Зміст
1. Підходидо моделювання активного ризику
2. Задача1
3. Задача2
Списоквикористаної літератури
1. Підходидо моделювання активного ризику
Планування засередніми
Загальна модельоптимального виробничого планування, в якій вимагається здійснити вибірресурсно припустимих інтенсивностей технологій, спрямований на максимізаціюефекту ( прибутку ):
(c, x) →max (1)
Ах ≤ b (2)
x ≥ 0 (3)
де
А — матриця питомихвитрат-випуску;
b — вектор ресурсівінгредієнтів;
с — вектор питомихефективностей технологій;
х — вектор їх інтенсивностей.
Нехай масив (с, А,b) складається з випадкових величин, тобто залежить від ω — випадковоїситуації або елементарної події деякого імовірнісного простору ( Ω A, P),де Ω — множина елементарних подій; А — алгебра подій, визначена на ціймножині; Р — імовірнісна міра.
Якщо в (1) — (3)формально підставити замість с, А, b — с (ω), А (ω), b ( ω ) топравильнішого формулювання задачі ми не отримаємо. Іноді компоненти с (ω),А (ω), b ( ω ) замінюють їх середньоочікуваним значенням(математичними сподіваннями) і розглядається задача
/> (4)
/>/>А(о)) (5)
х ≥ 0 (6)
де
ξ — масив,кожна компонента якого являє собою математичне сподівання відповідноїкомпоненти випадкового масиву ξ.
Визначення плануна підставі (4)-(6) еквівалентне припущенню, що при прийнятті рішеннявикористовуються середньоочікувані значення випадкових параметрів. Такий методмає істотні недоліки. Розглядаючи нерівність (5), яка означає, що використанняресурсів у середньому не перевищує їх кількості. Однак наявність балансу всередньому зовсім не означає узгодженості реальних витрат ресурсів з їх реальноюнаявністю. План, обраний згідно з (5), у більшості випадків може виявитись-нереальним.
У виразах (4)-(6)математичні сподівання можна замінити на моди випадкових величин — їх найбільшімовірними значеннями. Однак і цей метод має такі ж недоліки, оскільки план,найкращий при модальних значеннях, може виявитись нереальним для переважноїбільшості інших випадків.
Заміна випадковихвеличин їх очікуваними значеннями припустима при малих відносних розкидкамивеличин. Причому апріорно вказати ступінь мализни досить важко.Характеристиками відносних розкидів випадкового параметра можуть бутивідношення М І ξ – Мξ І / Мξ або σ/Мξ, де Мξ —математичне сподівання, σ = √Dξ, Dξ — дисперсія ξ.
Якщо розкидкамивипадкових величин знехтувати не можна, то загальною причиною непридатностіпланування за середнім є те, що множина значень випадкових параметрівототожнюється з одним якимось значенням. Звичайно, що при цьому втрачаєтьсябільшість інформації про інші можливі значення випадкових параметрів.
З плануванням засередніми спряжений спосіб, який ґрунтується на дослідженні моделі [4]-[6] настійкість за допомогою теорії двоїстості та маргінальних співвідношень. Особа,яка приймає рішення, обирає план з оптимального плану моделі [4]-[6].
Недоліком цьогопідходу є те, що стійкий план визначається на підставі однієї числовоїхарактеристики випадкових параметрів без врахування їхніх змін, зважених займовірностями.
Планування заваріантами
Протилежністюпланування за середніми є певною мірою планування за варіантами (ситуаційний,сценарний аналіз), при якому, необхідно приготувати план для кожної ситуації,щоб була змога швидко використати можливості тоді, коли «майбутнє зробитьсвій вибір» [2]. Тобто вважається, що кожній випадковій ситуації ω можнапоставити у відповідність план
x ( ω ) = агg max { ( c (ω),x): A ( ω ) x ≤ b (ω), x ≥ 0} (7)
x
який максимізуєефект для кожного ω.
Під записом агgmax { f ( x ): x Є Д будемо розуміти розв'язок задачі
Х
f (x) →max, x Є Д. Однакплан згідно з (7) можна обирати лише у випадку, якщо є можливість оперативноїзміни планів, коли спостереження над «майбутнім» передують моментуприйняття рішення. Така ситуація не має місця, наприклад у довгостроковомуплануванні, а також при розподілі площ під сільськогосподарські культури, деспочатку (перед весняними роботами) потрібно визначити шукані площі, аврожайність, звісно, стане відомою під кінець року. Тому планування заваріантами не вичерпує важливих особливостей планування при невизначеності,хоча елементи адаптивності, пристосовування характерні для багатьох випадків.
Дослідженнязони невизначеності
Зоноюневизначеності називаєтьсясукупність оптимальних планів залежних від випадкової ситуації ω, тобтозона невизначеності — це {x*(ω)}ωεΩ. Вонаапроксимується скінченою (але достатньо великою) кількістю оптимальних планів{xS = x (ω)}S=1, N, яку одержують за допомогоюмоделювання реалізацій випадкових параметрів згідно з методом статистичнихвипробувань Монте-Карло і чисельного розв'язку задачі (7) при ω= ωS.Звуження апроксимації зони невизначеності для більш чіткого визначення множини,яка містить у собі шуканий план, відбувається із залученням неформальнихпроцедур. Позначимо звужену апроксимацію зони невизначеності через { xS}SεS, де S — підмножина множини {1,...,N}. Остаточний вибір пошукового плануздійснюється на підставі аналізу пристосованості кожного варіанту плану дозміни умов. Кожен план xS може коригуватись деякими спеціальними(адаптивними) технологіями, інтенсивності яких описуються вектором у, а саміспособи — стовпчиками матриці D (ω). Якщо d (ω) — вектор питомихефективностей адаптивних технологій, то при фіксованих х та ω доцільнообирати план у як розв'язок задачі
(d (ω), у) → max, D (ω)y≤ b (ω) – A (ω), y ≥ 0 (8)
Через у(х, ω>) позначимо розв'язок задачі (8).
Розглянемозвужену апроксимацію зони невизначеності разом з планами адаптивних технологій:
x1, y(x1, ω1), y (x1, ω2),…,(x1, ωN)
x2, y(x2, ω1), y (x2, ω2),…,(x2, ωN)
xN, y(xN, ω1), y (xN, ω2),…,(xN, ωN)
Вибір найкращогоплану з множини { xS }SЄS здійснюється з використанням певнихформальних та неформальних критеріїв. При цьому береться до уваги не тількиефективність основного плану xS, але й ефективність відповідноїадаптації при різних ω, тобто на завершальному етапі відбувається аналіззвуженої апроксимації зони невизначеності, доповненої спектром адоптацій. Данийметод має такі особливості:
1) відбуваєтьсяглибоке зондування за допомогою методу статистичних випробувань Монте-Карловсієї множини випадкових ситуацій з урахуванням імовірнісного розподілувипадкових параметрів;
2) припускаєтьсяможливість коригування (адаптації) раніше обраного плану згідно з надходженнямінформації про реалізації випадкових ситуацій;
3) здійснюєтьсянайбільш ефективна адаптація для кожної реалізації випадкових ситуацій.
У той же час єрезерви для вдосконалення методу за рахунок формалізації вибору шуканого плану.
Принципгарантованого виграшу. «Гра з природою»
Цей принципполягає у виборі рішення (плану), який максимізує ефективність у найгірших умовах.Якщо Д(ω) — множина допустимих планів, залежна від випадкової ситуації ω,u (х, (ω) — функція ефективності плану x, залежна від ω, то найгіршоюситуацією ω (х) для плану х є та, при якій план х має найменшуефективність, тобто ω (х) = агg min,{u (x, ω ): ω Є Ω}.
План х обираєтьсяяк розв'язок задачі
F (х) = u ((x, ω (x) →max, x Є Д (ω) x)) (10)
Задача (10)моделює гру особи, яка приймає рішення, з випадковою господарською ситуацією —«природою».
Іншими словами,вважається, що «природі» притаманні деякі телеологічні намагання,певна цілеспрямованість. При цьому відкидаються інші можливі значеннявипадкових ситуацій, можливо, набагато імовірніші.
На перший погляд,позитивна риса принципу гарантованого виграшу полягає у тому, що немаєнеобхідності у визначенні ймовірностей. Але, насправді, в завуальованій форміця процедура має місце і полягає у тому, що «найгіршій» ситуаціїприписується ймовірність 1, всім іншим — 0. Якщо ситуації не керовані іншоюособою, інтереси якої не збігаються з інтересами особи, яка приймає рішення, тотакий підхід не може використовуватись як основа для прийняття рішень.
Розглянемо це напростому прикладі.
Нехайрозглядається питання про вибір обсягу фінансування, спрямованого на розробкунової техніки, при впровадженні якої можливий як успіх, так і невдача.Результативність використання нової техніки залежить від багатьох причин, утому числі й від результатів пошукових досліджень, які заздалегідь точноневідомі. Позначимо через u (х) величину валового (без урахування витрат)ефекту, який утримується від обсягу фінансування х у разі успіху. З урахуваннямвитрат ефект складає величину u(х) — х. При невдачі в наявності будуть лишевитрати. Якщо відштовхуватись від принципу гарантованого виграшу, то величина хповинна знаходитись у результаті розв'язку задачі
F(х) = min {u (x) – x, – x } →max, x ≥ 0. (11)
Очевидно, щорозв'язком задачі (11) є х=0. Таким чином, застосування принципу гарантованоговиграшу при наявності ризику отримання збитків у даному випадку призводить допасивної політики, яка неприпустима в сучасних умовах.
Оглядрізноманітних методів прийняття рішень можна було б продовжити, але більшістьметодів, які ґрунтуються на евристичних процедурах планування в умовах ризикута невизначеності, тою чи іншою мірою відображають позитивні риси та недолікиописаних методів. На наш погляд, кардинальним засобом моделювання прийняттярішень при невизначеності та ризику, який синтезує теорію очікуваноїефективності та активні методи планування, є застосування спеціальних моделей –стохастичних.
2. Задача1
Компанія Milfordвизначає умови ризику в термінах економічного росту. Так наступ стану сильногоекономічного росту вона оцінює з ймовірністю: сильною – 0,3; середньою – 0,5 таслабкою – 0,2. Грошові надходження від інвестицій з якими прогнозуєтьсяможливий економічний ріст, передбачаються згідно з даними таблиці:Рівень економічного росту Ймовірність Очікувані грошові надходження, млн. $ А В С Сильний 0,3 5,2 2,9 3,4 Середній 0,5 2,2 2,1 2,6 Слабкий 0,2 0,2 1,6 0,5
Розв'язок
М (А)=(5,2*0,3)+(2,2*0,5)+(0,2*0,2)=1,56+1,1+0,04=2,7
М (В)=(2,9*0,3)+(2,1*0,5)+(1,6*0,2)=0,87+1,05+0,32=2,24
М (С)=(3,4*0,3)+(2,6*0,5)+(0,5*0,2)=1,02+1,3+0,1=2,42
Мірою ризику кожного проекту єсереднє квадратичне відхилення: ξ√D;
D=(х2)-[М(х)]2
М (А2)=(5,22*0,3)+(2,22*0,5)+(0,22*0,2)=8,11+2,42+0,01=10,54
D (A)=10,54 — 2,72= 10,54 — 7,29 = 3,25
М (В2)= (2,92*0,3) + (2,12*0,5) + (1,62*0,2) =2,52 +2,21 + 0,51 = 5,24
D (B) = 5,24 – 2,242= 5,24 – 5,02 = 0,22
М (С2)=(3,42*0,3)+(2,62*0,5)+(0,52*0,2)= 3,47 + 3,38+ 0,05 = 6,9
D (C) = 6,9 – 2,422 = 6,9 – 5,86=1,04
ξ√A= √ 3,25 = 1,80
ξ√B= √ 0,22 = 0,47
ξ√C= √ 1,04 = 1,02
Висновок: яквидно з розрахунку найменш ризикований є проект В. Для цього проектухарактерний найменший прибуток. З точки зору найменшого ризику необхідно обратиданий проект.
3. Задача2
Розрахуватизначення середньоквадратичного відхилення для двох інвестиційних проектів,згідно початкових даних, які наведені в таблиці, якщо DА, DВ– розрахунковий дохід інвестиційного проекту А і Б, відповідно в у.о. РА,РВ – значення імовірності для інвестиційних проектів А і В.Можливі значення кон’юнктури інвестиційного ринку Інвестиційний проект А Інвестиційний проект
DА
РА
DВ
РВ Висока 1200 0,7 1432 0,20 Середня 670 0,15 740 0,70 Низька 325 0,15 420 0,10
Розв'язок
М(А) = (1200*0,7)+(670*0,15)+(325*0,15)=840+100,5 + 48,8 = 989,3
М(В) =(1432*0,20)+(740*0,70)+(420*0,10)=286,4 + 518 + 42 = 846,4
D (A) = (MA2)-M(A)2
MA2= 12002*0,7 + 6702*0,15 + 3252* 0,15 = 1 008 000 + 67 335 + 15843,75 = =1 091 178,7
MB2= 14322* 0,2 + 7402* 0,70 + 4202* 0,10 = 410 124,8 + 383 320 +17 640 = =811 084,8
D (A) =1 091 178,7-989,32 = 1 091178,7-978 714,49=112 464,3
D (B) = 811 084,8 * 846,42= 811 084,8– 716 392,96 = 94 691,84
ξ√A= √112 464,3= 335,35
ξ√B= √94 691,84=307,72
Висновок: яквидно з розрахунку міра ризику проекту А – 335,35 одиниць, а проекту В – 307,72одиниці. Проект В менш ризикованіший ніж проект А.