Методыпостроения функции принадлежности требований к заданному уровню качества
Существует значительноеколичество методов построения по экспертным оценкам функций принадлежностинечеткого множества m А(х). Выделяют две группы методов: прямые и косвенныеметоды.
Прямые методыхарактеризуются тем, что эксперт непосредственно задает правила определениязначений функции принадлежности m А(х), характеризующей элемент х. Эти значениясогласуются с его предпочтениями на множестве элементов Х следующим образом:
1. для любых х1, х2I Х m А(х1)
2. для любых х1, х2I Х m А(х1)=m А(х2) тогда и только тогда, когда х1 и х2 безразличныотносительно свойства А.
Примерами прямых методовявляются непосредственное задание функции принадлежности таблицей, графиком илиформулой. Недостатком этой группы методов является большая доля субъективизма.
В косвенных методах значенияфункции принадлежности выбираются таким образом, чтобы удовлетворить заранеесформулированным условиям. Экспертная информация является только исходнойинформацией для дальнейшей обработки. Дополнительные условия могут налагатьсякак на вид получаемой информации, так и на процедуру обработки. Краткаяхарактеристика наиболее часто используемых косвенных методов построения функцийпринадлежности.
1. Построение функцийпринадлежности на основе парных сравнений
Метод основан наобработке матрицы оценок, отражающих мнение эксперта об относительнойпринадлежности элементов множеству или степени выраженности у них некоторогооцениваемого свойства.
Потребуем, чтобы для всехэлементов множества А выполнялось равенство:
/> (1)
Степень принадлежностиэлементов множеству А будет определятся посредством парных сравнений. Длясравнения элементов используются оценки, приведенные в таблице 1:
Таблица 1Интенсивность относительной важности Определение 1 Равная важность сравниваемых требований 3 Умеренное (слабое) превосходство одного над другим 5 Сильное (существенное) превосходство 7 Очевидное превосходство 9 Абсолютное (подавляющее) превосходство 2, 4, 6, 8 Промежуточные решения между двумя соседними оценками
Оценку элемента хі посравнению с элементом хj с точки зрения свойства А обозначим через аij. Дляобеспечения согласованности примем аij = 1/аji. Оценки аij составляют матрицу S= ¦аij¦.
Найдем W = (w1,...,wn) –собственный вектор матрицы S, решая уравнение
/> , (2)
где ? – собственноезначение матрицы S.
Вычисленные значения,составляющие собственный вектор W, принимаются в качестве степенипринадлежности элемента х к множеству А: m А(xi) = wi;. Так как всегдавыполняется равенство S•W=n•W, то найденные значения тем точнее,чем ближе ?max к n. Отклонение ?max от n может служить меройсогласованности мнений экспертов.
2. Построение функцийпринадлежности с использованием статистических данных
Предположим, что наблюдаяза объектом в течение некоторого времени, человек n раз фиксирует свое вниманиена том, имеет место факт А или нет. Событие, заключающееся в n проверкахналичия факта А будем называть оценочным. Пусть в k проверках имел место фактА. Тогда эксперт регистрирует частоту p=k/n появления факта А и оценивает ее спомощью слов «часто», «редко» и т.п.
На универсальной шкале[0,1] необходимо разместить значения лингвистической переменной: Весьма редко,более – менее редко, более менее часто, весьма часто. Тогда степеньпринадлежности некоторого значения вычисляется как отношение числаэкспериментов, в которых оно встречалось в определенном интервале шкалы, кмаксимальному для этого значения числу экспериментов по всем интервалам. Методтребует выполнения условия, чтобы в каждый интервал шкалы попадало одинаковоечисло экспериментов. Если это условие не выполняется, требуется дополнительнаяобработка экспериментальных данных с помощью так называемой матрицы подсказок.
3. Построение функцийпринадлежности на основе экспертных оценок
Рассмотрим особенностипостроения функций принадлежности для приближенных точечных (например, Хприблизительно равен 10) и интервальных оценок (вида Х находится приблизительнов интервале от 8 до 11). Естественно предположить, что функцию, необходимостроить следующим образом:
если ? ? х ??, то ?(?, ?) (х) = 1;
если х
если х
где ?(?,?) (х) – функция принадлежности нечеткому интервалу (?, ?);
??(х) и??(х) – функции принадлежности нечетким множествам чисел, приближенноравных соответственно ? и ?.
При построении функциипринадлежности чисел, приблизительно равных некоторому k, можно использоватьфункцию
/> (3)
где ? зависит оттребуемой степени нечеткости ?k(х), и определяется из выражения
/> (4)
где b — расстояние междуточками перехода для ?k(х), т.е. точками, в которых функция вида принимаетзначение 0,5.
Таким образом, задачапостроения ?k(х) для некоторого числа сводиться к отысканию параметров а ив, чтобы можно было определить ? (х), с помощью ?(х) – ? ?,используя ?, построить ?k(х).
4. Параметрический подходк построению функций принадлежности
Описываемый методпостроения функций принадлежности основан на предположении, что экспертхарактеризуя лингвистическое значение какого-либо признака, с минимальнымнапряжением может указать три точки шкалы: А, В, С, из которых В и С – точки,по его мнению, еще (или уже) не принадлежащие описываемому лингвистическомузначению, А – точка, определенно принадлежащая ему.
Пусть имеютсяпараметрическое описание термов t и tI двух значений некоторой лингвистическойпеременной. Один из термов может представлять собой модификацию (ограничение)другого: tI = h (t), где h – ограничение на t типа ДОВОЛЬНО, БОЛЕЕ – МЕНЕЕ, НЕОЧЕНЬ и т.п. Задача состоит в том, чтобы используя параметры термов t: (z1, z2,z3) и tI: (?1, ?2, ?3) описать переход от t к tI (параметрысчитаются упорядоченными отношением «меньше»).
Очевидно, что S –образную функцию можно рассматривать, как вырожденный случай треугольнойфункции, в которой один из параметров z1 или z2 стремится к бесконечности.Таким образом, задача состоит в том, чтобы описать переход между любыми двумяформами
Для решения этой задачииспользуется аппарат автоморфных функций. Рассмотрим дробно-линейноеотображение прямой на себя вида
/> (5)
преобразование Т-1,обратное Т, получается, если уравнение
/>
разрешить относительно?:
/> (6)
Таким образом, припараметрическом представлении функций принадлежности задача описания переходаот одного терма t: (z1, z2, z3) к другому tI: (?1, ?2, ?3)решается непосредственным подсчетом четырех параметров – коэффициентовдробно-линейного преобразования по формулам:
/> (7)
Эти же коэффициенты приподстановке в (6) определяют обратный переход от tI к t.
Рассмотрим теперь переходот терма t треугольной формы к терму tI с S – образной функцией принадлежности.Для дробно-линейных преобразований этому случаю соответствует переход от однойиз крайних заданных точек в положение бесконечно-удаленной точки.
Если z1 = ?, топараметры дробно-линейного преобразования
/> (8)
Если z3 = ?, то
/> (9)
Рассмотрим случай, когдафункции принадлежности представляются S – образной или просто наклонной кривой.В этом случае имеет место линейное отображение прямой
/> (10)
Параметры преобразования(10)
/> (11)
Обратный переход (у >х) осуществляется по формуле
/> (12)
5. Построение функциипринадлежности на основе ранговых оценок
Данный метод разработанА.П. Ротштейном и базируется на идее распределения степени принадлежностиэлементов универсального множества согласно с их рангами.
Будем понимать под рангомэлемента хіI Х число rs(xi), которое характеризует значимость этогоэлемента в формировании свойства, которое описывается нечетким термом.Допускаем, что выполняется правило: чем больший ранг элемента, тем большестепень принадлежности.
Введем также обозначения:
/>
Тогда правилораспределения степеней принадлежности можно задать в виде соотношения:
/> (13)
к которому добавляетсяусловие нормирования
/> (14)
Используя соотношение(13) легко определить степени принадлежности всех элементов универсальногомножества через степени принадлежности опорного элемента.
Если опорным элементомявляется элемент х1 I Х с принадлежностью m 1, то
/> (15)
Для опорного элемента х2I Х с принадлежностью m 2, получаем
/> (16)
Для опорного элемента хnI Х с принадлежностью m n, имеем
/> (17)
Учитывая условиенормировки (14) из соотношений (15) – (17) находим:
/> (18)
Полученные формулы (18)дают возможность вычислять степени принадлежности m S(xi) двумя независимымипутями:
- по абсолютным оценкамуровней ri />,, которые определяются по 9-ти бальной шкале (1 – наименьший ранг, 9 –наибольший ранг).
- по относительнымоценкам рангов
/>
которые образуют матрицу:
/> (19)
Эта матрица обладаетследующими свойствами:
а) она диагональная, т.е.аiі=1 />;
б) элементы, которыесимметричны относительно главной диагонали, связаны зависимостью: аij=1/аji;
в) она транзитивна, т.е.аiк? акi, поскольку
/>
Наличие этих свойствприводит к тому, что при известных элементах одной строки матрицы А легкоопределить элементы всех других строк. Если известна r-я строка, т.е. элементыакj, k />,,то произвольный элемент аij находиться так />
Поскольку матрица (19)может быть интерпретирована как матрица парных сравнений рангов, то дляэкспертных оценок элементов этой матрицы можно использовать 9 – ти бальнуюшкалу Саати:. Эта шкала приведена ранее, в табл. 1.
Таким образом, с помощьюполученных формул (6.5.18), экспертные значения о рангах элементов или ихпарные сравнения преобразуются в функцию принадлежности нечеткого терма.
Алгоритм построенияфункции принадлежности включает в себя следующие операции:
1. Задать лингвистическуюпеременную;
2. Определитьуниверсальное множество, на котором задается лингвистическая переменная;
3. Задать совокупностьнечетких термов {S1, S2,…, Sm}, которые используются для оценки переменной;
4. Для каждого терма Sj />, сформироватьматрицу (19);
5. Используя формулы (18)вычислить элементы функций принадлежности для каждого терма.
Нормирование найденныхфункций осуществляется путем деления на наибольшие степени принадлежности.
Главным преимуществомметода является то, что в отличие от метода парных сравнений, он не требуетрешения характеристического уравнения. Полученные соотношения дают возможностьвычислять функции принадлежности с использованием ранговых оценок, которыедостаточно легко получить при экспертном опросе.
Кроме описанных методовпостроения функций принадлежности, нашедших наиболее широкое практическоеприменение, имеется еще значительное число методов, описанных в литературе (методинтервальных оценок, метод семантического дифференциала и т.д.).
При выборе методанеобходимо учитывать, как правило, сложность получения экспертной информации,особенно организации и проведения экспертизы, достоверность экспертнойинформации, трудоемкость алгоритма обработки информации при построении функциипринадлежности.
В нашем случае функцияпринадлежности m (xi,j), входящая в формулу (4) для оценки качества системызащиты информации, характеризует лингвистическую переменную «степеньвыполнения j-го требования при защите от i-ой угрозы». В заключение рассмотримпример построения функции принадлежности m (хij)=m (xi) методом Ротштейна.
Рассмотрим лингвистическуюпеременную «качество», характеризуемое степенью выполнения некотороготребования. Эта лингвистическая переменная определена на универсальном множествевариантов: хі, />. Уровень качества будем оцениватьтакими нечеткими термами: Н – низкий; С – средний; В – высокий.
Пусть в результатеэкспертного опроса сформированы матрицы (19) для каждого терма. При сравнениивариантов используется табл. 1.
/>
матрицастатистический ранговый лингвистическая переменная
После обработки этихматриц по формулам (18) получим функции принадлежности.