Государственное образовательное учреждение высшего профессиональногообразования
«Московский государственный институт электронной технки
(технический универститет)»
Курсовая работа
по дисциплине
«Теория вероятности и математическая статистика»
Тема работы
«Анализ данных в линейной регрессионной модели»
Выполнил:
Студентгруппы ЭКТ-21
РыжовС.А.
Проверил:
Преподаватель
БардушкинаИ. В.
Москва — 2010
Вариант20.
Задание1
Выполнитьпредварительную обработку результатов наблюдений, включающую:
1 построениедиаграммы рассеивания (корреляционного поля);
2 группировкуданных и построение корреляционной таблицы;
3 оценку числовыххарактеристик для негруппированных и группированных данных.
Оценка числовыххарактеристик для негруппированных данных:X Y X Y 4,19 9,19 4,44 9,13 3,04 11,94 11,31 4,58 4,6 8,09 7,57 3,14 9,83 10,33 1,62 14,61 8,66 7,15 5,71 6,48 1,3 12,34 11,06 6,78 4,22 16,35 10,35 2,15 5,11 7,7 2,46 9,66 9,85 5,64 1,02 11,19 8,8 4,52 5,77 7,77 12,17 4,52 8,63 4,05 11,25 2,06 6,91 4,76 5,73 7,41 3,56 8,54 4,05 10,51 9,47 2,22 5,41 9,97 6,16 3,72 1,28 14,68 8,26 3,57 1,67 9,67 6,7 14,32 11,99 3,31 4,95 10,64 7,66 5,93 3,37 10,73 5,17 9,87 1,53 10,13 3,26 11,52 9,54 4,95 12,58 2,88 3,11 5,38 8,34 3,57 5,09 5,79 5,79 4,39 11,08 3,87 3,42 9,71 8,74 -2,23 Сумма X 317.78 Сумма Y 369,18
MX 6,3556
MY 7,3836
s2X 11,02005
s2Y 15,31479
KXY -9,1594
ρXY -0,7194
Числовые характеристикидля негруппированной выборки находятся по следующим формулам:
/>, />;
/>;
/>;
/>;
/>;
Построениекорреляционного поля:
/>
Построение корреляционнойтаблицы:
Таблица 1.1
Y
X -1.5 1.5 4.5 7.5 10.5 13.5 16.5
ni. 2.5 1 1 8 3 13 5.5 4 5 6 1 1 17 8.5 1 1 8 1 1 12 11.5 3 4 1 8
nj. 1 4 17 8 15 4 1 50
Оценка числовых характеристикдля группированных данных:
/>, />;
/>, />;
/>;
/>;
/>, />;
/>;
/>
/>;
/> = — 0.87
Задание 2
Для негруппированныхданных проверить гипотезу /> об отсуствии линейной статистическойсвязи между компонентами X и Y при альтернативной гипотезе />( уровень значимости α = 0,05);
Выборочное значениестатистики равно
/>,
/>
Используя средства Matlab, найдем
/>
/>
Так как выборочноезначение статистики больше квантили распределения Стьюдента, гипотеза Hотклоняется в сторону гипотезы H1. Корреляция значима.
Задание 3
Для негруппированыхданных получить интервальную оценку для истинного значения коэффициентакорреляции ρX,Y, при уровне значимости α = 0,05.
Используя средства Matlab, найдем
/>
/>, />
/>, />
/>
Задание 4
Для негруппированных игруппированных данных составить уравнения регрессии Y на x и X на Y.
Рассмотрим вначале случайнегруппированных данных.
/>
Этот интервал не содержитнуля, т.е. с доверительной вероятностью 1 – ЫВА = 0,95 существует корреляциямежду X и Y и имеет смысл построение уравнений регрессии.
/>, />
y(x) = 12,77 – 0,848*x;
x(y) = 10,86 – 0,6*y;
Проверка.
/>, />.
/>, />;
/>, />
/>, />;
/>
Случай группированныхданных.
Подставим найденныезначения /> вуравнеиня линейной регрессии Yна x и X на y. Получим:
y(x) = 17,14 – 1,4*x;
x(y) = 10,83 – 0,54*y;
Проверка: />
Задание 5
Для негруппированныхданных нанести графики выборочных регрессионных прямых на диаграммурассеивания.
/>
Задание 6
Для негруппированныхданных по найденным оценкам параметров линейной регрессии Y на x получить оценку s2 для дисперсии ошибок наблюдений σ2, найти коэффициент детерминации R2, построить доверительные интервалыдля параметров регрессии a и b, дисперсии ошибок наблюдений σ2 и среднего значения Y при x = x0 .
Для негруппированныхданных были получены следующие оценки числовых характеристик и коэффициентоврегрессии: />, />, />, />, />, />, />, />.
Используя соотношение />, вычислимостаточную сумму />
/>;
/>;
/>;
/>.
/>;
Тогда оценка дисперсииошибок наблюдений равна
/>.
Коэффициент детерминацииравен
/>.
Поскольку />(знак />)/>, то сделаем проверкуправильности расчетов:
/>(верно).
Полученный результат длякоэффициента детерминации означает, что уравнение регрессии /> на 49,7% объясняетобщий разброс результатов наблюдений относительно горизонтальной прямой />.
Построим доверительныеинтервалы для параметров линейной регрессии и дисперсии ошибок наблюдений.
С помощью Matlab найдем квантили распределенийСтьюдента и />:
/>, />, />;
– доверительный интервалдля параметра />:
/>;
/>;
– доверительный интервалдля параметра />:
/>;
/>;
– доверительный интервалдля дисперсии ошибок наблюдений />:
/>;
/>.
-Найдем границыдоверительных интервалов для среднего значения /> при />:
/>;
/>.
Задание 7. Для негруппированных данныхпроверить значимость линейной регрессии Y на x(уровень значимости α= 0,05).
Гипотеза />: /> отклоняется на уровнезначимости />,так как доверительный интервал /> не накрывает нуль сдоверительной вероятностью 0,95.
Этот же результат можнополучить, используя для проверки гипотезу />: /> и статистику />.
С помощью Matlab найдем квантили распределенияФишера:
/>, />.
Выборочное значениестатистики /> равно:
/>.
Поскольку />/>, то гипотеза />: /> отклоняется на уровнезначимости />.Таким образом, линейная регрессия /> на /> статистически значима.
Задание №8
Для данных,сгруппированных только по />, проверить адекватность линейнойрегрессии /> на/> (уровеньзначимости />).
Для проверки адекватностивоспользуемся корреляционной таблицей. Будем считать, что середины интерваловгруппировки />,/>, являютсязначениями компоненты />. Тогда число /> повторных наблюденийравно 4. Запишем результаты этих наблюдений в виде таблицы
Таблица 1.2
/> 2,5 5,5 8,5 11,5
/>
11,94
12,34
14,68
9,87
11,52
9,71
14,61
9,66
11,19
8,54
10,73
10,13
5,38
9,19
8,09
16,35
7,70
7,41
10,51
9,97
9,87
4,39
6,48
7,77
4,76
3,72
14,32
10,64
5,79
9,13
10,33
7,15
5,64
4,52
4,52
3,57
3,14
4,05
2,22
3,57
4,95
-2,23
4,52
2,06
3,11
2,88
4,58
6,78
2,15
3,87
/> 13 17 12 8
/> 10,79 8,59 9,65 3,74
Для удобства расчетов впоследней строке таблицы приведены средние значения />, />.
/>.
Получим уравнениевыборочной линейной регрессии /> на /> для данных, сгруппированных по />:
/>;
/>, />, />, />, />;
y(x) = 8,29 – 0,9x.
/>;
/>.
Выборочное значениестатистики /> равно
/>.
Так как квантильраспределения Фишера, вычисленный с помощью Matlab, равен
/>3,19,
то />, а значит, линейнаярегрессия /> на/> дляданных, сгруппированных по />, адекватна результатамнаблюдений.
Задание 9. Для негруппированных данных проверитьгипотезу />:/>приальтернативной гипотезе />:/>(уровень значимости />)
Имеются следующиевеличины: />, />,, />, />.
Сначала проверяетсягипотеза />:/>,альтернативная гипотеза />:/>.
Статистика равна
/> = 1,931
С помощью средств Matlab, найдем:
F0,975 (n-1; n-1)=F0,975(49,49) = 1.7622
z > F0,975 (n-1;n-1),
следовательно/>отклоняется, азначит что />
Теперь можно проверитьгипотезу, />:/>, приальтернативной гипотезе />:/>.
Т.к. />, статистика имеет вид
/> = 1,418
Найдем количество степенейсвободы
/>≈3,625
С помощью средств Matlab, найдем:
/>
z , значит нет оснований отклонятьгипотезу />:/>.
Приложение
A = [4.19 3.04 4.60 9.83 8.66 1.30 4.22 5.11 9.85 8.80 12.17 11.25 5.73 4.05 5.411.28 1.67 11.99 7.66 5.17 3.26 12.58 8.34 5.79 3.42 4.44 11.31 7.57 1.62 5.7111.06 10.35 2.46 1.02 5.77 8.63 6.91 3.56 9.47 6.16 8.26 6.70 4.95 3.37 1.539.54 3.11 5.09 11.08 8.74;
9.19 11.94 8.0910.33 7.15 12.34 16.35 7.70 5.64 4.52 4.52 2.06 7.41 10.51 9.97 14.68 9.67 3.315.93 9.87 11.52 2.88 3.57 4.39 9.71 9.13 4.58 3.14 14.61 6.48 6.78 2.15 9.6611.19 7.77 4.05 4.76 8.54 2.22 3.72 3.57 14.32 10.64 10.73 10.13 4.95 5.38 5.793.87 -2.23]
x =A(1,:);
y =A(2,:);
Mx = mean(x)
Dx = var(x,1)
My = mean(y)
Dy = var(y,1)
plot(x,y,'g*')
grid on
hold on
axis([1 13 -3 18]);
gca1 = gca;
set(gca1,'xtick',[1 4 7 10 13],'ytick',[-3 0 3 6 9 12 15 18]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
z =12.77 — 0.848*x; %построение регрессии Y на x
Zplot = plot(z,x);
set(Zplot,'Color','Red','LineWidth',[2])
hold on
text(12, -1,'x(y)');
text(11.8,2,'y(x)');
t =10.86 — 0.6*y; %построение регрессии X на y
Tplot = plot(t,y);
set(Tplot,'Color','Red','LineWidth',[2])
hp =line([1 6.36],[7.38 7.38]); %эти прямые показывают положение
set(hp,'Color','blue','LineWidth',[1.5])%среднего выборочного
hp = line([6.36 6.36],[-37.38]);
set(hp,'Color','blue','LineWidth',[1.5])
K =cov(x,y) %находим ковариацию
DEtK= det(K)
M =corrcoef(x,y) %коэффициент корреляции
detM= det(M)