СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1 Введение в Microsoft Excel
2 Основные функции в Microsoft Excel
3 Формулы в Microsoft Excel
4 Общие сведения обалгоритмах
5 Метод половинногоделения
6 Решение задачи
7 Понятие оптимизационныхзадач и оптимизационных моделей
8 Решение задачи
Заключение
Приложение А
Приложение Б
Приложение В
Приложение Г
Приложение Д
ВВЕДЕНИЕ
Задачи, требующиеоптимизации, встречаются в самых различных сферах человеческой деятельности,так как на их решении базируется принятие решений. Всегда люди, приступая креализации своих действий, раздумывали над их возможными последствиями ипринимали решения, выбирая тем или другим образом способы осуществленияконкретных мероприятий. Каждое разумное действие является в определенном смыслеи оптимальным, ибо оно, как правило, выбирается после сравнения с другимивариантами.
В связи со сложностьюприкладных оптимизационных задач принятие решений в них все в меньшей мерестало основываться на «здоровом смысле», интуиции и опыте человека. Необходимнаучный подход, базирующийся на математическом описании решаемых проблем.
Первые задачи по изучениюэкстремальных свойств геометрических фигур (круг, квадрат и т.д.) были решеныеще в древние века. Мощным толчком к развитию методов оптимизации послужилосоздание дифференциального и интегрального исчислений. В течение короткогопромежутка времени были созданы новые разделы теории (линейноепрограммирование, теория оптимального управления и т. д.), которые привели кразработке ряда эффективных численных методов решения разнообразных экстремальныхзадач.
В настоящее время длярешения сложных статистических, коммерческих, научных и инженерных задачиспользуют компьютер, который позволяет решать задачи со многими переменными.Входящий в наиболее широко распространенный программный пакет Microsoft Office табличный процессор Excel располагает средствами для решения широкого кругазадач оптимизации:
1. Ассортимент продукции. Максимизациявыпуска товаров при ограничениях на сырье для производства этих товаров.
2. Штатное расписание. Составление штатногорасписания для достижения наилучших результатов при наименьших расходах.
3. Планирование перевозок. Минимизациязатрат на транспортировку товаров.
4. Составление смеси. Достижениезаданного качества смеси при наименьших расходах.
1 ВВЕДЕНИЕ В Microsoft Excel
Любой виддеятельности требует систематизации хранимых данных. С расширением перечняпродуктов, услуг и клиентов любому бизнесу необходима комплексная система дляхранения большого объема финансовой и другой документации.
Microsoft Excel – это программа, предназначенная для организацииданных в таблицы для документирования, сопоставления и графическогопредставления информации. Например, можно использовать Excel для суммирования, вычисления среднего илимаксимального числа продаж за день; создание графика, показывающегоопределенный процент продаж, сравнения общего объема продаж за день с тем жепоказателем других дней недели. Excelосвобождает от проведения этих вычислений вручную.
При запуске Excel появляется пустой документ. С этогомомента можно вводить информацию, изменять оформление данных, обрабатыватьданные или искать информацию в файлах справки Excel
Главнойсоставной частью документа Microsoft Excel являетсяполе, которое содержит определенную информацию. В Excel это поле называется ячейкой. Каждая ячейка находитсяна пересечении строки (горизонтальной последовательности ячеек) и столбцов(вертикальной последовательности ячеек); строки обозначены числами, а столбцы –буквами. Номер строки и буква столбца, обозначающие определенную ячейку,называется ссылкой на ячейку.
Рабочий листсостоит из набора строк и столбцов и представляет страницу в документе Excel. Рабочей книгой называется один илинесколько рабочих листов. Создавая документ Excel, создается рабочая книга с тремя рабочими листами.
2 ОСНОВНЫЕФУНКЦИИ В Microsoft Excel
функции – этоспециально созданные формулы для обработки данных. Программа Excel имеет сотни встроенных функций,которые предназначены для проведения самых разнообразных вычислений. Многие изэтих функций нам и никогда и не понадобятся. Здесь есть как достаточно простыефункции, например, тригонометрические, так и весьма сложные, например, функциидля определения стандартного отклонения или для проведения статистическогоанализа.
Работая в Excel, почти всегда можно найти подходящуюфункцию, которая предназначена для решения самых разнообразных вычислительныхзадач. Эти функции разделены на следующие категории:
- финансовые;
- дата и время;
- математические;
- статистические;
- ссылки и массивы;
- работа с базойданных;
- текстовые;
- логические;
- инженерные.
Каждаяфункция имеет один или несколько аргументов. Аргументом называются значения, скоторыми оперирует функция. В зависимости от формулы аргументом могут бытьссылка на ячейку, имя ячейки, диапазон ячеек, число, логическое значение илитекст. У некоторых функций нет аргумента (например, функция ПИ).
Логическиефункции это функции типа если, и, не,истина, ложь. Эти функции используются для проверки условий и дляопределения, является ли то или иное утверждение истинным или ложным. Дляоценки логических условий используются функции если, и, или, не.
Логическиеусловия, формулы или функции могут возвращать значения истина или ложь.Логическое условие может быть либо правдой, либо ложью.
Функция ИЛИ возвращаетИСТИНА, если хотя бы один из аргументов имеет значение ИСТИНА; возвращает ЛОЖЬ,если все аргументы имеют значение ЛОЖЬ.
Функция НЕ меняет напротивоположное значение своего аргумента. Если аргумент имеет значение ИСТИНА,функция НЕ возвращает значение ЛОЖЬ и наоборот.
С помощью функции ЕСЛИможно оценить до 30 логических условий и возвратить различные числовые илитекстовые значения, в зависимости от того, будут ли логические условияистинными или ложными.
В Microsoft Excel имеется только одна категория математических функций,но для удобства рассмотрения ее можно разбить на три типа:
1) арифметические функции;
2) алгебраические функции;
3) тригонометрические функции.
Арифметические функциииспользуют такие математические действия, как сложение, вычитание, умножение иделение.
Алгебраические функциипозволяют вычислять логарифмы, экспоненты, квадратные корни и другие.
Тригонометрическиефункции позволяют вычислить синусы, косинусы, тангенсы и так далее.
3 ФОРМУЛЫ В MICROSOFT EXCEL
Формулы представляют собойвыражения, по которым выполняются вычисления на странице. Формула начинается сознака равенства (=).
Формула также можетвключать следующие элементы:
- функции;
- ссылки;
- операторы (знак или символ, задающийтип вычисления в формуле. Существуют математические, логические операторы,операторы сравнения и ссылок);
- константы (постоянное (невычисляемое) значение).
Ссылка указывает наячейку или диапазон ячеек листа и передает в Microsoft Excel сведения орасположении значений или данных, которые требуется использовать в формуле. Припомощи ссылок можно использовать в одной формуле данные, находящиеся в разныхчастях листа, а также использовать в нескольких формулах значение одной ячейки.Кроме того, можно задавать ссылки на ячейки других листов той же книги и надругие книги. Ссылки на ячейки других книг называются связями.
Существуют относительные,абсолютные и смешанные ссылки.
Относительная ссылка вформуле, например A1, основана на относительной позиции ячейки, содержащейформулу, и ячейку, на которую указывает ссылка. При изменении позиции ячейки,содержащей формулу, изменяется и ссылка.
Абсолютная ссылка ячейкив формуле, например $A$1, всегда ссылается на ячейку, расположенную вопределенном месте. При изменении позиции ячейки, содержащей формулу,абсолютная ссылка не изменяется.
Смешанная ссылка содержитлибо абсолютный столбец и относительную строку, либо абсолютную строку иотносительный столбец. Абсолютная ссылка столбцов приобретает вид $A1, $B1 и т.д. Абсолютная ссылка строки приобретает вид A$1, B$1 и т. д.
4 Общие сведения об алгоритмах.
Алгоритм –предписание последовательности действий, направленных на решение поставленнойзадачи. В Exel алгоритм записывается в видепоследовательности операторов, включающих значение, ссылки и формулы.
Алгоритмобладает свойствами:
1) однозначности – исключаетпроизвольное толкование и приводит к одному и тому же результату при одинаковыхисходных данных;
2) массовости – применяется к другимподобным задачам;
3) результативность – пошаговое выполнениезадачи приводит к конечному результату.
Выделяется несколькотипов алгоритмических структур:
1. Линейная структура.
2. Разветвляющая структура:
а) с одной ветвью;
б) с двумя ветвями;
в) со множеством ветвей.
3. Циклическая структура.
Принято выделять двециклические структуры с логическим условием дои после тела цикла.
Применительно кэлектронным таблицам это не совсем точно и справедливо, так как важен и способорганизации выхода из цикла, а это:
- бесконечный цикл;
- вложенные циклические структуры;
- цикл с заданным заранее количествомповторений;
-расчетно-динамическийцикл (новый, характерный для электронной таблицы), количество повторенийкоторого определяется в ходе пересчета таблицы, а параметры задаются врезультате ссылки на ячейку, где содержаться расчетно-переменные данные.
- итерационный цикл (количествоповторений заранее неизвестно и зависит от осуществления или достижениязаданной точности или последовательности приближений к искомому значению, гдевычисление последующего члена производится через предыдущий член);
5 Метод половинного деления
Этот метод отличается отвыше рассмотренных методов тем, что для него не требуется выполнения условия,что первая и вторая производная сохраняют знак на интервале [a, b].Метод половинного деления сходится для любых непрерывных функций f(x)в том числе недифференцируемых.
Разделим отрезок [a,b] пополам точкой />Если />(что практически наиболеевероятно), то возможны два случая: либо f(x) меняет знак наотрезке [a, c] (Рис. 1), либо на отрезке [c, b](Рис. 2)
/>
Рис. 1
/>
Рис. 2
Выбирая в каждом случаетот отрезок, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинногоделения дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего кореньуравнения.
6 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Дана следующая функция:
F(х)=60*sin(5.5*x*pi/180)-69*cos(2.7*x*pi/180)-exp(x/192)-181/x
где Х изменяется от 0 до400. Найти точки пересечения функции с точкой А (А=0).
Для нахождения точекпересечения используем метод половинного деления. Для этого от данной функцииотнимем А (F(x)-А).
Построим алгоритм(приложение А).
Для того, что бы найтиточки пересечения функции с точкой А, построим график (приложение В) поданным приведенным в таблице (приложение Г).
В графе Е2 введем формулудля нахождения значений где происходит смена знака =ЕСЛИ(В2*В3
По полученным данным найдем точки пересечения данной функции с точкой А в точках гдепроисходит смена знака.
Например, смена знакапроисходит при значении Х=15, тогда в ячейку G2 введем значение Х1=15, а в ячейку G3 введем формулу =ЕСЛИ(J2*L2А. Для нахождения среднего значения в ячейку I2 введем формулу =(G2+H2)/2. В ячейки J2, K2, L2 введем формулы заданной в условии функции, где Х,для каждой из заданных ячеек, будет принимать значение Х1, Х2, Хср.соответственно.
Для того, чтобы определить на какой половине происходит смена знака в ячейку М2 введем формулу
=ЕСЛИ(J2*L2
В столбце N приведено количество шагов, закоторое будит достигнута точность определения значения (х) не ниже 0,001.
Для определенияпогрешности, в ячейку О2 введем формулу =0-L2. Таким образом из приведенной таблицы видно, что значение Хс точностью до 0,001 определено за 14 шагов.
X1
X2
Xср
F(x1)
F(x2)
F(xcр) Кол-во шагов Погреш-ность 15,000 20,000 17,500 -6,129 5,665 1,368 смена знака на 1-ой половине 1 -1,3678 15,000 17,500 16,250 -6,129 1,368 -1,969 смена знака на 2-ой половине 2 1,9692 16,250 17,500 16,875 -1,969 1,368 -0,199 смена знака на 2-ой половине 3 0,1991 16,875 17,500 17,188 -0,199 1,368 0,610 смена знака на 1-ой половине 4 -0,6096 16,875 17,188 17,031 -0,199 0,610 0,212 смена знака на 1-ой половине 5 -0,2116 16,875 17,031 16,953 -0,199 0,212 0,008 смена знака на 1-ой половине 6 -0,0078 16,875 16,953 16,914 -0,199 0,008 -0,095 смена знака на 2-ой половине 7 0,0952 16,914 16,953 16,934 -0,095 0,008 -0,044 смена знака на 2-ой половине 8 0,0436 16,934 16,953 16,943 -0,044 0,008 -0,018 смена знака на 2-ой половине 9 0,0179 16,943 16,953 16,948 -0,018 0,008 -0,005 смена знака на 2-ой половине 10 0,0050 16,948 16,953 16,951 -0,005 0,008 0,001 смена знака на 1-ой половине 11 -0,0014 16,948 16,951 16,949 -0,005 0,001 -0,002 смена знака на 2-ой половине 12 0,0018 16,949 16,951 16,950 -0,002 0,001 0,000 смена знака на 2-ой половине 13 0,0002 16,950 16,951 16,950 0,000 0,001 0,001 смена знака на 1-ой половине 14 -0,0006
G H I J K L M N O
По полученным данным спомощью мастера диаграмм построим график погрешности.
/>
Для определенияправильности решения произведем проверку с помощью подбора параметров.
Для этого в ячейку А107введем формулу заданной функции, а в ячейку В107 введем значение Хпри котором происходит смена знака. Далее необходимо поставить курсор в ячейку А107и из меню сервис выбрать подбор параметра. Впоявившемся окне ввести необходимые данные, нажать кнопку ОК.
А
В
105 Подбор параметров
106
F(X)
X
107 0,0000 16,950
108 0,0005 28,806
109 0,0003 54,235
110 0,0000 98,448
111 -0,0002 146,365
112 0,0000 158,039
113 0,0000 185,884
114 0,0001 230,163
115 0,0000 318,118
116 0,0009 361,607
/>
В появившемся окне Результатподбора параметра нужно нажать
кнопку ОК, послечего в ячейках А107 и В107 появится результат поиска.
/>
7 Понятие оптимизационных задач иоптимизационных моделей
Экономико-математическиезадачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего, то есть оптимального сточки зрения одного или нескольких критериев варианта использования имеющихсяресурсов, называются оптимизационными.
Оптимизационные задачирешаются с помощью оптимизационных моделей методами математическогопрограммирования.
Математическоепрограммирование – это раздел прикладной математики, который изучает задачиоптимизации и методы их решения с ориентацией на современные средствакомпьютерной техники.
Структура оптимизационноймодели включает целевую функцию, области допустимых решений и системыограничений, определяющих эту область. Целевая функция в самом общем виде такжесостоит из трех элементов:
· управляемыхпеременных;
· неуправляемыхпеременных;
· формы функции(вида зависимости между ними).
Область допустимыхрешений – это область, в пределах которой осуществляется выбор решений. Вэкономических задачах она ограничена наличными ресурсами и условиями, которыезаписываются в виде системы ограничений, состоящей из уравнений и неравенств.
Главная задачаматематического программирования – это нахождение экстремума функций привыполнении указанных ограничений. Если система ограничений несовместима, тообласть допустимых решений является пустой.
Сущность задачоптимизации: определить значение переменных х1, х2,..., хn, которые обеспечивают экстремумцелевой функции Е, с учетом ограничений, наложенных на аргументы этой функции.При этом сложность решения задач зависит:
· от видафункциональных зависимостей, то есть от связи функции Е с элементами решения;
· от размерностизадачи, то есть от количества элементов решения;
· от вида иколичества ограничений, накладываемых на элементы решения.
8 РЕШЕНИЕЗАДАЧИ
Кондитерская фабрика дляпроизводства трех видов карамели А, В и С использует три вида сырья: сахарныйпесок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья на производство 1 кг. Карамели заданы в таблице.
Наименование сырья
Нормы расхода (кг./кг.)
A
B
C
Сахарный песок 0,6 0,5 0,6
Патока 0,4 0,4 0,3
Фруктовое пюре 0,1 0,2 0,2 /> /> /> /> />
Запасы сырья на складесоответственно равны V1, V2 и V3 кг. Прибыль от реализации 1 кг. Продукции каждого вида определяется значениями РА, РВ и РС. Найти план производства карамели,обеспечивающий максимальную прибыль.
Запасы сырья (кг.)
Прибыль от реализации (руб./кг.)
V1
V2
V3
Pa
Pb
Pc
800
600
120
1,08
1,12
1,28
Подготовим задачу к решению.
Пусть х1 – карамель вида А(кг.)
х2 – карамель вида В(кг.)
х3 – карамель вида С(кг.).
Тогда система ограничений и целеваяфункция запишутся следующим образом:
/>Ра*Х1+Рв*Х2+Рс*Х3 =>mах (целевая функция);
х1*0,6+х2*0,5+х3*0,6
х1*0,4+х2*0,4+х3*0,3
х1*0.1+х2*0,2+х3*0,2
х1>=0; x2>=0; x3>=0;
x1, x2, x3-целые числа.
Для решения задачи в Excel запишем ее в виде, представленном натаблице 1.
Таблица 1 – Таблица длярешения задачи
Кг.
ограничение
х1 800 >=
х2 600 >=
х3 120 >=
Mах прибыль:
/> /> /> /> /> /> />
В соответствии с условиемприбыль должна быть максимальной, поэтому в таблице 1 добавлена строка «Mах прибыль». В ней буду суммировать прибыльот реализации продукции.
Вызываю Поиск решения изменю Сервис.
/>
Определяю целевую ячейку– $D$8, устанавливаю переключатель в максимальноезначение. Ввожу диапазон изменяемых ячеек ($B$11:$В$13) и вношу ограничения. Прежде всего, количествопродукта не может быть отрицательным ($B$11:$В$13>=0), далее добавляю ограничения на запасы сырья,которое должно быть не более нормативного (800>=G$5; 600>=G$6; 120>=G$7). Нажимаю кнопку Выполнить.
/>
В появившемся окне Результатыпоиска решения нажимаю кнопку ОК и получаю решение задачи(приложение Д).Из полученных данных видно, что максимальная прибыль припроизводстве карамели составила 1296 рублей, причем такая прибыль будетполучена при производстве 1200кг. Карамели вида А.
Для проверки правильностирешения введем дополнительные ограничения.
В первом варианте я ввелаограничение на карамель вида В и получила результат приведенный в таблице 1.
Таблица 1
Вариант 1
Запасы сырья (кг.)
Ограничение
Х1 1170 800 >= 709,5
Х2 15 600 >= 474
Х3 120 >= 120
Целевая функция 1280,4
Дополнительное ограничение
Х2>=15
Из таблицы видно, чтоприбыль по сравнению с данными полученными в приложении Д уменьшилась на 15,6рублей, при этом уменьшилось и производство карамели вида А на 30кг.
Во втором варианте яввела ограничение на карамель вида С и получила следующий результат
Вариант 2
Запасы сырья (кг.)
Ограничение
Х1 1180 800 >= 714
Х2 600 >= 475
Х3 10 120 >= 120
Целевая функция 1287,2
Дополнительное ограничение
Х3>=10
Из полученных данныхвидно, что прибыль, так же как и в первом варианте, уменьшилась относительноданных из приложения Д на 8,8 рубля, а производство карамели вида А уменьшилосьна 20кг.
По полученным даннымможно сделать вывод, что исходное решение задачи было верным.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной курсовой работебыли решены оптимизационные задачи с использованием программных средств Microsoft Excel.
В процессе решения первойзадачи были построены: график функции F(x) с учетом параметра А=0 в заданномдиапазоне значений переменной Х, которые изменяются в диапазоне от 0 до 400.Были найдены интервалы значений переменной Х в пределах, которых функцияпринимает значение параметра А. При использовании метода половинного делениябыли найдены значения переменной Х, при которых функция принимает значениепараметра А, в соответствии с заданной точностью, равной 0,001. Проверкаправильности вычислений была осуществлена с помощью «Подбора параметра».
Решение второй задачиосуществлялось с помощью «Поиска решений» средствами Microsoft Excel. Была составлена целевая функция и ограничения(соответствующие условию задачи). В результате был выбран оптимальный вариантрешения задачи. Для проверки этого варианта были внесены дополнительныеограничения, которые показали, что исходно оптимальный вариант решения былверен.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
/>
Начало
/>/>
Описание F(х), А, ∆
/>
/>/>Ввод а, b
/>
/>
с=(a+b)/2
F(a), F(b), F(c)
/>
нет /> да
/>/>/>/> (F(a)-A)+(F(c)-A)
/>/>/>
a: = c b: = c
/>
нет да
/>/>/>(b-a)
/>
Вывос,F(c), F(c)-A
/>
/>
Конец
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
/>
ПРИЛОЖЕНИЕ В
/>
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
А В С D E
X
F(x)
A
F(x)-A
Смена знака 5 -76,6150 -76,6150 /> 10 -31,4838 -31,4838 /> 15 -6,1292 -6,1292 смена знака 20 5,6646 5,6646 /> 25 5,7512 5,7512 смена знака 30 -2,4673 -2,4673 /> 35 -13,9441 -13,9441 /> 40 -23,0017 -23,0017 /> 45 -24,6667 -24,6667 /> 50 -15,8988 -15,8988 смена знака 55 3,6061 3,6061 /> 60 31,2394 31,2394 /> 65 61,9826 61,9826 /> 70 89,4820 89,4820 /> 75 107,4577 107,4577 /> 80 111,1312 111,1312 /> 85 98,3486 98,3486 /> 90 70,1426 70,1426 /> 95 30,6047 30,6047 смена знака 100 -13,9123 -13,9123 /> 105 -56,0851 -56,0851 /> 110 -89,1227 -89,1227 /> 115 -108,1489 -108,1489 /> 120 -111,1603 -111,1603 /> 125 -99,3512 -99,3512 /> 130 -76,7403 -76,7403 /> 135 -49,1871 -49,1871 /> 140 -23,0264 -23,0264 /> 145 -3,6307 -3,6307 смена знака 150 5,7743 5,7743 /> 155 4,7747 4,7747 смена знака 160 -4,2332 -4,2332 /> 165 -16,7039 -16,7039 /> 170 -27,1093 -27,1093 /> 175 -30,3377 -30,3377 /> 180 -23,0020 -23,0020 /> 185 -4,3520 -4,3520 смена знака 190 23,4221 23,4221 /> 195 55,5727 55,5727 /> 200 85,7823 85,7823 /> 205 107,5385 107,5385 /> 210 115,5876 115,5876 /> 215 107,1397 107,1397 /> 220 82,5521 82,5521 /> 225 45,3337 45,3337 /> 230 1,4645 1,4645 смена знака
235 -41,8225 -41,8225 />
240 -77,5282 -77,5282 />
245 -100,3165 -100,3165 />
250 -107,5698 -107,5698 />
255 -99,8416 -99,8416 />
260 -80,6115 -80,6115 />
265 -55,4037 -55,4037 />
270 -30,4751 -30,4751 />
275 -11,3711 -11,3711 />
280 -1,6789 -1,6789 />
285 -2,2580 -2,2580 />
290 -11,1210 -11,1210 />
295 -23,9866 -23,9866 />
300 -35,3741 -35,3741 />
305 -39,9858 -39,9858 />
310 -34,0560 -34,0560 />
315 -16,3539 -16,3539 смена знака
320 11,3948 11,3948 />
325 44,7702 44,7702 />
330 77,5536 77,5536 />
335 103,0577 103,0577 />
340 115,5964 115,5964 />
345 111,7635 111,7635 />
350 91,2325 91,2325 />
355 56,8943 56,8943 />
360 14,2986 14,2986 смена знака
365 -29,4800 -29,4800 />
370 -67,3017 -67,3017 />
375 -93,4252 -93,4252 />
380 -104,6518 -104,6518 />
385 -100,9012 -100,9012 />
390 -85,0963 -85,0963 />
395 -62,3901 -62,3901 />
400 -38,9164 -38,9164 смена знака /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
ПРИЛОЖЕНИЕ Д A B C D E F G
Наименование сырья
Нормы расхода (кг./кг.)
Запасы сырья (кг.)
Ограничение
A
B
C
Сахарный песок 0,6 0,5 0,6 800 >= 720
Патока 0,4 0,4 0,3 600 >= 480
Фруктовое пюре 0,1 0,2 0,2 120 >= 120
Прибыль от реализации (руб./кг.) 1,08 1,12 1,28 Целевая функция 1296
x1 1200
А=х1
x2
В=х2
x3
С=х3
Литература
1. Банди Б. Основылинейного программирования. – М.: Радио и связь, 1989.
2. Карпов Б. Microsoft Excel 2000. Справочник.- Питер, 2002.
3. Семенищенков А. Microsoft Excel. Параметры и методы практического программирования. –Брянск, 1998.
4. Рычков В. Microsoft Excel 2000. – Питер, 2000.