу двокрокових найменших квадратів. З назви видно, що методскладається з двох етапів.
1. Щоб позбавитись кореляції між /> і/>, побудуємо спочаткурегресійне рівняння залежності /> відусіх попередньо визначених змінних:
/> (3)
де et є помилками. Невідомі параметри рівняння (3) отримаємо за допомогою МНК:
/> (4)
Рівняння (3) є нічим іншим, як регресією скороченої форми,тому що в правій частині з'являються тільки екзогенні або попередньо визначенізмінні. Його ще можна записати у вигляді:
/> (5)
який показує, що змінна /> складаєтьсяз двох частин: /> – прогнозноївеличини та випадкової компоненти еt. Виходячи з класичних припущеньметоду найменших квадратів, /> та et – некорельовані між собою.
2. Рівняння пропозиції грошей можна записати таким чином:
/> (6)
де />.
Порівнюючи (6) з (2) бачимо, що зовні ці рівняння дужесхожі, єдина відмінність полягає в тому, що /> заміненона />. В чому полягає перевагарівняння у вигляді (6)? Хоча /> в початковому рівняннігрошової пропозиції корелює з відхиленням />,/> в (6) не корелюється з /> (у випадку, коли розмірмоделі зростає пропорційно). В результаті, МНК можна застосувати до (6), зякого можна знайти відповідні оцінки параметрів функції пропозиції грошей.
Для подальшої ілюстрації методу 2МНК видозмінимо модельдоходу та пропозиції грошей:
/> (7)
/> (8)
де додатково /> – доходу попередньому періоді; /> –пропозиція грошей у попередньому періоді (вважаємо, що /> та /> – попередньо визначені).Обидва рівняння (7) і (8) є переототожненими.Для того, щоб застосувати метод 2МНК, на першому етапі побудуємо регресійнумодель залежності ендогенних змінних від усіх попередньо визначених змінних:
/> (9), /> (10)
На другому етапі заміщуємо /> та/> в початкових (структурних)рівняннях їхніми оціненими значеннями з двох попередніх регресій:
/> (11)
/> (12)
де/>
Отримані таким чином оцінки будуть спроможними, тобто зрозміром вибірки наближатимуться до BLUE-оцінок.
Можна виділити такі особливості методу 2МНК.
1. Метод можна застосувати до окремого рівняння в системі безврахування інших. Отже, для економетричних моделей, що складаються з великоїкількості рівнянь, метод 2МНК є дуже економним, тому він широковикористовується на практиці.
2. На відміну від МНК, який дає декілька різних оцінокпараметра у переототожнених рівняннях, 2МНК дає лише одну оцінку параметра.
3. Для застосування методу потрібно знати тільки загальнукількість екзогенних або попередньо визначених змінних у системі.
4. Хоча метод 2МНК був спеціальнорозроблений для переототожнених рівнянь, його також можна застосовувати доточно ототожнених рівнянь. У цьому разі МНК та 2МНК дадуть ідентичні оцінки.
Задача№ 1
Утаблиці наведені статистичні дані для економічного показника /> та фактора />:
Рік
/>
/> 1987 30 18 1988 33 19 1989 38 21 1990 47 22 1991 54 24
/> – реальний валовий продукт, млн.грн.;
/> – кількість витрат на капітал, млн.грн.
/>; />; />; />.
Наоснові цих даних:
· побудуватидіаграму розсіювання;
· обчислитичислові характеристики показника і фактора: середні значення, дисперсії,середні квадратичні відхилення, кореляційний момент та коефіцієнт кореляції;
· записатирівняння лінійної регресії та знайти оцінки параметрів цього рівняння;
· побудуватилінію регресії;
· використовуючикритерій Фішера, з надійністю Р=0,95 оцінити адекватність прийнятоїеконометричної моделі статистичним даним;
· знадійністю Р=0,95 знайти надійні зони для параметрів регресії та розрахунковихзначень показника;
· длязаданого значення /> фактора /> обчислити прогнознезначення економічного показника /> тавизначити його інтервали довіри;
· знайтикоефіцієнти еластичності для базисних даних та для прогнозного значення;
· зробитиекономічний аналіз.
Рішення:
Складемо робочу таблицю:Рік
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 1987 30 18 -10,4 -2,8 29,12 108,16 7,84 28,9 1,1 1,15 2,55 1988 33 19 -7,4 -1,8 13,32 54,76 3,24 33,0 0,0 0,00 2,36 1989 38 21 -2,4 0,2 -0,48 5,76 0,04 41,2 -3,2 10,36 2,09 1990 47 22 6,6 1,2 7,92 43,56 1,44 45,3 1,7 2,84 1,99 1991 54 24 13,6 3,2 43,52 184,96 10,24 53,5 0,5 0,24 1,84
/> 202 104 93,4 397,2 22,8 202 14,59
Побудуємодіаграму розсіювання:
/>
Обчислимочислові характеристики показника і фактора:
Середнізначення
/>; />.
Дисперсії
/>;
/>.
Середньоквадратичнівідхилення
/>; />.
Кореляційниймомент (коваріація)
/>.
Коефіцієнткореляції
/>.
Висновок:коефіцієнт кореляції дорівнює 0,981, що свідчить про наявність дуже сильногопрямого зв’язку між кількістю витрат на капітал і реальним валовим продуктом.
Запишеморівняння лінійної регресії залежності реального валового продукту від кількостівитрат на капітал:
/>.
Точковіоцінки параметрів /> і /> одержимо, використовуючиметод найменших квадратів:
/>; />.
Одержиморівняння регресії, що визначає залежність показника /> відфактора />:
/>.
Обчислимозначення регресії:
/>.
Побудуємолінію регресії:
/>
Висновок:якщо витрати капіталу зростуть на 1 млн. грн., то за інших рівних умов реальнийваловий продукт збільшиться на 4,1 млн. грн.
Зробимооцінку статистичної якості одержаного рівняння регресії. Для цього обчислимовідхилення
/>.
Сумавідхилень дорівнює нулю, отже, розрахунок виконано правильно.
Вибірковадисперсія характеризує міру розсіювання значень показника /> біля значень регресії
/>.
Розрахуємокоефіцієнт детермінації:
/>.
Індекскореляції
/>.
Коефіцієнтдетермінації дорівнює 0,9633, отже, достовірно 96,33% дисперсії економічногопоказника />.
Оскількизначення /> близьке до 1, то можнавважати, що побудована економетрична модель адекватна даним спостереження і наїї основі можна проводити економічний аналіз.
Використовуючикритерій Фішера, з надійністю Р=0,95 оцінимо адекватність прийнятоїеконометричної моделі статистичним даним.
Розрахунковезначення F-статистики обчислимо за формулою:
/>.
Висновок:за статистичною таблицею F-розподілу Фішера для заданої довірчої ймовірності(надійності) /> і числа ступенів вільності
/> і />
знаходимокритичне значення F-статистики:
/>.
Оскільки/>, то з надійністю 0,95побудована економетрична модель адекватна даним спостережень.
Визначимонадійні зони для параметрів регресії:
/>; />.
Для /> і числа ступенів вільності/> знайдемо табличне значеннякритерію Стьюдента: />.
/> />
Визначимонадійні зони розрахункових значень показника за формулою
/>, де />.
Розрахунокнадійних зон представимо в таблиці:Рік
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1987 30 18 7,84 28,9 8,7 20,2 37,6 1988 33 19 3,24 33,0 8,1 24,9 41,2 1989 38 21 0,04 41,2 7,7 33,5 48,9 1990 47 22 1,44 45,3 7,9 37,4 53,2 1991 54 24 10,24 53,5 9,0 44,5 62,5
Прогнознізначення показника обчислимо за формулою
/>.
Визначимодовірчі межі прогнозних значень:
/>.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 15 33,64 16,6 11,5 5,2 28,1 3,693 10 116,64 -3,8 17,6 -21,5 13,8 -10,662 25 17,64 57,6 9,9 47,7 67,5 1,778 30 84,64 78,1 15,6 62,5 93,6 1,574
Знайдемокоефіцієнти еластичності за формулою:
/>.
Висновок:для прогнозного значення /> значеннякоефіцієнта еластичності /> дорівнює1,574, отже, при зміні значення фактора /> на1% показник змінюється на 1,574%.
Задача№ 2
Наоснові статистичних даних для економічного показника /> та факторів Х1, Х2побудувати рівняння багатофакторної лінійної регресії, оцінити загальну якістьотриманої лінійної регресії за допомогою коефіцієнта детермінації, обчислитичастинні коефіцієнти еластичності для базисних даних та дати економічнуінтерпретацію отриманих результатів.
Умовний час Попит на товар першої необхідності на одиницю населення, Y, кг Ціна, перерахована за індексом інфляції, X1, грн./кг Прибуток на одиницю населення з урахуванням індексу цін, X2, тис. грн. 1 55 2,2 3,5 2 62 2,1 3,7 3 50 2 2,9 4 30 2,6 2,1 5 33 1,9 1,8 6 41 1,2 1,6
Розв’язання:
Запишемолінійну функцію попиту:
/>.
Длявизначення />, /> і /> складемо нормальну системурівнянь у вигляді
/>
Всіобчислення представимо в таблиці:
i
yi
x1i
x2i
x1i2
x2i2
yi x1i
yi x2i
x1i x2i
/>
/>
/>
/>
/> 1 55 2,2 3,5 4,84 12,25 121 192,5 7,7 56,4 2,03 96,69 -0,544 0,988 2 62 2,1 3,7 4,41 13,69 130,2 229,4 7,77 60,9 1,23 283,36 -0,461 0,927 3 50 2 2,9 4 8,41 100 145 5,8 49,8 0,03 23,36 -0,544 0,901 4 30 2,6 2,1 6,76 4,41 78 63 5,46 29,2 0,57 230,03 -1,178 1,087 5 33 1,9 1,8 3,61 3,24 62,7 59,4 3,42 34,1 1,21 148,03 -0,783 0,847 6 41 1,2 1,6 1,44 2,56 49,2 65,6 1,92 40,5 0,24 17,36 -0,398 0,606 Разом 271 12 15,6 25,06 44,56 541,1 754,9 32,07 271 5,31 798,83 /> />
Після підстановки значень сум одержимо систему лінійних рівнянь:
/>
Дляїї розв’язку використаємо формули Крамера:
/>;
/>; />;
/>; />;
/>; />.
Тоділінійна функція попиту на цукор прийме вигляд
/>.
Якістьлінійної регресії оцінимо за допомогою коефіцієнта детермінації:
/>.
Коефіцієнтдетермінації дорівнює 0,9933, отже, достовірно 99,33% дисперсії економічногопоказника />. Оскільки значення /> близьке до 1, то можнавважати, що побудована економетрична модель адекватна даним спостереження і наїї основі можна проводити економічний аналіз.
Частиннікоефіцієнти еластичності визначимо за формулами (див. два останніх стовпчикирозрахункової таблиці):
/>; />.
Висновок: При збільшення ціни на товар першої необхідності на 1% попитзменшується на 0,4-1,2%, а при збільшенні доходу на одиницю населення на 1%попит зростає на 0,6-1,1%.
Література
1. Лук'яненко І.М., КрасніковаЛ.І… Економетрика: Підручник. — К.: Товариство «Знання», КОО, 1998 — 494с.
2. Наконечний С.І., ТерещенкоТ.О., Романюк Т.П. Економетрія: Підручник. — Вид.2-ге, допов. та перероб. — К.:КНЕУ, 2000 — 296с.
3. Толбатов Ю.А. Економетрика:Підручник для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів. — К.: Четверта хвиля, 1997 — 320с.