Министерство транспорта РоссийскойФедерации
Федеральное агентство железнодорожноготранспорта
ГОУ ВПО «Дальневосточныйгосударственный университет путей сообщения»
Кафедра «Экономика транспорта»
Методические указания и задания квыполнению
расчетно-графических работ длястудентов
экономических специальностей
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИМЕТОДЫ
В.А. Подоба А.М. Метлакова-Лазуткина
Хабаровск 2006
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1.ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ ПРЕДПРИЯТИЯ ПО ДЕПОВСКОМУ РЕМОНТУГРУЗОВЫХ ВАГОНОВ
1.1 Методикарешения задачи
1.2 Исходныеданные
1.3 Последовательностьрешения задачи
2.ОПТИМИЗАЦИЯ ЗАГРУЗКИ МОЩНОСТЕЙ ПО ПРОИЗВОДСТВУ ЗАПАСНЫХ ЧАСТЕЙ ДЛЯ ПРЕДПРИЯТИЙЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
2.1 Постановказадачи
2.2 Методикарешения задачи
2.3 Исходныеданные
2.4Последовательность решения задачи
3. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯМОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА (МОДЕЛЬ «ЗАТРАТЫ–ВЫПУСК»)
3.1 Методикарешения задачи
3.2 Исходныеданные
3.3Последовательность решения задачи
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙСПИСОК
ВВЕДЕНИЕ
В современных условиях рольэкономико-математических методов и моделей в решении широкого кругаэкономических и производственных задач существенно возрастает. Это в полноймере относится к железнодорожному транспорту, для которого методологияэкономико-математического моделирования всегда являлась действенныминструментом повышения эффективности его работы.
В связи с широким внедрением вэкономическую практику современных информационных технологий возможностиэкономико-математического моделирования для решения прикладных задачсущественно расширились. В частности средства MICROSOFT EXEL позволяют решать большинство задач, входящих винструментарий экономико-математического моделирования. В связи с этим вметодических указаниях представлены три расчетно-графические работы поэкономико-математическому моделированию, отражающих специфику железнодорожноготранспорта.
1. ОПТИМИЗАЦИЯПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ ВАГОНОРЕМОТНОГО ПРЕДПРИЯТИЯ ПО ДЕПОВСКОМУ РЕМОНТУГРУЗОВЫХ ВАГОНОВ
1.1 Методика решения задачи
Деповской ремонт грузовых вагонов выполняется в ремонтныхвагонных депо, входящих в Департамент ОАО «РЖД» по ремонту грузового вагонногопарка. Программа ремонта по количеству и типам вагонов для каждого депо вотдельности устанавливается департаментом исходя из потребностей в ремонте,производственных мощностей депо и имеющихся в наличии производственныхресурсов. С учетом того, что в настоящее время неуклонно возрастает вагонныйпарк других собственников, а также предстоящим акционированием Департаментавозникает проблема определения оптимальной производственной программы депо,обеспечивающей максимальную прибыль предприятию. Такая задача может бытьсформулирована следующим образом. Имеем:
Хi– объем ремонта вагонов j–готипа; i = 1, 2, … n;
Вi –объем, имеющихся в наличии производственных ресурсов i-го вида; I = 1, 2, … m;
aij – расход i-го вида ресурсов на ремонт одного вагона j-го типа;
Cj – прибыль, получаемая предприятиемза один отремонтированный вагон j-готипа.
Решение задачи осуществляется на основе следующей экономико-математическоймодели:
Найти совокупность переменных Хj, минимизирующую целевую функцию F:
/> (1.1)
На целевую функцию накладываются следующие ограничения:
/>(1.2)
/>
/>
Xij ≥ 0 для всех значений индексов.(1.3)
Данная модель относится к классу экономико-математическихмоделей линейного программирования [4, 5, 8, 9]. Решение задач, описываемых экономико-математическимимоделями линейного программирования, как правило, осуществляется универсальнымсимплексным методом [4, 5].
Он достаточно трудоемок. Поэтому выполнение расчетоврекомендуется в среде EXCEL[2, 7].
Технологию решения задач линейного программирования в среде EXCEL продемонстрируем на следующем примере.
Вагоноремонтное депо имеет в своем распоряжении определенноеколичество ресурсов: рабочую силу, материалы, запасные части, оборудование,производственные площади и т. п. Допустим, например, имеются ресурсы четырехвидов: рабочая сила, материалы, специальные запасные части и фонд временивагоноремонтных позиций. Депо может ремонтировать вагоны четырех типов.Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимого для ремонта одноговагона каждого типа, их объеме и получаемой прибыли приведена в табл. 1.
Таблица 1.1Ресурсы Нормы расхода ресурсов на один вагон Наличие ресурсов полувагон крытый платформа хопердозатор Раб. сила, чел.час 180 205 160 336 650000 Материалы, тыс. руб 28 27 26 54 100000 Фонд времени, час 17 18 16 30 125000
Специальные
запчасти, тыс. руб. 15 5000 Прибыль на 1 вагон, тыс. руб. 7,3 7,5 6,5 15
Требуется найти такой план ремонтавагонов, при котором будет максимальной общая прибыль предприятия.
Обозначим через Х1, Х2,Х3, Х4 количество вагонов каждого типа. Сформулируем экономико-математическуюмодель задачи:
F = 7,3Х1 + 7,5Х2 + 6,5Х3 + 15Х4 à max
180Х1 + 205Х2 +160Х3 + 336Х4 ≤ 650000,
28Х1 + 27X2 + 26Х3 + 54Х4 ≤ 100000,
17Х1 + 18Х2 + 16Х3+ 30Х 4 ≤ 125000,
15 ∙ Х4 ≤ 5000
X1 ≥ 0; X2 ≥ 0; X3≥ 0; X4 ≥ 0
Решение задач линейногопрограммирования в среде EXCELосуществляется с помощью надстройки «Поиск решения» [2, 7]. Если в меню Сервис отсутствуеткоманда Поиск решения, значит, необходимо загрузить эту надстройку. Выберитекоманду Сервиса Надстройки и активизируйте надстройку Поиск решения. Если жеэтой надстройки нет в диалоговом окне Надстройки, то необходимо обратиться кпанели управления Windows, щелкнутьна пиктограмме Установка и удаление программ и с помощью программы установки EXCEL (или Office) установить надстройку Поиск решения. Для решениязадачи необходимо:
1. Создать форму дляввода условий задачи.
2. Указать адресаячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки).
3. Ввести исходныеданные.
4. Ввестизависимость для целевой функции.
5. Ввестизависимости для ограничений.
6. Указатьназначение целевой функции (установить целевую ячейку).
7. Ввестиограничения.
8. Ввести параметрыдля решения задачи линейного программирования.
Для рассматриваемого примерапродемонстрируем технологию решения задачи оптимального использования ресурсов.
1. Подготовим формудля ввода условий задачи (рис. 1).
/>
Рис. 1
2. В нашей задачеоптимальные значения вектора X = (Х1,Х2 Х3, Х4) будут помещены в ячейках ВЗ: ЕЗ,оптимальное значение целевой функции — в ячейке F4./>
3. Введем исходныеданные в созданную форму. Получим результат, показанный на рис. 2.
4.Введем зависимость для целевойфункции:
• Курсор в F4.
• Курсор на кнопку Мастерфункций. Переменные Х1 Х2 Х3 Х4 Значение ЦФ коэф. в ЦФ 7,3 7,5 6,5 15 Ограничения Вид ресурсов Левая часть Знак Правая часть Труд 180 205 160 336 Рис.2. Данные введены
M1 (Обозначим через М1 следующеедействие – «один щелчок левой кнопкой мыши»). На экране диалоговое окно Мастерфункций шаг 1 из 2.
• Курсор в окно Категорияна категорию Математические.
• M1.
• Курсор в окно Функциина СУММПРОИЗВ.
• M1.
• В массив 1 ввестиВ$3: Е$3.
• В массив 2 ввестиВ4: Е4.
• Готово. Наэкране: в F4 введена функция, как показано нарис. 3.
/>
Рис. 3
5.Введем зависимость для левых частейограничений:
• Курсор в F4.
• Копировать вбуфер.
• Курсор в F7.
• Вставить избуфера.
• Курсор в F8.
• Вставить избуфера.
• Курсор в F9.
• Вставить избуфера.
На этом ввод зависимостей закончен.
Запуск Поиска решения
После выбора команд Сервис =>Поискрешения появится диалоговое окно Поиск решения (рис. 4).
/>
Рис. 4
В диалоговом окне Поиск решения естьтри основных параметра:
• Установитьцелевую ячейку.
• Изменяя ячейки.
• Ограничения.
Сначала нужно заполнить поле«Установить целевую ячейку». Во всех задачах для средства Поиск решения оптимизируетсярезультат в одной из ячеек рабочего листа. Целевая ячейка связана с другимиячейками этого рабочего листа с помощью формул. Средство Поиск решения используетформулы, которые дают результат в целевой ячейке, для проверки возможныхрешений. Можно выбрать поиск наименьшего или наибольшего значения для целевойячейки или же установить конкретное значение.
Второй важный параметр средства Поискрешения – это параметр.
Изменяемые ячейки – это те ячейки,значения в которых будут изменяться для того, чтобы оптимизировать результат вцелевой ячейке. Для поиска решения можно указать до 200 изменяемых ячеек. Кизменяемым ячейкам предъявляется два основных требования: они не должнысодержать формул, и изменение их значений должно отражаться на изменениирезультата в целевой ячейке. Другими словами, целевая ячейка зависима от изменяемыхячеек.
Третий параметр, который нужновводить для Поиска решения – это Ограничения.
6.Назначение целевой функции(установить целевую ячейку).
• Курсор в поле «Установитьцелевую ячейку».
• Ввести адрес $F$4.
• Ввестинаправление целевой функции: Максимальному значению.
• Ввести адресаискомых переменных:
• Курсор в поле«Изменяя ячейки».
• Ввести адресаВ$3: Е$3.
7. Ввод ограничений.
• Курсор в поле«Добавить». Появится диалоговое окно Добавление ограничения (рис. 5).
/>
Рис. 5
• В поле «Ссылка наячейку» ввести адрес $F$7.
• Ввести знакограничения ≤.
• Курсор в правоеокно.
• Ввести адрес$Н$7.
• Добавить. На экране опять диалоговое окноДобавление ограничения.
• Ввести остальныеограничения.
• После вводапоследнего ограничения ввести ОК.
На экране появится диалоговое окно Поискрешения с введенными условиями (рис. 5).
8.Ввод параметров для решения ЗЛП(рис. 6).
• Открыть окно Параметрыпоиска решения.
• Установить флажокЛинейная модель, что обеспечивает применение симплекс-метода.
• Установить флажокНеотрицательные значения.
• ОК.
В открывшемся окне «Поиск решения»ввести «Выполнить».
Полученное решение (рис. 7) означает,что максимальную прибыль 26537,7 тыс. руб. депо может получить при выпуске изремонта 2595,5 полувагонов, 345,4 крытых вагонов, 333,3 вагонов-хопперов. Приэтом ремонт платформ в оптимальном плане производства отсутствует. Ресурсы –рабочее время, материалы, специальные запасные части – будут использованыполностью, а из 125 тыс. ч фонда времени вагоноремонтных позиций будетиспользовано только 60,3 тыс. ч.
/>
Рис. 6
EXCEL позволяет представить результатыпоиска решения в форме отчета. Существует три типа таких отчетов:
Результаты (Answer). В отчет включаются исходные и конечные значения целевой и влияющих ячеек,дополнительные сведения об ограничениях.
Устойчивость (Sensitivity). Отчет, содержащий сведения о чувствительности решенияк малым изменениям в изменяемых ячейках или в формулах ограничений.
Пределы (Limits). Помимо исходных и конечных значений изменяемых и целевой ячеек в отчетвключаются верхние и нижние границы значений, которые могут принимать влияющиеячейки при соблюдении ограничений.
/>
Рис. 7
В отчете по результатам содержатсяоптимальные значения переменных X1, Х2, Хз, Х4, значение целевой функции, а такжелевые части ограничений.Microsoft Excel 10.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [Методичк.ОПТ.ВАГ.xls]Лист1
Отчет создан: 26.07.2005 4:23:00
Целевая ячейка (Максимум)
Ячейка Имя Исходное значение Результат $F$4 коэф.в ЦФ ЦФ 26537,72727 26537,72727 Изменяемые ячейки Ячейка Имя Исходное значение Результат $B$3 Значение Х1 2595,454545 2595,454545 $C$3 Значение Х2 345,4545455 345,4545455 $D$3 Значение Х3 $E$3 Значение Х4 333,3333333 333,3333333 Ограничения Ячейка Имя Значение Формула Статус Разница $F$8 Материалы Левая часть 100000 $F$8Рис. 8
1.2Исходные данные
Задача формулируется длявагоноремонтных депо, которые в состоянии ремонтировать пять типов вагонов: полувагоны,крытые, платформы, вагоны-хопперы и цистерны. Предположим, что впроизводственном процессе используется пять видов ресурсов: рабочая сила,материалы, фонд времени ремонтных позиций, специальные запасные части иэлектроэнергия. Нормы расхода ресурсов на ремонт одного вагона по типам единыедля всех вариантов задания представлены в табл. 1.2.
Таблица 1.2Ресурсы Нормы расхода ресурсов на один вагон полувагон крытый платформа хопердозатор цистерна Раб. сила, чел.час 180 205 160 336 170 Материалы, тыс. руб. 28 27 26 54 27 Фонд времени, час 17 18 16 30 17 Специальные запчасти, тыс. руб. 15 10 Электроэнергия, тыс. квт∙час 1,5 1,4 0,9 1,6 1,2 Прибыль на 1 вагон, тыс. руб. 7,3 7,5 6,5 15 7
Данные о размерах прибыли на 1 отремонтированный вагон иобъемах ресурсов на предприятии приведены по вариантам в табл. 3 и 4.
Таблица 1.3
Номер
варианта Прибыль на 1 вагон, тыс. руб. полувагон крытый платформа хопердозатор цистерна
1
2
3
4
5
7,3
7,5
7,7
8,0
7,1
7,5
7,7
7,9
8,4
8.1
6,5
6,0
6,4
6,3
7,0
15,0
14,2
15,4
15,7
15,5
7,1
7,3
7,6
7,9
6,8
1.3 Последовательность решения задачи
Определяются номера вариантов исходных данных применительно ктабл. 1.3 и 1.4. Для этого две последние цифры зачетной книжки студента делятсяс остатком на количество вариантов, представленных в таблицах. К остатку отделения прибавляется единица. Полученное число явится номером варианта дляинформации соответствующего вида.
Например, считываем из зачетной книжки число 89.Применительно к табл. 1.3 делим его на 5. Получаем 17 и 4 в остатке. Прибавляемк остатку единицу, получаем вариант 5. Если остаток 0, вариант 1.
Таблица 1.4
Номер
варианта Объемы ресурсов рабочая сила материалы
фонд
времени специальные запчасти электроэнергия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
650000
590000
680000
700000
750000
690000
800000
790000
770000
710000
100000
98000
120000
125000
130000
133000
129000
130000
115000
120000
125000
80000
90000
75000
88000
74000
95000
80000
92000
79000
5000
6000
7000
8000
9000
7800
10000
9600
8100
7900
6300
7000
6500
6900
7000
7400
9200
8400
7500
7800
Для соответствующих исходных данных составляется экономико-математическаямодель.
Используя надстройку «Поиск решения» пакета EXCEL решается задача с выдачей отчета«Результаты».
Полученное решение анализируется, и делаются выводы, вкоторых дается характеристика найденному оптимальному варианту производственнойпрограммы вагоноремонтного предприятия и эффективности использования производственныхресурсов.
2. ОПТИМИЗАЦИЯ ЗАГРУЗКИ МОЩНОСТЕЙ ПОПРОИЗВОДСТВУ ЗАПАСНЫХ ЧАСТЕЙ ДЛЯ ПРЕДПРИЯТИЙ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
2.1 Постановка задачи
Железнодорожный транспорт в больших объемах потребляет разнообразныезапасные части для поддержания активной части своих производственных фондов вработоспособном состоянии. Запасные части для предприятий железнодорожноготранспорта изготавливаются на заводах по ремонту подвижного состава ипроизводству запасных частей и других специализированных предприятиях. Снижениеиздержек, связанных с обеспечением предприятий железнодорожного транспортазапасными частями весьма актуально. Учитывая большую протяженность железныхдорог России, эта задача должна решаться комплексно как для производственной,так и для транспортной составляющей затрат. Для решения этой задачи с успехомможет быть использована экономико-математическая модель так называемой«Транспортной задачи линейного программирования» [1, 3, 9]. В частности ееразновидность – открытая модель транспортной задачи. Для построения экономико-математическоймодели рассматриваемой задачи введем следующие обозначения:
Аi– производственные мощности предприятий по производству запасных частей попунктам размещения i;
Вj –потребности в запасных частях в пунктах j;
Хij – объемы перевозок запасных частей между пунктами производства ипунктами потребления i, ,j;
Зi– затраты на производство единицы (удельные затраты) запасных частей упредприятий по пунктам i;
Сij – затраты на транспортировку единицы запасных частей между пунктамипроизводства и потребления;
аi– загрузка производственных мощностей предприятий по производству запасныхчастей по пунктам размещения i.
Тогда экономико-математическая модель может быть сформулированаследующим образом: найти совокупность переменных аi, минимизирующих целевую функцию F.
/> (2.1)
После некоторых преобразований формула (2.1) принимает вид:
/>.
На целевую функцию накладываются следующие ограничения:
/>Хij = аi, i = 1,2,…,m; (2.2)
/>Хij = Вj, j = 1,2,…,n; (2.3)
/>Аi > />Вj (2.4)
аi,Хij > = 0 для всех значений индексов (2.5)
Ограничения 2.2 и 2.3 называются балансовыми. Они показывают,что вся произведенная продукция по пунктам размещения мощностей должна бытьвывезена – ограничение 2.2, а спрос потребителей должен быть полностьюудовлетворен – ограничение 2.3. Ограничение 2.5 показывает, что суммарнаямощность всех предприятий должна превышать общие потребности. Это весьма важно,поскольку при равенстве задача оптимизации теряет смысл, так как будет иметьместо только один вариант решения, при стопроцентной загрузке мощностей. Изограничений 2.2 и 2.3 следует, что
/>а = />В.
А из ограничения 2.5:
/>А > />а.
Ограничение 2.5 называется ограничением неотрицательности переменных.
2.2 Методика решения задачи
Методику решения задач на основе модели 2.2–2.5 рассмотрим наследующем примере. Допустим, имеется три предприятия по производству запасныхчастей и пять пунктов потребления. Объемы производства будем измерять в тоннах,а затраты в тысячах рублей.
Показатели, характеризующие производственные мощности, имеютследующие значения:
А1 = 500 т; А2 = 400 т; А3 =700 т
З1= 45 тыс. руб.; З2 = 49 тыс. руб.; З3= 40 тыс. руб.
Потребности в пунктах потребления:
В1 = 350 т; В2 = 320 т; В3 =190 т; В4 = 270 т; В5 = 230 т.
Затраты на транспортировку одной тонны запасных частей междупунктами производства и потребления представлены в матрице (табл. 2.1).
Таблица 2.1
Номера
пунктов производства i Номера пунктов потребления j 1 2 3 4 5
1
2
3
3
10
8
5
8
5
4
11
6
7
9
7
6
13
4
На основе модели 2.1–.5 применительно к нашему примеру строимматрицу, отражающую особенности решаемой задачи. При этом следует учитывать,что ограничение 2.4 соответствует открытой модели транспортной задачи. Впроцессе ее решения открытая модель сводится к закрытой за счет искусственнойбалансировки ресурсов и потребностей. Для этого в модель вводится фиктивныйпотребитель и ему назначается спрос равный разнице суммарных мощностей и потребностей:
/>.
Матрица, отражающая особенности решаемой задачи, принимает следующийвид (табл. 2.2).
Таблица 2.2Мощности Потребности Вj Фикт. потр. Аi В1=350 В2=320 В3=190 В4=270 В5=230 Вф = 240 48 50 49 52 51 А1 = 500 59 57 60 58 62 А2 = 400 48 45 46 47 44 А3 = 700
По строкам матрицы отражены мощности по производству запасныхчастей. По столбцам отражены потребители и их спрос. В клетках матрицы, вмаленьких квадратиках, представлены показатели критерия оптимальности модели –суммарные затраты на производство и транспортировку продукции между предприятиямии потребителями. В столбце фиктивного потребителя показатели критерияоптимальности приравниваются нулю. Объемы перевозок между пунктами производстваи потребления, которые находятся в результате решения, помещаются в клетки матрицы.
Сформулированная таким образом задача решается с помощьюодного из известных алгоритмов транспортной задачи линейного программирования.Для ручного решения может быть рекомендован так называемый метод потенциалов вматричной постановке [1, 3, 5]. Тем не менее, даже для относительно небольшихматриц решение транспортной задачи вручную весьма трудоемко. Рекомендуетсяиспользовать для этой цели средство EXCEL «Поиск решения».
Рассмотрим технологию использования «Поиска решения» нарассматриваемом примере.
Вначале вводятся исходные данные (рис. 9).
/>
Рис. 9
На рисунке 9 в поле с единицами располагаются изменяемыеячейки. В ячейке целевой функции содержится формула суммы произведений матрицыизменяемых ячеек на матрицу затрат.
Далее заполняется окно Поиск решения по пунктам,рассмотренным в части 1. При этом следует учитывать, что при вводе ограниченийдолжны быть введены равенства содержимого ячеек первых столбцов и верхней инижней строк таблиц, представленных на рисунке 10 (балансовые ограничениятранспортной задачи).
/>
Рис. 10
После ввода параметров и нажатия кнопки «выполнить» получаемрешение, которое представлено в матрице изменяемых ячеек на рис. 10.
В целевой ячейке записывается величина целевой функции – функционал.
Для наглядности переносим результат решения в клетки матрицы(табл. 2.3).
Таблица 2.3Мощности
Потребности Вj Фикт. потр.
Аi
В1 = 350
В2 = 320
В3 = 190
В4 = 270
В5 = 230
Вф = 240 48 50 49 52 51
А1 = 500 350 150 59 57 60 58 62
А2 = 400 160 240 48 45 46 47 44
А3 = 700 230 130 110 230
Анализ результатов решения показывает следующее. ПредприятиеА1 отправляет реальным потребителям В1 и В3соответственно по 350 и 150 т запасных частей, что в сумме составляет 500 т.Иначе говоря, мощности предприятия А1 полностью вошли в оптимальныйплан. Следовательно загрузка мощностей этого предприятия а1 равнатакже 500 т, то есть 100 %. То же самое имеет место для предприятия А3.Предприятие А2 реальному потребителю В4 отправляет 160 тпродукции. Оставшиеся мощности 240 т, как видно из табл. 2.3, приходятся нафиктивный потребитель. Это говорит о том, что мощности А2востребованы не полностью. Следовательно, загрузка А2 составляет 160т, то есть 40 %.
Из рис. 2.3. видно, что функционал, то есть суммарныепроизводственные и транспортные затраты, составляет 65050 тыс. руб. Из нихпроизводственная составляющая – первый член целевой функции (формула 2.1) –равна 53340 тыс. руб., на транспортную составляющую приходится соответственно11710 тыс. руб., или 18 %. Высокий удельный вес транспортной составляющей –свыше 5 % – свидетельствует о том, что транспортный фактор оказываетсущественное значение на загрузку производственных мощностей длярассматриваемого примера.
2.3 Исходные данные
Исходная информация для решения задачи включает в себяпоказатели, входящие в модель 2.1–2.5. Среди них можно выделить три группы исходныхданных.
Первая группа – это показатели производственных мощностей попунктам их размещения. К ним относятся собственно мощности предприятий попроизводству запасных частей – Аi и удельные затраты на производство – Зi. Мощности предприятий приведены втабл. 2.4.
Таблица 2.4Ai Мощности по производству запасных частей в тоннах по вариантам 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A1 490 500 550 670 1000 450 670 540 640 570 A2 380 350 690 500 390 600 300 760 290 930 A3 600 640 370 850 740 840 880 580 850 810 A4 750 850 950 450 600 760 490 670 700 350 A5 800 700 450 620 520 620 750 450 580 490
Удельные затраты на производство рассчитываются по формуле:
/>(тыс. руб.). (2.6)
Вторая группа показателей – это потребности в запасных частяхпо пунктам размещения потребителей в тоннах – Вj. Эти данные по вариантам приведены в табл. 2.5.
Третья группа показателей – это затраты на транспортировкузапасных частей между пунктами производства и потребления на рассматриваемомполигоне железнодорожной сети. Полигон железнодорожной сети представлен табл.2.6. Применительно к заданному полигону по вариантам задаются номера узловжелезнодорожной сети, в которых размещены предприятия по производству запасныхчастей (индексы i), и номераузлов, в которых размещены потребители запасных частей (индексы j) (табл. 2.7).
Расчет минимальных транспортных затрат между пунктамипроизводства и потребления осуществляется по формуле:
/> (тыс. руб.), (2.7)
где е – расходная ставка на 10 ткм. Для рассматриваемого родагруза принимается равной 80 руб.; L – минимальное расстояние, рассчитываемое для заданного полигона междупунктами производства и потребления, км.
Таблица 2.5Пункты потребления j Потребности пунктов потребления по вариантам (т) 1 2 3 4 5 6 1 470 540 240 390 480 460 2 330 290 430 600 340 840 3 560 420 620 350 560 430 4 610 600 320 780 500 590 5 220 310 790 620 700 300 6 650 460 600 370 210 450 7 490 720 400 410 520 510 8 670 860 610 650 670 680 9 700 450 730 720 790 520 10 460 300 540 300 460 400
Таблица 2.6Номера узлов 1–2 1–3 1–4 2–3 2–6 2–10 3–5 3–7 3–8 4–5 Расстояние, км 110 75 90 160 69 130 150 170 130 98 Номера узлов 5–8 5–9 6–7 6–10 7–8 7–11 8–9 8–12 7–8 7–11 Расстояние, км 49 112 125 98 117 135 100 95 117 135 Номера узлов 8–9 8–12 9–12 9–13 10–11 10–14 11–12 11–14 12–13 12–15 Расстояние, км 100 95 110 113 95 117 150 105 190 170 Номера узлов 13–15 14–15 14–16 15–16 Расстояние, км 200 140 79 130
Таблица 2.7Варианты Номера узлов размещения мощностей – индексы i Номера узлов размещения потребителей – индексы j 1 1 8 10 13 16 2 3 5 6 7 9 11 12 14 15 2 3 5 6 13 14 1 2 4 7 8 9 10 11 12 16 3 2 4 7 9 15 3 5 8 6 10 11 12 13 14 16 4 1 5 6 11 16 2 3 7 8 9 10 12 13 14 15
2.4 Последовательность решения задачи
Решение задачи осуществляется по вариантам применительно ктабл. 2.4, 2.5 и 2.7. Расчет вариантов должен быть приведен в работе. Выполнениезадачи осуществляется в следующем порядке.
1. Постановка задачи и формулировка экономико-математическоймодели в соответствии с заданной размерностью.
2. Определение показателей производственных мощностей. Величинымощностей берутся из табл. 2.4, а производственные затраты рассчитываются поформуле 2.6.
3. Расчет затрат на транспортировку единицы запасных частеймежду пунктами производства и потребления. Для этого по табл. 2.7 строитсясхема рассматриваемого полигона железных дорог – транспортная сеть, как это показанона фрагменте (рис. 11).
/>
Рис. 11
На транспортной сети по соответствующему варианту выделяютсяузлы, в которых размещены производственные мощности и потребители запасныхчастей. Далее непосредственно по сети рассчитываются кратчайшие расстояниямежду каждым пунктом производства и потребления.
Результаты расчета заносятся в таблицу формы соответствующейтабл. 2.1. Затраты на транспортировку рассчитываются по формуле 2.7 в таблицеаналогичной формы.
4. Построение расчетной матрицы. Расчетная матрица,соответствующая табл. 2.2, строится на основе подготовленных ранее исходных данных.По существу она представляет собой экономико-математическую модель решаемойзадачи в матричной форме.
5. Расчет оптимального плана транспортной задачи длярасчетной матрицы. Расчет может быть выполнен вручную [2, 3, 4, 7], либо с применениемсоответствующих программных продуктов. Рекомендуется использовать для этой целисредства EXCEL «Поиск решения», как это былопоказано ранее с приложением листинга. Результат решения транспортной задачиоформляется согласно табл. 2.3.
6. Расчет показателей оптимального плана загрузки производственныхмощностей. Показатели загрузки мощностей по каждому пункту определяются построкам расчетной матрицы, в которой представлен результат решения транспортнойзадачи. Загрузка будет равна объему поставок продукции реальным потребителям,то есть без фиктивного. Далее рассчитываются затраты в целом по оптимальномуплану и, в том числе, на производство и транспортировку продукции.
7. Анализ показателей оптимального плана и выводы.
3. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬМЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА (МОДЕЛЬ «ЗАТРАТЫ–ВЫПУСК»)
3.1 Методика решения задачи
Эффективное функционирование экономики предполагает наличиебаланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: содной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – какпотребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядноговыражения взаимной связи между отраслями используют таблицы определенного вида,которые называют таблицами межотраслевого баланса.
Рассмотрим наиболее простой вариант модели межотраслевогобаланса (модель Леонтьева, или модель «затраты–выпуск»).
Алгебраическая теория анализа «затраты–выпуск» сводится ксистеме линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффициенты затратна производство продукции.
Пусть весь производственный сектор народного хозяйства разбитна n чистых отраслей. Чистая отрасль (этоусловное понятие) – некоторая часть народного хозяйства, более или менеецельная (например, энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т. п.).
Пусть xij – количество продукции i-й отрасли,расходуемое в j-й отрасли; xi – объем производства i-й отрасли заданный промежуток времени, так называемый валовой выпуск продукции i; yi– объем потребления продукции i-й отрасли в непроизводственной сфере, объемконечного потребления; zj – условно чистая продукция, котораявключает оплату труда, чистый доход и амортизацию.
Единицы измерения всех указанных величин могут быть илинатуральными (кубометры, тонны, штуки и т. п.), или стоимостными. В зависимостиот этого различают натуральный и стоимостной межотраслевые балансы. Мы будемрассматривать стоимостной баланс.
В табл. 3.1 отражена принципиальная схема межотраслевого балансав стоимостном выражении.
Таблица 3.1Производящие отрасли Потребляющие отрасли Конечный продукт Валовой продукт 1 2 ….. n
1
2
….
N
X11
X21
….
Xn1
X12
X22
….
Xn2
….
….
….
….
X1n
X2n
….
Xnn
y1
y2
….
yn
X1
X2
….
Xn Условно чистая продукция
Z1
Z1 ….
Z1
/> Валовой продукт
X1
X2 ….
Xn
/>
Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам, можносделать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потребляющейотрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли.Данный вывод можно записать в виде соотношения:
/> (3.1)
Величина условно чистой продукции Z, равна сумме амортизации,оплаты труда и чистого дохода j-й отрасли. Соотношение (1) охватывает системуиз п уравнений, отражающих стоимостной состав продукции всех отраслей материальнойсферы.
Во-вторых, рассматривая схему МОБ по строкам для каждойпроизводящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отраслиравна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечнойпродукции данной отрасли:
/> (3.2)
Формула (3.2) описывает систему из n уравнений, которые называются уравнениями распределенияпродукции отраслей материального производства по направлениям использования.
Балансовый характер таблицы выражается в том, что:
/>.
/>.
Основу экономико-математической модели МОБ составляет матрицакоэффициентов прямых материальных затрат А = (аij).
Коэффициент прямых материальных затрат аijпоказывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, если учитыватьтолько прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли:
/>, i,j = 1, 2, …, n. (3.3)
Формула 3.3 предполагает следующие допущения.
Первое состоит в том, что сложившуюся технологию производствасчитаем неизменной. Таким образом, матрица А = (аij) постоянна.
Второе состоит в постулировании свойства линейности существующихтехнологий, т. е. для выпуска j-й отраслью любого объема продукции Xj,-необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве аijXj,-,т. е. материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции:
/>. (3.4)
Подставляя (3.4) в балансовое соотношение (3.2), получаем
/> (3.5)
/>
или в матричной форме
/> . (3.6)
С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов.
•Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли(X,-), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Y,):
/>. (3.7)
• Задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi),можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):
/>. (3.8)
•Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а длявсех остальных – объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукциипервых отраслей и объемы валовой продукции вторых.
В формулах (3.7) и (3.8) Е обозначает единичную матрицу n-гопорядка, а (E-A)–1 –матрицу, обратную матрице (Е — А).Если определитель матрицы (Е — А) не равен нулю, т. е. эта матрицаневырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратнуюматрицу через В = (Е- А)–1 тогда систему уравнений в матричной форме(3.8) можно записать в виде
/>. (3.9)
Элементы матрицы В называются коэффициентами полных материальныхзатрат. Они показывают, сколько всего нужно произвести продукции n-й отраслидля выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. нормабольше единицы.
Пример
Даны коэффициенты прямых затрат aij и конечныйпродукт Уi,- для трехотраслевой экономической системы:
/> />
Требуется:
1. Рассчитать все параметры межотраслевого баланса.
2. Заполнить схему межотраслевого баланса.
Для решения задачи можно воспользоваться формулой (3.5),которая считается основным математическим соотношением межотраслевого баланса.Для этого составляется и решается соответствующая система линейных уравненийдля нахождения объемов валовой продукции по отраслям. После этого вычисляютсяпо приведенным формулам все остальные параметры.
Средства EXCEL позволяют организовать вычислительнуюпроцедуру более эффективно, решая задачу в матричной форме на основе формулы(3.9). Решение будем осуществлять в окне EXCEL, представленном табл. 3.2.Вначале в ячейки В2:D4 внесем матрицу коэффициентов прямых материальных затрат.Далее рассчитаем величины Е – А.
Таблица 3.2 A B C D E F G
1
2
3
4
5
6
7
8
А
Е-А
0,3
0,2
0,3
0,7
– 0,2
– 0,3
0,1
0,5
0,1
– 0,1
0,5
– 0,1
0,4
0,2
– 0,4
0,8
9
10
11
12
13 В
2,0408
0,8163
0,8673
0,6122
2,2448
0,5102
1,0204
0,4081
1,6836 Y
200
100
300
14
15
16
17
18 Х
775,5102
510,2041
729,5918
19
20
21
22
Xij
232.6531
155.102
232.6531
51.02041
255.102
57.02041
291.8367
145.9183
Выделим диапазон B10:D12 для размещения обратной матрицы В =(Е- А)-1 и введем формулу для вычислений MOБP(B6:D8). Затем следуетнажать клавиши SHIFT+CTRL+ENTER. Все элементы матрицы коэффициентов полныхзатрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна.
В ячейки G10:G12 запишем элементы вектора конечного продуктаY. Выделим диапазон В15: В17 для размещения вектора валового выпуска X, вычисляемогопо формуле
X = (Е- А)– 1 ∙ Y.
Затем вводим формулу для вычислений МУМНОЖ (B10:D12,G10:G12).Затем следует нажать клавиши SHIFT+CTRL+ENTER.
Межотраслевые поставки Хij вычисляем по формуле
/>.
Заполняем схему МОБ (табл. 3.3).
Таблица 3.3Производящие отрасли Потребляющие отрасли Конечный продукт Валовой продукт 1 2 3
1
2
3
232,6
155,1
232,6
51,0
255,0
51,1
291,8
0,0
145,9
200
100
300
775,3
510,1
729,6 Условно чистая продукция 155,0 153,1 291,9 600 Валовой продукт 775,3 510,1 729,6 2015
3.2 Исходные данные
Целью решаемой задачи является прогноз развития народногохозяйства на заданную перспективу путем разработки перспективного межотраслевогобаланса для экономики, включающей 5 отраслей. В качестве исходных данныхпринимаем реальный отчетный баланс народного хозяйства СССР за 1988 г. [6],приведенный в табл. 3.4.