--PAGE_BREAK-- Q-статистика принимает нулевой гипотезу об отсутствии автокорреляции и строится по следующему уравнению:
, (4)
где j-номер соответствующего лага, — автокорреляция при соответствующем лаге, T- количество измерений. При отсутствии автокорреляции значения Q могут асимптотически приближаться к соответствующему значению со степенью свободы равной номеру лага. Q-статистика широко используется для определения того является ли ряд белым шумом.
Как видно из коррелограммы(Q-теста) первые значения функции имеют достаточно большие значения, при том, что заметно их последующее уменьшение при увеличении номера лага. Также на графике же частичной автокорреляции заметен первый «выдающийся» лаг, и увеличение Q на большее значение, чем по таблицам распределения, что чётко указывает на наличие автокорреляции в модели.
При отсутствии автокорреляции Q?статистика показала бы все значения функции, колеблющиеся около нуля, независимо от номера лага.
Для того чтобы окончательно убедиться в наличии автокорреляции в модели следует проанализировать результаты по тесту Бреуша-Годфри, в котором строится уравнение вида:
(5)
В регрессионной модели, построенной на основании уравнения (5) рассматривается произведение коэффициента детерминации и количества измерений. За нулевую гипотезу принимается то, что все коэффициенты нового уравнения имеют нулевые значения, или статистически незначимы, то есть отсутствие автокорреляции. Альтернативная же гипотеза говорит о наличии в исходной модели проблемы автокорреляции
Таким образом, рассматриваем значение «Obs*R-square» и сравниваем его с соответствующим критически значением из таблиц распределения с количеством степеней свободы равным 1, так как количество степеней свободы равно количеству лагов (в данном случае один).
Наблюдаемое значение оказалось больше критического(7.88 для =0.005), следовательно принимается альтернативная гипотеза, что окончательно убеждает в том, что в модели присутствует положительная (по Дарбину-Уотсону) автокорреляция первого порядка.
— была построена регрессионная модель, с хорошими показаниями t-статистик и высоким коэффициентом детерминации;
— в модели отсутствует гетероскедастичность;
— тесты Бреуша-Годфри и Q-тест выявили в модели наличие автокорреляции;
— для улучшения качества модели, а так же её прогнозных свойств автокорреляцию следует устранить.
Глава 3. Устранение автокорреляции Как известно широко используемыми методами усовершенствования модели с целью устранения автокорреляции являются:
— уточнение состава переменных, то есть устранение одной либо нескольких переменных или добавление переменных;
— изменение формы зависимости.
Если после ряда этих действий автокорреляция по-прежнему имеет место, то возможны некоторые преобразования, её устраняющие.
Для усовершенствования модели было решено добавь ещё одну переменную в анализ. Эта экзогенная переменная определяется как разность экспорта и импорта страны, и в экономической среде получила название чистого экспорта (EX-IM=NX).
Таким образом, в модели появляется третяя объясняющая переменная и зависимость принимает следующий вид:
(6)
Данное уравнение является основным макроэкономическим тождеством для стран с открытой экономикой, какими и являются большинство стран мира.
При построении регрессионной модели были получены следующие данные:
Dependent Variable: GDP
Method: Least Squares
Date: 12/11/08 Time: 19:23
Sample: 1999:1 2008:2
Included observations: 38
GDP=C(1)+C(2)*IG+C(3)*CONS+C(4)*NX
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C(1)
9.983102
15.40599
0.648001
0.5213
C(2)
1.041238
0.031994
32.54493
0.0000
C(3)
1.004281
0.017836
36.30674
0.0000
C(4)
0.890623
0.063486
14.02859
0.0000
R-squared
0.999753
Mean dependent var
4283.858
Adjusted R-squared
0.999731
S.D. dependent var
2609.517
S.E. of regression
42.77300
Akaike info criterion
10.44899
Sum squared resid
62204.00
Schwarz criterion
10.62137
Log likelihood
-194.5308
Durbin-Watson stat
2.338553
Уравнение регрессии после округления принимает следующий вид:
(7)
Как видно из таблицы, все объясняющие переменные статистически значимы, а коэффициент детерминации очень высок. Все коэффициенты имеют верный знак и значение, которое очень приближено к значениям коэффициентов в основном макроэкономическом тождестве. С(1) статистически незначим, что можно проинтерпретировать таким образом, что новая модель наиболее приближена к исходному теоретическому уравнению (6). В качестве предварительного анализа на проблему автокорреляции легко заметить, что значение статистики Дарбина-Уотсона находится в области отсутствия автокорреляции (d1=1,318, du=1,656).
Из всего вышесказанного можно сделать следующие выводы:
— модель не имеет проблем спецификации, она качественна и адекватна по первоначальному анализу;
— предварительный анализ по статистике Дарбина-Уотсона указал на отсутствие автокорреляции.
Для того чтобы убедиться в отсутствии автокорреляции в модели проведём тест Бреуша-Годфри и проверим модель на Q- статистике:
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic
1.250798
Probability
0.271476
Obs*R-squared
1.387714
Probability
0.238791
Test Equation:
Dependent Variable: RESID
Method: Least Squares
Date: 12/11/08 Time: 19:25
Presample missing value lagged residuals set to zero.
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C(1)
-2.488241
15.50988
-0.160429
0.8735
C(2)
-0.011896
0.033604
-0.353999
0.7256
C(3)
0.003454
0.018037
0.191509
0.8493
C(4)
0.007246
0.063584
0.113957
0.9100
RESID(-1)
-0.208047
0.186023
-1.118391
0.2715
R-squared
0.036519
Mean dependent var
-1.42E-12
Adjusted R-squared
-0.080267
S.D. dependent var
41.00231
S.E. of regression
42.61611
Akaike info criterion
10.46442
Sum squared resid
59932.38
Schwarz criterion
10.67989
Log likelihood
-193.8240
Durbin-Watson stat
1.998121
AC
PAC
Q-Stat
Prob
1
-0.162
-0.162
1.0715
0.301
2
-0.156
-0.187
2.0992
0.350
3
0.064
0.004
2.2754
0.517
4
0.387
0.394
8.9637
0.062
5
-0.352
-0.245
14.681
0.012
6
-0.146
-0.178
15.697
0.015
7
0.157
0.015
16.901
0.018
8
0.091
-0.011
17.317
0.027
9
-0.101
-0.099
29.374
0.001
10
0.107
0.041
29.997
0.001
11
0.083
-0.117
30.385
0.001
12
-0.066
-0.062
30.637
0.002
13
-0.163
0.132
32.256
0.002
14
0.104
-0.202
32.947
0.003
15
0.073
-0.022
33.303
0.004
16
-0.142
-0.057
34.694
0.004
Видим, что значение «Obs*R-squared» в статистике Бреуша-Годфри меньше соответствующего ему критического значения =7.88 при =0.005. Значения Q-статистики и графиков также указываю на отсутствие автокорреляции в новой модели.
Заключение Таким образом, после проделанной работы можно сделать следующие выводы:
— используя реальные поквартальные статистические данные российской Федерации с 1999 года по второй квартал 2008 года была доказана справедливость основного макроэкономического тождества;
— были построены две регрессионные модели для более детального анализа проблемы автокорреляции, в первой из которых было две экзогенных переменных, а во второй три;
— в первой из построенных моделей наблюдалась проблема положительной автокорреляции первого порядка, которая была первоначально обнаружена при помощи статистики Дарбина-Уотсона, и более тщательно исследована на примере тестов Бреуша-Годфри и Q-статистики;
— в первой модели также присутствовал «свободный член», статистически значимый коэффициент с(1), значение которого было слишком велико, что говорило о неполном соответствии построенного уравнения регрессии теоретическому уравнению;
— для устранения автокорреляции и усовершенствования модели была введена третья объясняющая переменная;
— вторая модель была проверена рядом тестов, после чего можно было заключить, что она качественна и не обладает проблемой автокорреляции, то есть данная проблема была устранена путём введения новой переменной в модель;
— в работе удалось проанализировать модели, обосновать их экономический смысл на базе знаний из курса экономической теории, а также улучшить одну из них.
Список использованных источников 1. Бородич С.А. Вводный курс эконометрики – Мн., 2000.
2. Eviews users guide 3.1.
3. www.gsk.ru
Приложение 1
Рис. 1
Приложение 2 ADF Test Statistic
-5.278444
1% Critical Value*
-4.2412
5% Critical Value
-3.5426
10% Critical Value
-3.2032
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(CONS)
Method: Least Squares
Date: 12/11/08 Time: 19:00
Sample(adjusted): 1999:4 2008:2
Included observations: 35 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
D(CONS(-1))
-1.636006
0.309941
-5.278444
0.0000
@TREND(1999:1)
12.54844
3.021702
4.152773
0.0002
R-squared
0.719844
Mean dependent var
11.88857
Adjusted R-squared
0.692732
S.D. dependent var
211.7761
S.E. of regression
117.3913
Akaike info criterion
12.47611
Sum squared resid
427201.9
Schwarz criterion
12.65387
Log likelihood
-214.3320
F-statistic
26.55085
Durbin-Watson stat
2.101394
Prob(F-statistic)
0.000000
ADF Test Statistic
-20.99004
1% Critical Value*
-4.2412
5% Critical Value
-3.5426
10% Critical Value
-3.2032
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(IG)
Method: Least Squares
Date: 12/11/08 Time: 18:56
Sample(adjusted): 1999:4 2008:2
Included observations: 35 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
D(IG(-1))
-2.200495
0.104835
-20.99004
0.0000
@TREND(1999:1)
9.663892
2.439289
3.961766
0.0004
R-squared
0.935547
Mean dependent var
19.71143
Adjusted R-squared
0.929310
S.D. dependent var
541.9242
S.E. of regression
144.0849
Akaike info criterion
12.88589
Sum squared resid
643574.0
Schwarz criterion
13.06365
Log likelihood
-221.5031
F-statistic
149.9904
Durbin-Watson stat
2.352758
Prob(F-statistic)
0.000000
ADF Test Statistic
-9.618956
1% Critical Value*
-4.2412
5% Critical Value
-3.5426
10% Critical Value
-3.2032
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(GDP)
Method: Least Squares
Date: 12/11/08 Time: 19:12
Sample(adjusted): 1999:4 2008:2
Included observations: 35 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
D(GDP(-1))
-2.088636
0.217137
-9.618956
0.0000
@TREND(1999:1)
26.31412
6.414595
4.102226
0.0003
R-squared
0.775601
Mean dependent var
33.28571
Adjusted R-squared
0.753884
S.D. dependent var
717.4181
S.E. of regression
355.9113
Akaike info criterion
14.69445
Sum squared resid
3926860.
Schwarz criterion
14.87221
Log likelihood
-253.1529
F-statistic
35.71550
Durbin-Watson stat
2.486933
Prob(F-statistic)
0.000000
PP Test Statistic
-6.168609
1% Critical Value*
-4.2324
5% Critical Value
-3.5386
10% Critical Value
-3.2009
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Lag truncation for Bartlett kernel: 1
( Newey-West suggests: 3 )
Residual variance with no correction
128108.6
Residual variance with correction
114483.1
Phillips-Perron Test Equation
Dependent Variable: D(IG)
Method: Least Squares
Date: 12/13/08 Time: 14:39
Sample(adjusted): 1999:3 2008:2
Included observations: 36 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
D(IG(-1))
-1.133453
0.183759
-6.168167
0.0000
@TREND(1999:1)
3.839129
5.997744
2.640095
0.1265
R-squared
0.438149
Mean dependent var
20.35833
Adjusted R-squared
0.510158
S.D. dependent var
534.1404
S.E. of regression
373.8380
Akaike info criterion
14.76518
Sum squared resid
4611909.
Schwarz criterion
14.89714
Log likelihood
-262.7732
F-statistic
19.22581
Durbin-Watson stat
2.134551
Prob(F-statistic)
0.000003
PP Test Statistic
-10.63290
1% Critical Value*
-4.2324
5% Critical Value
-3.5386
10% Critical Value
-3.2009
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Lag truncation for Bartlett kernel: 3
( Newey-West suggests: 3 )
Residual variance with no correction
200449.2
Residual variance with correction
30674.85
Phillips-Perron Test Equation
Dependent Variable: D(GDP)
Method: Least Squares
Date: 12/13/08 Time: 14:44
Sample(adjusted): 1999:3 2008:2
Included observations: 36 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
D(GDP(-1))
-1.243348
0.182298
-6.820400
0.0000
@TREND(1999:1)
14.23606
7.613909
2.869744
0.0704
R-squared
0.587667
Mean dependent var
34.34444
Adjusted R-squared
0.562677
S.D. dependent var
707.1235
S.E. of regression
467.6236
Akaike info criterion
15.21286
Sum squared resid
7216171.
Schwarz criterion
15.34482
Log likelihood
-270.8315
F-statistic
23.51620
Durbin-Watson stat
2.209326
Prob(F-statistic)
0.000000
продолжение
--PAGE_BREAK--