Тема:
Основытеории подобия (метод обобщенных переменных)
План
Методы исследования технологических процессов
Теория подобия. Виды подобия
Основные положения теории подобия (теоремы подобия)
Критерии подобия
Методыисследования технологических процессов
Исследованияпроцессов, протекающих в технологических установках, установлениезакономерностей их протекания, нахождение зависимостей, необходимых для иханализа и расчета, можно проводить разными методами: теоретическим,экспериментальным, подобия.
Теоретический метод основан на составлении и решениисистемы дифференциальных уравнений, описывающих процесс. Дифференциальныеуравнения описывают целый класс однородных по своей сущности явлений(процессов), поэтому для выделения конкретного явления необходимо ввестиопределенные ограничения, которые однозначно будут характеризовать данноеявление. Эти дополнительные условия называются условиями однозначности. Условияоднозначности включают в себя: геометрическую форму и размеры системы, т.е.аппарата, канала и т.д.; физические свойства веществ, участвующих в процессе;начальные условия (начальную температуру, начальную скорость и т.д.); граничныеусловия, например скорость жидкости у стенок канала, равную нулю.
Однакомногие процессы химической технологии так сложны, что удается лишь составитьсистему дифференциальных уравнений и установить условия однозначности. Решитьэти уравнения известными в математике методами не представляется возможным.
Экспериментальный метод позволяет на основе опытных данныхполучить эмпирические уравнения, описывающие данный процесс. Сложностиэкспериментального метода заключаются в необходимости проведения большогоколичества опытов на реальных технологических установках. Это связано сбольшими затратами средств и времени. Вместе с тем результаты проведенныхэкспериментов будут справедливы только для тех условий, для которых ониполучены, и не могут быть с достаточной надежностью перенесены на процессы,аналогичные изученным, но протекающие в других аппаратах.
Метод теории подобия позволяет с достаточной для практикиточностью изучать сложные процессы на более простых моделях, обобщатьрезультаты опытов и получать закономерности, справедливые не только для данногопроцесса, но и для всей группы подобных процессов. При моделировании процессовможно вместо дорогостоящих трудоемких опытов на промышленных установкахпроводить исследования на моделях значительно меньших размеров, а вместозачастую опасных и вредных веществ использовать безопасные модельные вещества,опыты проводить в условиях, отличных от производственных. Кроме того, материальнуюмодель можно заменить физической схемой (моделью), отражающей существенныеособенности данного процесса. Поэтому в данном учебном пособии наиболееподробно будет рассмотрена теория подобия.
Теорияподобия. Виды подобия
Методобобщенных переменных составляет основу теории подобия. Одним из основныхпринципов теории подобия является выделение из класса явлений (процессов),описываемых общим законом (процессы движения жидкостей, диффузии,теплопроводности и т.п.), группы подобных явлений.
Подобныминазываются такие явления, для которых отношения сходственных и характеризующихих величин постоянны.
Различаютследующие виды подобия: геометрическое; временное; физических величин;начальных и граничных условий.
Геометрическоеподобие соблюдается при равенстве отношений всех сходственных линейныхразмеров натуры и модели. Например, при изучении движения жидкости в каналедлиной L, диаметром D. В моделисходственные размеры равныlи d. Тогда
L/l=D/d=… = соnst=kl (0)
Безразмернаявеличина k (а в Дытнерском), называется константойгеометрического подобия, или масштабным (переходным) множителем.Константы подобия характеризуют отношение однородных сходственныхвеличин в подобных системах и позволяют перейти от размеров одной системы(модели) к другой (натуре).
Временноеподобие предполагает, что сходственные частицы в геометрически подобныхсистемах, двигаясь по геометрически подобным траекториям, проходятгеометрически подобные пути за промежутки времени, отношение которых являетсяконстантой подобия kх, т.е.
/> (1)
Нарис.1. изображен канал (натура) с размерами L и D и модель сразмерами lи d. Некая частицав точке А (натура) находится в момент времениτА, в точке В — в моментвремени τв. Вгеометрически подобной модели сходственная частица находится в подобной точке а в моментвремени τа, в точке b — в моментвремени τb.
/>
Рис. 1. Условия подобия в натуре (a) и в модели (б)
теория подобие переменная обобщенный
Присоблюдении геометрического и временного подобия константа подобия скоростей kυопределяется из соотношений
/> (2)
Подобиефизических величин предполагает, что для двух любыхсходственных точек натуры и модели, размещенных подобно в пространстве и вовремени, соотношение физических величин (μ,ρи т.д.)является величиной постоянной:
/> (3)
ит.д.
Подобиеначальных и граничных условий заключается в том, что для начальныхи граничных условий должно соблюдаться геометрическое, временное и физическоеподобие так же, как и для других сходственных точек натуры и модели.
Рассмотренныеконстанты подобия постоянны для различных сходственных точек подобных систем,но могут изменяться в зависимости от соотношения размеров натуры и модели, т.е. если имеется другая модель, подобная натуре, константы подобия будутдругими.
Еслиподобные величины выразить в относительных единицах, т.е. в виде отношенийсходственных величин в пределах одной системы (натуры или модели), то получиминварианты подобия:
/> (4)
ит.д.
Инвариантыподобия не зависят от соотношения размеров натуры и модели, т.е. для всехмоделей, подобных натуре, они будут одни и те же. Инварианты подобия,представляющие собой отношение однородных величин, называются симплексами,или параметрическими критериями, например отношение L/D — геометрическийсимплекс.
Инвариантыподобия, выраженные отношением разнородных величин, называются критериямиподобия. Критерии подобия обозначаются начальными буквами имен ученых,которые внесли большой вклад в развитие данной области знаний.
Критерии подобия безразмерны, их значения для разных точек системы могутбыть различными, но для сходственных точек подобных систем они одинаковые и независят от относительных размеров натуры и модели.
Критерииподобия имеют физический смысл, являясь мерами соотношения между какими-тодвумя эффектами, силами и т.п., оказывающими влияние на протекание данногопроцесса.
Критерииподобия могут быть получены для любого процесса, если известны уравнения,описывающие этот процесс.
Основныеположения теории подобия (теоремы подобия)
Основныеположения теории подобия заключены в теоремах подобия, которые лежат в основепрактического применения теории подобия.
Перваятеорема подобия (теорема Ньютон-Бертрана): подобныеявления характеризуются численно равными критериями подобия.
Теоремабыла сформулирована Ньютоном. Она устанавливает, что единственнымколичественным условием подобия процессов является равенство критериев подобиянатуры и модели.
Отсюдаочевидно, что отношение критериев одной системы (натуры) к критериям другойподобной ей системы (модели) всегда равно 1. Например,
/>
Еслиотношение констант подобия равно 1, оно носит название индикатора подобияи указывает на равенство критериев подобия.
Следовательно,у подобных явлений индикаторы подобия равны 1.
Перваятеорема подобия указывает, какие величины следует измерять при проведенииопытов, результаты которых требуется обобщить: надо измерять те величины,которые входят в критерии подобия.
Втораятеорема подобия (теорема Бэкингем-Федермана): решениелюбого дифференциального уравнения, связывающего между собой переменные,влияющие на процесс, может быть представлено в виде зависимости междукритериями К подобия. Такие уравнения называются уравнениямиобобщенных переменных, или критериальными уравнениями, например
f(К1, К2, К3,...)= 0, (5)
гдеК1, К2, К3 — критерииподобия.
Обычнокритериальное уравнение записывается в виде зависимости определяемого критерияподобия от определяющих критериев подобия:
К1= f(К2, К3,...),(6)
Например,
К1=АКm2Кn3 (7)
гдеА, т, п — эмпирические показатели.
Определяемымкритерием является тот критерий, в который входит определяемая величина.Критерии, в которые входят величины, определяющие ход процесса (v,μ,ρ,dэ и т.д.),называются определяющими.
Есликакой-либо эффект в исследуемом процессе мало влияет на его протекание, токритерии подобия, характеризующие интенсивность данного эффекта, могут неучитываться. В этом случае процесс по отношению к этому эффекту и к критериюподобия становится автомодельным, т.е. независимым. В соответствии сэтой теоремой результаты эксперимента, проведенного на модели, можнопредставлять в виде критериальных уравнений.
Третьятеорема подобия (теорема Киринчен-Гухмана): явленияподобны, если их определяющие критерии равны.
Следствиемравенства определяющих критериев подобия является равенство и определяемыхкритериев для натуры и модели, поэтому полученная на модели в результате опытовкритериальная зависимость будет справедлива для всех подобных процессов, в томчисле и для протекающих в промышленной установке. При этом следует учитывать,что полученные уравнения надежно можно использовать только в тех интервалахизменения переменных, которые были использованы при проведении опытов.
Такимобразом, для исследования технологических процессов методом подобия необходимо:
1. выбрать дифференциальное уравнение и условия однозначности,описывающие данный процесс; затем путем преобразования найти критерии подобия;
2. опытным путем с помощью моделей установить зависимость междукритериями подобия; полученное обобщенное уравнение будет справедливым для всехподобных процессов в пределах изменения определяющих критериев подобия.
Преобразованиедифференциальных уравнений методом теории подобия проводится в следующемпорядке:
1. каждый из членов дифференциального уравнения умножается насоответствующие константы подобия кτ, кv, кl и т.д.;
2. полученные коэффициенты перед членами уравнения длясоблюдения тождественности приравниваются;
3. в полученных индикаторах подобия константы подобия заменяютсясоответствующими отношениями величин, и полученные комплексы являютсякритериями подобия.
Втабл. 1 приведены основные критерии гидродинамического подобия, которые будутравны для сходственных точек натуры и модели, если они подобны.
Таблица 1 — Основные критериигидродинамического подобия
Критерий
Выражение критерия
Характеристика критериев
Единицы измерения входящих в критерии подобия величин Кинематический (критерий Рейнольдса)
Rе =υl/ν= υlρ/μ Характеризует меру соотношения сил инерции и сил трения
υ- скорость, м/с;
l — определяющий размер, м;
ρ- плотность, кг/м3;
μ — динамическая вязкость, Па-с;
ν — кинематическая вязкость, м2/с;
g — ускорение свободного падения, м/с2;
р — давление, Па;
τ-время, с Гравитационный (критерий Фруда)
Fr =υ2/gl Характеризует меру соотношения сил инерции и сил тяжести Гидравлического сопротивления (критерий Эйлера)
Еu =∆p/ρ υ2 Характеризует меру соотношения сил гидростатического давления и сил инерции Гомохронности
Но = υτ/l Характеризует неустановившееся движение жидкости
Такимобразом, дифференциальное уравнение Навье — Стокса, описывающее движение вязкойжидкости, может быть представлено в виде критериального уравнения:
f(Rе, Но, Fr, Еu) = 0 (8)
Уравнение(8) является обобщенным критериальным уравнением гидродинамики. Всекритерии уравнения (8), кроме критерия Ей, являются определяющими, таккак они составлены из величин, входящих в условия однозначности. КритерийЭйлера, в который входит величина ∆р, являющаясяцелью расчета, будет определяемым критерием.
Тогда
Еu = f(Rе, Но, Fr) или
Еu = AНосRетFrп, (9)
гдеА,c, т, п- эмпирическиепоказатели.
Вряде случаев уравнение (19) дополняют геометрическим симплексом l/d:
Еu = AНосRетFrп(l/d)b, (10)
гдеb- эмпирический показатель.
Приустановившемся движении критерий Но исключается из критериальногоуравнения:
Еu = ARетFrп(l/d)b. (11)
Вслучае, если скорость движения жидкости не определена, в расчеты вводятпроизводные или модифицированные критерии подобия, составленные из основныхкритериев. В этих критериях подобия неизвестная величина υ заменяетсядругими величинами, которые сравнительно легко определяются экспериментальноили аналитически.
Возьмемотношение критериев Rе и Fr:
/> (12)
Полученныйбезразмерный комплекс величин называется критерием Галилея. Если умножить этоткритерий на отношение (ρ1-ρ2)/ρ2, тополучается новый критерий подобия — критерий Архимеда
/> (13)
гдеρ1,ρ2— плотностижидкости в разных точках, кг/м3.