--PAGE_BREAK--1) максимальне власне число λ(A) матриці А менше 1;
2) матриця (I-A) має невід'ємну обернену матрицю;
3) матричний ряд
I+A+A2+...+Ar+… = ,
A0=I,
(так званий ряд Неймана матриці А) збігається, при цьому його сума дорівнює оберненій матриці (I-A)-1
=(I-A)-1,
4) послідовні головні мінори матриці (I-A) додатні.
За даними А та побудувати модель Леонтьєва для двох галузей та знайти вектор валової продукції .
Для цього виконати такі дії:
1) знайти матрицю (I-A), де І – одинична матриця
I=,
2) обчислити визначник матриці |I-A|.
Для обчислення визначника можна скористатись правилом трикутника. Наприклад, для матриці В
В=,
визначник дорівнює:
,
3) знайти мінори для елементів матриці (I-A). Нагадаємо визначення мінору. Мінором Mik називається визначник (n-1) порядку, який одержуємо після викреслення і - рядка та k- стовпця, ; . Наприклад, мінор М11 дорівнює.
;
4) знайти алгебраїчні доповнення для елементів матриці (I-A).
Позначимо алгебраїчне доповнення ,; . Алгебраїчним доповненням називається мінор, який береться зі знаком (-1)i+k
=(-1)i+kMik.
Побудувати матрицю , приєднану до матриці (І-А). Матриця
утворюється алгебраїчними доповненнями;
5) транспонувати матрицю ,
6) знайти обернену матрицю (І-А)-1 за формулою
,
7) знайти вектор валової продукції
=(І-А)-1,
8) знайти міжгалузеві потоки продукції за формулою
Xij=AijXj,
(i,j)=1,2.
Результати звести до таблиці 4.1
Таблиця 4.1-
Результати розрахунків за моделлю Леонтьєва
Виробляючі галузі
Споживаючі галузі
Кількість кінцевої продукції
Кількість валової продукції
1
2
1
2
4.4 Дослідження моделей міжгалузевих балансів
Модель міжгалузевих балансів на відміну від моделі «витрати-випуск» Леонтьєва містить ще деякі дані. В табл. 4.2. наведена загальна схема міжгалузевого балансу виробництва та розподілення продукції.
Ця схема включає чотири квадранти. Перший квадрант – це шахматна таблиця міжгалузевих потоків продукції. В другім квадранті показана кінцева продукція усіх галузей. Третій квадрант характеризує умовно-чисту продукцію, до якої відносяться амортизаційні відрахування, оплата праці, чистий доход, тощо. Складові третього квадранту можна знайти за формулою
Ei=Xi-, .
Четвертий квадрант знаходиться на перетині стовпця другого квадранту та рядку третього квадранту. Він складається із одного показника і служить для контролю правильності розрахунків: сума елементів другого квадранту має дорівнювати сумі елементів третього квадранту.
Користуючись даними попереднього підрозділу розробити схему міжгалузевого балансу виробництва та розподілення продукції.
Виділяють модифікації моделі міжгалузевого балансу. Для побудови міжгалузевого балансу витрат праці (табл. 4.3) необхідно задати кількість трудових ресурсів
Таблиця 4.2
Міжгалузевий баланс виробництва та розподілення продукції
Виробляючі галузі
Споживаючі галузі
Кількість
Кінцевої продукції
Кількість валової продукції
1
2
1
2
X11
X21
X12
X22
I
Y1
Y2
II
X1
X2
Кількість умовно-чистої продукції
E1
E2
III
IV
Кількість валової продукції
X1
X2
Tаблиця 4.3
Міжгалузевий баланс витрат праці
Виробля
ючі галузі
Споживаючі галузі
Міжгалузеві витрати упредметненої праці
Витрати праці на кінцеву про
дукцію
Витрати праці в галузях (трудові ресурси)
1
2
1
M11
M12
M1
2
M21
M22
M2
Для пошуку коефіцієнтів прямої трудомісткості можна використати формулу
де — кількість трудових ресурсів, необхідних для виробництва продукції j-ї галузі, — обсяг валової продукції j-ї галузі.
Вектор-рядок коефіцієнтів повної трудомісткості знаходимо за формулою
де G – матриця повних матеріальних витрат, — вектор-рядок коефіцієнтів прямої трудомісткості .
Помножуючи всі рядки першого та другого квадрантів міжгалузевого балансів на відповідні коефіцієнти прямої трудомісткості, одержуємо схему міжгалузевого балансу витрат праці. Тепер повинно виконуватись рівняння
.
На основі міжгалузевого балансу виробництва та розподілення продукції (табл.4.2) побудувати міжгалузевий баланс витрат праці (табл.4.3). Використати таку кількість трудових ресурсів: 120i люд.-днів та 200i люд.-днів, де і – номер заданого варіанту.
4.5 Дослідження моделі Неймана
Модель Неймана на відміну від моделі Леонтьєва, в якій розглядається тільки один виробничий цикл, носить динамічний характер.
В моделі Неймана розглядається економіка, яка описується базисними виробничими процесами (галузями або підприємствами).
Кожен базисний процес можна зобразити в вигляді
(), ,
де - вектор витрат, - вектор випуску. Зміст процесу такий: він витрачає вектор =(a'ij), , та випускає вектор =(x'ij), , тобто переробляє вектор в вектор . Ці вектори невід'ємні. Позначимо через A' та X' матриці
A'=(),
X'=().
Модель задається парою невід'ємних матриць A' та X'. Матриця A' називається матрицею витрат, матриця X' — матрицею випуску.
Комбінуючи базисні процеси, можна одержати нові виробничі процеси. Якщо взяти невід'ємний вектор-стовпець , , то можна описати новий виробничий процес
в якому витрати характеризує вектор , а випуск – вектор .
Нові процеси показують режим спільної роботи різних галузей. Отриманий виробничий процес позначимо (A',X').
Вектор-стовпець називається вектором інтенсивностей.
Модель Неймана лінійна та замкнута. Замкнутість моделі можна показати таким чином.
Нехай для виробництва в (t+1)-й період можна витрачати тільки ті товари, які були вироблені в попередній t-й період. Через позначимо вектор запасів, які є до початку всього планового періоду [1, Т]. Запишемо нерівності
A' (1) ≤ ,
A' (2) ≤ X'(1),
A' (t+1) ≤ X'(t),
t=1,...,(T-1).
Позначимо також через вектор цін
= (pi), ,
де pi — ціна одиниці і-го товару.
За матрицями A' та X' технологічних процесів, вектором цін та вектором знайти інтенсивності технологічних процесів, які максимізують вартість випуску продукції за один виробничий цикл, та саму цю максимальну вартість.
Для пошуку вектору інтенсивностей = та максимальної вартості необхідно використати задачу лінійного програмування. Цільову функцію можна зобразити в вигляді.
X'→max.
Обмеження будуть такі
A'≤ ,
≥0.
Зобразимо цю задачу у розгорнутій формі
Обмеження в розгорнутій формі мають такий вигляд
Для розв'язання задачі використати графічний метод. Побудувати координатну площину Z1, Z2. Використовуючи обмеження, побудувати випуклий многокутник. Далі знайти перетин цільової функції з тією вершиною, де значення цільової функції найбільше. Координати вершини дають необхідні інтенсивності. Знайдені інтенсивності підставляють у цільову функцію для визначення максимальної вартості.
4.6 Дослідження моделі Солоу
Стан економіки в моделі Солоу задається змінними:
Y — кінцева продукція;
L — трудові ресурси;
K — основні виробничі фонди або виробничий капітал;
І – інвестиції;
С – продукція невиробничого споживання.
Всі змінні взаємопов'язані (рис.4.1)
Назвемо нормою накопичення ρ долю кінцевої продукції, яка використовується в інвестиціях. Тоді
I=ρY,
C=(1-ρ)Y,
0
Інвестиції використовуються для відновлення фондів, які вибувають, та на їх приріст. Приймемо, що фонди вибувають із постійним коефіцієнтом вибування μ, 0.
Також зробимо припущення, що інвестиції у тому ж році повністю витрачаються на приріст ОВФ та на амортизацію. В дискретному варіанті цей зв'язок має вигляд
IΔt=ΔK+DΔt,
де Δt — приріст часу, ΔK — приріст капіталу, D — амортизаційні відрахування.
Перепишемо останній вираз у формі
ΔK=IΔt-DΔt,
ΔK=Δt(I-D),
Тут амортизаційні відрахування дорівнюють D=μK.
У випадку неперервного часу аналогом останнього рівняння є
.
Якщо вважати, що приріст трудових ресурсів пропорційний наявним трудовим ресурсам (ΔL=nLΔt), то одержуємо диференційне рівняння
де n — доля приросту трудових ресурсів.
Розв'язання рівняння дає
L=L0ent,
де L0= L(0) — трудові ресурси на початку спостереження (для t=0).
Модель Солоу задається системою рівнянь
C=(1-ρ)Y,
Y=f(K,L),
L=L0ent,
,
K(0)=K0.
На початку спостереження основні фонди дорівнюють K0.
Розглянемо стаціонарну траєкторію, на якій середня фондоозброєність
k= ,
постійна і дорівнює своєму початковому значенню:
k(t) = const = k0.
Позначимо стаціонарне значення фондоозброєності через . Для функції Кобба-Дугласа
Y1= f(K1,L1)=F(K1,L1)/2=aK1αL11-α /2,
воно обчислюється за формулою
1= [ρa /( 2μ +2 n)]1/(1 — α).
Середня продуктивність праці y=.
На стаціонарній траєкторії позначимо продуктивність праці . Для функції Кобба-Дугласа можна знайти за формулою:
1=a[ρa / (2μ +2 n)]α / (1 — α) / 2.
За даними для функції Кобба-Дугласа (п.4.2) та нормою накопичення ρ=0.02і, коефіцієнтом вибування фондів μ=0,03і за рік, долею приросту трудових ресурсів n=0,05і знайти значення фондоозброєності та продуктивності праці на стаціонарній траєкторії. Тут і – номер заданого варіанту.
Дослідити модель Солоу для лінійної виробничої функції (п.4.2)
Y2=(b1K2+b2L2)/2,
b1=10i, b2=і,
де і – номер заданого варіанту.
На основі використання рівняння
визначити математичні вирази для та . Обчислити їх значення, підставляючи у вирази чисельні значення . Проставити одиниці вимірювання.
4.7 Побудова схеми алгоритму
У цьому підрозділі необхідно побудувати схему алгоритму програми. Як відомо, алгоритм – це точно визначена послідовність операцій над об'єктами. В схемі необхідно використати блоки початку та кінця, блоки вводу та виводу даних, обчислювальні та логічні блоки. Потрібно навести опис блоків, дати посилання на схему.
4.8 Опис програми
За побудованою схемою алгоритму розробити програму та дати її опис.
В описі треба указати мову програмування, обчислювальне середовище. Далі треба привести початкові та кінцеві дані, дати опис окремих блоків, використання процедур, а також стандартного програмного забезпечення, якщо воно використовується. Опис вміщує посилання на лістінг програми. До курсового проекту додається дискета з програмою.
4.9 Інструкція користувачу програми
Інструкція повинна бути написана так, щоб споживач міг вільно нею користуватись. Тому треба привести перелік необхідних дій для запуску програми, надрукувати екранні форми: головну, із початковою та кінцевою інформацією.
5 ПОЧАТКОВІ ДАНІ
В табл. 5.1 наведені початкові дані для кожного варіанту.
У підрозділі 4.4.1 необхідно виконати програмну реалізацію моделі міжгалузевого балансу виробництва та розподілу продукції, починаючи з моделі В.Леонтьєва, у підрозділі 4.4.2 — моделі міжгалузевого балансу витрат праці, починаючи з балансу виробництва та розподілу продукції.
Таблиця 5.1 – Початкові дані
Номер варіанту
a
α
A
А'
X'
Номер підрозділу
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
10
1/2
(1,7)
4.2
2
102
1/2
(1,8)
4.3
3
104
1/2
(1,3)
4.4.1
4
102
1/3
(2,4)
4.4.2
5
10
1/3
(2,5)
4.5
6
102
1/3
(2,4)
4.2
7
103
1/4
(2,1)
4.3
8
104
1/4
(1,6)
4.4.1
9
10
1/4
(1,8)
4.4.2
10
102
1/4
(2,3)
4.5
11
103
1/5
(1,1)
4.2
12
104
1/5
(1,5)
4.3
13
102
1/5
(1,2)
4.4.1
14
102
1/5
(2,6)
4.4.2
15
103
1/6
(2,3)
4.5
16
104
1/6
(1,4)
4.2
17
10
1/6
(2,4)
4.3
продолжение
--PAGE_BREAK--