Федеральноеагентство по образованию
Новокузнецкийфилиал-институт
ГОУ ВПО«Кемеровский государственный университет»
Кафедра информационныхсистем и управления им. В.К. Буторина
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине«Теория управления»
Методы безусловноймногомерной оптимизации
(Вариант 20)
Выполнили: студенты IV курса
группы ПИЭ — 061
Тимохова А.В.
Годун И.А.
Руководитель: ассистент
кафедры ИСУ
Щепетов
Алексей
Викторович
Новокузнецк 2009
1 Задача об оптимальном распределении инвестиций
Задача: Распределить Т = 100 ден.ед. по четыремпредприятиям с целью получения максимальной суммарной прибыли. Прибыль спредприятий задается таблицей 1.1.
Таблица 1.1 X g1 g2 g3 g4 20 11 24 12 35 40 26 22 28 33 60 31 32 37 36 80 42 41 47 40 100 58 59 53 54
Процесс оптимизации разобьем на n шагов (в нашей задаче n=4). На k-м шаге будем оптимизировать инвестирование не всех предприятий, атолько с k-го по n-е. При этом на них расходуются не все средства, а некотораяменьшая сумма Ck≤Т, которая и будет являться переменной состояниясистемы. Переменной управления на k-м шаге назовем величину xk средств,вкладываемых в k-ое предприятие. В качестве функции Беллмана Fk(Ck) на k-м шагев этой задаче можно выбрать максимально возможную прибыль, которую можнополучить с предприятий с k-го по n-е при условии, что на их инвестированиеосталось Ck средств. Очевидно, что при вложении в k-е предприятие xk средствполучим прибыль gk(xk), а система в (k+1)-му шагу перейдет в состояние Ck+1 =Ck – xk, т.е. на инвестирование предприятий с (k+1)-ого до n-го останется Ck+1средств.
Таким образом, на первом шаге условной оптимизации приk=n функция Беллмана представляет собой прибыль только с n-го предприятия. Приэтом на его инвестирование может выделяться количество средств Ck, 0≤Ck≤Т.Очевидно, чтобы получить максимум прибыли с этого последнего последнегопредприятия, надо вложить в него все эти средства, т.е. Fn(Cn)=gn(Cn) и xn=Cn.
На каждом из последующих шагов для вычисления функцииБеллмана следует использовать результаты предыдущего шага. Максимальновозможная прибыль, которая может быть получена предприятиями с k-го по n-е,равна:
/>.
Максимум этого выражения достигается на некоторомзначении x*k, которое и является оптимальным управлением на k-м шаге длясостояния системы Ck. Аналогично можно отыскать функции Беллмана и оптимальныеуправления вплоть до шага k=1.
Функция Беллмана F1(C1) представляет собой максимальновозможную прибыль со всех предприятий (с 1-го по n-е), а значение x*k, накотором достигается максимум прибыли, является оптимальным количеством средств,которые необходимо вложить в 1-е предприятие. Далее, для всех последующих шаговвычисляется величина Ck = Ck-1 – Xk и оптимальным управлением на k-м шагеявляется то значение Xk, которое доставляет максимум прибыли при соответствующемсостоянии системы Ck.
Решение.
Этап I. Условная оптимизация.
Шаг 1. k = 4. Предполагаем, что все средства 100 ден.ед.переданы на инвестирование третьего предприятия. В этом случае максимальнаяприбыль составит F4(C4) = 54, см. таблицу 1.2.
Таблица 1.2С4 x4 F4(C4) X*4 20 40 60 80 100 – – – – – 20 – 35 – – – – 35 20 40 – – 33 – – – 33 40 60 – – – 36 – – 36 60 80 – – – – 40 – 40 80 100 – – – – – 54 54 100
Шаг 2. k = 3. Определяем оптимальную стратегию инвестированияво второе и третье предприятия. При этом рекуррентное соотношение Беллманабудет иметь вид:
/>.
На его основании рассчитываются данные таблицы 1.3.
Таблица 1.3С3 x3 F3(C3) X*3 20 40 60 80 100 /> /> /> /> /> 20 35 12 /> /> /> /> 35 40 33 47 28 /> /> /> 47 20 60 36 45 63 37 /> /> 63 40 80 40 48 61 72 47 /> 72 60 100 54 52 64 70 82 53 82 80
Шаг 3. k = 2. Определяем оптимальную стратегию инвестированияв первое и остальные предприятия. При этом рекуррентное соотношение Беллманабудет иметь вид:
/>.
На его основе находятся данные таблицы 1.4.
Таблица 1.4С2 x2 F2(C2) X*2 20 40 60 80 100 20 35 24 35 40 47 59 22 59 20 60 63 71 57 32 71 20 80 72 87 69 67 41 87 20 100 82 96 85 79 76 59 96 20
Шаг 4. k = 1. Определяем оптимальную стратегиюинвестирования в первое и остальные предприятия. При этом рекуррентноесоотношение Беллмана будет иметь вид:
/>.
На его основе находятся данные таблицы 1.5.
Таблица 1.5С1 x1 F1(C1) X*1 20 40 60 80 100 /> /> /> /> /> 20 35 11 /> /> /> /> 35 40 59 46 26 /> /> /> 59 60 71 70 61 31 /> /> 71 80 87 82 85 66 42 /> 87 100 96 98 97 90 77 58 98 20
Этап II. Безусловная оптимизация.
Шаг 1. По данным таблицы 1.5 максимальный доход прираспределении 100 ден.ед. между тремя предприятиями составляет F1= 98. При этомпервому предприятию нужно выделить x1 = 20 ден.ед.
Шаг 2. Определяем величину оставшихся денежных средств,приходящуюся на долю второго и третьего предприятий:
С2 = С1 – x*1 = 100 – 20 = 80.
По данным таблицы 1.4 находим, что оптимальный вариантраспределения денежных средств размером 80 ден.ед. между вторым, третьим ичетвертым предприятиями составляет F2 = 96 ден.ед. при выделении второму x2 =20 ден.ед.
Шаг 3. Определяем величину оставшихся денежных средств,приходящуюся на долю третьего и четвертого предприятия:
С3 = С2 – x*2 = 80 – 20 = 60.
Из таблицы 1.3 находим F3 = 63 и x*3 = 40 ден.ед. Приэтом получается что x*4 = 20 ден.ед. и F4 = 35.
Таким образом, оптимальный план инвестированияпредприятий
X* = (20,40,20,20),
обеспечивающий максимальный доход
F(100) = g1(20) + g2(40) + g3(20) + g4(20) = 11 + 24 + 28+ 35 = 98 ден.ед.
Ответ: Максимальная суммарная прибыль по четыремпредприятиям составляет 98 ден.ед.
2 Задача выбора оптимального пути в транспортной сети
Задача: В предложенной транспортной сети (см. рисунок 1)имеется несколько маршрутов по проезду из начального пункта (1) в конечныйпункт (11). Стоимость проезда между отдельными пунктами транспортной сетипредставлена в таблице 2.1. Необходимо определить оптимальный маршрут проездаиз пункта 1 в пункт 11 с минимальными транспортными расходами.
Рисунок 1
/>
Таблица 2.1Начальный путь Конечный путь T(i,j) 1 2 5 1 3 7 1 4 6 1 5 10 2 6 3 2 7 7 3 6 8 3 7 9 4 6 11 4 7 4 5 6 8 5 7 9 6 8 4 6 9 5 6 10 4 7 8 5 7 9 12 7 10 6 8 11 10 9 11 8 10 11 10
В данной задаче имеется ограничение – двигаться помагистралям можно только слева направо. Это дает нам возможность разбить всютранспортную сеть на пояса и отнести каждый из десяти пунктов к одному изчетырех поясов. Будем говорить, что пункт принадлежит k-му поясу, если из негоможно попасть в конечный пункт ровно за k шагов, т.е. заездом ровно в k-1промежуточный пункт. Таким образом, пункты 8, 9 и 10 принадлежат к первомупоясу; 6 и 7 – ко второму; 2, 3, 4 и 5 – к третьему; 1 – к четвертому. На k-мшаге будем находить оптимальные маршруты из городов k-го пояса до конечногопункта.
Оптимизацию будем производить с хвоста процесса, ипотому, добравшись до k-го шага, мы не можем знать, в какой именно из городовk-го пояса мы попадем, двигаясь из пункта 1. Поэтому для каждого из этихгородов мы должны будем найти оптимальный маршрут до конечного пункта.Очевидно, что минимально возможная стоимость проезда до пункта 11 будетзависеть только от того, в каком из городов этого пояса мы оказались. Номер S города,принадлежащего k-му поясу, и будет называться переменной состояния даннойсистемы на k-м шаге. Нужно помнить, что, добравшись до k-го шага, мы ужеосуществили предыдущие шаги, в частности, нашли оптимальные маршруты поперемещению из любого города (k-1)-го пояса в конечный пункт. Таким образом,находясь в некотором городе S k-го пояса, мы должны принять решение о том, вкакой из городов (k-1)-го пояса следует отправиться, а направление дальнейшегодвижения уже известно нам из предыдущих шагов. Номер J города (k-1)-го поясабудет являться переменной управления на k-м шаге.
Функция Беллмана на k-м шаге решения задачи дает намвозможность рассчитать минимальную стоимость проезда из города S (k-го пояса)до конечного пункта. Для первого шага (k=1) эту величину отыскать не сложно –это стоимость проезда из городов 1-го пояса непосредственно до конечногопункта: F1(i)=Ci11. Для последующих же шагов стоимость проезда складывается издвух слагаемых – стоимости проезда из города S k-го пояса в город J (k-1)-го поясаи минимально возможной стоимости проезда из города J до конечного пункта, т.е.Fk-1(J).
Таким образом, функциональное уравнение Беллмана на k-мшаге решения будет иметь вид:
/>
Минимум стоимости достигается на некотором значении J*,которое и является оптимальным направлением движения из пункта S в сторонуконечного пункта.
Решение:
Этап I. Условная оптимизация.
Шаг 1. k = 1. F1(S) = ts11.
Таблица 2.2S J = 11 F1(S) J* 8 10 10 11 9 8 8 11 10 10 10 11
Шаг 2. k = 2. Функциональное уравнение на данном шагепринимает вид:
/>.
Результаты расчета по приведенной формуле приведены втаблице 2.3:
Таблица 2.3S J = 8 J = 9 J = 10 F2(S) J* 6 4 + 10 5 + 8 4 + 10 13 9 7 5 + 10 12 + 8 6 + 10 15 8
Шаг 3. k = 3. Функциональное уравнение на данном шагепринимает вид:
/>.
Результаты расчета по приведенной формуле приведены втаблице 2.4:
Таблица 2.4S J = 6 J = 7 F3(S) J* 2 3 + 13 7 + 15 16 6 3 8 + 13 9 + 15 21 6/7 4 11 + 13 4 + 15 19 7 5 8 + 13 9 + 15 21 6/7
Шаг 4. k = 4. Функциональное уравнение на данном шагепринимает вид:
/>.
Результаты расчета по приведенной формуле приведены втаблице 2.5:
Таблица 2.5S J = 2 J = 3 J = 4 J = 5 F4(S) J* 1 5 + 16 7 + 21 6 + 19 10 + 21 21 2
Этап II. Безусловная оптимизация.
На этапе условной оптимизации получено, что минимальныезатраты на проезд из пункта 1 в пункт 11 составляют F4(1) = 21, что достигаетсяследующим движением по магистралям. Из пункта 1 следует направиться в пункт 2,затем из него в пункт 6, затем в пункт 9 и из него в пункт 11.
Ответ: Оптимальным маршрутом из пункта 1 в пункт 11является маршрут 1 – 2 – 6 – 9 – 11.
3 Методы Хэмминга и Брауна
Задача: На эмпирическом временном ряде из 20 значений (таблица 3.1), используя процедуры обычной регрессии, Хэмминга (А и Б-метод) иБрауна, выполнить прогноз на один шаг и на три-четыре шага вперед для каждогометода соответственно. Сравнить прогнозные процедуры. Сделать выводы.
Таблица 3.1t Y(t) 1 50 2 53 3 56,5 4 53,5 5 51 6 54 7 53,5 8 60 9 59 10 60 11 61 12 62 13 58 14 57 15 57,5 16 59,5 17 60,5 18 61 19 62 20 62,5
3.1 Метод Хемминга
Метод Хемминга обладает достоинствами, связанными спростотой и относительно небольшой погрешностью. Существует в двухмодификациях. Базовый алгоритм (А-метод Хемминга) применяется дляпрогнозирования относительно стабильных или слабо изменяющихся динамическихрядов, имеющих фиксированную структуру.
/>,
где /> –прогнозное значение;
/> -значение функции;
/> -порядковый номер элемента, входящего в состав исследуемого объекта;
/> -время запаздывания или исследование обрабатываемых данных (реализация функцийобъекта);
/>,/>,/>,/>,/> — коэффициенты настройки,задаваемые жестко, в виде числа.
Для каждого ряда коэффициенты задаются индивидуально.Число коэффициентов всегда не четное. Сумма всех коэффициентов всегда должнабыть равной 1 (/>).
Наиболее удачными, по мнению Хемминга, являются коэффициентыдля 3 и 5 слагаемых (таблица 3.2).
Таблица 3.2
А1 А2 А3 А4 А5 для трех 0,60 0,30 0,10 для пяти 0,65 0,15 0,10 0,04 0,01
Данный алгоритм прошел апробацию и достаточно точнопрогнозирует переменные различного рода технологических и транспортных операцийв нормальном режиме эксплуатации. Однако при применении в случае нештатного иаварийного режимов производства имеет место значительная погрешность, т.е.больше 15%.
Исследования показали, что для увеличения адаптивныхвозможностей требуется методика настройки коэффициентов, алгоритм которой ивключает В-метод Хемминга.
Идея заключается в следующем: в фиксированный моментвремени t1 (в который обнаружилось превышение порога погрешности в 5%)рассматривается автокорреляционная функция (АКФ) ряда />. При этом оценивается величина вклада каждой изкомпонент /> в t2, ирассчитываются соответствующие коэффициенты:
Шаг 1: оценивается величина площади под АКФ
/>;
Шаг 2: коэффициенты рассчитываются по формуле
/>.
Модифицированный метод проверялся на реальных данныхнестационарной динамики, и погрешности не превышали 5-10%, что вполне приемлемодля подобных задач.
Решение:
Результаты моделирования по методу Хэмминга представленыв таблице 3.3.
Таблица 3.3
/>
/>
/>
/> 1 50,0 50,000 0,00 2 53,0 53,000 0,00 3 56,5 54,800 1,70 4 53,5 54,350 0,85 5 51,0 52,300 1,30 6 54,0 53,050 0,95 7 53,5 53,400 0,10 8 60,0 57,450 2,55 9 59,0 58,750 0,25 10 60,0 59,700 0,30 11 61,0 60,500 0,50 12 62,0 61,500 0,50 13 58,0 59,500 1,50 14 57,0 57,800 0,80 15 57,5 57,400 0,10 16 59,5 58,650 0,85 17 60,5 59,900 0,60 18 61,0 60,700 0,30 19 62,0 61,550 0,45 20 62,5 62,200 0,30 21 61,855 22 61,928 23 61,933 24 61,924
Прогнозные значение на основе базового алгоритма Хэмминга(А-метод ):
/>;
/>;
/>;
/>.
На основе полученных данных построим графикпрогнозирования по адаптивной модели Хемминга (рисунок 2)
Рисунок 2
/>
Оценим адекватность модели с помощью коэффициентадетерминации. Для этого рассчитаем
/>,
остальные расчеты представлены в таблице 3.4.
Таблица 3.4
/>
/>
/> 50,0 0,000 57,381 53,0 0,000 20,931 56,5 2,890 1,156 53,5 0,722 16,606 51,0 1,690 43,231 54,0 0,903 12,781 53,5 0,010 16,606 60,0 6,503 5,881 59,0 0,063 2,031 60,0 0,090 5,881 61,0 0,250 11,731 62,0 0,250 19,581 58,0 2,250 0,181 57,0 0,640 0,331 57,5 0,010 0,006 59,5 0,723 3,706 60,5 0,360 8,556 61,0 0,090 11,731 62,0 0,203 19,581 62,5 0,090 24,256
/> 17,735 282,138
Коэффициент детерминации находится по формуле:/> />
3.2 Метод Брауна
Также считается адаптивным алгоритмом прогнозирования, ив основном используется при краткосрочном прогнозировании.
/>,
где k – количество шагов прогнозирования (k=1).
Это значение сравнивается с фактическим уровнем
/>,
который затем используется для корректировки модели.
/>,
/>,
где /> –коэффициент дисконтирования данных, отражает большую степень доверия к болеепоздним данным, />.
Решение:
Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам(они представлены в таблице 3.5) по формулам:
/>, />
Таблица 3.5
/>
/>
/>
/> 1 50,0 5,6 4 2 53.0 -0,2 1 3 56,5 0,0 4 53,5 0,7 1 5 51,0 -3,6 4
/> 2,5 10
Для расчета этой таблицы нам понадобилось /> и />.
Результаты моделирования по методу Брауна представлены втаблице 3.6.
Таблица 3.6
/>
/>
/>
/>
/>
/> 0,250 52,050 1 50,0 -0,578 51,472 52,300 -2,300 2 53,0 0,180 51,652 50,894 2,106 3 56,5 1,861 53,513 51,832 4,668 4 53,5 1,186 54,699 55,373 -1,873 5 51,0 -0,572 54,126 55,885 -4,885 6 54,0 -0,412 53,715 53,554 0,446 7 53,5 -0,341 53,374 53,303 0,197 8 60,0 2,167 55,541 53,033 6,967 9 59,0 2,632 58,173 57,708 1,292 10 60,0 2,342 60,516 60,806 -0,806 11 61,0 1,673 62,189 62,858 -1,858 12 62,0 1,003 63,192 63,862 -1,862 13 58,0 -1,227 61,965 64,195 -6,195 14 57,0 -2,573 59,392 60,738 -3,738 15 57,5 -2,328 57,064 56,819 0,681 16 59,5 -0,613 56,451 54,737 4,763 17 60,5 1,065 57,517 55,839 4,661 18 61,0 1,936 59,452 58,582 2,418 19 62,0 2,156 61,608 61,388 0,612 20 62,5 1,701 63,309 63,764 -1,264 21 65,010 22 66,711 23 68,412 24 70,112
Для осуществления прогноза на несколько точек впередрассмотрели полученную на последнем шаге модель
/>
Прогнозные оценки по этой модели получаются подстановкойв нее значений />, такимобразом:
/>,
/>,
/>,
/>.
На основе полученных данных построим графикпрогнозирования по адаптивной модели Брауна (рисунок 3)
Рисунок 3
/>
Оценим адекватность модели с помощью коэффициентадетерминации. Для этого рассчитаем
/>,
остальные расчеты представлены в таблице 3.7.
Таблица 3.7
/>
/>
/> 50 5,290 57,381 53 4,435 20,931 56,5 21,787 1,156 53,5 3,509 16,606 51 23,863 43,231 54 0,199 12,781 53,5 0,039 16,606 60 48,541 5,881 59 1,668 2,031 60 0,649 5,881 61 3,452 11,731 62 3,469 19,581 58 38,377 0,181 57 13,969 0,331 57,5 0,463 0,006 59,5 22,690 3,706 60,5 21,729 8,556 61 5,847 11,731 62 0,374 19,581 62,5 1,599 24,256
/> 221,950 282,138
Коэффициент детерминации находится по формуле:/> />
Вывод: Сравнивая коэффициенты детерминации по методамХемминга и Брауна, равные 0,937 и 0,213 соответственно, делаем вывод что модельХемминга является наиболее адекватной.
4 Идентификация как функция управления
В таблице 4.1 приведены данные о стоимости эксплуатациивинтовых самолетов в зависимости от возраста:
Таблица 4.1Возраст Стоимость 1,0 466 1,0 549 1,0 978 4,0 495 4,0 723 4,0 681 4,5 619 4,5 1049 4,5 1033 5,0 163 5,0 182 5,0 890 5,0 1522 5,0 1194 5,5 987 6,0 764 6,0 1373
1. Провести процедуру структурно-параметрическойидентификации математической модели для исходных данных. Оценить адекватность.
2. Проанализируйте данные, исключив повторы. Ответьте навопросы: изменилось ли математическая модель? Как изменился коэффициентдетерминации? Адекватна ли подобранная модель данным?
Решение:
Построим график эмпирических данных (рисунок 4).
Рисунок 4- График эмпирических данных
/>
Проведем все необходимые расчеты для составлениястатистического уравнения однофакторной зависимости и дальнейшего анализа этойзависимости. Для этого рассмотрим три модели:
прямая однофакторная линейная связь при одновременном увеличениифакторного и результативного признаков;
логарифмическая модель (прямая гипербола, когда уровеньрезультативного признака возрастает, а затем его рост приостанавливается,оставаясь почти на одном уровне);
прямая логическая зависимость (когда происходитнеустойчивое возрастание уровня результативного признака).
Линейная модель.
Уравнение модели прямой однофакторной линейной связи:
/>
Для вычисления параметра />, составления уравнения однофакторной зависимости идальнейшего анализа этой зависимости заполним таблицу 4.2.
Таблица 4.2
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1,0 466 0,0 0,000 0,000 466,000 1,0 549 0,0 0,178 0,000 466,000 1,0 978 0,0 1,099 0,000 466,000 4,0 495 3,0 0,062 0,685 785,222 4,0 723 3,0 0,552 0,685 785,222 4,0 681 3,0 0,461 0,685 785,222 4,5 619 3,5 0,328 0,799 838,426 4,5 1049 3,5 1,251 0,799 838,426 4,5 1033 3,5 1,217 0,799 838,426 5,0 163 4,0 -0,650 0,913 891,630 5,0 182 4,0 -0,609 0,913 891,630 5,0 890 4,0 0,910 0,913 891,630 5,0 1522 4,0 2,266 0,913 891,630 5,0 1194 4,0 1,562 0,913 891,630 5,5 987 4,5 1,118 1,028 944,833 6,0 764 5,0 0,639 1,142 998,037 6,0 1373 5,0 1,946 1,142 998,037
/> 54,0 12,330
Примечание. Предпоследний и последний столбцы таблицы 4.2заполняются после отыскания параметра уравнения зависимости /> и составления самого уравнениязависимости.
В рассматриваемом примере параметр />, при /> и /> вычисляетсяпо формуле:
/>
В рассматриваемом примере окончательный вид уравнениязависимости находим по формуле.:
/>
Отобразим эмпирические и теоретические значения результативногопризнака на графике (рисунок 4).
Рисунок 4
/>
Информация для расчета коэффициента детерминации втиповой задаче в полном объеме представлена в таблице 4.3.
Таблица 4.3
/>
/>
/>
/>
/>
/>
(/>/>)
/> 1,0 466 0,000 466,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,0 549 0,178 466,000 0,032 0,000 0,178 0,032 1,0 978 1,099 466,000 1,207 0,000 1,099 1,207 4,0 495 0,062 785,222 0,004 0,685 -0,623 0,388 4,0 723 0,552 785,222 0,304 0,685 -0,134 0,018 4,0 681 0,461 785,222 0,213 0,685 -0,224 0,050 4,5 619 0,328 838,426 0,108 0,799 -0,471 0,222 4,5 1049 1,251 838,426 1,565 0,799 0,452 0,204 4,5 1033 1,217 838,426 1,480 0,799 0,418 0,174 5,0 163 -0,650 891,630 0,423 0,913 -1,564 2,445 5,0 182 -0,609 891,630 0,371 0,913 -1,523 2,319 5,0 890 0,910 891,630 0,828 0,913 -0,003 0,000 5,0 1522 2,266 891,630 5,135 0,913 1,353 1,830 5,0 1194 1,562 891,630 2,441 0,913 0,649 0,421 5,5 987 1,118 944,833 1,250 1,028 0,090 0,008 6,0 764 0,639 998,037 0,409 1,142 -0,502 0,252 6,0 1373 1,946 998,037 3,788 1,142 0,805 0,647
/> 12,330 19,558 10,217
По данным таблицы 4.3 коэффициент детерминации составит:
/>
Логарифмическая модель
Уравнение модели прямой гиперболы:
/>
Для вычисления параметра />, составления уравнения однофакторной зависимости идальнейшего анализа этой зависимости заполним таблицу 4.4.
Таблица 4.4
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1,0 466 0,000 0,000 0,000 466,000 1,0 549 0,000 0,178 0,000 466,000 1,0 978 0,000 1,099 0,000 466,000 4,0 495 0,750 0,062 1,006 934,912 4,0 723 0,750 0,552 1,006 934,912 4,0 681 0,750 0,461 1,006 934,912 4,5 619 0,778 0,328 1,044 952,279 4,5 1049 0,778 1,251 1,044 952,279 4,5 1033 0,778 1,217 1,044 952,279 5,0 163 0,800 0,650 1,073 966,172 5,0 182 0,800 0,609 1,073 966,172 5,0 890 0,800 0,910 1,073 966,172 5,0 1522 0,800 2,266 1,073 966,172 5,0 1194 0,800 1,562 1,073 966,172 5,5 987 0,818 1,118 1,098 977,540 6,0 764 0,833 0,639 1,118 987,013 6,0 1373 0,833 1,946 1,118 987,013
/> 11,068 14,850 14,850
Примечание. Предпоследний и последний столбцы таблицы 4.4заполняются после отыскания параметра уравнения зависимости /> и составления самого уравнениязависимости.
В рассматриваемом примере параметр />, при /> и /> вычисляетсяпо формуле:
/>
В рассматриваемом примере окончательный вид уравнениязависимости находим по формуле:
/>
Отобразим эмпирические и теоретические значениярезультативного признака на графике (рисунок 5).
Рисунок 5
/>
Информация для расчета коэффициента детерминации втиповой задаче в полном объеме представлена в таблице 4.5.
Таблица 4.5
/>
/>
/>
/>
/>
/>
(/>/>)
/> 1,0 466 0,000 466,000 0,000 0,000 0,000 0,00000 1,0 549 0,178 466,000 0,032 0,000 0,178 0,03172 1,0 978 1,099 466,000 1,207 0,000 1,099 1,20717 4,0 495 0,062 934,912 0,004 1,006 -0,944 0,89117 4,0 723 0,552 934,912 0,304 1,006 -0,455 0,20679 4,0 681 0,461 934,912 0,213 1,006 -0,545 0,29689 4,5 619 0,328 952,279 0,108 1,044 -0,715 0,51150 4,5 1049 1,251 952,279 1,565 1,044 0,208 0,04308 4,5 1033 1,217 952,279 1,480 1,044 0,173 0,03001 5,0 163 0,650 966,172 0,423 1,073 -0,423 0,17903 5,0 182 0,609 966,172 0,371 1,073 -0,464 0,21519 5,0 890 0,910 966,172 0,828 1,073 -0,163 0,02672 5,0 1522 2,266 966,172 5,135 1,073 1,193 1,42268 5,0 1194 1,562 966,172 2,441 1,073 0,489 0,23902 5,5 987 1,118 977,540 1,250 1,098 0,020 0,00041 6,0 764 0,639 987,013 0,409 1,118 -0,479 0,22903 6,0 1373 1,946 987,013 3,788 1,118 0,828 0,68608
/> 14,850 19,558 6,21649
По данным таблицы 4.5 коэффициент детерминации составит:
/>
Логическая модель
Уравнение модели прямой логической зависимости:
/>
Для вычисления параметра />, составления уравнения однофакторной зависимости идальнейшего анализа этой зависимости заполним таблицу 5.
Таблица 4.6
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1,0 466 1,00000 0,00215 0,00000 0,00000 0,00000 466,00000 1,0 549 1,00000 0,00182 0,00000 0,00032 0,00000 466,00000 1,0 978 1,00000 0,00102 0,00000 0,00112 0,00000 466,00000 4,0 495 0,25000 0,00202 0,75000 0,00013 0,00039 570,13230 4,0 723 0,25000 0,00138 0,75000 0,00076 0,00039 570,13230 4,0 681 0,25000 0,00147 0,75000 0,00068 0,00039 570,13230 4,5 619 0,22222 0,00162 0,77778 0,00053 0,00041 574,89026 4,5 1049 0,22222 0,00095 0,77778 0,00119 0,00041 574,89026 4,5 1033 0,22222 0,00097 0,77778 0,00118 0,00041 574,89026 5,0 163 0,20000 0,00613 0,80000 -0,00399 0,00042 578,75418 5,0 182 0,20000 0,00549 0,80000 -0,00335 0,00042 578,75418 5,0 890 0,20000 0,00112 0,80000 0,00102 0,00042 578,75418 5,0 1522 0,20000 0,00066 0,80000 0,00149 0,00042 578,75418 5,0 1194 0,20000 0,00084 0,80000 0,00131 0,00042 578,75418 5,5 987 0,18182 0,00101 0,81818 0,00113 0,00043 581,95443 6,0 764 0,16667 0,00131 0,83333 0,00084 0,00044 584,64846 6,0 1373 0,16667 0,00073 0,83333 0,00142 0,00044 584,64846
/> 11,06818 0,00578
Примечание. Предпоследний и последний столбцы таблицы 4.6заполняются после отыскания параметра уравнения зависимости /> и составления самого уравнениязависимости.
В рассматриваемом примере параметр />, при /> и /> вычисляетсяпо формуле:
/>
В рассматриваемом примере окончательный вид уравнениязависимости находим по формуле:
/>
Отобразим эмпирические и теоретические значениярезультативного признака на графике (рисунок 6).
Рисунок 6
/>
Информация для расчета коэффициента детерминации втиповой задаче в полном объеме представлена в таблице 4.7.
Таблица 4.7
/>
/>
/>
/>
/>
/>
(/>/>)
/> 1,0 466 0,000 466,00 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 1,0 549 0,000 466,00 0,0000001 0,0000000 0,0003244 0,0000001 1,0 978 0,001 466,00 0,0000013 0,0000000 0,0011234 0,0000013 4,0 495 0,000 570,13 0,0000000 0,0003919 -0,0002662 0,0000001 4,0 723 0,001 570,13 0,0000006 0,0003919 0,0003709 0,0000001 4,0 681 0,001 570,13 0,0000005 0,0003919 0,0002856 0,0000001 4,5 619 0,001 574,89 0,0000003 0,0004065 0,0001240 0,0000000 4,5 1049 0,001 574,89 0,0000014 0,0004065 0,0007862 0,0000006 4,5 1033 0,001 574,89 0,0000014 0,0004065 0,0007714 0,0000006 5,0 163 -0,004 578,75 0,0000159 0,0004181 -0,0044071 0,0000194 5,0 182 -0,003 578,75 0,0000112 0,0004181 -0,0037667 0,0000142 5,0 890 0,001 578,75 0,0000010 0,0004181 0,0006043 0,0000004 5,0 1522 0,001 578,75 0,0000022 0,0004181 0,0010708 0,0000011 5,0 1194 0,001 578,75 0,0000017 0,0004181 0,0008903 0,0000008 5,5 987 0,001 581,95 0,0000013 0,0004276 0,0007052 0,0000005 6,0 764 0,001 584,65 0,0000007 0,0004355 0,0004015 0,0000002 6,0 1373 0,001 584,65 0,0000020 0,0004355 0,0009821 0,0000010
/> 0,006 0,0000416 0,0000404
По данным таблицы 4.7 коэффициент детерминации составит:
/>
Сравним коэффициенты детерминации по трем моделям
Таблица 4.8 Тип трендовой модели Уравнения зависимостей
/> Линейная
/> 0,477 Логарифмическая
/> 0,682 Логическая
/> 0,028
/> Чемслабее линейная связь между X и Y, тем R2 ближе к нулю, и чем эта связьзначительнее, тем ближе R2 к единице.
Вывод: Анализируя результаты представленные в таблице 4.8можно прийти к выводу что из представленных трендовых моделей, логарифмическаямодель является наиболее адекватной.
5 Стимулирование и мотивация как функции управления
1. Задача стимулирования для одноэлементной системы.
Руководитель поручает рабочему производство продукции,используя следующую систему стимулирования: />, где α – ставка оплаты единицы произведеннойагентом продукции. Цена, по которой центр продаёт продукцию, p=1000 руб.Затраты агента, выраженные в денежной форме: /> Определить параметр системы стимулирования α.
Решение:
Запишем целевую функцию центра:/> />
(3.1.1)
и целевую функцию агента:/> />
(3.1.2)
Задача стимулирования формулируется:
/>(3.1.3)
(3.1.4)
Данная задача решается в 2 этапа. На первом этапе извыражения (3.1.4) определяется реакция агента как аналитическая зависимость отпараметра системы стимулирования центра α. На втором этапе полученнаяаналитическая зависимость подставляется в формулу (3.1.3), получается задачабезусловной оптимизации. Решая эту задачу, определим параметр системыстимулирования α.
Первый этап. Найдем реакцию агента из решенияоптимизационной задачи (3.1.4). Для этого продифференцируем выражение (3.1.4)по y и приравняем к нулю:/> />
Решая уравнение, определим реакцию агента:/> />
Второй этап. Подставим реакцию агента в целевую функцию(3.1.3):/> />
Вычислим первую производную и приравняем к нулю:/> />
Решая уравнение, определим параметр α:/> />
Ответ: параметр системы стимулирования равен 500.
2. Задача стимулирования для многоэлементной системы сослабосвязанными агентами.
Руководитель поручает работу бригаде, состоящей из двухрабочих. Центр использует пропорциональную систему стимулирования: />, где />– ставка оплаты единицы произведенной i-м агентомпродукции. Известна функция затрат каждого агента: />
Рыночная цена, по которой продается продукция р=1000руб., фонд заработной платы бригады R=20000 руб. Определить параметры системыстимулирования />и />.
Решение
Сформулируем задачу стимулирования:/> />
(3.2.1)
(3.2.2)
(3.2.3)
(3.2.4)
Первый этап. Из выражения (3.2.2) и (3.2.3) определимреакцию агентов.
Для нахождения экстремума функции одной переменнойпродифференцируем функции и приравняем к нулю:/> /> /> /> /> />
Из решения уравнений следует:/> /> /> /> /> />
Второй этап. Подставив/>и /> ввыражение для целевой функции центра (3.2.1) и ограничение (3.2.4), получимзадачу на условный экстремум:/> />
Для ее решения применим метод множителей Лагранжа.Запишем функцию Лагранжа:/> />
Найдём частные производные от функции Лагранжа понеизвестным />,/>и />:(3.2.5)/> />
(3.2.6)
(3.2.7)
Выразим из (3.2.5) и (3.2.6) неизвестные />,/>:/> />
Получилось, что параметры функций стимулирования дляобоих агентов одинаковы. Из ограничения (3.2.7) определяем параметр системы стимулирования:/> />
/>/>Ответ:Параметры системы стимулирования и равны между собой и равны 30,98.
3. Задача стимулирования для многоэлементной системы ссильносвязанными агентами.
Руководитель (центр) поручает работу бригаде, состоящейиз 2 рабочих. Рабочие (агенты) изготавливают однородную продукцию объёмом yi,которую центр продаёт по цене p=1500. Центр использует пропорциональную системустимулирования
/>,
где /> –ставка оплаты единицы продукции.
Затраты агентов определяются соответственно:
/>,
/>.
Фонд заработной платы, которым располагает центрсоставляет R=37000 денежных единиц. Определить параметры системы стимулирования/>.
Решение
Запишем целевую функцию центра:/> />
(3.3.1)
и целевые функции агентов:/> />
(3.3.2)
/>(3.3.3)
Сформулируем задачу стимулирования:
/>(3.3.4)
(3.3.5)
(3.3.6)
Первый этап. Найдем реакцию первого агента из решенияоптимизационной задачи. Для этого продифференцируем целевую функцию агента по /> и приравняем к нулю:/> />
Решая уравнение, определим реакцию первого агента:/> />
Аналогично найдём реакцию второго агента:/> /> /> /> /> />
Решив систему уравнений:/> />
относительно y1 и y2получим реакции агентов:/> /> /> /> /> />
Второй этап. Подставим реакции агентов в целевую функциюцентра:/> />
Продифференцировав это выражение по />,/>и приравняв нулю, получим систему уравнений:/> />
/>/>Решивполученную систему уравнений, определим параметры системы
стимулирования и
Ответ: параметры системы стимулирования /> и /> равны 645,83 и 961,01 соответственно.