ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Цель работы: по данным результатов измеренийнайти предварительные значения показателей вариации, оценить пределы возможныхошибок и после исключения ошибочных результатов найти точные показатели вариации,определить величину доверительных интервалов для заданных значений доверительныхвероятностей. Сделать выводы.
Исходные данные: варианты заданий приведены втаблице 2.
Припроведении измерений, опытов, экспериментов возникают ошибки двух видов:систематические и случайные.
Систематические ошибки связаны с погрешностямиизмерительных приборов при измерениях.
Случайные ошибки не связаны с измерениями иобусловлены случайными внешними причинами (сбои, отказы аппаратуры, скачкинапряжений в сети питания, сейсмические сотрясения, отвлечение вниманияоператора, описки в записях и мн. др.)
Приоднократном измерении ошибка может быть обнаружена только путем логическогоанализа или сопоставлением результата с априорным представлением о нем.Установив и устранив причину ошибки, измерение можно повторить.
Примногократном измерении одной и той же величины ошибки проявляются в том, чторезультаты отдельных измерений значительно отличаются от остальных. Иногда этоотличие настолько большое, что ошибка очевидна, поэтому данный результат можноотбросить как заведомо неверный. Если отличие небольшое, то оно может бытьследствием как ошибки, так и рассеяния отсчета. Определить возможностьисключения сомнительного результата измерения позволяет «правило трех сигм»,которое гласит:
еслипри многократном измерении одной и той же величины постоянного размерасомнительное значение результата отличается от среднего значения хсрбольше, чем на 3?, то с вероятностью 0,997 оно является ошибочным и егоследует отбросить.
Припостроении вариационных рядов каждый вариант или интервал имеет определеннуючастость, которая при большом количестве измерений стремится к вероятностипопадания значения в данный интервал.
Однойиз наиболее распространенных форм распределения случайной величины является нормальноераспределение (распределение Гаусса).
С нимприходится сталкиваться при анализе производственных погрешностей, контролетехнологических процессов и режимов и т.д.
Есливесь массив экспериментальных данных подчиняется закону нормального распределения,то все значения измеряемой величины должны группироваться вокруг среднегозначения, и выпадение какого-либо отдельного значения результата из этогомассива позволяет предположить, что он ошибочный.
Чтобыдать представление о точности и надежности оценки результата пользуютсядоверительными интервалами и доверительными вероятностями.
Доверительный интервал определяет, на какуювеличину может отличаться отдельное значение результата измерения принормальном распределении от своего среднего значения.
Неравенство
P(хср – ?
означает,что с вероятностью P значение измеряемого параметра x0попадает винтервал
Ip = (хср — ?, хср+ ?)
Например,известно, что с вероятностью P = 0,5 измеряемое значение при нормальномраспределении попадет в интервал
(хср± />?);
с P =0,68 в интервал (хср ± ?)
с P =0,95 в интервал (хср ± 2?)
с P =0,99 в интервал (хср ± 2,6?)
с P =0,997 в интервал (хср ± 3?)
Этавероятность называется доверительной вероятностью, а интервал – доверительным интервалом.
Доверительныйинтервал измеряемого параметра x0приближенно находится по формуле
/> (2)
где tропределяет число средних квадратичных отклонений, которое нужно отложить вправои влево от центра рассеивания для того, чтобы вероятность попадания x0в полученный интервал была равна P;
n – общее количество измерений.
Привыборе доверительной вероятности необходимо учитывать ответственностьпоставленной задачи: чем более ответственна задача, тем с большей доверительнойвероятностью (надежностью) должны быть оценены полученные параметрыстатистического анализа. Обычно для технических расчетов их принимают равнымиот 0,90 до 0,99, т.е. от 90 до 99%.
доверительный вероятность интервал вариация
Порядок выполнения работы
1. Поданным пробной выборки рассчитываем предварительные значения показателейвариации
размахвариации
R = Xmax – Xmin. (3)
Средняяарифметическая
/> (4)
Дисперсияможет быть рассчитана по ранее изученной формуле или по упрощенной формуле,наиболее часто применяемой на практике
/> (5)
Среднеквадратическаяпогрешность
/> (5)
Коэффициентвариации
/> (6)
2. Определяемпределы возможных ошибок. Для этого используем правило «трех сигм». Интервалнахождения истинных значений будет равен
/> (7)
Найтив ряду значения, которые не попадают в полученный интервал. Эти значения иявляются ошибочными, поэтому должны быть отброшены.
3.После удаления из ряда измерений случайных величин производим пересчетпоказателей вариации. По правилу «трех сигм» определяем пределы возможныхошибок
4.Повторяем п. 3) до тех пор, пока не исключим все ошибки. т.е. все значениябудут находиться в интервале (7)
5.После исключения случайных ошибок для каждой заданной доверительной вероятностинаходим доверительный интервал по формуле
/> (8)
Параметрtp следует определять по табл. 1 в зависимости от величины заданнойдоверительной вероятности.
Таблица1 — Значения коэффициентадоверияp
tp p
tp p
tp 0,80 1,282 0,88 1,554 0,96
2,053 0,81 1,310 0,89 1,597 0,97 2,169 0,82 1,340 0,90 1,643 0,98 2,325 0,83 1,371 0,91 1,694 0,99 2,576 0,84 1,404 0,92 1,750 0,995 2,807 0,85 1,439 0,93 1,810 0,997 3,290 0,86 1,475 0,94 1,880 0,87 1,513 0,95 1,960
6. Сделать выводы
– какие значения массиваэкспериментальных данных являются случайными ошибками, и с помощью какого правилаопределялось наличие ошибок;
– как изменяютсяпоказатели вариации после исключения случайных ошибок;
– как изменяетсядоверительный интервал при изменении доверительной вероятности.
Исходные данные длявыполнения заданияВариант Задание 1
8,5 7,7 8,4 7,3 8,4 8,4 8,3 7,6 8,7 8,4 8,4 6,1 6,2 7,3 8,4 8,3 7,8 8,3 7,5 2,1 11,2 18,1 8,2 8,7 9,9
Доверительные вероятности: p1 =0,85 p2 =0,95 p3 =0,995 2
22 24 28 22 24 24 24 33 24 25 24 25 24 24 25 27 26 24 25 25 27 12 34
Доверительные вероятности: p1 =0,8 p2 =0,9 p3 =0,99. 3
1,3 1,2 1,2 0,9 0,9 0,8 1,2 1,1 1,2 1,5 0,3 1,2 1,3 1,2 1,2 1,2 1,1 1,2 1,2 1,1 2,1 1,2 1,3
Доверительные вероятности: p1 =0,88 p2 =0,98 p3 =0,997. 4
40 45 44 45 35 46 47 48 43 50 45 47 38 45 44 73 41 44 40 46 44 15 43
Доверительные вероятности: p1 =0,85 p2 =0,99 p3 =0,997. 5
2 11 10 10 9 10 11 10 9 10 10 10 11 10 9 10 11 10 10 11 10 11 19
Доверительные вероятности: p1 =0,8 p2 =0,85 p3 =0,95. 6
8,5 8,3 8,4 8,4 8,4 8,4 8,3 8,5 8,6 8,4 1,8 8,4 8,4 7,4 6,2 8,4 8,4 8,3 14,7 8,3 8,3 8,4 8,3
Доверительные вероятности: p1 =0,95 p2 =0,99 p3 =0,997. 7
8,5 7,7 8,4 1,1 8,4 8,3 7,6 8,7 8,4 7,2 8,4 8,4 6,1 14,5 8,4 8,4 8,3 7,8 8,3 7,5 8,3 7,7 8,8
Доверительные вероятности: p1 =0,86 p2 =0,95 p3 =0,995. 8
8,5 4,2 8,4 8,3 8,4 8,4 8,3 8,6 8,7 8,4 8,2 8,4 8,4 12,3 9,2 8,3 8,4 8,3 8,4 8,3 8,8 8,8 8,5 8,9
Доверительные вероятности: p1 =0,85 p2 =0,99 p3 =0,997. 9
12,5 12,8 13,3 12,8 12,7 13,1 12,6 12,9 13 13,8 14,6 12,9 13 13,1 13,3 12,9 13,3 11,4 12,8 2,1 12,2 22,4 13,3 7,8
Доверительные вероятности: p1 =0,95 p2 =0,99 p3 =0,997. 10
22 24 22 29 24 24 24 24 41 24 25 24 25 24 25 24 25 22 26 24 25 25 8 24
Доверительные вероятности: p1 =0,8 p2 =0,85 p3 =0,9. 11
1,3 1,2 1,1 1,3 1,3 2,4 1,2 1,3 1,2 1,4 0,1 1,2 1,3 1,1 1,2 1,1 1,2 1,3 1,2 1,2 1,2 1,3 1,2 1,2
Доверительные вероятности: p1 =0,83 p2 =0,88 p3 =0,92. 12
2,3 2,2 2,1 2,2 3,8 1,8 2,20 2,2 2,2 2,3 0,8 2,2 2,3 2,2 2,3 2,2 2,3 2,2 2,4 2,5 2,5 2,2 2,3 2,8
Доверительные вероятности: p1 =0,8 p2 =0,9 p3 =0,99. 13
5,3 5,2 5 5,1 4,8 8,8 5,20 5,5 5,2 5,3 5,2 5,5 5,1 5,2 5,3 5,2 2,1 5,5 5,2 5,2 5,5 5,5 5,2 5,3
Доверительные вероятности: p1 =0,9 p2 =0,99 p3 =0,997. 14
10,3 10,2 13,3 10,9 10,9 10,8 10,20 10,1 10,2 10,5 10,2 10,3 10,2 10,2 10,1 10,2 10,2 10,1 10,1 10,2 10,3 7,1 10,4
Доверительные вероятности: p1 =0,8 p2 =0,92 p3 =0,98. 15
23 25 26 21 24 25 23,00 35 24 25 24 25 24 22 25 27 26 22 25 25 21 23 27 11 26 22
Доверительные вероятности: p1 =0,83 p2 =0,88 p3 =0,99. 16
11 12 10 12 10 11 13 22 12 11 14 11 11 13 11 13 14 13 12 10 12 11 12 11 2 17 12
Доверительные вероятности: p1 =0,85 p2 =0,91 p3 =0,98. 17
12 13,8 13,1 11,8 10,7 11,1 12,20 12,1 13,6 12,8 21,1 10,9 13,1 13,3 13,8 11,9 13,3 3,5 11,1 12,3 11 11,3 12,1 11,9
Доверительные вероятности: p1 =0,82 p2 =0,9 p3 =0,96. 18
2,1 2,3 2 2,2 2,5 2,3 2,10 2,3 2,2 2,1 2,3 5,2 2,5 2,1 2,1 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 1,9 5,1 2,1 2,3
Доверительные вероятности: p1 =0,81 p2 =0,91 p3 =0,997. 19
1,1 1,3 1,2 0,95 0,99 1,3 1,10 1,4 1,1 1,7 0,1 1,5 1,2 1,2 1,1 1,2 1,3 1,2 1,2 1,1 1,15 1,2 1,5 2,2
Доверительные вероятности: p1 =0,89 p2 =0,95 p3 =0,97. 20
22,5 22,8 23,3 22,8 22,7 11,5 22,60 22,9 23,1 23,8 24,6 22,9 23 23,1 22,9 23,3 35,5 23,1 25,5 27,1 23,1 22,1 22,3 23,3
Доверительные вероятности: p1 =0,92 p2 =0,98 p3 =0,995.