Задание для выполненияпрактической работы по дисциплине эконометрика
корреляциярегрессия гетероскедастичность
Работа включает в себяанализ реальных экономических данных при помощи изученных эконометрическихмоделей.
Работа должны бытьвыполнена в соответствии со следующими этапами:
1) Рассчитайтекорреляцию между, экономическими показателями (не менее 5) из статистическихданных по выборке не менее 30 наблюдений (из Интернета, печатных источников илиВашего предприятия). Интерпретируйте полученные данные.
2) Постройте линейную ине линейную (на свой выбор) множественную регрессию. Определите теоретическоеуравнение множественной регрессии. Оцените адекватность построенной модели.Определите значимость переменных, найдите среднюю ошибку аппроксимации (вручнуюв экселе), коэффициент детерминации, линейные коэффициенты корреляции междувсеми членами регрессии, найти критерий Фишера, Т-статистику и т. д.
3) Проверьте модели наотсутствие автокорреляции.
4) Проверка нагетероскедастичность моделей.
5) Сравните моделимежду собой выберете лучшую
Работа выполняется налистах формата А4, с титульным листом и обязательными выводами по работе. Решение:Сбор данных из интернет – источников получены данные средней продолжительностижизни, ВВП в паритетах покупательной способности, темпы приростанаселения по сравнению с предыдущим годом, %; темпы прироста рабочей силы по сравнениюс предыдущим годом, %; коэффициент младенческой смертности. Изучимзависимость продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 2005г., представленным в табл.1.
Таблица1. Обзор социальных показателей стран третьего мира.Страна У Х1 Х2 Х3 Х4 Мозамбик 47 3,0 2,6 2,4 113 Бурунди 49 2,3 2,6 2,7 98 Чад 48 2,6 2,5 2,5 117 Непал 55 4,3 2,5 2,4 91 Буркина-Фасо 49 2,9 2,8 2,1 99 Мадагаскар 52 2,4 3,1 3,1 89 Бангладеш 58 5,1 2,0 2,1 79 Гаити 57 3,4 2,0 1,7 72 Мали 50 2,0 2,9 2,7 123 Нигерия 53 4,5 2,9 2,8 80 Кения 58 5,1 2,7 2,7 58 Того 56 4,2 3,0 2,8 88 Индия 62 5,2 1,8 2,0 68 Бенин 50 6,5 2,9 2,5 95 Пакистан 68 7,4 3,1 4,0 46 Мавритания 59 7,4 2,8 2,7 73 Зимбабве 47 4,9 3,1 2,8 124 Гондурас 60 8,3 2,9 3,3 90 Китай 51 5,7 2,5 2,7 96 Камерун 57 7,5 2,4 2,2 55 Конго 67 7,0 3,0 3,8 45 Шри-Ланка 69 10,8 1,1 1,1 34 Египет 57 7,8 2,9 3,1 56 Индонезия 51 7,6 2,9 2,6 90 Филиппины 72 12,1 1,3 2,0 16 Марокко 63 14,2 2,0 2,7 56 Папуа — Новая 64 14,1 1,6 2,5 51 Гвинея 66 10,6 2,2 2,7 39 Гватемала 65 12,4 2,0 2,6 55 Эквадор 57 9,0 2,3 2,3 64 Доминиканская Республика 66 12,4 2,9 3,5 44 Ямайка 69 15,6 2,2 3,2 36
Принятые в таблице обозначения:
у — средняяпродолжительность жизни, лет;
х1 — ВВП впаритетах покупательной способности, млрд. долл.;
х2 — темпыприроста населения по сравнению с предыдущим годом, %;
х3 — темпыприроста рабочей силы по сравнению с предыдущим годом;
х4 — коэффициент младенческой смертности, %с.
1. Корреляционныйанализ
Корреляционныйанализ проводился с использованием компьютерной программы EXCELс помощью пакета анализа данных
Таблица2. Корреляционная зависимость продолжительности жизни от различных факторов.
У
Х1
Х2
Х3
Х4 У 1 /> /> /> /> Х1 0,7782 1 /> /> /> Х2 -0,524 -0,49 1 /> /> Х3 0,1123 0,096 0,6963 1 /> Х4 -0,928 -0,763 0,523 -0,032 1
Наосновании полученных данных можно сделать вывод, что наибольшее влияние напродолжительность жизни оказывает фактор Х1- ВВПв паритетах покупательной способности, у остальных факторовнаблюдается слабый корреляционный отклик.
3.Для выбора наилучшей регрессионной функции необходимо ее проанализировать понабору критериев: коэффициенты попарной корреляции, коэффициенты множественнойкорреляции, критерий Фишера, статистики Стьюдента.
Строим регрессионнуюфункцию по всем регрессорам, использую при этом пакет анализа данных MSExcel «Регрессия»
Таблица 3.Регрессионная статистикаМножественный R 0,9546 R-квадрат 0,9112 Нормированный R-квадрат 0,8981 Стандартная ошибка 2,3541 Наблюдения 32
Пояснения к таблице 2. Регрисеонная статистикасодержит строки, характеризующие построенное уравнение регрессии:
Для парной регрессии Множественный R равенкоэффициенту корреляции (rxу). Множественныйкоэффициент корреляции Rопределяетсякак коэффициент корреляции между наблюдаемыми значениями Yiирасчетными, прогнозируемыми значениями. По его значению 0,9546 можно сказать,что между XиY существует сильная линейнаязависимость.
Строка R–квадрат равнакоэффициенту корреляции в квадрате, он близок к 1, это означает что даннаямодель хорошо описывает данные
Нормированный R–квадратрассчитывается с учетом степеней свободы числителя (n-2) и знаменателя (n-1) поформуле:
/>
Стандартная ошибка (S)регрессии вычисляется по формуле 1.4.
/>
Последняя строка содержит количество выборочныхданных (n). Значимость уравнения в целом оценивается с помощью F-критерияФишера
/>
Если найденное значениеF больше табличного для уровнязначимости ? и степеней свободы (n-m-1)иm, то свероятность 1 — ?делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом.
Таблица 4Дисперсионный анализ
df
SS
MS
F
Значимость F Регрессия 4 1535,9 383,97 69,285 8,42972E-14 Остаток 27 149,63 5,5418 /> /> Итого 31 1685,5
Пояснения к таблице дисперсионного анализа: число регрессоров m = 4 число n-m-1 = 27, где n – число наблюдений
Для уровня значимости ?= 0,05и при степенях свободы 4, 27 табличное значение критерия Фишера Fтаб= 2,71.
Значение F=69,285 существеннопревышает табличное, что говорит о статистической значимости уравнения в целом.
Таблица 5 Коэффициентырегрессии Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Y-пересечение 72,846 3,4746 20,965 3E-18 65,717 79,976 Х1 0,0031 0,1929 0,0163 0,9871 -0,3925 0,3989 Х2 -6,173 1,9298 -3,199 0,0035 -10,132 -2,213 Х3 5,1218 1,5086 3,395 0,0021 2,02631 8,2173 Х4 -0,18 0,0258 -6,98 2E-07 -0,2326 -0,127
В столбце «Коэффициенты»получены коэффициенты уравнения регрессии.
Коэффициент b0=72,846 в Таблице анализа – это Y-пересечение. Таким образом, получилиуравнение регрессии:
У=72,846+0,0031Х1-6,173Х2+5,122Х3-0,18Х4
Коэффициент b1=0,0013показывает, что при увеличении ВВП на 1 млр. дол. Средняя продолжительностьжизни увеличивается в среднем на 0,0031 лет, увеличение темпов прироста населения на 1%,.приводит в среднем уменьшению продолжительности жизни на 6,173 лет, увеличение темпов прироста рабочей силы на 1% приводит кувеличению продолжительности жизни на 5,122 лет, а увеличение коэффициентамладенческой смертности, на 1% ведет к уменьшению среднейпродолжительности жизни на 0,18 лет.
Стандартные ошибки mi,t-статистики tiмогутбыть вычислены по формулам
/>
/>
Где ?Y — среднее квадратическое отклонение для отклика Y,?Xi — среднее квадратическое отклонениедля регрессора Xi (X1,X2, …)R2 — коэффициент детерминации для уравнениямножественной регрессии, /> -коэффициент детерминации для зависимости отклика Yот всех регрессоров кроме Xi,/> — коэффициент детерминациидля зависимости Xi от всехрегрессоров кроме Xi.
Табличные t–критерииСтьюдента зависят от принятого уровня значимости и от числа степеней свободы (n-m-1).Если вычисленные значения t–критерияпревышают табличные, то говорят, что соответствующий коэффициент регрессииявляется статистически значимым и на него можно опираться в анализе и прогнозе.
Более того, используятабличное значение t-критерияи стандартную ошибку miкоэффициента регрессии biможнос вероятностью 1 — ? сделать вывод о том, что истинное значениекоэффициента регрессии попадет в интервал (bi–tтаб*mi, bi+tтаб*mi).
Они составляют:
m(X1)=0.192, m(X2) =1,9289, m(X3) =1,5086, m(X4) =0.0258,m(y) =3.4746
t(X1)=0.0163, t(X2) =-3.199, t(X3) =3.395, t(X4) =-6.98,t(y) =20.965
Табличное значение t–критерияСтьюдента при уровне значимости ? = 0,05 и числе степеней свободы 27 tтаб=2,051.Коэффициентыt- статистикипри регрессорах Х1, Х2 и Х4 меньше tтаб., исогласно t–критерию не являютсястатистически значимыми.
По величине Р-значениявозможно определять значимость коэффициентов, не находя критическое значение t-статистики.Если значение t-статистики велико, то соответствующее значениевероятности значимости мало – меньше 0,05, и можно считать, что коэффициентрегрессии значим. И наоборот, если значение t-статистики мало,соответственно вероятность значимости больше 0,05 – коэффициент считаетсянезначимым.
Для коэффициентов b0,b2, b3, b4 значениявероятности близко к нулю, следовательно, b1 можносчитать значимым, b1- близко к единице,коэффициент не значим.
Далее представленыдоверительные интервалы (нижняя и верхняя границы) для рассчитанныхкоэффициентов.
Таблица 6 Расчетотносительной ошибки аппроксимацииСтрана У у ожидаемое остатки E остатки/у Мозамбик 47 48,735 -1,73 0,0369 Бурунди 49 52,969 -3,97 0,081 Чад 48 49,143 -1,14 0,0238 Непал 55 53,316 1,68 0,0306 Буркина-Фасо 49 48,485 0,52 0,0105 Мадагаскар 52 53,552 -1,55 0,0299 Бангладеш 58 57,027 0,97 0,0168 Гаити 57 56,234 0,77 0,0134 Мали 50 46,617 3,38 0,0677 Нигерия 53 54,877 -1,88 0,0354 Кения 58 59,56 -1,56 0,0269 Того 56 52,819 3,18 0,0568 Индия 62 59,73 2,27 0,0366 Бенин 50 50,647 -0,65 0,0129 Пакистан 68 65,915 2,08 0,0307 Мавритания 59 56,25 2,75 0,0466 Зимбабве 47 45,724 1,28 0,0272 Гондурас 60 55,648 4,35 0,0725 Китай 51 53,956 -2,96 0,058 Камерун 57 59,399 -2,40 0,0421 Конго 67 65,687 1,31 0,0196 Шри-Ланка 69 65,577 3,42 0,0496 Египет 57 60,742 -3,74 0,0657 Индонезия 51 52,062 -1,06 0,0208 Филиппины 72 72,195 -0,20 0,0027 Марокко 63 64,082 -1,08 0,0172 Папуа — Новая 64 66,61 -2,61 0,0408 Гвинея 66 66,082 -0,08 0,0012 Гватемала 65 63,929 1,07 0,0165 Эквадор 57 58,912 -1,91 0,0335 Доминиканская Республика 66 64,964 1,04 0,0157 Ямайка 69 69,197 -0,20 0,0029 сумма 1,0424 средняя ошибка аппроксимации 3,2574
Средняя ошибкааппроксимации показывает среднее отклонение расчетных значений от фактических ирассчитывается по формуле:
/>
Средняя ошибкааппроксимации составляет 3,2574 %. Это значит, что качество тренда, исходя изотносительных отклонений по каждому наблюдения, признается хорошим, так в нормесредняя ошибка аппроксимации колеблется в пределах до 10%
3) Проверка модели наотсутствие автокорреляции
Автокорреляция(последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемымипоказателями
При проверкенезависимости значений ei определяется отсутствие в остаточном ряду автокорреляции,под которой понимается корреляция между элементами одного и того же числовогоряда. В нашем случае автокорреляция — это корреляция ряда e1, e2, e3… срядом eL+1, eL+2, eL+3 Число L характеризует запаздывание (лаг). Корреляциямежду соседними членами ряда (т.е. когда L = 1) называется автокорреляциейпервого порядка. Далее для остаточного ряда будем рассматривать зависимостьмежду соседними элементами ei.
Наличие автокорреляцииможет быть выявлено при помощи d-критерия Дарбина-Уотсона. Значение критериявычисляется по формуле:
/>
Таблица 7. Расчеткритерия d — Дарбина-УотсонаСтрана остатки E
(Ei –Ei-1)2
Ei2 Мозамбик -1,73 3,01 3,01 Бурунди -3,97 4,9903 15,75 Чад -1,14 7,9868 1,31 Непал 1,68 7,9914 2,84 Буркина-Фасо 0,52 1,3661 0,27 Мадагаскар -1,55 4,2746 2,41 Бангладеш 0,97 6,3751 0,95 Гаити 0,77 0,0428 0,59 Мали 3,38 6,8497 11,44 Нигерия -1,88 27,662 3,52 Кения -1,56 0,1 2,43 Того 3,18 22,484 10,12 Индия 2,27 0,8299 5,15 Бенин -0,65 8,5083 0,42 Пакистан 2,08 7,46 4,35 Мавритания 2,75 0,4422 7,56 Зимбабве 1,28 2,1712 1,63 Гондурас 4,35 9,4605 18,94 Китай -2,96 53,41 8,74 Камерун -2,40 0,3109 5,75 Конго 1,31 13,775 1,72 Шри-Ланка 3,42 4,4504 11,71 Египет -3,74 51,337 14,01 Индонезия -1,06 7,1856 1,13 Филиппины -0,20 0,7508 0,04 Марокко -1,08 0,7854 1,17 Папуа — Новая -2,61 2,3372 6,81 Гвинея -0,08 6,3933 0,01 Гватемала 1,07 1,3285 1,15 Эквадор -1,91 8,8971 3,66 Доминиканская Республика 1,04 8,6895 1,07 Ямайка -0,20 1,5193 0,04 сумма 283,18 149,69 критерий d 1,8918
Втаблице значений критерия Дарбина-Уотсона для уровня значимости 5% при m=4и n=32критические значения d1=1.14,d2=1,74,
Внашем расчете значение d-критерия попадает в интервал от d2 до 2,автокорреляция отсутствует.
4)Проверка на гетероскедастичность моделей с использованием теста Бреуша-Пагана
Дляэтого проверки на гетероскедастичность воспользуемся таблицами 6 и 7
Затем строим регрессию, вкоторой за зависимую переменную берется столбец квадратов остатков еi2, а зазависимые переменные – переменные Х1, Х2, Х3, Х4,
Результатпредставлен в таблицах 8,9,10
Таблица 8. Регрессионная статистикаМножественный R 0,222046 R-квадрат 0,049305 Нормированный R-квадрат -0,09154 Стандартная ошибка 5,309145 Наблюдения 32 Таблица 9. Дисперсионный анализ
df
SS
MS
F
Значимость F Регрессия 4 39,4692 9,867301 0,35006 0,841652584 Остаток 27 761,0497 28,18702 /> /> Итого 31 800,5189
Таблица 10.Коэффициенты регресси
Коэффиц
иенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Y-пересечение 3,561922 7,836107 0,454552 0,65306 -12,516 19,6402 Х1 -0,21277 0,434968 -0,48916 0,62868 -1,1052 0,67971 Х2 -2,64445 4,352113 -0,60762 0,54851 -11,574 6,28535 Х3 2,473815 3,402388 0,727082 0,47343 -4,5073 9,45493 Х4 0,036775 0,058082 0,633148 0,53196 -0,0824 0,15595
Найдена статистика:
Х2наб= nR2=32*0.049305=1,578
Так как
Х2набл=1,578Х2крит =9,48,
То гипотеза о гетероскедастичностиотвергается и модель считается гомоскедастичной.
Критическое значениераспределения Хи-квадрат найдено с помощью действий: fx>Статистические>ХИ2ОБР(m),где m – число переменных, входящих в уравнение регрессии (в данномслучае 6).
5) Сравните моделимежду собой выберете лучшую.
Как уже отмечалось ранеепо величине Р-значения возможно определять значимость коэффициентов, ненаходя критическое значение t-статистики. Если значение t-статистикивелико, то соответствующее значение вероятности значимости мало – меньше 0,05,и можно считать, что коэффициент регрессии значим. И наоборот, если значение t-статистикимало, соответственно вероятность значимости больше 0,05 – коэффициент считаетсянезначимым.
Для коэффициентов b0,b2, b3, b4 полученныхпри регрессионном анализе в п.4 значения вероятности близко к 1, следовательно,данные коэффициенты не значимы.
Таким образом, модельвыраженная уравнением
У=72,846+0,0031Х1-6,173Х2+5,122Х3-0,18Х4
Выводы
Проанализировав данныезависимости средней продолжительности жизни в странах третьего мира ВВП, темпы прироста населения, темпы прироста рабочей силы и коэффициентмладенческой смертности можно сделать ряд выводов:
1. В результате проведенного корреляционного анализа наибольшее
влияние насреднюю продолжительность жизни оказывает ВВП, у остальныхфакторов наблюдается слабый корреляционный отклик.
2. Входе регрессионного анализа было получено уравнение зависимости:
У=72,846+0,0031Х1-6,173Х2+5,122Х3-0,18Х4
При этом коэффициент b1=0,0013показывает, что при увеличении ВВП на 1 млрд. дол. средняя продолжительностьжизни увеличивается в среднем на 0,0031 лет, увеличение темпов прироста населения на 1%,.приводит в среднем уменьшению продолжительности жизни на 6,173 лет, увеличение темпов прироста рабочей силы на 1% приводит к увеличениюпродолжительности жизни на 5,122 лет, а увеличение коэффициента младенческойсмертности, на 1% ведет к уменьшению среднейпродолжительности жизни на 0,18 лет.
3. Позначению коэффициента множественной корреляции регрессии равным 0,9546 можно сказать, что между факторными ирезультативными признаками существует сильная линейная зависимость.
4. ЗначениеF =69,285 существеннопревышает табличное, что говорит о статистической значимости уравнения в целом.
5. Табличноезначение t–критерия Стьюдента приуровне значимости ? = 0,05 и числе степеней свободы 27 tтаб=2,051.Коэффициентыt- статистикипри регрессорах Х1, Х2 и Х4 меньше tтаб., исогласно t–критерию не являютсястатистически значимыми.
6. Средняя ошибкааппроксимации составляет 3,2574 %. Это значит, что качество тренда, исходя изотносительных отклонений по каждому наблюдения, признается хорошим, так в нормесредняя ошибка аппроксимации колеблется в пределах до 10%
7.В таблице значений критерия Дарбина-Уотсона для уровня значимости 5% при m=4и n=32критические значения d1=1.14,d2=1,74, В нашем расчете значениеd-критерия = 1,89 попадает в интервал от d2 до 2, значит автокорреляцияотсутствует.
8. Проверка нагетероскедастичность моделей проводилась с использованием теста Бреуша-Пагана.Тест показал гетероскедастичность отсутствует и модель считаетсягомоскедастичной.
Список используемойлитературы
1. Эконометрика:Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 576с.
2. Практикум поэконометрике: Учеб. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы истатистика, 2006. – 344 с.
3. Эконометрика:Учебно-методическое пособие / Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань:Издательский центр Академии управления «ТИСБИ», 2008. – 198 с.
4. Практикум поэконометрике с применение MS Excel / Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань:Издательский центр Академии управления «ТИСБИ», 2008 – 53 с.
5. Прикладнаястатистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2-х т. – Т. 1. АйвазянС.А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и прикладная статистика. – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 656 с.
6. Прикладнаястатистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2-х т. – Т. 2. АйвазянС.А. Основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 432 с.
7. Эконометрика:Учебник / Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. – М.: Издательство «Экзамен», 2003. –512 с
8. Берндт Э. Р.Практика эконометрики: классика и современность: Учебник для студентов вузов. –М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 863 с.
9. Эконометрика:учебное пособие / А.В. Гладилин, А.Н. Герасимов, Е.И. Громов. – М.: КНОРУС,2008. – 232 с.
10. Введение вэконометрику: учебное пособие / Л.П. Яновский, А.Г. Буховец. – М.: КНОРУС,2009. – 256 с.
11. Луговская Л.В.Эконометрика в вопросах и ответах: учебное пособие. – М.: ТК Велби, Изд-воПроспект, 2006. – 208 с.