Содержание
1. Экономико-математическиеметоды, применяемые в анализе хозяйственной деятельности
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Списокиспользованных источников
1. Экономико-математические методы,применяемые в анализе хозяйственной деятельности
Одним из направленийсовершенствования анализа хозяйственной деятельности является внедрениеэкономико-математических методов и современных ЭВМ. Их применение повышаетэффективность экономического анализа за счет расширения изучаемых факторов,обоснования принимаемых управленческих решений, выбора оптимального вариантаиспользования хозяйственных ресурсов, выявления и мобилизации резервовповышения эффективности производства.
Математические методы опираются наметодологию экономико-математического моделирования и научно обоснованнуюклассификацию задач анализа хозяйственной деятельности. В зависимости от целейэкономического анализа различают следующие экономико-математические модели: вдетерминированных моделях — логарифмирование, долевое участие, дифференцирование;в стохастических моделях — корреляционно-регрессивный метод, линейноепрограммирование, теорию массового обслуживания, теорию графов и др.
Стохастический анализ — это методрешения широкого класса задач статистического оценивания. Он предполагаетизучение массовых эмпирических данных путем построения моделей измененияпоказателей за счет факторов, не находящихся в прямых связях, в прямойвзаимозависимости и взаимообусловленности. Стохастическая связь существуетмежду случайными величинами и проявляется в том, что при изменении одной из нихменяется закон распределения другой.
В экономическом анализе выделяютсяследующие наиболее типичные задачи стохастического анализа:
— изучение наличия и тесноты связимежду функцией и факторами, а также между факторами;
— ранжирование и классификацияфакторов экономических явлений;
— выявление аналитической формы связимежду изучаемыми явлениями;
— сглаживание динамики измененияуровня показателей;
— выявление параметров закономерныхпериодических колебаний уровня показателей;
— изучение размерности (сложности,многогранности) экономических явлений;
— количественное изменениеинформативных показателей;
— количественное изменение влиянияфакторов на изменение анализируемых показателей (экономическая интерпретацияполученных уравнений).
Стохастическое моделирование и анализсвязей между изученными показателями начинаются с корреляционного анализа.Корреляция состоит в том, что средняя величина одного из признаков изменяется взависимости от значения другого. Признак, от которого зависит другой признак,принято называть факторным. Зависимый признак именуют результативным. В каждомконкретном случае для установления факторного и результативного признаков внеодинаковых совокупностях необходим анализ природы связи. Так, при анализеразличных признаков в одной совокупности заработная плата рабочих в связи с ихпроизводственным стажем выступает как результативный признак, а в связи споказателями жизненного уровня или культурными потребностями — как факторный.Часто зависимости рассматривают не от одного факторного признака, а отнескольких. Для этого применяется совокупность методов и приемов выявления иколичественной оценки взаимосвязей и взаимозависимостей между признаками.
При исследовании массовыхобщественно-экономических явлений между факторными признаками проявляетсякорреляционная связь, при которой на величину результативного признака влияет,помимо факторного, множество других признаков, действующих в разныхнаправлениях одновременно или последовательно. Часто корреляционную связьназывают неполной статистической или частичной в отличие от функциональной,которая выражается в том, что при определенном значении переменной (независимаяпеременная — аргумент) другая (зависимая переменная — функция) принимаетстрогое значение.
Корреляционную связь можно выявитьтолько в виде общей тенденции при массовом сопоставлении фактов. Каждомузначению факторного признака будет соответствовать не одно значениерезультативного признака, а их совокупность. В этом случае для вскрытия связинеобходимо найти среднее значение результативного признака для каждого значенияфакторного.
Если зависимость прямолинейная:
/>.
Значения коэффициентов а и b находится из системы уравнений,полученных по способу наименьших квадратов по формуле:
/>, n — число наблюдений.
В случае прямолинейной формы связимежду изучаемыми показателями коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:
/>.
Если коэффициент корреляции возвестив квадрат, то получим коэффициент детерминации.
Дисконтирование — это процесспересчета будущей стоимости капитала, денежных потоков или чистого дохода внастоящую. Ставка, по которой производится дисконтирование, называется ставкойдисконтирования (ставкой дисконта). Основная посылка, лежащая в основе понятиядисконтированного потока реальных денег, состоит в том, что деньги имеютвременную цену, то есть сумма денег, имеющаяся в наличии в настоящее время,обладает большей ценностью, чем такая же сумма в будущем. Эта разница можетбыть выражена как процентная ставка, характеризующая относительные изменения заопределенный период (обычно равный году).
Многие задачи, с которыми приходитсясталкиваться экономисту в повседневной практике при анализе хозяйственнойдеятельности предприятий, многовариантны. Так как не все варианты одинаковохороши, среди множества возможных приходится отыскивать оптимальный.Значительная часть подобных задач на протяжении долгого времени решалась исходяиз здравого смысла и опыта. При этом не было никакой уверенности, что найденныйвариант является наилучшим.
В современных условиях даженезначительные ошибки могут привести к огромным потерям. В связи с этим возникланеобходимость привлечения к анализу и синтезу экономических системоптимизационных экономико-математических методов и ЭВМ, что создает основу дляпринятия научно обоснованных решений. Такие методы объединяются в одну группупод общим названием «оптимизационные методы принятия решений в экономике».Чтобы решить экономическую задачу математическими методами, прежде всего,необходимо построить адекватную ей математическую модель, то есть формализоватьцель и условия задачи в виде математических функций, уравнений и (или)неравенств.
В общем случае математическая модельоптимизационной задачи имеет вид:
max (min): Z = Z(x),
при ограничениях
fi(x) Rbi, i = />,
где R — отношения равенства, меньше или больше.
Если целевая функция и функции,входящие в систему ограничений, линейны относительно входящих в задачунеизвестных, такая задача называется задачей линейного программирования. Еслиже целевая функция или система ограничений не линейна, такая задача называетсязадачей нелинейного программирования.
В основном, на практике, задачинелинейного программирования путем линеаризации сводятся к задаче линейногопрограммирования. Особый практический интерес среди задач нелинейногопрограммирования представляют задачи динамического программирования, которыеиз-за своей многоэтапности нельзя линеаризовать. Поэтому мы рассмотрим толькоэти два вида оптимизационных моделей, для которых в настоящее время имеетсяхорошее математическое и программное обеспечение.
Метод динамического программированияпредставляет собой особый математический прием оптимизации нелинейных задачматематического программирования, который специально приспособлен кмногошаговым процессам. Многошаговым обычно считают процесс, развивающийся вовремени и распадающийся на ряд «шагов», или «этапов».Однако метод динамического программирования используется и для решения задач, вкоторых время не фигурирует. Некоторые процессы распадаются на шаги естественнымобразом (например, процесс планирования хозяйственной деятельности предприятияна отрезок времени, состоящий из нескольких лет). Многие процессы можнорасчленить на этапы искусственно.
Суть метода динамическогопрограммирования состоит в том, что вместо поиска оптимального решения сразудля всей сложной задачи предпочитают находить оптимальные решения длянескольких более простых задач аналогичного содержания, на которые расчленяетсяисходная задача.
Метод динамического программированиятакже характеризуется тем, что выбор оптимального решения на каждом шаге долженпроизводиться с учетом последствий в будущем. Это означает, что, оптимизируяпроцесс на каждом отдельном шаге, ни в коем случае нельзя забывать обо всехпоследующих шагах. Таким образом, динамическое программирование — этодальновидное планирование с учетом перспективы.
Принцип выбора решения в динамическомпрограммировании является определяющим и носит название принципа оптимальностиБеллмана. Сформулируем его следующим образом: оптимальная стратегия обладаеттем свойством, что, каковы бы ни были первоначальное состояние и решение,принятое в начальный момент, последующие решения должны вести к улучшениюситуации относительно состояния, являющегося результатом первоначальногорешения.
Таким образом, при решенииоптимизационной задачи методом динамического программирования необходимо накаждом шаге учитывать последствия, к которым приведет в будущем решение,принимаемое в данный момент. Исключением является последний шаг, которымзаканчивается процесс. Здесь можно принимать такое решение, чтобы обеспечитьмаксимальный эффект. Спланировав оптимальным образом последний шаг, можно «пристраивать»к нему предпоследний так, чтобы результат этих двух шагов был оптимальным, ит.д. Именно таким образом — от конца к началу — можно развернуть процедурупринятия решений. Оптимальное решение, найденное при условии, что предыдущийшаг закончился определенным образом, называют условно-оптимальным решением.
Статистическая теория игр являетсясоставной частью общей теории игр, которая представляет собой разделсовременной прикладной математики, изучающий методы обоснования оптимальныхрешений в конфликтных ситуациях. В теории статистических игр различают такиепонятия, как исходная стратегическая игра и собственно статистическая игра. Вэтой теории первого игрока называют «природой», под которой понимаютсовокупность обстоятельств, в условиях которой приходится принимать решениявторому игроку — «статистику». В стратегической игре оба игрокадействуют активно, предполагая, что противник — «разумный» игрок. Длястратегической игры характерна полная неопределенность в выборе стратегиикаждым игроком, то есть игроки ничего не знают о стратегиях друг друга. Встратегической игре оба игрока действуют на основе детерминированнойинформации, определенной матрицей потерь.
В собственно статистической игреприрода не является активно действующим игроком в том смысле, что она «неразумна» и не пытается противодействовать максимальному выигрышу второгоигрока. Статистик (второй игрок) в статистической игре стремится выиграть игруу воображаемого противника — природы. Если в стратегической игре игрокидействуют в условиях полной неопределенности, то для статистической игрыхарактерна частичная неопределенность. Дело в том, что природа развивается и «действует»в соответствии со своими объективно существующими законами. У статистика естьвозможность постепенно изучать эти законы, например, на основе статистическогоэксперимента.
Теория массового обслуживания — прикладная область теории случайных процессов. Предметом ее исследованияявляются вероятностные модели реальных систем обслуживания, где в случайные(или не в случайные) моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеютсяустройства (каналы) выполнения заявок. Теория массового обслуживания исследуетматематические методы количественной оценки процессов массового обслуживания,качества функционирования систем, где случайными могут быть как моментыпоявления требований (заявок), так и затраты времени на их исполнение.
Система массового обслуживаниянаходит применение в решении следующих задач: например, тогда, когда в массовомпорядке поступают заявки (требования) на обслуживание с последующим ихудовлетворением. На практике это могут быть поступление сырья, материалов,полуфабрикатов, изделий на склад и их выдача со склада; обработка широкойноменклатуры деталей на одном и том же технологическом оборудовании;организация наладки и ремонта оборудования; транспортные операции; планированиерезервных и страховых запасов ресурсов; определение оптимальной численностиотделов и служб предприятия; обработка плановой и отчетной документации и др.
Балансовая модель — это системауравнений, характеризующих наличие ресурсов (продуктов) в натуральном илиденежном выражении и направления их использования. При этом наличие ресурсов(продуктов) и потребность в них количественно совпадают. В основу решения такихмоделей положены методы линейной векторно-матричной алгебры. Поэтому балансовыеметоды и модели называют матричными методами анализа. Наглядность изображенийразличных экономических процессов в матричных моделях и элементарные способыразрешения систем уравнений позволяют применять их в различныхпроизводственно-хозяйственных ситуациях.
Математическая теория нечеткихмножеств, разработанная в 60-е годы XX столетия, сегодня все шире применяется вфинансовом анализе деятельности предприятия, включающем анализ и прогнозфинансового положения предприятия, анализ изменений оборотного фонда, потоковсвободных денежных средств, экономического риска, оценки влияния затрат наприбыль, расчета стоимости капитала. В основе данной теории лежат понятия «нечеткоемножество» и «функции принадлежности».
В общем случае решение задач такоготипа довольно громоздко, так как имеет место большой объем информации.Практическое использование теории нечетких множеств позволяет развиватьтрадиционные методы финансово-хозяйственной деятельности, адаптировать их кновым потребностям учета неопределенности в будущем основных показателейдеятельности предприятий.
Задача 1
Поприведенным данным о численности персонала промышленного предприятия рассчитатькоэффициент оборота по приему и выбытию рабочих и коэффициент текучести.Сделать выводы.Показатели Прошлый год Отчетный год Принято на работу 610 650 Выбыло всего, в том числе: 690 725 по собственному желанию 110 192 за нарушение трудовой дисциплины 30 25 Среднесписочная численность работников 2490 2539 Среднесписочная численность рабочих, чел. 3500 4200
Решение:
Определим:
1) коэффициент по приему (Кпр):
/>;
Прошлый год: Кпр = 610 /(2490 + 3500) = 0,102
Отчетный год: Кпр. = 650 /(2539 + 4200) = 0,096
В отчетном году коэффициент внешнегооборота по принятию уменьшился на 0,006 (0,096 — 0,102).
2) коэффициент по увольнению(выбытию) работников (Кув):
/>;
Прошлый год: Квыб. = 690 /(2490 + 3500) = 0,115
Отчетный год: Квыб.= 725 / (2539 + 4200) = 0,108
В отчетном году коэффициент внешнегооборота по выбытию также снизился на 0,007 (0,108 — 0,115).
3) коэффициент текучести кадров (Ктек):
/>;
Прошлый год: Ктек. = (110 +30) / (2490 + 3500) = 0,023
Отчетный год: Ктек. = (192 +25) / (2539 + 4200) = 0,032
В отчетном году коэффициент текучести кадров также вырос на 0,009 (0,032 — 0,023), что являетсяотрицательной тенденцией в движении кадров.
4) коэффициент общего оборота рабочейсилы (Коб):
/>;
Прошлый год: Коб = (610∙+690) / (2490 + 3500) = 0,217
Отчетный год: Коб. = (650 +725) / (2539 + 4200) = 0,204
Коэффициент общегооборота рабочей силы снизился на 0,013 (0,204 — 0,217).
Задача 2
Составитьисходную модель объема продукции. Определить тип факторной модели. Рассчитатьвлияние факторов на изменение объема продукции всеми известными приемами.