Министерство образования инауки республики КазахстанКазНУ им. Аль-Фараби
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХСИСТЕМ
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине
Системный анализи задачи
математическогопрограммирования
на тему:
Методы экономического программирования.
выполнил: студент 2 курса,
группыИС 04 03 А
ГришкоМихаил
проверил: к. ф.-м. н., доцент кафедры ИС Тургенбаева Г.А.
Алматы 2005г.
Содержание.
1. Введение…………………………………………………………………………………………..3
2. Теоретическая часть……………………………………………………………………………...4
2.1. Математическое представлениеи структура экономических показателей………………4
2.2. Предварительный анализ иобработка временных рядов…………………………………5
2.2.1. Выявление и устранениеаномальных значений……………………………………..5
2.2.2. Выявление тренда……………………………………………………………………...5
2.2.3. Определение сезонныхколебаний……………………………………………………7
2.2.4. Сглаживание временныхрядов……………………………………………………….9
2.3. Расчет показателей динамикиразвития экономических процессов…………………….10
2.4. Прогнозирование экономическихпоказателей…………………………………………...13
2.4.1. Трендовые модели на основекривых роста………………………………………...13
2.4.1.1. Выбор типа кривых роста…………………………………………………….14
2.4.1.2. Методы определенияпараметров отбора кривых роста…………………...17
2.4.1.3. Определение адекватности трендовой модели…………………………….18
2.4.1.4. Точность прогнозатрендовой модели……………………………………....20
2.4.1.5. Верификация прогноза……………………………………………………….22
2.4.2. Адаптивные моделипрогнозирования………………………………………………23
3. Практическая часть……………………………………………………………………………..25
3.1. Постановка задачи…………………………………………………………………………..25
3.2. Построение модели…………………………………………………………………………25
3.3. Адекватность и точность…………………………………………………………………..28
3.3.1. Случайность колебаний уровнейостаточной последовательности……………….28
3.3.2.Соответствие распределения случайной компоненты нормальному законураспределения……………………………………………………………………….28
3.3.3. Равенство математическогоожидания случайной компоненты нулю……………28
3.3.4. Независимость значенияуровней случайной компоненты………………………..29
3.3.5. Точность прогнозапостроенной трендовой модели……………………………….29
4. Заключение……………………………………………………………………………………...30
5. Список использованных источников………………………………………………………….31
1. Введение.
Предсказание временныхрядов – необходимый элемент любой инвестиционной деятельности. Сама идеяинвестиций – вложение денег сейчас с целью получения доходав будущем – основывается на идее прогнозирования будущего. Соответственно,предсказание финансовых временных рядов лежит в основе деятельности всейиндустрии инвестиций – всех бирж и внебиржевых систем торговли ценнымибумагами.
Прогнозированиеэкономических показателей основано на идее экстраполяции. Под экстраполяциейобычно понимают распространение закономерностей, связей и соотношений,действующих в изучаемом периоде, за его пределы. В более широком смысле словаее рассматривают как получение представлений о будущем на основе информации,относящейся к прошлому и настоящему. В процессе построения прогнозных моделей вих структуру иногда закладываются элементы будущего предполагаемого состоянияобъекта или явления, но в целом эти модели отражают закономерности, наблюдаемыев прошлом и настоящем, т.е. прогноз возможен лишь относительно таких объектов иявлений, которые в значительной степени детерминируются прошлым и настоящим.
Цель данногокурсового проекта – рассмотреть основные методы экономического прогнозирования,а также решить поставленную задачу с помощью трендовых моделей на основе кривыхроста.
2. Теоретическая часть
2.1. Математическое представление и структура экономических показателей.
Динамическиепроцессы, происходящие в экономических системах, чаще всего проявляются в видеряда последовательно расположенных в хронологическом порядке значений того илииного показателя, который в своих изменениях отражает ход развития изучаемогоявления в экономике. Эти значения, в частности, могут служить для обоснования(или отрицания) различных моделейсоциально-экономических систем. Они служат также основой для разработкиприкладных моделей прогнозирования особого вида, которые будут подробнеерассматриваться ниже.
Последовательностьнаблюдений одного показателя (признака), упорядоченных в зависимости отпоследовательно возрастающих или убывающих значений другого показателя(признака), называют динамическим рядом, или рядом динамики. Если в качествепризнака, в зависимости от которого происходит упорядочение, берется время, тотакой динамический ряд называется временным рядом.
Если вовременном ряду проявляется длительная тенденция изменения экономическогопоказателя, то говорят, что имеет место тренд. Таким образом, под трендомпонимается изменение, определяющее общее направление развития, основнуютенденцию временных рядов. В связи с этим экономико-математическая динамическаямодель, в которой развитие моделируемой экономической системы отражается черезтренд ее основных показателей, называется трендовой моделью. Для выявлениятренда во временных рядах, а также для построения и анализа трендовых моделейиспользуется аппарат теории вероятностей и математической статистики.
Во временныхрядах экономических процессов могут иметь место более или менее регулярныеколебания. Если они носят строго периодический или близкий к нему характер изавершаются в течение одного года, то их называют сезонными колебаниями. В техслучаях, когда период колебаний составляет несколько лет, то говорят, что вовременном ряде присутствует циклическая компонента. Тренд, сезонная ициклическая компоненты называются регулярными, или систематическимикомпонентами временного ряда. Составная часть временного ряда, остающаяся послевыделения из него регулярных компонент, представляет собой случайную,нерегулярную компоненту. Она является обязательной составной частью любоговременного ряда в экономике, так как случайные отклонения неизбежно сопутствуютлюбому экономическому явлению.
Таким образом,в общем случае имеем временной ряд, состоящий из n уровней:
y1, y2, … , yn . (1)
В самом общем случае временнойряд экономических показателей можно разложить на четыре структурно образующихэлемента:
· Ut, t= 1, 2, ..., n;
· Vt, t = 1, 2, ..., n;
· Ct, t= 1, 2, ..., n;
· ?t, t= 1, 2, ..., n.
Еслисистематические компоненты временного ряда определены правильно, что как раз исоставляет одну из главных целей при разработке трендовых моделей, тоостающаяся после выделения из временного ряда этих компонент так называемаяостаточная последовательность (ряд остатков) будет случайной компонентой ряда,т.е. будет обладать следующими свойствами:
·
·
·
·
Проверка адекватности трендовыхмоделей основана на проверке выполняемости у остаточной последовательностиуказанных четырех свойств. Если не выполняется хотя бы одно из них, модельпризнается неадекватной; при выполнении всех четырех свойств модель адекватна.
2.2. Предварительный анализ и обработка временных рядов экономическихпоказателей.
Предварительныйанализ временных рядов экономических показателей заключается в основном ввыявлении и устранении аномальных значений уровней ряда, а также в определенииналичия тренда и его характера в исходном временном ряде. К предварительнойобработке временных рядов относятся методы изменения временных рядов в цельюболее четкого выделения тенденций развития, сглаживания временного ряда и др.
2.2.1 Выявление и устранение аномальных значенийвременных рядов экономических показателей.
Под аномальнымуровнем понимается отдельное значение уровня временного ряда, которое неотвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы икоторое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние назначения основных характеристик временного ряда, в том числе на соответствующуютрендовую модель. Причинами аномальных наблюдений могут быть ошибки техническогопорядка, или ошибки, первого рода: ошибки при агрегировании и дезагрегированиипоказателей, при передаче информации и другие технические причины. Ошибкипервого рода подлежат выявлению и устранению. Кроме того, аномальные уровни вовременных рядах могут возникать из-за воздействия факторов, имеющих объективныйхарактер, но проявляющихся эпизодически, очень редко — ошибки второго рода; ониустранению не подлежат.
Для выявленияаномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистическихсовокупностей.
Метод Ирвина,например, предполагает использование следующей формулы:
; t =1, 2, ..., n, (2)
где среднеквадратическоеотклонение
; . (3)
Расчетныезначения ?tсравниваются с табличными значениями критерия Ирвина??, и если оказываются больше табличных, тосоответствующее значение yt уровня ряда считается аномальным.
Послевыявления аномальных уровней ряда обязательно определение причин ихвозникновения. Если точно установлено, что они вызваны ошибками первого рода,то они устраняются либо заменой аномальных уровней простой среднейарифметической двух соседних уровней ряда, либо заменой аномальных уровнейсоответствующими значениями по кривой, аппроксимирующей данный временной ряд.
2.2.2. Выявление тренда.
Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяетсянесколько методов:
Метод проверки разностей средних уровней.
Реализация этого метода состоитиз четырех этапов. На первом этапе исходный временной ряд
y1, y2, … , yn
разбивается надве примерно равные по числу уровней части: в первой части n1первых уровней исходного ряда, во второй – n2 остальныхуровней (n1+ n2= n).
На втором этапе для каждой изэтих частей вычисляются средние значения и дисперсии:
; ; (4)
; . (5)
Третий этапзаключается в проверке равенства (однородности) дисперсий обеих частей ряда спомощью F-критерия Фишера, которая основана на сравнении расчетного значенияэтого критерия:
= (6)
с табличным(критическим) значением критерия Фишера F? с заданным уровнемзначимости (уровнем ошибки) ?. Вкачестве ? чаще всего берутзначения 0,1 (10%-ная ошибка), 0,05 (5%-ная ошибка), 0,01 (1%-ная ошибка).Величина 1 — ? называетсядоверительной вероятностью.
Если расчетноезначение F меньше табличного F?, то гипотеза о равенстведисперсий принимается и переходят к четвертому этапу. Если F больше или равно F?,гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется и делается вывод, что данный методдля определения наличия тренда ответа не дает.
На четвертомэтапе проверяется гипотеза об отсутствии тренда с использованием t-критерия Стьюдента. Дляэтого определяется расчетное значение критерия Стьюдента по формуле:
, (7)
где ?— среднеквадратическоеотклонение разности средних:
. (8)
Если расчетноезначение t меньше табличного значения статистики Стьюдента t? сзаданным уровнем значимости ?, гипотеза принимается, т.е. тренда нет, впротивном случае тренд есть. Заметим, что в данном случае табличное значение t?берется для числа степеней свободы, равного
Метод Фостера—Стъюарта. Этот методобладает большими возможностями и дает более надежные результаты по сравнению спредьщущим. Кроме тренда самого ряда (как говорят, тренда в среднем), онпозволяет установить наличие тренда дисперсии временного ряда: если трендадисперсии нет, то разброс уровней ряда постоянен; если дисперсия увеличивается,то ряд «раскачивается» и т. д.
Реализацияметода содержит четыре этапа.
На первомэтапе производится сравнение каждого уровня исходного временного ряда, начинаясо второго уровня, со всеми предыдущими, при этом определяются две числовыепоследовательности:
если yt больше всехпредыдущих уровней;
kt= (9)
0, в противном случае,
1, если ytменьше всех предыдущих уровней;
lt= (10)
0, в противном случае
t = 2, 3, ..., n.
На втором этапе вычисляются величины s иd:
(11)
(12)
Величина s, характеризующая изменение временногоряда, принимает значения от 0 (все уровни ряда равны между собой) до n — l (ряд монотонный). Величина d характеризует изменение дисперсииуровней временного ряда и изменяется от -(n — 1) (рядмонотонно убывает) до (n — 1) (рядмонотонно возрастает).
Третий этапзаключается в проверке гипотез: можно ли считать случайными
1) sот величины ? — математическогоожидания величины s для ряда, вкотором уровни расположены случайнымобразом,
2) dот нуля.
Эта проверкапроводится с использованием расчетных значений t-критерия Стьюдента для средней и длядисперсии:
; ; (13)
; ; (14)
где ? — математическое ожиданиевеличины s, определенной для ряда, вкотором уровни расположены случайным образом;
?1 — среднеквадратическое отклонение для величины s;
?2 — среднеквадратическое отклонение для величины d.
На четвертомэтапе расчетные значения ts и td сравниваются с табличнымзначением t-критерияСтьюдента с заданным уровнем значимости t?. Если расчетноезначение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии соответствующего трендапринимается; в противном случае тренд есть. Например, если ts большетабличного значения t?, а td меньше t?, тодля данного временного ряда имеется тренд в среднем, а тренда дисперсии уровнейряда нет.
2.2.3. Выявление сезонных колебаний.
Сезонностьсвязывается, как правило, со сменой природно-климатических условий в рамкахограниченного промежутка времени – годового периода. Влияние сезонностипроявляется в аритмии производственных и других процессов: недогрузкапроизводственных мощностей в одни периоды года и более интенсивное ихиспользование в другие; неравномерное распределение внутри рамок года объемовгрузооборота и товарооборота и т.д.
Под сезоннымиколебаниями понимают регулярные, периодические наступления внутригодовыхподъемов и спадов производства, грузооборота и товарооборота и т. д., связанныхсо сменой времени года, а под сезонностью — ограниченность годового периодаработ под влиянием того же природного фактора.
Задачи, которые возникают приисследовании сезонных временных рядов:
1) ряду тренда иопределение степени его гладкости;
2) наличия во временном ряду сезонных колебаний;
3)
4)
5)
6)
Анализдинамики, или эволюции, сезонной волны может рассматриваться как процессрешения трех взаимосвязанных задач:
1)
2)
3)
На рис 4.1приведена укрупненная схема исследования сезонных временных рядов. Схема неопределяет методов решения каждой задачи, методы могут изменяться,совершенствоваться со временем, но она определяет совокупность ипоследовательность вопросов, которые должны быть решены для полногоисследования сезонного временного ряда.
рис1. Схема комплексного исследования тренд-сезонных временных рядов.
Упорядоченнаяво времени последовательность наблюдений экономического процесса называетсявременным рядом, и если процесс подвержен периодическим колебаниям, имеющимопределенный и постоянный период, равный годовому промежутку, то мы имеем делос тренд-сезонным временным рядом (сезонным временным рядом).
Рассматриваетсятренд-сезонный временной ряд {Yt},
Yt =Ut+Vt+?t (15)
где Ut — тренд;
Vt — сезонная компонента;
?t — случайная компонента;
Т — число уровней наблюдения.
Проблемаанализа сезонности заключается в исследовании собственно сезонных колебаний и визучении того внешнего циклического механизма, который их вызывает. Дляисследования сезонных колебаний вне связи с причинами, их порождающими,очевидно, необходимо отфильтровать из временного ряда {Yt} сезонную компоненту Vt и затем уже анализировать ее динамику. Большинство методовфильтрации построено таким образом, что предварительно выделяется тренд, азатем уже сезонная компонента. Тренд в чистом виде необходим и для анализадинамики сезонной волны.
Приисследовании сезонной волны Vtчаще всего предполагается, что она не изменяется год от года, т.е. i+k?m. На самом же деле такое предположение далеко отдействительности, по крайней мере для большинства экономических процессов. Длясезонной волны характерно изменение со временем как ее размаха, так и формы. Врезультате возникает необходимость в анализе и предсказании изменений сезоннойволны.
2.2.4. Сглаживание временных рядовэкономических показателей.
С целью болеечетко выявить тенденцию развития исследуемого процесса, в том числе длядальнейшего применения методов прогнозирования на основе трендовых моделей,производят сглаживание (выравнивание) временных рядов.
Методысглаживания временных рядов делятся на две основные группы:
1)
2) соседних уровней.
Суть методовмеханического сглаживания заключается в следующем. Берется несколько первыхуровней временного ряда, образующих интервал сглаживания. Для них подбираетсяполином, степень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в интервалсглаживания; с помощью полинома определяются новые, выровненные значенияуровней в середине интервала сглаживания. Далее интервал сглаживания сдвигаетсяна один уровень ряда вправо, вычисляется следующее сглаженное значение и т. д.
Самым простым методом механическогосглаживания является метод простойскользящей средней.
Сначала для временного ряда
y1, y2, … , yn
определяетсяинтервал сглаживания m(m применяется формула:
, t > p, (16)
где m); для четных m формула (16)усложняется.
В результатетакой процедуры получаются n– m + 1 сглаженных значений уровней ряда; при этом первые p и последние p уровней ряда теряются(не сглаживаются).
Другойнедостаток метода в том, что он применим лишь для рядов, имеющих линейнуютенденцию.
Метод взвешенной скользящей среднейотличается от предыдущего метода сглаживания тем, что уровни, входящие винтервал сглаживания, суммируются с разными весами. Это связано с тем, чтоаппроксимация ряда в пределах интервала сглаживания осуществляется сиспользованием полинома не первой степени, как в предыдущем случае, а степени,начиная со второй. Используется формула средней арифметической взвешенной:
, (17)
причем веса ptопределяются с помощью метода наименьших квадратов. Эти веса рассчитаны дляразличных степеней аппроксимирующего полинома и различных интерваловсглаживания.
К этой жегруппе методов выравнивания временных рядов примыкает метод экспоненциального сглаживания. Его особенность заключается втом, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения толькопредшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем вес наблюденияуменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяетсясглаженное значение уровня ряда. Если для исходного временного ряда
y1, y2, … , yn
соответствующиесглаженные значения уровней обозначить через St, t = 1, 2, ..., n, тоэкспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле:
(18)
где ? — параметр сглаживания (0
величина 1 — ? называется коэффициентом дисконтирования.
Используя приведенное вышерекуррентное соотношение для всех уровней ряда, начиная с первого и кончаямоментом времени t, можно получить, что экспоненциальная средняя, т.е.сглаженное данным методом значение уровня ряда, является взвешенной среднейвсех предшествующих уровней:
(19)
здесь S0— величина,характеризующая начальные условия.
2.3. Расчет показателей динамики развития экономических процессов.
Временной рядтогда правильно отражает объективный процесс развития экономического явления,когда уровни этого ряда состоят из однородных, сопоставимых величин. Длянесопоставимых величин вести расчет рассматриваемых ниже статистическихпоказателей динамики неправомерно. Причины несопоставимости уровней временногоряда могут быть различными. В экономике чаще всего такими причинами являетсянесопоставимость:
-
-
-
-
- в структуре совокупности, для которой онивычислены.
-
При анализе временных рядов дляопределения изменений, происходящих в данном явлении, прежде всего вычисляютскорость развития этого явления во времени. Показателем скорости служитабсолютный прирост, вычисляемый по формуле
(20)
где yi— i-й уровеньвременного ряда (i = 2, 3,..., n);
индекс k = 1, 2,..., n-1 определяет начальный уровень и может быть выбран любым взависимости от целей исследования:
при k = 1 получаются цепные показатели,
при k = i-1 получаются базисные показатели с начальным уровнем ряда вкачестве базисного и т.д.
Величина, характеризующаяскорость, т.е. прирост в единицу времени, носит название среднего абсолютногоприроста:
(21)
В частности, средний абсолютныйприрост за весь период наблюдения для данного временного ряда равен
(22)
и характеризует среднюю скоростьизменения временного ряда.
Дляопределения относительной скоростиизменения изучаемого явления в единицу времени используют относительныепоказатели: коэффициенты роста и прироста (если эти показатели выражены впроцентах, то их называют соответственно темпами роста и прироста).
Коэффициент роста для i-гoпериода вычисляется по формуле:
(23)
Ki(p) > 1, еслиуровень повышается; Ki(p)
Коэффициент прироста равен
(24)
или
(25)
На практике чаще применяютпоказатели темпа роста и темпа прироста:
(26)
где Ti(p) — темп прироста для i-го периода;
Ti(пp)= Ti(p) – 100% (27)
или
(28)
где Ti(пp) — темп прироста для i-гo периода.
Темп приростапоказывает, на сколько процентов уровень одного периода увеличился (уменьшился)по сравнению с уровнем другого периода, т.е. этот показатель выражаетотносительную величину прироста в процентах.
Важнойхарактеристикой временного ряда является также средний уровень ряда. В интервальном ряду динамики сравноотстоящими во времени уровнями расчет среднего уровня ряда производится поформуле простой средней арифметической (здесь и далее суммирование ведется повсем периодам наблюдения):
(29)
Если интервальный ряд имеетнеравноотстоящие во времени уровни, то средний уровень ряда (так называемая средняя хронологическая) вычисляется поформуле взвешенной арифметической средней, где роль весов играетпродолжительность времени (например, количество лет), в течение которогоуровень постоянен:
(30)
где t — число периодов времени, при которыхзначение уровня yt неизменяется. Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями средняяхронологическая рассчитывается по формуле:
(31)
где n — числоуровней ряда.
При анализевременных рядов часто возникает необходимость, кроме определения основныххарактеристик ряда, оценить зависимость изучаемого показателя yt от его значений,рассматриваемых с некоторым запаздыванием во времени. Зависимость значенийуровней временного ряда от предыдущих (сдвиг на 1), предпредыдущих (сдвиг на 2)и так далее уровней того же временного ряда называется автокорреляцией вовременном ряду. Для получения числовой характеристики такой внутреннейзависимости вычисляют взаимную корреляционную функцию между исходным рядом yt и этим же рядом, сдвинутымво времени на величину автокорреляционной, она характеризует внутреннюю структурувременного ряда и состоит из множества коэффициентов автокорреляции(нециклических), рассчитываемых по формуле:
(32)
Задавая различные значения
r1, r2, r3,…
На практике рекомендуется вычислять такиекоэффициенты в количестве
от n/4 до n/3.
Графикавтокорреляционной функции называется коррелограммом и показывает величинузапаздывания, с которым изменение показателя yt сказывается на его последующих значениях. Величинасдвига
В ряде случаев используетсяупрощенная формула для вычисления коэффициента автокорреляции:
(33)
где средний уровень ряда(см. формулу (32)).
2.4 Прогнозирование экономических показателей.
Приэкстраполяционном прогнозировании экономической динамики на основе временныхрядов с использованием трендовых моделей выполняются следующие основные этапы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Прогноз наосновании трендовых моделей (кривыхроста) содержит два элемента: точечный и интервальный прогнозы. Точечныйпрогноз — это прогноз, которым называется единственное значение прогнозируемогопоказателя. Это значение определяется подстановкой в уравнение выбранной кривойроста величины времени t,соответствующей периоду упреждения: t = n + 1; t = n + 2 и т.д. Такой прогнозназывается точечным, так как на графике его можно изобра