--PAGE_BREAK--2.Методические основы экономико-математических методов
В экономико-математическом анализе используются математические модели, описывающие изучаемое явление или процесс с помощью уравнений, неравенств, функций и других математических средств. Различают математические модели с количественными характеристиками, записанными в виде формул; числовые модели с конкретными числовыми характеристиками; логические, записанные с помощью логических выражений, и графические, выраженные в графических образах.
Систематизировать применяемые в анализе деятельности предприятия методы можно по различным признакам. Наиболее целесообразной представляется классификация экономико-математических методов по содержанию метода, т.е. по принадлежности к определенному разделу современной математики.
Сформулированная математическая задача экономического анализа может быть решена одним из наиболее разработанных математических методов. Поэтому классификация в значительной мере условна. То есть, как уже говорилось ранее, задачи управления запасами могут решаться методами математического программирования и с применением динамических методов.
Эконометрические методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основа эконометрии – экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического явления или процесса при помощи научной абстракции, отражения их характерных черт. Наибольшее распространение получил метод анализа «затраты – впуск» (межотраслевого баланса). Это матричные (балансовые) модели, строящиеся по шахматной схеме и позволяющие в наиболее компактной форме представить взаимосвязь затрат и результатов производства. Удобство расчетов и четкость экономической интерпретации – главные особенности матричных моделей.
Математическое программирование – важный раздел современной прикладной математики. Методы математического программирования служат основным средством решения задач оптимизации производственно-хозяйственной деятельности. По своей сути эти методы есть средство плановых расчетов. Их ценность для экономического анализа выполнения планов в том, что они позволяют оценивать напряженность плановых заданий, определять лимитирующие группы оборудования, виды сырья и материалов, получать оценки дефицитности произведенных ресурсов и т.п. Основными являются методы линейного программирования (симплексный метод, транспортная задача) и динамического программирования.
Под исследованием операций подразумеваются разработка методов целенаправленных действий (операций), количественная оценка полученных решений и выбор наилучшего из них. Предметом исследования операций являются экономические системы, в том числе производственно-хозяйственная деятельность предприятий. Цель – такое сочетание структурных взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени отвечает задаче получения наилучшего экономического показателя из ряда возможных. Наиболее распространены методы управления запасами, теории игр и массового обслуживания, сетевые методы планирования и управления.
Математическое моделирование экономических явлений и процессов является важным инструментом экономического анализа. Оно дает возможность получить четкое представление об исследуемом объекте, охарактеризовать и количественно описать его внутреннюю структуру и внешние связи.[22, 43-47]
Экономико-математическая модель должна быть адекватной действительности, отражать существенные стороны и связи изучаемого объекта. Отметим принципиальные черты, характерные для построения экономико-математической модели любого вида. Процесс моделирования можно условно подразделить на три этапа:
1. анализ теоретических закономерностей, свойственных изучаемому явлению или процессу, и эмпирических данных о его структуре и особенностях; на основе такого анализа формируются модели;
2. определение методов, с помощью которых можно решить задачу;
3. анализ полученных результатов.
Теория игр исследует оптимальные стратегии в различных ситуациях, в которых может находиться предприятие. К ним относятся ситуации, связанные с выбором наиболее выгодных производственных решений системы научных и хозяйственных экспериментов, с организацией статистического контроля, хозяйственных взаимоотношений между предприятиями промышленности и других отраслей. Формализуя конфликтные ситуации математически, их можно представить как игру двух, трех и т. д. игроков, каждый из которых преследует цель максимизации своей выгоды, своего выигрыша за счет другого. Поэтому для поиска производственно-хозяйственных решений на предприятиях чаще используют именно теорию игр.
Решение подобных задач требует определенности в формулировании их условий: установления количества игроков и правил игры, выявления возможных стратегий игроков, возможных выигрышей (отрицательный выигрыш понимается как проигрыш). Важным элементом в условии задач является стратегия, т.е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор данного игрока. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, отсюда и игры подразделяются на конечные и бесконечные. При исследовании конечной игры задаются матрицы выигрышей, а бесконечной — функции выигрышей. Для решения задач применяются алгебраические методы, основанные на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также сведение задачи к некоторой системе дифференциальных уравнений.
На промышленных предприятиях теория игр может использоваться для выбора оптимальных решений, например при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, в вопросах качества продукции и других экономических ситуациях. В первом случае противоборствуют две тенденции: увеличения запасов, в том числе и страховых, гарантирующих бесперебойную работу производства; сокращения запасов, обеспечивающих минимизацию затрат на их хранение; во втором стремления к выпуску большего количества продукции, ведущего к снижению трудовых затрат; к повышению качества, сопровождающемуся часто уменьшением количества изделий и, следовательно возрастанием трудовых затрат. В машиностроительном производстве противоборствующими направлениями являются стремление к максимальной экономии металла в конструкциях, с одной стороны, и обеспечение необходимой прочности конструкций с другой.
Природные условия (условия неопределенности) нередко сказываются на эффективности работы промышленных предприятий.
Данные, необходимо для принятия решения в условии неопределенности, обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям, а столбцы – возможным состояниям системы.[2, 270]
Пусть, например, из некоторого материала требуется изготовить изделие, долговечность которого при допустимых затратах невозможно определить. Нагрузки считаются известными. Требуется решить, какие размеры должно иметь изделие из данного материала.
Варианты решения таковы:
Е1– выбор размеров из соображений максимальной долговечности ;
Еm– выбор размеров из соображений минимальной долговечности ;
Ei– промежуточные решения.
Условия требующие рассмотрения таковы :
F1 – условия, обеспечивающие максимальной долговечность;
Fn– условия, обеспечивающие min долговечность;
Fi– промежуточные условия.
Под результатом решения eij = е(Ei; Fj) здесь можно понимать оценку, соответствующую варианту Eiи условиям Fjи характеризующие прибыль, полезность или надёжность.
Тогда семейство (матрица) решений имеет вид :
F1
F2
… .
Fn
E1
e11
e12
… .
e1n
E2
e21
e22
… .
e2n
… .
… .
Em
em1
em2
… .
emn
Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгоднейшему варианту решению необходимо ввести оценочную (целевую) функцию. При этом матрица решений сводится к одному столбцу.
При поиске оптимальных решений, учитывая специфику игр, обращаются к различным критериям, которые дают некоторую логическую схему принятия решения. Критерии позволяют оценить принимаемое решение с различных позиций, поэтому позволяют избежать грубых ошибок в хозяйственной деятельности.
1. Минимаксный критерий.
Правило выбора решения в соответствии с минимаксным критерием (ММ-критерием) можно интерпретировать следующим образом:
Матрица решений дополняется ещё одним столбцом из наименьших результатов каждой строки. Необходимо выбрать те варианты в строках которых стоят наибольшее значение этого столбца.
Выбранные т.о. варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Это свойство позволяет считать ММ-критерий одним из фундаментальных.
Применение ММ-критерия бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение следующая:
1. О возможности появления внешних состояний Fj ничего не известно;
2. Приходится считаться с появлением различных внешних состояний Fj.
2. Критерий Лапласа.
Предположим, что игрок не располагает достоверной информацией об априорных вероятностях состояний природы. Оптимальной считается чистая стратегия, обеспечивающая максимальный средний выигрыш игрока при равенстве всех априорных вероятностей . Этот прием называется принципом недостаточного основания Лапласа.
Матрица решений дополняется ещё одним столбцом содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты, в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца.
3. Критерий Сэвиджа.
Величину aij можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии Fj вместо варианта Ei выбирать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Величину aij можно интерпретировать и как потери (штрафы) возникающие в состоянии Fj при замене оптимального для него варианта на вариант Ei. В последнем случае максимально возможные (по всем внешним состояниям Fj, j =) потери в случае выбора варианта Ei.
Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора теперь трактуется так:
1) Каждый элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата maxeij соответствующего столбца.
2) Разности aij образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей. Выбирают те варианты, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.
Из критериев становится ясно, что в следствии их жёстких исходных позиций они применимы только для идеализированных практических решений. В случае, когда возможна слишком сильная идеализация, можно применять одновременно поочерёдно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов выбирает окончательное решение. Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора.
Для линейного программирования характерны математическое выражение переменных величин, определенный порядок, последовательность расчетов (алгоритм), логический анализ. Применять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величины и факторы имеют математическую определенность и количественную ограниченность, когда в результате известной последовательности расчетов происходит взаимозаменяемость факторов, когда логика в расчетах, математическая логика совмещаются с логически обоснованным пониманием сущности изучаемого явления.
Все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, а в частности симплексного метода, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу — значит выбрать из всех допустимо возможных (альтернативных) вариантов лучший, оптимальный. Важность и ценность использования в экономике метода линейного программирования состоят в том, что оптимальный вариант выбирается из весьма значительного количества альтернативных вариантов. При помощи других способов решать такие задачи практически невозможно.[2, 260]
Предприятие может выпускать n видов продукции, используя m видов ресурсов. Пусть – расход i ресурса на единицу j продукции, – имеющееся количество i ресурса, – прибыль на единицу j продукции, – искомое количество единиц j продукции. Задача состоит в том, чтобы найти производственную программу
максимизирующую прибыль
(1)
при ограничениях по ресурсам
, i= 1, …m (2)
где по смыслу задачи
(3)
Решаем задачу симплексным методом, для этого:
1. Приводим задачу к каноническому виду
· максимизируем целевую функцию
· приводим ограничения к виду
· составляем систему уравнений путем введения дополнительных переменных
Если , то
Если , то
2. составляем первоначальное решение и таблицу
Базис
План
Свободные переменные
Разрешающий коэффициент
f
3. проверяем полученное решение на оптимальность
Критерий оптимальности выполнен и задача решена если все коэффициенты индексной строки . Если хотя бы один коэффициент индексной строки
Для построения нового решения требуется:
1. среди
2. для всех элементов разрешающего столбца имеющих одинаковые знаки со значением находятся разрешающие коэффициенты
3. среди всех разрешающих коэффициентов выбирают наименьший, ему соответствует разрешающая строка и переменная выводимая из базиса.
4. на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находится разрешающий элемент
5. происходит пересчет симплексной таблицы
· меняется одна базисная переменная
· находятся элементы разрешающей строки
· коэффициенты системных ограничений при базисных переменных образуют единичную матрицу
· все остальные клетки симплексной таблицы, включая индексную строку, находятся по правилу прямоугольника
Каждому новому решению задачи соответствует один итерационный процесс и одна симплексная таблица.
продолжение
--PAGE_BREAK--3.Исследование задач выбора производственного решения
При образовании предприятия основным вопросом является, что производить. Определившись с примерным направлением производства и ассортиментом необходимо просчитать, основываясь на статистики или на данных работающих в данной отрасли предприятий, наиболее рентабельный вид продукта используя теорию игр.
Предприятию, производящему изделия из водоотталкивающих тканей, необходимо принять решение о производстве зонтов, плащей, туристических палаток и сумок в зависимости от того, будет ли погода умеренной или дождливой. Доходы от реализации при каждом из состояний погоды, в млн. у.е. составили:
Таблица 3.1.
дождливая
умеренная
зонты
1,05
0,96
плащи
1,3
1,02
палатки
0,8
0,9
сумки
1
1,2
Необходимо принять решение о вложении денежных средств в производство той продукции, которая обеспечит наибольшую возможную прибыль.
Поиск решения с помощью минимаксного критерия.
Составляется платежная матрица:
Таблица 3.2.
F1
F2
Е1
1,05
0,96
0,96
Е2
1,3
1,02
1,02
Е3
0,8
0,9
0,8
Е4
1
1,2
1
1,3
1,2
Получаем что нижняя чистая цена игры = max= 1.02,
а верхняя чистая цена игры = min= 1.2
Таким образом получаем, что α ≠ β следовательно седловая точка отсутствует. Согласно ММ-критерию следует проводить полную проверку, т.к. упростить платежную матрицу нельзя, потому что нет доминируемых стратегий. Вообще, в играх с природой нельзя отбрасывать те или иные состояния природы, поскольку она может реализовать любое свое состояние независимо, выгодно оно предприятию или нет.
Критерий Байеса – Лапласа.
В нашей задаче . Средние выигрыши помещены в столбце .
Таблица 3.3.
F1
F2
Е1
1,05
0,96
1,005
Е2
1,3
1,02
1,16
Е3
0,8
0,9
0,85
Е4
1
1,2
1,1
Оптимальной по Байесу-Лапласу является чистая стратегия Е2. В интересах объективности можно найти средние значения вероятностей, определенных квалифицированными экспертами для каждого состояния на основе их субъективного опыта.
Т.о. критерий Байеса-Лапласа более оптимистичен, чем минимаксный критерий, однако он предполагает большую информированность и достаточно длительную реализацию.
Критерий Сэвиджа.
В играх с природой нельзя что либо предсказать, т.к. она может реализовать любое состояние.
Перейдем к матрице рисков, она позволяет понять преимущество одной стратегии перед другой.
Таблица 3.4.
F1
F2
Е1
0,25
0,24
0,25
Е2
0,18
0,18
Е3
0,5
0,4
0,5
Е4
0,3
0,3
.
Выбираем стратегию Е2, с минимальной величиной риска.
Из показаний критериев видно, что наиболее прибыльным для предприятия будет производство зонтов, при любых погодных условиях.
Не менее важной и сложной задачей предприятия является определение необходимого объема выпускаемой продукции, особенно если наименований несколько. В подобных случаях используют симплексный метод.
Предприятие производит 3 вида продукции: А1, А2, А3, используя сырьё двух типов. Известны затраты сырья каждого типа на единицу продукции, запасы сырья на планируемый период, а также прибыль от единицы продукции каждого вида.
Таблица 3.5.
Сырье
Затраты сырья на единицу продукции
Запас сырья
А1
А2
А3
I
3,5
7
4,2
1400
II
4
5
8
2000
Прибыль от ед.прод.
1
3
3
Необходимо определить сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получить максимум прибыли.
Составим математическую модель задачи. Пусть x1, х2, х3 соответственно – количество единиц продукции А1, А2, А3, которую производит предприятие. По смыслу задачи эти переменные неотрицательны.
Тогда f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 – совокупная прибыль от продажи произведенной продукции, которую требуется максимизировать.
Подсчитаем затраты сырья:
Сырье 1-го типа: 3,5 х1 + 7 х2 + 4,2 х3, по условию затраты не превосходят 1400,
Сырье 2-го типа: 4 х1 + 5 х2 + 8 х3, по условию затраты не превосходят 2000.
Пришли к задаче линейного программирования:
f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 → max,
3,5 х1 + 7 х2 + 4,2 х3 ≤ 1400,
4 х1 + 5 х2 + 8 х3 ≤ 2000,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.
Преобразуем первое ограничение:
3,5 х1 + 7 х2 + 4,2 х3 ≤ 1400, (поделим на 7)
0,5 х1 + 1 х2 + 0,6 х3 ≤ 200, (умножим на 10)
5 х1 + 10 х2 + 6 х3 ≤ 2000.
Получили задачу:
f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 → max,
5 х1 + 10 х2 + 6 х3 ≤ 2000,
4 х1 + 5 х2 + 8 х3 ≤ 2000,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.
Решим данную задачу симплекс-методом. Введем дополнительные переменные х4, х5 для приведения задачи к каноническому виду:
f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 → max,
5 х1 + 10 х2 + 6 х3 + х4 = 2000,
4 х1 + 5 х2 + 8 х3 + х5 = 2000,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0.
В качестве опорного плана выберем Х=(0, 0, 0, 2000, 2000). Составим симплекс-таблицу:
Таблица 3.6.
Базис
План
х1
х2
х3
х4
х5
δ
ij
х4
2000
5
10
6
1
0
200
х5
2000
4
5
8
0
1
400
f
0
-1
-3
-3
0
0
В последней оценочной строке есть отрицательные оценки, поэтому нужно делать шаг симплекс-метода. Выбираем столбец с наименьшей оценкой, а затем разрешающий элемент – по наименьшему отношению свободных членов к коэффициентам столбца (отношения записаны в последнем столбце). Результат шага запишем в таблицу (разрешающий элемент будем выделять жирным). Аналогично будем повторять шаги, пока не придем к таблице с неотрицательными оценками.
Таблица 3.7.
Базис
План
х1
х2
х3
х4
х5
δ
ij
х2
200
1/2
1
3/5
1/10
0
1000/3
х5
1000
3/2
0
5
-1/2
1
1000/5
f
600
1/2
0
-6/5
3/10
0
Таблица 3.8.
Базис
План
х1
х2
х3
х4
х5
δ
ij
х4
80
8/25
1
0
4/25
-3/25
200
х3
200
3/10
0
1
-1/10
1/5
400
f
840
43/50
0
0
9/50
6/25
В последнем плане строка f не содержит отрицательных значений, план x1 = 0, x2 = 80, x3 = 200оптимален, целевая функция принимает максимальное значение 840(совокупная прибыль).
Дадим экономическую интерпретацию оптимального плана. Согласно этому плану необходимо произвести 0 единиц продукции типа А1, 80 единиц продукции типа А2, 200 единиц продукции типа А3.
В строке f оптимального плана в столбцах дополнительных переменных y*=(9/50, 6/25).
Двойственные оценки определяют дефицитность сырья. Так как y1*=9/50>0, y2*=6/25>0, то, согласно второй теореме двойственности сырье и 1го, и 2го типов полностью используется в оптимальном плане и является дефицитным сырьем.
Кроме того, значения двойственных оценок показывают, насколько возрастает доход предприятия при увеличении дефицитного сырья на единицу (соответственно, на 9/50 и на 6/25).
продолжение
--PAGE_BREAK--