1. предмет эконометрики
Специфической особенностьюдеятельности экономиста является работа в условиях недостатка информации инеполноты исходных данных. Анализ такой информации требует специальных методов,которые составляют один из аспектов эконометрики. Центральной проблемойэконометрики является построение эконометрической модели и определениевозможности ее использования для описания, анализа, прогнозирования реальныхэкономических процессов. Эконометрика – быстроразвивающаяся отрасль науки, целькоторой состоит в том, чтобы передать количественные меры экономическимотношениям. Термин эконометрика был впервые введен бухгалтером Цьемпой в 1910г.слово «эконометрика» состоит из 2 слов: «экономика» и «метрика». Сам терминподчеркивает специфику науки, т.е. количественное выражение тех связей и отношений,которые раскрыты и обоснованы экономической теорией. Эта наука возникла врезультате взаимодействия 3 компонентов: экономической теории, математическихметодов, статистических методов. В последствии к ним присоединились развитиевычислительной техники. В настоящее время эконометрика располагает огромнымразнообразием моделей от больших макроэкономических, включающих несколько сотили тысяч уравнений до малых уравнений, предназначенных для решенияспецифических проблем.
2. Особенностиэконометрического метода
Становление и развитиеэконометрического метода на методах вычислительной статистики: — на методахпарной и множественной корреляции; — выделение тренда и др. компонентоввременного ряда; — на статистическом оценивании.
Потребность в причинномобъяснении корреляции привела к созданию путевого анализа, — основан наизучении всей структуры причинной связи между переменными, т.е. на построенииграфа. Его основным положением является то, что оценки стандартизированныхкоэффициентов и рекурсивной системы уравнений, которые называютсякоэффициентами влияния, рассчитываются на основе коэффициентов парнойкорреляции. При работе с временными рядами разных показателей и при изучениивзаимосвязи между ними была осознана проблема ложной корреляции, котораявозникла под влиянием фактора ЛАГА, т.е. сдвига во времени. Большое внимание вэконометрики уделяется проблеме данных, т.е. специальным методом работы приналичии данных с пропусками, влияние обобщения данных и т.д. информация можетотсутствовать по отд. единицам совокупности и быть на уровни только прежней,информация идет не по отд. организациям, а по районам. Результаты могут сильноотличаться. К проблеме данных относится также проблема селективной выборки вмикроэкономике. Типичное направление в этой области: рынок труда; выявлениефакторов, влияющих на решение о выборке работы; какие экономические стимулывлияют на принятие решения о получении образования.
При этом выборка можетбыть не случайной, а ограничена какими-то определенными ситуациями, а не всемивозможными. Эффект самоселекции возникает тогда, когда объективный отборподменяется «удобной выборкой». Эконометрическое исследование включает в себярешение сл. Проблем:
1. качественныйанализ связей экономических переменных – выделение зависимых Уi и не зависимые Хк переменных. 2. подборданных. 3. спецификация моделей связи между переменными. 4. оценка параметровмодели. 5. проверка гипотез о свойствах распределения вероятностей дляслучайных компонентов: гипотезы о средней; дисперсии; ковариации. 6. введениефиктивных переменных. 7. выявление автокорреляции, лагов. 8. выявление тренда,циклической и случайной компоненты. 9. проверка остатков нагетероскедастичность (отсутствия норм распределения для регрессионной функции).10. анализ структуры связей и построение системы одновременных уравнений. 11. моделированиена основе системы временных рядов. 12. построение рекульсивной модели. 13. проблемаи идентификация и оценивания параметров.
Эконометрическая модельоснована на диалектическом предположении о круге взаимосвязанных переменных.При всем стремлении к наилучшему описанию связи приоритет отдаетсякачественному анализу.
Этапы эконометрическогоанализа.
1. построениепроблемы. 2. получение данных и анализ их качества. 3. спецификация проблем. 4.оценка параметров. 5. интерпретация результатов.
3. Измерения вэконометрики
Понятие эконометрикавключает эконометрические измерения. При этом измерение понимаются по-разному.Признаками измерения считают: получение, сравнение, упорядочивание информации.
Измерение предполагаетвыделение некоторого свойства, по которым производится сравнивание объекта. Др.понимание измерения исходит из числового выражения результатов, т.е. измерениепонимается как операция, в результате которой получается числовое выражениевеличины, причем числа должны соответствовать наблюдаемым свойствам, качествам,закономерностям науки и т.д
Первый подход связан сналичием эталона, это определение измерения в узком смысле. Первый низшийуровень изучения предполагает сравнение объектов по наличию или отсутствиюисследуемого свойства. На этом уровне используются термины « нумерация»,«классификация», « номинация» и т.д.
Второй уровеньпредполагает сравнение объектов по интенсивности проявляемых свойств. Здесьиспользуются термины «шкалирование», « топология», и «упорядочивание».
Третий уровень –сравнение объектов с эталонами. Здесь термины « измерение» и «квантификация».Все понятия измерения могут быть объединены на базе определения шкалыизмерения. Тип шкалы измерения определяется в допустимом преобразовании-преобразование, при котором сохраняется неизменным отношение между элементамисистемы. Для определения любой шкалы измерения надо дать название объекту,отождествить объект некоторым свойством или группой свойств. Если это преобразованиеоказывается единственным, то шкала называется шкалой наименования(номинальной). Измерением в этой шкале можно считать любую классификацию, покоторой класс объектов получает наименование. Числа на этой шкале играют рольярлыков и к ним не применимы правила арифметики. Номинальная шкала обладает толькосвойствами симметричности и транзитивности.
Симметричность означает,что отношения между градациями Х1 и Х2 сохраняются и между Х2 и Х1.
Транзитивность означает,что если Х1=Х2, а Х2=Х3, то Х1=Х3.
Шкала, в которой порядокэлементов по уровню проявления некоторого свойств существенен, а количественноевыражение не существенно называется порядковой (ранговой). Шкала порядкадопускает операции «=», «?», «>», «
Примером интервальнойшкалы могут служить измерения большинства эк. Параметров, т.к.производительность труда, себестоимость, рентабельность и т.д. для измерения экпараметров характерны специфические представления о точности. Точностьизмерения- его адекватность, т.е. соответствие реальным условиям. Проблематочности связана со сл. Проблемами:
1. определениепонятия экономической величины.
2. определениеэк.показателей.
3. разработкапринципов измерения, конструирования, измерителей.
4. основание выборатипа шкал.
5. разработка правилформирования систем показателей.
6. выявление типов иопределение методов устранения ошибок измерений.
7. выявление условийсравнимости эк. Величин.
Основной базой дляэконометрических исследований служат данные официальной статистики или б.у.
4. парная регрессия и корреляцияэконометрических исследований. спецификация моделей
В зависимости отколичества факторов, включаемых в уравнение регрессии принято различать парную(простую) и множественную регрессии.
Парная регрессия-зависимость между 2 переменными Х и У, т.е. модель вида />, где у зависимаяпеременная (результативный признак), х – независимая переменная (факторныйпризнак).
Множественная регрессия –зависимости между 2 и более числом факторов и переменной У, т.е. модель вида: />.
Любое эконометрическоеисследование начинается со спецификации модели, т.е. формулировки вида модели.При этом парная регрессия достаточная, если имеется доминирующий фактор,который используется в качестве объясняющей переменной Х.
Уравнение парнойрегрессии характеризует связь между 2 переменными, которая проявляется какнекоторая закономерность в целом по совокупности наблюдений. Практически же вкаждом отдельном случае величина У складывается из 2 слагаемых ,/>где Уj фактическое значение результативногопризнака, />теоретическиезначение результативного признака исходя из соответствующей матем. функции, Ej случайная величина, характеризуетсяотклонением реального значения результативного признака от теоретического,найденного из уравнения регрессии, Е- возмущение и включает в себя влияниенеучтенных в модели факторов. Ее присутствие в модели порождено 3 источниками:
1. спецификациямодели.
2. выборочныйхарактер исходных данных.
3. особенностиизмерения переменных.
Основные зависимости,относящиеся к парной регрессии
/>
от правильнойспецификации зависит величина случайной ошибки. От тем меньше, чем в большеймере теоретические значения подходят к фактическим данным.
для получения хорошегорезультата из совокупности обычно исключают единицы с аномальными значениямирезультативного признака. В парной регрессии выбор вида моделей илиматематической функции возможен 3 способами:
/>
1. графический. 2. аналитический,т.е. исходя из теории изучаемой связи. 3. экспериментальный
при изучении взаимосвязимежду 2 переменными графический способ подбора вида уравнений основан наполикорреляции ( исходные данные, обозначенные на плоскости ХОУ).
Основные типы кривых,используемые при количественной оценке связи между 2 переменными.
Аналитический способ типауравнений основан на изучении материальной природы связи исследуемых признаков.
Например, потребностьпредприятия в электроэнергии у зависит от объема выполняемой продукции х и всюпотребленную энергию можно разделить на 2 части:
1. несвязаннуюнапрямую с производством продукции (а)
2. связаннуюнепосредственно с объемом выпускаемой продукции, которая возрастаетпропорционально увеличению объема выпуска (b).
Связь можно изобразить ввиде: у=а+bx. При использовании компьютеров дляобработки информации выбор вида уравнения осуществляется экспериментальнымспособом, т.е. путем сравнения величины остаточной дисперсии Дост, котораявычисляется по формуле:/>где n количество наблюдений исследуемого признака, у- фактическиеданные, /> -теоретические данные, полученные по уравнению регрессии. Если уравнениепроходит через все точки корреляционного поля, то фактическое значениесовпадают с теоретическими. Дост=0.
Практически исследованиеимеет место некоторая рассеянная точка относительно линии регрессии. Эторассеяние обусловлено влиянием изученных моделей факторов. Приэкспериментальном способе перебираются разные математические функции вавтоматическом режиме и из них выбирается та функция, у которой Достминимально. Если же Д ост оказывается примерно одинаковой для несколькихфункций, то предпочтение отдается более простым функциям.
5. линейная регрессия икорреляция: смысл и оценка параметров
Линейная регрессиясводится к нахождению уравнения вида:/>
Уравнение вида (1)позволяет по заданным значениям фактора Х найти теоретическое значениерезультативного признака, представляя в уравнение фактическое значение фактораХ. построение линейной регрессии сводится к оценке этих параметров основан на методенаименьших квадратов (МНК) – позволяет получить также оценки параметров а и b при которых сумма квадратовотклонений теоретических значений результативного признака от фактическогозначения минимальна, т.е/>
Это означает, что из всехлиний регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов между точкамии этой линией по вертикали была минимальна.
Чтобы найти минимумфункции нужно вычислить частные производные по каждому из неизвестныхпараметров a и b и приравнять их к нулю.
/>
Решение системы будутследующие уравнения.
/>
Параметр b называется коэффициентом регрессииесли а больше 0, то относительное изменение результата У происходит медленнеечем изменение фактора Х. если а меньше нуля, то происходит опережение изменениярезультата под изменением фактора.
Уравнение регрессиивсегда дополняется коэффициентом или показателем тесноты связи.
При использованиилинейной регрессии в качестве показателя тесноты связи используется коэффициенткорреляции, который обозначается:
/>
Величина коэффициентакорреляции находится в пределах единицы/>
Если b>0 то коэффициент корреляции[-1;0]. Величина линейного коэффициента корреляции оценивает тесноту связипризнака Х и У в линейной форме. Но это не означает, что если коэффициенткорреляции равен 0, то между Х и У связи нет. Это означает, что нужнопользоваться др. спецификацией. Для оценки качества подбора линейной функциирассчитывается квадрат линейной корреляции. /> — коэффициент детерминации. Онобозначает долю депрессии результативного признака У, который объясняетсярегрессией в общей депрессии результативного признака. Т.е. /> 1-/> — величинахарактеризует долю дисперсии, вызванную влиянием остальных неучтенных врегрессии факторов. />Служит одним из критериев дляоценки качества линейной модели, т.е. чем больше доля объясненной вариации, темменьше модель хорошо аппроксимирует исходные данные. Следовательно, можноиспользовать для прогнозирования результат. Признака.
6. оценка существованияпараметров линейной регрессии и корреляции
после того, как найденоуравнение регрессии проводится оценка значимости его параметров, а такжеуравнения в целом. Оценка значимости уравнений проводится с помощью F критерия Фишера. Для этоговыдвигается гипотеза Но, которая говорит, что b=0, что при Х не оказывае6т влияние на У. непосредственно расчетукритерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в этом анализезанимает разложение общей суммы квадратов на 2 составляющие: объясненную инеобъясненную.
/>
первая сумма- общая суммаквадратов отклонений результативного признака от среднего уровня. Вторая сумма– сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (факторная).третья сумма-остаточная сумма отклонений, необъясненная часть.
Если фактор Х неоказывает влияния на результат У, то линия регрессии на графике параллельна ОХи/>. этоозначает что вся дисперсия результативного признака обусловлена воздействиемпрочих неучтенных регрессией факторов. И тогда общая сумма квадратов отклоненийсовпадает с остаточной. Если же кр факторы не влияют на результат, то У и Хсвязаны функционально и остаточная равна нулю. в этом случае общая суммаквадратов отклонений совпадает с суммой квадратов отклонений объясненнойрегрессией. Т.к. не все точки полекорреляциии лежат на линии регрессии, товсегда имеет место их разброс, вызванный влиянием пр. факторов. Сумма квадратовотклонений связана с числом степеней свободы, т.е. с числом свободынезависимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числомединиц совокупности n и числом опр. уней констант. Существует равенство между степенями свободы общей факторной иостаточной суммы квадратов отклонений. N-1=1+(n-2).Разделив каждую сумму квадратов на соотв. Степени свободы получим среднийквадрат отклонений или дисперсию на одну. Степень свободы
/>
Сопоставляя факторную иостаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы получаем величину F критерия
/>
После нахождения величиныF для определения верности гипотезы Ноона сравнивается с табличным значением F-критерия. Fтабличноезависит от соотв. Степени свободы и уровня значимости. Fтабл больше Fфактической, то гипотеза Но не может быть отвергнута, т.к. есть рискнеправильного вывода о наличии связи. В этом случае уравнение считаетсястатистически незначимым, если выполняется обратное неравенство, то гипотеза Но– отвергается и уравнение считается статистически значимым и надежным. Кромевыяснения значимости уравнения в линейной регрессии оценивается так4же значимостьпараметров. С этой целью по каждому из параметров вычисляется стандартнаяошибка.
/>
S- остаточная сумма квадратов на однустепень свободы или остаточная дисперсия. Величина стандартной ошибки совместнас t- распределением Стьюдента, поэтомудля оценки существенности параметра b его величина сравнивается со стандартной ошибкой и вычисляется значение/>и оносравнивается см табличным значением t критерия. Выводы такие же как при использовании F критерия. Доверительный интервал для коэффициента регрессиив этом случае определяется следующим образом />Стандартная ошибка параметра a
/>.
процедура оцениваниясущественности параметра ф аналогично процедуре оценивания параметра b. Значимость линейного коэффициентакорреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции./>Фактическоезначение t-критерия Стьюдента.
/>
7. интервалы прогнозов полинейному уравнению регрессии
В прогнозах расчета поуравнению регрессии определяется предсказываемое значение Ур при подстановке вуравнение регрессии соотв. Значений Хр=Хк. При подстановке Хр получаем точечныйпрогноз, который явно нереален. Поэтому он дополняется интервальным прогнозомУ*.
/>
Стандартная ошибкапрогноза вычисляется по формуле
/>
Величина стандартнойошибки достигает минимума когда Хк=Х ср и возрастает при удалении от Х ср влюбом направлении. При прогнозировании на основе уравнения регрессии следуетпомнить, что величина прогноза зависит не только от стандартной ошибки но и отточности прогнозного значения фактора Х ( т.е. от Хр). Его величина можетзадаваться на основе анализа других моделей исходя из конкретной ситуации.
8. корреляция длянелинейной регрессии
Также как и в линейнойрегрессии используется линейный коэффициент корреляции. В нелинейной регрессиислужит индекс корреляции.
/>
Р [0;1]. Чем ближе к 1том больше связь между рассматриваемыми признаками и тем надежнее уравнение.Коэффициент детерминации- используется для проверки существенности уравнениялинейной регрессии по f-критериюФишера.
/>
где м –число параметровпри переменной х, n –числонаблюдений.
Число m характеризует число степеней свободыдля факторной суммы квадратов. Величина n-m-1 характеризуетчисло степеней свободы для остаточной суммы квадратов. Для степенной функции /> для параболы
y=a+bx+cx2 />.
9. нелинейная регрессия
Нелинейная регрессиябывает 2 видов:
— регрессии нелинейные,относительно включаемых в анализ объясняющих переменных, но линейныеотносительно оцениваемых параметров.
— регрессии нелинейные попараметрам.
Примером первого видаявляются полиномы различных степеней:
y=a+bx+cx2,y=a+bx+cx2+dx3, y=a+bx+cx2+dx3+…+zxn.’
Сюда же можно отнестиравностепенную гиперболу y=a+b/x. Ко второму типуотносятся степенная, показательная, экспоненциальная функции. Полиномы любогопорядка сводятся к линейной регрессии с ее методами проверки гипотез иоцениванием параметров. Параболу целесообразно применять для оцениваемогоинтервала значения фактора X,когда меняется характер среди исследуемых признаков. При этом применяется МНКдля оценивания неизвестных параметров a,b,c. В результате получается система из 3 линейных уравнений с 3неизвестными.
/>
Решение данной системывозможно методом Крамера.
/> /> /> />
Если b>0, c0, то кривая симметричнаотносительно низшей точки и это позволяет определить минимум в точке, меняющейнаправление связи, а именно падение сменяется ростом.
Такая функцияиспользуется при изучении зависимости объема выпуска производства от затрат напроизводство. Ввиду симметричности кривой второго порядка ее не всегда удобноиспользовать в конкретных исследованиях, поэтому если на диаграмме рассеиваниянет четко выраженной параболы, то использовать ее не нужно, а заменитьстепенной функцией. Среди нелинейных функций параметры которой можно найти спомощью МНК y-a+b/x можно назвать равностороннейгиперболой. Примером такой функции является кривая Филипса, котораяхарактеризует соотношение между нормой безработицы Х и приростом з\п У.регрессии нелинейные оцениваемые по параметрам делятся также на 2 вида:
— нелинейные моделивнутренне линейные.
— Нелинейные моделивнутренне нелинейные.
Если модель внутреннелинейна, то она с помощью некоторых преобразований может быть приведена клинейному виду. Если модель внутренне нелинейная, то она не может бытьприведена к линейному виду. Внутренне линейной можно назвать y=axb. чтобы привести ее к линейному виду нужно еелинеаризовать с помощью логарифмирования.lny=ln(ax)b; lny=Y, lna=c; blnx=X. Далее в помощью МНК находится коэффициенты С и В c=lna; a=ec. к таким моделям относятсяпоказательная, логистическая функции. В экономических исследованиях степеннаяфункция используется для определения коэффициента эластичности.
/>.
эконометрикарегрессия прогноз ошибка
Коэффициенты эластичностидля различных математических функций.Вид функции У Первая производная Коэффициент эластичности 1. линейная y=a+b*x B
/> 2. парабола 2 порядка y=a+b*x+c*x2 b+2cx
/> 3. гипербола y=a+b\x -b\x2
/> 4. показательная y=a*bx a*bx*lnb
/> 5. степенная y=a*xb a*b*xb-1
/> 6. полулогарифмическая y=a+b*lnx b/x
/> 7.логистическая y=a\(1+b*e-cx)
/>
/> 8. обратная y=1/(a+bx) -b\(a+bx)2
/>
Если модель внутренненелинейная, то для оценки параметров используются итеративные процедуры.Решение такого типа задач реализовано в стандартных пакетах прикладныхпрограмм.
10. средняя ошибкааппроксимации
Фактические значениярезультативного признака отличаются от теоретических, рассчитанных по уравнениюрегрессии. Чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят кэмпирическим данным, тем лучше модель. Величина отклонений фактических данныхот теоретических, т.е (y-y^) – ошибка аппроксимации, а т.к. этавеличина может быть +\-, то ошибка аппроксимации для каждого наблюденияопределяется в % по модулю.
/>.
Допустимый уровень 8-10%.
11. множественнаярегрессия и корреляция. спецификация модели
Парная регрессии можетдать хороший результат при моделировании, если влиянием др. факторов,воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Множественнаярегрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, приизучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и т.д.основная цель: построить модель с большим числом факторов, определив при этомвлияние каждого фактора в отдельности, а также совокупное влияние намоделирование показателей. Множественная регрессия в общем виде можно записатьсл. Уравнением:
y=f(x1,x2,…,xn).
12. отбор факторов множественной регрессии
факторы, включаемые вуравнение множественной регрессии должны удовлетворять сл. Требованиям: — должны быть количественно измеримы, не должны быть интеркоррелированы ( т.е. недолжны быть связаны друг с другом и тем более не находиться в функциональнойзависимости). Если между факторами существует большая корреляция, то нельзяопределить их изолированное влияние на результативный признак. Тогда параметры регрессииоказываются не интерпретируемыми. Насыщение модели линейными факторами неснижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации,зато приводит к статистической не значимости уравнения регрессии. И хотяуравнение множественной регрессии позволит получить большое количествофакторов, практически необходимости в этом нет, поэтому отбор факторовпроизводится на основе качественного теоретико-экономического анализа. Отборфакторов обычно производится в 2 стадии. На первой выбираются факторы исходя изсущности проблем. На второй стадии на основе матрицы показателей корреляцииопределяется t- статистики Стьюдента для параметровуравнения регрессии. Это позволяет исключить из модели дублирующие факторы.Считается, что 2 переменные явно коллинеарные, т.е. зависимы, если коэффициенткорреляции между ними больше или равен 0,7. 2 переменные дублируют друг друга,поэтому от одной из них необходимо избавиться. В этом случае предпочтениеотдается переменной, для которой наблюдается связь с результатом в наименьшейстепени. Наибольшие трудности в использовании множественной регрессии возникаютпри наличии мультиколлинеарности, когда более чем 2 фактора связаны междусобой. Включают в модель мультиколлинеарности факторов т.к.: затрудняется интерпретацияпараметров (теряют смысл); оценки параметров не надежны и обнаруживают большиенестандартные ошибки. Для оценки мультиколлинеарности используется определительматрицы парных коэффициентов корреляции между факторами. Например, уравнениемножественной регрессии имеет вид:
y=a+b1x1+b2x2+b3x3+E./>
если rxixi=1, означает что факторы неколленируют между собой. Если между факторами существует полная линейнаязависимость, то det R=0. чем он ближе к нулю, тем сильнеемультиколлинеарность факторов и не надежнее уравнение регрессии. Самый простойспособ устранения мультиколлинеарности состоит в исключении одного из факторовиз модели. Другой подход связан с преобразованием факторов при которомснижается корреляция между ними. Чтобы учесть внутреннюю корреляцию факторовиногда переходят к совмещенным уравнениям.
Y=a+b1x1+b2x2+b3x3+b12x1x3+b23x2x3+E.
Подходы к отбору факторовна основе показателей корреляции различны, что приводит к построению уравнениямножественной регрессии разного вида. Наибольшее распространение получили 3подхода:
1. метод исключения(отсев факторов из полного его набора).
2. метод включения (дополнительное введение факторов).
3. шаговый регрессионныйанализ ( исключение ранее введенного фактора).
13. выбор формы уравнениярегрессии
Как и в парной регрессиивозможны различные виды: линейные и нелинейные.
Линейные уравнениямножественной регрессии имеют вид: y=a+b1x1+b2x2+…+bpxp,где x1,x2,…,xp–факторы, а b1,b2,…,bp- параметрырегрессии, b1,…,bp – коэффициенты чистой регрессии. Эти коэффициенты, стоящиеперед переменными Х характеризуют средние изменения результативного признака сизменением соответствующего фактора при неизменных значениях др фактора.
Нелинейные: y=ax1b1x2b2….xpbpстепенная множественной регрессии. Параметры bi – коэффициенты эластичности. Они показывают изменениирезультата с изменением соответствующего фактора на 1% при неизменности др.факторов. Такой вид уравнений множественной регрессии используется впроизводственных функциях, а также в исследовании спроса и предложения. Дляпостроения множественной регрессии используется также функции:y=e в степени a+b1x1+b2x2+…+bpxp – экспонента.
Y=1\( a+b1x1+b2x2+…+bpxp) – обратная (гипербола).
Стандартные компьютерныепрограммы имеют возможность перебирать возможные функции и выбрать из всехтолько ту, для которой остаточная дисперсия минимальна и ошибка аппроксимациитоже минимальна. Коэффициент детерминации должен быть приближен к 1. еслиисследователя не устраивает предполагаемый набор функций регрессии, то можноиспользовать любые др. функции, приводимые к линейным с помощью преобразования.Однако, чем сложнее функция, тем менее интерпретируемы ее параметры, поэтомуиспользование номинальных моделей очень высокого порядка или сложных функцийнежелательно.
14. оценкапараметров уравнения множественной регрессии
параметры уравнениямножественной регрессии как и для парной регрессии находятся с помощью МНК. Приего применении строится система нормальных уравнений, решение которых позволяетполучить оценки параметров для уравнения множественной регрессии. Для уравнениямножественной регрессии линейного вида получается система нормальных уравнений:
/>
в системе р+1 уравнение ир+1 неизвестная. Решение этой системы возможно методом Крамера. При нелинейнойзависимости уравнение множественной регрессии необходимо привести к линейномувиду, чтобы затем использовать МНК для нахождения. Например использовать методлинеаризации:
y=ax1b1x2b2….xpbp;lny= ln(ax1b1x2b2….xpbp); lny= lna+b1lnx1+b2lnx2+…+bplnxp; Y=C+b1X1+b2X2+…+bpXp
15. частныеуравнении множественной регрессии
частные линейные уравнениямножественной регрессии имеют вид:
/>
Если ввести новоеобозначение, то получим
/>
На основе частных уравненийрегрессии определяются частные коэффициенты эластичности:
/>
16. множественнаякорреляция
показатели множественнойкорреляции характеризуют тесноту связи, рассматриваемого набора фактора сисследуемым признаком, т.е. оценивает тесноту связи совместного влияния факторана результат. Независимо от формы связи показатель множественной корреляцииможет быть найден как индекс множественной корреляции:
/>
Индекс множественнойкорреляции как корень лежит в пределах [0;1]. Чем ближе к 1, тем теснее связьрезультативного признака со всем набором исследуемых факторов. При правильномвключении фактора в уравнение множественной регрессии величина индексамножественной корреляции будет существенно отличаться от индекса корреляциипарной регрессии. Если же дополнительное включение фактора второстепенно, тоиндекс множественной корреляции будет практически совпадать с индексомкорреляции парной зависимости. Расчет индекса множественной корреляциипредполагает уравнение регрессии и на его основе остаточной дисперсии./>можнопользоваться следующей формулой для индекса множественной корреляции:
/>
17. частнаякорреляция
частные индексыкорреляции характеризуют тесноту связи исследуемого признака и одним изфакторов при устранении влияния остальных факторов, включенных в модель. Этипоказатели представляют собой отношение сокращения остаточной дисперсии за счетвключения доп. Факторов. Если рассматриваемая регрессия с числом факторов Р, товозможны коэффициенты корреляции первого, второго и т.д. Р-1 порядков, т.е.
пример: действие влиянияХ1 можно оценить при разных условиях независимого действия др. факторов: ryx1x2 при постоянном действии фактора Х2, ryx1x2x3 при постоянномдействии факторов Х2 и Х3. формула в общем виде имеет вид:
/>
18. предпосылки МНК
После построенияуравнения множественной регрессии проводится проверка наличия у оценок (y=a+b1x1+b2x2+…+bpxp+E) тех свойств, которые предполагаются при МНК. Это связано стем, что оценки параметров для уравнения регрессии должны отвечать определеннымкритериям, а именно: д.б. эффективными, несмещенными, состоятельными.
Несмещенность оценкиозначает, что математическое ожидание остатков равно нулю. Оценка считаетсяэффективной если она характеризуется наименьшей дисперсией. Состоятельностьоценок характеризует увеличение их точности с увеличением объема выборки.
Условия, необходимые дляполучения оценок удовлетворяет этим 3 критериям представляет собой предпосылкиМНК:
1. случайный характеростатка.
2. нулевая средняявеличина остатков, не зависящая от Xi.
3. гомоскедастичность– дисперсия каждого отклонения одинаково для всех факторов.
4. отсутствиеавтокорреляции Еi распределенынезависимо друг от друга.
5. остаткиподчиняются нормативному закону.
/>
Если все 5 предпосылоквыполняются, то оценки, полученные МНК считаются хорошими. Если не выполняетсяхотя бы одна предпосылка, то следует корректировать модель.
1).прежде всегопроверяется случайный характер остатков Еi. С этой целью строится график зависимости остатков Ei от теоретических значенийрезультативного признака.
/>А) возможны следующие варианты, если на графикеполучена горизонтальная полоса, то остатки представляют собой случайные Величиныи МНК оправдан, т.е. теоретические значения хорошо аппроксимируют фактическиеданные.
/>Б)/>/>
остатки неслучайны. В) остаткине имеют постоянной дисперсии.
Г) остатки носятсистематический характер. В этом случае отрицательное значение Еi относится к низким значениям y^x, соответственно, положительное значение Ei относится к высоким значениям y^x.
В случаях 2,3,4необходимо либо применять другую функцию, либо вводить дополнительнуюинформации. А затем строить уравнение регрессии до тех пор, пока остатки нестанут случайными величинами.
2) МНК относительнонулевой средней величины остатка означает, сумма разностей фактических итеоретических значений равна нулю />. Это выполнимо для линейныхмоделей и моделей нелинейных относительно включенных переменных. Для выяснениятого, что остатки соответственно второй предпосылки строиться графикзависимости остатков от факторов включенных в регрессию.
/>
Если на графикеполучается горизонтальная полоса, то остатки Еi не зависит от Xi.Если график показывает зависимость, то модель неадекватна.
3) в соответствии с 3предпосылкой МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Этоозначает, что для каждого фактора Xi остатки Ei имеютодинаковую дисперсию. Если это условие не выполняется, то имеет местогетероскедастичность.
/>
Примеры гетероскедастичности.
А) дисперсия остатковвозрастает по мере увеличения Х.
/>
Б) дисперсия остатковдостигает максимальной величины при средних значениях величины Х и уменьшенияпри минимальном значении Х. В)
/>
максимальная дисперсияостатков при таком значении Х и дисперсия однородна по мере увеличения Х.
Для множественнойрегрессии строится зависимость от Xi и по графику визуально определяется гомоскедастичность.
4) при построенииуравнения регрессии важно соблюдать 4 предпосылку, т.е. отсутствиеавтокорреляции остатков. Автокорреляция остатков означает, наличие корреляциимежду остатками текущих и предыдущих наблюдений. В этом случае определяетсякоэффициент корреляции между Ei и E(i+1) как обычный коэффициент корреляции. Если этот коэффициентоказывается отличным от нуля, то остатки автокоррелированы. Выполнение этойпредпосылки особенно актуально при построении регрессионных моделей по рядамдинамики, где последующие уровни зависят от предыдущих (касается временныхрядов).
19. оценка надежностирезультата множественной регрессии и корреляции
значимость уравнениямножественной регрессии в целом как и в парной оценивается с помощью F критерия Фишера
/>
где R2 коэффициент множественнойдетерминации как квадрат индекса множественной корреляции, n- число наблюдений, m – число параметров при переменной Х.кроме оценивания уравнения во множественной регрессии оценивается такжезначимость фактора дополнительно включенную в регрессионную модель.Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, включенный вуравнение множественной регрессии, будет существенной увеличивать долюобъясненной регрессии. Ввиду корреляции между факторами значимость одного итого же фактора может быть разной в зависимости от последовательности введенияего в модель. Мерой для оценки включенного фактора в модель служит частный F критерий Fxi. В общем виде для фактора Хi частный критерий определяется по формуле:
/>/>
20. фиктивные переменныево множественной регрессии
при построении уравнениямножественной регрессии может оказаться необходимым включение в модель фактора,имеющего 2 и более качественного уровня. Например, это атрибутивные признаки –пол, профессия, образование, климатические условия и т.д. чтобы ввести такиепеременные в регрессионную модель им присваиваются цифровые метки, т.е.качественные переменные преобразуются в количественные. Такого видаструктурированные переменные называются фиктивные.
Пример, по группе Х м и жпола изучается линейная зависимость потребления кофе от цены, у- потреблениекофе, х – цена.
Y=a+bx;y1=a1+b1x+E1-Mужчины,
y2=a2+b2x+E2-женщины.
Из этих 2 уравнений нужнополучить 1 уравнение.
Y=a1z1+a2z2+bx+EZ1=/>Z2=/>
В отдельном случае, можетоказаться необходимость введения 2 и более фиктивных переменных, тогда модельпредставляет собой сумму
y=a1z1+a2z2+a2s3+a4s4+bx+E
Фиктивные переменные дляоценки сезонных различий потреблений. Фиктивные переменные могут вводиться нетолько в линейные, но и не в линейные модели, но приводимые к линейным спомощью некоторых преобразований.
21. основные элементывременных рядов
Построитьэконометрическую модель можно, используя 2 типа данных:
1. данные,характеризуют совокупность объектов в определенный момент или период времени.
2. данные,характеризующие один объект за несколько последовательных моментов или периодоввремени.
Модели, построенные поданным первого типа, называются пространственными моделями.
модели, построенные поданным 2 типа, называются моделями временных рядов.
Временной ряд-совокупность значений какого-либо показателя за несколько моментов или периодоввремени.
Каждый уровень временногоряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условноможно разделить на 3 группы:
1. факторы,формирующие тенденцию ряда.
2. фактора,формирующие циклические колебания ряда.
3. случайныефакторы.
При различных состоянияхизучаемого явления этих факторов зависимость уровня ряда от времени может бытьразличие. Во-первых, большинство временных рядов экономических показателейимеет тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействиемножества факторов на исследуемый показатель. Во-вторых, изучаемый показательможет быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носитьсезонный характер, т.к. экономическая деятельность ряда отраслей экономикизависит от времени года. Некоторое временные ряды не содержат тенденции ициклические компоненты. А их каждый следующий уровень образуется как суммаследующего уровня ряда и некоторого положительной или отрицательной компоненты.В большинстве случаев фактический уровень временного ряда может представлятьсобой сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент.
Модель, в которойвременной ряд представлен как сумма перечисленных компонент называетсяаддитивной. Модель, в которой временной ряд представляет собой произведение 3компонент называется мультипликативной.
Основные компонентывременного ряда.
/>
Тенденция циклическая случайная
Основная задачаэконометрического исследования временных рядов- выявление и преданиеколичественного выражения каждой из перечисленных компонент с тем, чтобыиспользовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда.
22. автокорреляцияуровней временного ряда и выявление его структуры
При наличии во временномряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровняряда зависит от предыдущего. Корреляционная зависимость между последовательнымиуровнями временного ряда называют автокорреляцией временного ряда.Количественно она измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции междууровнем исходного ряда и уровнями этого же ряда, сдвинутого на несколько шагов вовремени. Число периодов, по которым рассчитываются коэффициенты автокорреляцииназываются лагом. С его увеличением число пар значений по которымрассчитывается коэффициент автокорреляции уменьшается. Последовательностькоэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называютавтокорреляционной формулой временного ряда графику зависимости ее значений отвеличины ряда называется коррелограммой. Если наиболее большим оказалсякоэффициент автокорреляции первого порядка, то исследуемый ряд содержит толькотенденцию. Если наиболее большим оказался коэффициент корреляции порядка тетта,то ряд содержит циклические колебания с периодичностью тетта-моментов времени.Если ни один из коэффициентов автокорреляции не оказался значимым, то можно сделатьодно из 2 предположений относительно структуры исследуемого ряда:
-либо он не содержиттенденции и циклических колебаний и имеет структуру, похожую на структуру рядаиз рисунка 3 в параграфе 4.1.
— било ряд содержитсильную тенденцию для появления которой нужно провести дополнительный анализ.
23. моделированиетенденции временного ряда
Одни из наиболеераспространенных способов моделирования тенденции временного ряда – построение аналитическойфункции, характеризующей зависимость уровня ряда от времени и тренда. Этотспособ называется аналитическим выравниванием временного ряда. Для построениятренда чаще всего используются сл. Функции:
/>
параметры каждого изперечисленных трендов можно определить МНК, используя в качеств независимойпеременной время t=1…n, а в качестве зависимой переменной фактическиеуровни временного ряда. Для нелинейных трендов проводят стандартную процедурулинеаризации. К числу наиболее распространенных способов относятся такжекачественный анализ исследуемого объекта, а также построение и визуальныйанализ графика зависимости уровней временного ряда от времени.
24. моделирование сезонныхи циклических колебаний
1. аддитивная и мультипликативнаямодели временного ряда.
Простейший подход канализу структуры временного ряда – расчет значений сезонных колебаний методомвходящей средней и построение аддитивной модели временного ряда. Общий видмультипликативной модели: Y=TSE, где T –тренд, S-сезонная компонента, E –случайная компонента. Аддитивная модель: Y=T+S+E. Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводитсяк расчету T,S,E каждого уровня временного ряда.
Процесс построенияаддитивной и мультипликативной моделей.
1. выравниваниеисходных уровней ряда методом входящей средней.
2. расчет сезоннойкомпоненты S.
3. устроениесезонной компоненты из исходных уровней ряда, получение выровненных данных T+Е для аддитивной и ТЕ длямультипликативной моделей.
4. аналитическоевыравнивание уравнений Т+Е и ТЕ и расчет значений тренда Т с использованиемполученного уравнения тренда.
5. расчет полученныхпо модели значений Т+S и TS.
6. расчет абсолютныхили относительных ошибок.
Если значение ошибок несодержит автокорреляции, то ими можно исходные уровни временного ряда и вдальнейшем использовать временной ряд ошибок Е.
2. применение фиктивныхпеременных для моделирования сезонных колебаний.
Еще один способ длямоделирования сезонных колебаний – построение уравнения регрессии, с включениемфактора времени и фиктивных переменных. При этом количество фиктивныхпеременных должно быть на 1 меньше числа моментов времени внутри одного циклаколебаний. Каждая фиктивная переменная отражает сезонную компоненту длякакого-било одного периода и одна равна 1 для данного периода и 0 для всехостальных периодов. Пусть имеется временной ряд, содержащий циклическиеколебания с периодичностью 2, тогда модель регрессии с фиктивными переменнымидля этого ряда будет иметь вид:
y=a+bt+b1x1+b2x2+bjxj+…+b(k-1)x(k-1)+E,где
Xj=/>
25. применение системэконометрических уравнений
Под системойэконометрических уравнений обычно понимается система одновременных совместныхуравнений. Ее применение имеет ряд сложностей, связанных с ошибкамиспецификации модели. В виду большого числа факторов, влияющих на экономическиепеременные исследователь как правило не уверен в точности предлагаемой модели.Кроме того, набор эндогенных и экзогенных переменных, соответствующихтеоретическому представлению, исследователя об исследуемом объекте. Этопредставление сложилось по данным моделей, но может меняться. Соответственно,может меняться и вид модели с точки зрения ее идентифицируемости.Сверхидентифицируемую модель можно превратить в точно идентифицируемую модельпутем добавления некоторых переменных или отбрасывания ограничений на некоторыепараметры. Не исключено, что при правильной спецификации модель может бытьнеидентифицируема, поэтому от нее переходят к идентифицируемой, используетсверхидентифицируемую модель. Наиболее широко системы одновременных моделейиспользуются для построения макроэкономических моделей функционированияэкономики той или иной страны. Большинство из таких моделей — моделикейнсианского типа.
26. моделирование тенденциивременного ряда при наличии структуры изменений. тест Чоу
От сезонных и циклическихколебаний следует отличать единовременные изменения характера тенденциивременного ряда, которые вызваны структурными изменениями в экономике или инымифакторами. В этом случае, с некоторого времени t* происходят изменения характера динамики изучаемогопараметра тренда, описывающего эту динамику. Схематично эта ситуация выглядитсл.образом:
/>
В момент времени t* сопровождается значительнымиизменениями ряда факторов, оказывающих сильное воздействие на изучаемыйпоказатель Yt. Чаще всего эти изменения вызваныизменениями общей экологической ситуацией или факторами глобального характера.Если исключить временной ряд включающий в себя соответствующий момент времени,то далее основной является задача, а значит повлияют эти структурные измененияна характер тенденции. Если влияние окажется значимым, то моделированиетенденции данного временного ряда используют кусочно-линейные модели регрессии.Для этого исходная совокупность делится на 2 подсовокупности: до момента t* и после него, а затем отдельно покаждой совокупности строится отдельное уравнение регрессии. Если структурныеизменения незначительно повлияют на характер тенденции, то Yt можно описать с помощью одногоуравнения регрессии для всей совокупности данных.
Каждый из этих подходовимеет свои положительные и отрицательные формулы. При построениикусочно-линейной модели происходит снижение остаточной сумы квадратов посравнению с единым уравнением, но разделение исходной совокупности на 2 частиведет к потери числа наблюдений, а соответственно числа степеней свободы.Построение единого уравнения наоборот позволяет сохранить число наблюдений, ноостаточная сумма квадратов будет увеличиваться по сравнению с кусочно-линейноймоделью. Поэтому выбор между 2 моделями будет зависеть от соотношения междустепенями остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы. Формальныйтест для оценки этого соотношения был предложен Грегори Чоу. Применение тестапредполагает расчет параметра уравнения трендов, графики которых обозначены(1),(2), (3).
Условные обозначения дляалгоритма теста Чоу.
№
уравнения Вид уравнения Число набл сов-ти Остаточная сумма квадратов Число параметр. в Ур-ии Число степеней свободы-ост дисп Кусочно-линейная модель
(1)
(2)
Y=a1+b1t
Ya2+b2t
n1
n2
C1 ост
С2 ост
K1
K2
n1-k1
n2-k2 Уравнение тренда по всей совокупности (3) Y=a3+b3t n С3 ост К3 n-k3=(n1+n2)-k3
В соответствии сметодикой Чоу определятся фактическое значение Fкритерия Стьюдента по следующим дисперсиям на одну степеньсвободы.
/> /> />
Найденное значение Fфакт сравнивается с табличнымзначением, полученным по таблице распределения Фишера для уровня значимости 2 истепеням свободы (k1+k2)-k3 и n-k1-k2. если Fфактбольше Fтабл то гипотеза о структурестабильности отклонений и влияние структурных изменений на динамику изучаемогопоказателя признается значимой. В этом случае моделирование тенденциивременного ряда нужно делать с помощью кусочно-линейной модели. Если жефактическая будет меньше табличной, то нет основания отклонить гипотезу оструктурной стабильности тенденции, значит ее моделирование можно осуществитьдля всей совокупности уравнения тренда.
Особенности применениятеста Чоу.
1) если число параметровво всех уравнениях (1),(2), (3) одинаково и равно К, то формула для вычисления Fкритерия упрощается
/>
2) тест Чоу позволяетсделать вывод о наличии или отсутствии структурной стабильности в исследуемомвременном ряде. Если FфактFтабл, то гипотеза о структурной стабильности отклоняется,означает что статистическая значимость различий оценок а1 и а2, b1 и b2.
3) применение теста Чоупредполагает соблюдение предпосылок о нормальном распределении остатков вуравнениях (1), (2).
/>
Возможны следующиесочетания изменения численных оценок параметров уравнений (1),(2)6
— изменение численнойоценки свободного члена уравнения тренда а2 по сравнению с а1, при условии, чторазличия между b1 и b2 незначимы. Геометрически этоозначает, что прямые (1) и (2) параллельны. Экономически это говорит омногообразном изменении ряда Yt вмомент времени t* при неизменномсреднем абсолютном приросте за период.
/>
— изменение численнойоценки параметра b2 по сравнению с b1 при условии, что различия между а1и а2 статистически незначимы. Геометрически это означает, что прямые (1) и (2)пересекают ось ординат в одной точке. Экономически это связано с изменениемсреднего абсолютного прироста временного ряда начиная с момента времени t* при неизменном начальном уровневременного ряда при t=0.
/>
— изменение численныхоценок а1 и а2, а также b1 и b2. геометрически это означает, чтопрямые (1) и (2) пересекаются в точке с абсциссой t*. Экономически можно говорить, что изменение тенденциисопровождается как изменением начального уровня ряда, так и среднего за периодабсолютного прироста.
27. общее понятие осистемах уравнений, используемых в эконометрике
Объектом статистическогоизучения являются сложные системы. При использовании отдельных уравнений регрессиис большинстве случаев предполагается, что аргументы или факторы можно измерятьнезависимо друг от друга. На практике изменение одной переменной как правиловлечет за собой изменений др, поэтому отд. взятое уравнение множественнойрегрессии не характеризуют истинные влияния отд. признаков. Система уравнений вэконометрике может быть построена по-разному:
1. возможна системанезависимых уравнений, когда каждая зависимая переменная у рассматривается какфункция одного набора факторов х.
/>
при этом, в каждомуравнении набор факторов xiможет варьировать, т.е. система независимых уравнений может считаться и
/>.
отсутствие того или иногофактора в уравнении системы может быть следствием как экономическинецелесообразного включения его в уравнение, так и не существенности влиянияего на результативный признак. Каждое уравнение такой системы можетрассматриваться самостоятельно, поэтому для нахождения его параметровиспользуется обычный МНК, т.к. каждое уравнение представляет собой уравнениемножественной регрессии.
2. если зависимаяпеременная у одного уравнения выступает в виде фактора х в др. уравнении, томожно строить систему рекурсивных уравнений.
/>
В данной системезависимая переменная у включается в каждое последующее уравнение в качествефактора + полный набор факторов х. как и в предыдущей системе каждое уравнениеможет рассматриваться самостоятельно, а параметры этих уравнений снижаются спомощью МНК.
3. наиболеераспространенной системой эконометрических уравнений является системавзаимосвязанных уравнений. В такой системе одни и те же зависимые переменные водних уравнениях входят в левую часть, в др. в правую часть.
/>
Эта система носит такженазвание системы совместных одновременных уравнений ( структурной формымодели). В отличие от двух предыдущих систем каждое уравнение такой системы неможет рассматриваться как самостоятельное, а следовательно, МНК для нее неприменим. Для оценки параметров этой системы используется специальные приемыоценивания.
28.структурная иприведенная формы модели
Система одновременныхуравнений обычно содержит эндогенные и экзогенные элементы. Эндогенныепеременные обозначены в приведенной ранее системе как у. это зависимыепеременные, число которых равно числу уравнений в системе. Экзогенныепеременные обозначаются обычно х. это предопределенные переменные, влияющие назависящие от них. Простейшая структурная форма модели имеет вид:
/> (1)
классификация переменныхна экзо- и эндогенные зависит от теоретической концепции данной модели.Экономические переменные в одних моделях могут выступать как эндогенныепеременные, а в др. как экзогенные. Внешнеэкономические переменные(климатические условия) выступают только в качестве экзогенных. Кроме того, вкачестве экзогенных переменных могут выступать значения эндогенных переменныхза предшествующий период времени. Такие переменные называются лаговыми.Структурная форма модели в правой части содержит коэффициенты при эндогенныхпеременных aj и bj, которые называются структурными коэффициентами модели.Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов дает смещение инесостоятельные оценки, поэтому обычно для определении структуры коэффициентовструктурная форма модели преобразуется в приведенную. Приведенная форма моделипредставляет собой систему линейных функций эндогенных переменных отэкзогенных. Приведенная форма модели имеет вид:
/>
/>
По своему виду этасистема ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которойнаходятся с помощью МНК, поэтому применяя МНК можно найти коэффициент ??i, а затем через них оценить значения экзогенных и эндогенныхпеременных. Коэффициент приведенной формы модели представляет собой функцийкоэффициентов структурной модели. Рассмотрим это на примере. Для структурнойформы модели (1) приведенная форма модели имеет вид:
/>
Выразим у2 из второгоуравнения первой системы:
/>
Чтобы найти ?21 и?22 нужно выразить у1 из второго уравнения первой системы и прировнять кправой части первого уравнения первой системы.
29. проблемаидентификации
При приведенной формымодели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации.Идентификация – единственность соответствия между приведенной структурнойформами модели. С позиции идентифицируемости структурные модели можноподразделить: идентифицируемые, неидентифицируемые, сверхидентифицируемые.
1) если все ееструктурные коэффициенты определяются однозначно, т.е. единственным образом покоэффициентам приведенной формы. Это означает, число параметров структурноймодели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае,структурные коэффициенты можно оценить через параметры приведенной формы.
2) Если числоприведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, которые могутбыть оценены через коэффициенты приведенной формы. Структурная форма модели вполном виде и эндогенными переменными и экзогенными всегда неидентифицируема.
3) Если числоприведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этомслучае, на основе приведенных коэффициентов можно получить 2 и более значенияструктурных коэффициентов. В такой модели число структурных коэффициентовменьше числа приведенных коэффициентов.
28. Сверхидентифицируемаямодель в отличии от неидентифицируемой практически решаема, но для этоготребуются специальные методы. Модель считается идентифицируема, если каждоеуравнение системы идентифицируется… если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируется, то модель считается неидентифицируемой.Сврерхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемоеуравнение. Если обозначить число эндогенных уравнений в j уравнении через н, а числоэкзогенных тип содержаться в системе, но не входят в данное уравнение через Д,то условие идентифицируемости можно записать в сл. Виде: Д+1=н — идент, Д+1н – сврерхидент. для определения структурноймодели система должна быть идентифицируема или Сверхидентифицируемая.
30. Специфика статистическойоценки взаимосвязи 2 временных рядов
В предыдущей главе былопоказано, что временной ряд содержит 3 основных компоненты: тенденцию,циклические и сезонные колебания и случайные компоненты. Наличие этих компонентсказывается на результатах корреляционно-регрессионного анализа временных рядовданных. Предварительный этап такого анализа заключается в выявлении структуры изучаемыхвременных рядов. Если на этом этапе выявлено, что временные ряды содержатциклические или сезонные колебания, то перед проведением дальнейшегоисследования необходимо устранить сезонную или циклическую составляющую изуровня ряда. Это устранение можно проводить в соответствии с методикойпостроения аддитивной или мультипликативной модели. Пусть изучается зависимостьмежду временными рядами Х и У. для количественной характеристики такойзависимости используются линейные коэффициенты корреляции. Для того, чтобыполучить коэффициенты корреляции нужно избавиться от «ложной корреляции». Онаозначает, наличие тенденции в каждом ряде. Обычно это осуществляется с помощьюметода исключения тенденции. Наличие тенденции в каждом временном рядеозначает, что на зависимую переменную Yt и независимую переменную Xtоказывает влияние фактор времени, который в модели непосредственно неучтен. Yt=a+bXt+Et. фактор времени учитывается вкорреляционной зависимости между значениями остатка Et за текущий момент времени. Такое влияние получило название«автокорреляцией в остатках» — нарушение одной из основных предпосылок МНК, вкоторой говорится о случайности остатков, полученных по уравнению регрессии.Возможный путь решения проблемы — применение обобщенного метода МНК.
31. методы исключениятенденции
Сущность всех такихметодов заключается Вт том, что устранить или зафиксировать воздействие факторавремени на формирование уровня ряда. Основные методы исключения тенденции можноразделить на 2 группы:
1 группа. Методы,основанные на преобразовании исходных уровней ряда в новые переменные, несодержащие тенденции. Полученные переменные используются дальше для анализавзаимосвязи изучаемых временных рядов. Такие методы предполагаютнепосредственное устранение трендовой компоненты из каждого уровня временногоряда. В этой группе 2 основных метода: — метод последовательных разностей; — метод отклонений от тренда.
2 группа. Методы,основанные на изучении взаимосвязи исходных уровней временных рядов при устранениивоздействия фактора времени на зависящую и независимую переменные модели. Ктаким методам относятся – метод включения в модель регрессии фактора времени.
Метод отклонений оттренда. Пусть имеется 2 временных ряда Хt и Yt. Каждыйиз которых содержит трендовую переменную t и случайную компоненту Е. после проведения аналитическоговыравнивания можно найти параметры соответствующих уравнений тренда иопределить расчетные по тренду значения />и />, соответствующие исходнымвременным рядам. Эти значения можно принять за оценку трендовой компоненты t каждого ряда, тогда влияниетенденции можно устранить путем вычитания расчетных значений из фактическихуровней ряда. Эту процедуру преодолевают для каждого временного ряда, аразностей Xt-/>иYt-/>при условии, что эти отклоненияне содержит тенденции.
Метод последовательныхразностей. В ряде случаев вместо аналитического выравнивания для устранениятенденции используется простой метод – метод последовательных разностей. Есливременной ряд содержит ярко выраженную линейную тенденцию, то ее можноустранить путем замены исходных уровней ряда с цепными абсолютными приростами(первыми разностями). Пусть временной ряд Yt содержит тренд/>и случайную компоненту Еt. />=a+bt. Тогда перваяразность
/>
Коэффициент b – компонента, не зависящая отвремени при наличии сильной тенденции остатки Et и E(t-1) малы и в соответствии спредпосылками МНК носят случайный характер, поэтому первые разности ?t не зависят от переменной времени иих можно использовать для дальнейшего анализа. Если временной ряд содержиттенденцию в форме параболы, то для ее устранения используются разности второгопорядка, которые считаются через разности первого порядка />=a+bt+сt2. />. Если временной ряд содержит экспоненциальныйили степенной тренд, то метод последовательный разностей не применим не кисходным уровням ряда, а к их логарифмам. Методы разностей при своей простотеимеет 2 недостатка: — его изменение связано с сокращением числа пар наблюденийпо которым строится уравнение регрессии. Это ведет к потере числа степенейсвободы. – использованием вместо исходных уровней их прироста приводит к потереинформации, содержащейся в исходных данных.
Метод включения в модельрегрессии фактора времени. В корреляционно- регрессионном анализе устранитьвоздействие какого-либо фактора можно, если зашифровать это воздействие нарезультат и др включить в модель фактора. Этот прием широко используется ванализе временных рядов, когда тенденция фиксируется через включение факторавремени в качестве независимой переменной в модель: />
+b3x(t-1)+biY(t-1)
Такая модель включаетчисло независимых переменных больше 1. кроме этого в нее могут быть включены нетолько текущие, но и лаговые значения независимой переменной, а также лаговыезначения результативных переменных. Преимущество данной модели, по сравнению с2 предыдущими состоит в том, что она позволяет учесть всю информацию, содержащуюсяв рядах Xt и Yt. Кроме того, модель строится по всей совокупности данных зарассмотренный период, а значит не ведет к потери числа степеней свободы.Параметры a и b определяются МНК, включая фактор времени.
32. автокорреляцияостатка. Критерий Дарбина-Уотсона
Рассмотрим уравнениемножественной регрессии вида
/>
где к- число, независимыхпеременных. Для каждого момента времени t=1,nостатки
/>
Если рассмотретьпоследовательность остатка как временной ряд, то можно построить зависимость отвремени. В соответствии с предпосылками МНК, остатки должны носить случайныйхарактер.
/>
Но при моделированиивременных рядов возможны ситуации, когда имеется тенденция (2),(3) илициклические колебания. Последние 3 ситуации говорят о том, что каждоепоследующее значение зависит от предыдущего. В этом случае говорят обавтокорреляции в остатках.
Причины автокоррнек5ляциив остатках.
1) связана сисходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значенияхрезультативного признака Yt.
2) В формулировкемодели, т.е модель может не включать фактор оказывающий сильное воздействие нарезультат. Это воздействие сказывается на остатках, из-за чего они становятсяавтокоррелированными. Чаще всего таки м фактором является фактор времени t.
Существует 2 основныхметода определения автокорреляции в остатках.
1) построениеграфика зависимости остатка времени и визуальное определение наличия илиотсутствия автокорреляции.
2) Использованиекритерия Дабрина-Уотсона. В этом случае рассчитывается величина
d=/>.
После вычислениякоэффициента d выдвигается гипотеза Ho об отсутствии автокорреляции востатках. Альтернативные гипотезы H1 и Н1* наличие положительной или отрицательной автокорреляции. Далее поспец. Таблицам значения критерия Дарбина-Уотсона определяется критическоезначение dL и du для количественного наблюдения и числа независимыхпеременных к. кроме этого задается уровень значимости L по значениям dLи du числовой промежуток разбивается на 5отрезков. При этом принятые гипотезы Но с вероятностью 1-l определяется с помощью схемы:
/>
В зависимости от того вкакую область попадает фактическое значение критерия Д-У d можно сделать сл. Выводы. Если вобласти 1 существует положительная автокорреляция Но отклоняется в свероятностью 1-l принимаетсягипотеза Н1. в область 3- нет основания отвергать нулевую гипотезу, т.еавтокорреляция остатков отсутствует. В область 5 – существует отрицательнаяавтокорреляция в остатках. Но отклоняется и также с вероятностью 1-l принимается Н1*.в область 2 или 4 –зоны неопределенности. В этом случае на практике предполагают существованиеавтокорреляции остатка и отклоняют гипотезу Но.
Ограничения применениякритерия Д-У.
1. он не применим кмоделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значениярезультативного признака, т.е. к моделям автокорреляции.
2. методика расчетаи использования критерия Д-У направлена на выявление автокорреляции толькоперового порядка. При проверке остатка на автокорреляцию более высокого порядкаприменяются др. методы.
3. критерий даетдостоверные результаты только для больших выборок.
33. оцениваниепараметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках.
/>
к этому уравнении.Применим несколько допущений:
1. пусть У и Х несодержат тенденции.
2. пусть a и b найдены МНК.
3. пусть критерийД-У показал наличие автокорреляции в остатках.
автокорреляция в остаткахпервого порядка – каждый сл. Уровень остатков зависит от предыдущего.Следовательно, существует модель регрессии вида/>где c и dнеизвестные параметры, />остатки остатков. В соответствии срабочими формулами МНК c и d сл. Образом:
с=/>
после того, как найдены c и d можно сказать, что уравнение регрессии между Х и Уприобретают вид:
/>
Это означает, что Yt зависит не только от Х, но и от Е.потому, чтобы избавиться от автокорреляции в остатках необходимо использоватьобобщенный МНК. Для его реализации необходимо выполнить сл. Условия:
1. исходныепеременные Yt и Xt преобразуем к виду:
/>
2. применив обычныйМНК уравнения/>рассчитываем параметры a’ и b.
3. рассчитатьпараметр а исходного уравнения по формуле
/>
4. записатьуравнение с найденными a и b.
основная проблема,связанная с применением данного алгоритма заключается в том, чтобы построитьоценку. Основанной способ вычисления этого коэффициента: как оценка понепосредственным остаткам, которые получаются из исходного уравнения регрессиии получение его приближенного значения из соотношения между коэффициентомкорреляции перового порядка и критерием
Д-У./>
34. оцениваниепараметров структурной модели
Коэффициенты структурноймодели могут быть оценены разными способами, в зависимости от вида системыодновременных уравнений. Наибольшее распространение получили сл. Элементы:
-косвенный МНК (КМНК).
— двухшаговый МНК.(ДМНК).
— трехшаговый МНК.
— Метод мах правдоподобияс полной информацией.
— метод мах правдоподобияпри ограниченной информации.
Косвенный МНК.Применяется для идентифицируемой модели одновременных уравнений. Он достаточнолегко реализуем и предполагает выполнение сл. Этапов: структурная форма моделипреобразуется в приведенную, для каждого уравнения приведенной формыопределяются коэффициенты ?ijобычно МНК коэффициенты приведенной модели трансформируются в параметрыструктурной модели.
ДМНК. Если модельСверхидентифицируемая, то использовать КМНК нельзя, т.е. в этом случае,однозначных оценок для параметров структурной модели не получится. Основнаяидея ДМНК на основе приведенной формы модели — получить длясверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных,содержащихся в правой части уравнения. Далее подставив эти значения можноприменить обычный МНК в структурной форме сверхидентифицируемого уравнения.Метод получил название двухшагового, т.к. дважды используется обычный МНК. Напервом шаге при определении приведенной формы модели и нахождения на ее основеоценок теоретических значений эндогенных переменных и на втором этапеприменительно сверхидентифицируемой. Сверхидентифицируемые модели делятся на 2вида: — все уравнения в системе сверхидентифицируемые; — содержат какидентифицируемые, так и сверхидентифицируемые уравнения. Если все уравнениясистемы сверхидентифицируемые, то для оценок структурных коэффициентов каждогоуравнения применяется ДМНК. Если в системе есть идентифицируемые уравнения, тоструктурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.
Метод мах правдоподобияиспользуется как наиболее распространенный метод оценивания, результатыкоторого при нормальном распределении совпадаю с МНК. Но при большом числеуравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительнымпроцедурам, поэтому в качестве модификации используется метод мах правдоподобияс ограниченной информацией. В отличии от метода мах правдоподобия в общем виде,в этом методе сняты ограничения на параметры, связанные с функционированиемсистемы в целом.