СОДЕРЖАНИЕ
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Списокиспользованной литературы
Задание 1
Имеются данные за 12 месяцев года по району городао рынке вторичного жилья (y – стоимость квартиры(тыс. у.е.), x – размер общей площади (м2)).Данные приведены в табл. 1.4.
Таблица 1Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 у 22,5 25,8 20,8 15,2 25,8 19,4 18,2 21,0 16,4 23,5 18,8 17,5 х 29,0 36,2 28,9 32,4 49,7 38,1 30,0 32,6 27,5 39,0 27,5 31,2
Задание:
1. Рассчитайте параметры уравнений регрессий
/> и />.
2. Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.
3. Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительнуюоценку силы связи фактора с результатом.
4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.
5. С помощью F-статистики Фишера (при />) оцените надежностьуравнения регрессии.
6. Рассчитайте прогнозное значение />,если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения.Определите доверительный интервал прогноза для />.
7. Расчеты должны быть подробны, как показано в примере 1, и сопровожденыпояснениями.
Решение
Составим таблицу расчетов 2.
Все расчеты в таблице велись по формулам
/>.
Таблица 2 х
х2 у ху
у2
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> А(%) 29,0 841,0 22,5 652,5 506,3 2,1 -4,5 4,38 20,33 18,93 3,57 12,75 15,871 36,2 1310,4 25,8 934,0 665,6 5,4 2,7 29,07 7,25 21,28 4,52 20,40 17,506 28,9 835,2 20,8 601,1 432,6 0,4 -4,6 0,15 21,24 18,90 1,90 3,62 9,152 32,4 1049,8 15,2 492,5 231,0 -5,2 -1,1 27,13 1,23 20,04 -4,84 23,43 31,847 49,7 2470,1 25,8 1282,3 665,6 5,4 16,2 29,07 262,17 25,70 0,10 0,01 0,396 38,1 1451,6 19,4 739,1 376,4 -1,0 4,6 1,02 21,08 21,90 -2,50 6,27 12,911 30,0 900,0 18,2 546,0 331,2 -2,2 -3,5 4,88 12,31 19,26 -1,06 1,12 5,802 32,6 1062,8 21,0 684,6 441,0 0,6 -0,9 0,35 0,83 20,11 0,89 0,80 4,256 27,5 756,3 16,4 451,0 269,0 -4,0 -6,0 16,07 36,10 18,44 -2,04 4,16 12,430 39,0 1521,0 23,5 916,5 552,3 3,1 5,5 9,56 30,16 22,20 1,30 1,69 5,536 27,5 756,3 18,8 517,0 353,4 -1,6 -6,0 2,59 36,10 18,44 0,36 0,13 1,923 31,2 973,4 17,5 546,0 306,3 -2,9 -2,3 8,46 5,33 19,65 -2,15 4,62 12,277
/> 402,1 13927,8 244,9 8362,6 5130,7 0,0 0,0 132,7 454,1 - - 79,0 129,9 Среднее значение 33,5 1160,7 20,4 696,9 427,6 - - - - - - 6,6 10,8
/> 6,43 - 3,47 - -
/> 41,28 - 12,06 - -
Тогда
/>,
/>
и линейное уравнение регрессии примет вид: />.
Рассчитаемкоэффициент корреляции:
/>.
Связь между признаком /> ифактором /> заметная.
Коэффициент детерминации– квадрат коэффициента или индекса корреляции.
R2 = 0,6062= 0,367
Средний коэффициент эластичности/> позволяет проверить,имеют ли экономический смысл коэффициенты модели регрессии.
/>
Для оценки качества модели определяется средняяошибка аппроксимации:
/>,
допустимые значения которой 8 — 10 %.
Вычислим значение />-критерияФишера.
/>,
где
/> – числопараметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной />);
/> – объемсовокупности.
/>.
По таблице распределения Фишера находим
/>.
Так как />, тогипотеза /> о статистическойнезначимости параметра /> уравнениярегрессии отклоняется.
Так как />, томожно сказать, что 36,7% результата объясняется вариацией объясняющей переменной.
Выберем в качестве модели уравнения регрессии />, предварительнолинеаризовав модель. Введем обозначения: />.Получим линейную модель регрессии />.
Рассчитаем коэффициенты модели, поместив всепромежуточные расчеты в табл. 3. Таблица 3
/>
/> y yU
y2
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> А(%) 5,385 29,0 22,5 121,17 506,25 1,640 -0,452 2,69 0,20 13,74 8,76 76,7 38,92 6,017 36,2 25,8 155,23 665,64 4,940 0,180 24,40 0,03 14,01 11,79 139,0 45,70 5,376 28,9 20,8 111,82 432,64 -0,060 -0,461 0,004 0,21 13,74 7,06 49,9 33,95 5,692 32,4 15,2 86,52 231,04 -5,660 -0,145 32,04 0,02 13,87 1,33 1,8 8,72 7,050 49,7 25,8 181,89 665,64 4,940 1,213 24,40 1,47 14,42 11,38 129,5 44,11 6,173 38,1 19,4 119,75 376,36 -1,460 0,336 2,13 0,11 14,07 5,33 28,4 27,45 5,477 30,0 18,2 99,69 331,24 -2,660 -0,360 7,08 0,13 13,78 4,42 19,5 24,27 5,710 32,6 21,0 119,90 441 0,140 -0,127 0,02 0,02 13,88 7,12 50,7 33,89 5,244 27,5 16,4 86,00 268,96 -4,460 -0,593 19,89 0,35 13,68 2,72 7,4 16,58 6,245 39,0 23,5 146,76 552,25 2,640 0,408 6,97 0,17 14,10 9,40 88,3 39,98
/> 58,368 343,4 208,600 1228,71 4471,02 - - - - - - - 313,567 Среднее значение 5,837 34,34 20,860 122,871 447,10 - - - - - - - 31,357
/> 0,549 - 3,646 - - - -
/> 0,302 - 13,292 - - - -
Рассчитаем параметры уравнения:
/>,
/>,
/>/>/>.
Коэффициент корреляции
/>.
Коэффициент детерминации
/>,
следовательно, только 9,3% результата объясняетсявариацией объясняющей переменной />.
/>,
/>
/>,
следовательно, гипотеза /> о статистическойнезначимости уравнения регрессии принимается. По всем расчетам линейная модельнадежнее, и последующие расчеты мы сделаем для нее.
11 Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии
/>.
Используем для этого t-распределение(Стьюдента). Выдвигаем гипотезу /> остатистической незначимости параметров, т.е.
/>.
/>.
Определим ошибки />.
/>,
/>,
/>,
/>,
/>,
/>.
Полученные оценки модели и ее параметров позволяютиспользовать ее для прогноза.
Рассчитаем
/>.
Тогда
/>.
Средняя ошибка прогноза
/>,
где
/>,
/>.
Строим доверительный интервал с заданнойдоверительной вероятностью />:
/>,
/>,
/>.
Найденный интервальный прогноз достаточно надежен(доверительная вероятность />) идостаточно точен, т.к. />.
Оценим значимость каждого параметра уравнениярегрессии
/>.
Используем для этого t-распределение(Стьюдента). Выдвигаем гипотезу /> остатистической незначимости параметров, т.е.
/>.
/>.
Определим ошибки />.
/>,
/>,
/>, />,
/>, />.
Следовательно, /> и/> не случайно отличаются отнуля, а сформировались под влиянием систематически действующей производной.
1. />, следовательно, качествомодели не очень хорошее.
2. Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее дляпрогноза.
Рассчитаем />.Тогда />.
3. Средняя ошибка прогноза
/>,
где
/>,
/>.
Строим доверительный интервал с заданнойдоверительной вероятностью />:
/>,
/>,
/>.
Найденный интервальный прогноз достаточно надежен(доверительная вероятность />) идостаточно точен, т.к. />.
Задание 2
Имеются данные о деятельности крупнейших компанийв течение двенадцати месяцев 199Х года. Данные приведены в табл. 4.
Известны – чистый доход (у), обороткапитала (х1), использованный капитал (х2)в млрд у.е. Таблица 4
у
х1
х2 1,5 5,9 5,9 5,5 53,1 27,1 2,4 18,8 11,2 3,0 35,3 16,4 4,2 71,9 32,5 2,7 93,6 25,4 1,6 10,0 6,4 2,4 31,5 12,5 3,3 36,7 14,3 1,8 13,8 6,5 2,4 64,8 22,7 1,6 30,4 15,8
Задание:
1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественнойрегрессии.
2. Дайте оценку силы связи факторов с результатомс помощью средних коэффициентов эластичности.
3. Оцените статистическую зависимость параметров иуравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера(α=0,01).
4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации.Сделайте вывод.
5. Составьте матрицы парных и частныхкоэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.
6. Оцените полученные результаты, выводы оформитев аналитической записке.
Решение
Результаты расчетовприведены в табл. 5.
Таблица 5
y
x1
x2
yx1
yx2
x1x2
x12
x22
y2 1,5 5,9 5,9 8,85 8,85 34,81 34,81 34,81 2,25 5,5 53,1 27,1 292,05 149,05 1439,01 2819,61 734,41 30,25 2,4 18,8 11,2 45,12 26,88 210,56 353,44 125,44 5,76 3 35,3 16,4 105,90 49,20 578,92 1246,09 268,96 9 4,2 71,9 32,5 301,98 136,50 2336,75 5169,61 1056,25 17,64 2,7 93,6 25,4 252,72 68,58 2377,44 8760,96 645,16 7,29 1,6 10 6,4 16,00 10,24 64,00 100,00 40,96 2,56 2,4 31,5 12,5 75,60 30,00 393,75 992,25 156,25 5,76 3,3 36,7 14,3 121,11 47,19 524,81 1346,89 204,49 10,89 1,8 13,8 6,5 24,84 11,70 89,70 190,44 42,25 3,24 2,4 64,8 22,7 155,52 54,48 1470,96 4199,04 515,29 5,76 1,6 30,4 15,8 48,64 25,28 480,32 924,16 249,64 2,56
/> 32,4 465,8 196,7 1448,33 617,95 10001,03 26137,30 4073,91 102,96 Средн. 2,7 38,8 16,4 120,69 51,50 833,42 - - 65,80
/> 1,2 27,1 8,8 - - - - - -
/> 1,4 732,4 77,2 - - - - - -
Рассматриваем уравнениевида:
/>.
Параметры уравненияможно найти из решения системы уравнений:
/>
Или, перейдя к уравнениюв стандартизированном масштабе:
/>, где
/> – стандартизированные переменные,
/> – стандартизированные коэффициенты:
/>
Коэффициенты /> определяются из системыуравнений:
/>/>
/>, />;
/> />;
/>, />;
/>, />;
/>, />;
/>, />;
/>, />;
/>.
Стандартизированнаяформа уравнения регрессии имеет вид:
/>.
Естественная формауравнения регрессии имеет вид:
/>.
Для выясненияотносительной силы влияния факторов на результативный признак рассчитываютсясредние коэффициенты эластичности:
/>,
/>,
/>.
Следовательно, приувеличении оборота капитала (x1) на 1% чистыйдоход (y) уменьшается на 0,14% от своего среднего уровня. Приповышении использованного капитала на 1% чистый доход повышается на 0,73% отсвоего среднего уровня.
Линейные коэффициентычастной корреляции для уравнения определяются следующим образом:
/>,
/>.
Линейный коэффициентмножественной корреляции рассчитывается по формуле
/>.
Коэффициентмножественной детерминации />.
/>,
где
/> - объем выборки,
/> - число факторов модели.
В нашем случае
/>.
Так как />, то /> и потому уравнение незначимо.
Выясним статистическуюзначимость каждого фактора в уравнении множественной регрессии.
Для этого рассчитаемчастные />-статистики.
/>.
Так как />, то /> и следует вывод о нецелесообразностивключения в модель фактора /> послефактора />.
/>.
Так как />, то следует вывод о нецелесообразностивключения в модель фактора /> послефактора />.
Результаты расчетовпозволяют сделать вывод :
1) о незначимости фактора /> и нецелесообразностивключения его в уравнение регрессии;
2) о незначимости фактора /> и нецелесообразностивключения его в уравнение регрессии.
Задание 3
1.Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить,идентифицировано ли каждое уравнение модели.
2.Определите тип модели.
3.Определите метод оценки параметров модели.
4.Опишите последовательность действий при использовании указанного метода.
5.Результаты оформите в виде пояснительной записки.
Модельденежного и товарного рынков:
Rt = a1+b12Yt+b14Mt+e1,
Yt = a2+b21Rt+b23It+b25Gt+e2,
It = a3+b31Rt+e3,
где
R – процентныеставки;
Y – реальный ВВП;
M – денежная масса;
I – внутренниеинвестиции;
G – реальныегосударственные расходы.
Решение
1.Модель имеет три эндогенные (RtYtIt) и две экзогенные переменные (MtGt).
Проверимнеобходимое условие идентификации:
1-еуравнение: D=1, H=2, D+1=H — уравнение идентифицировано.
2-еуравнение: D=1, H=1, D+1=2- уравнение сверхидентифицировано.
3-еуравнение: D=1, H=2, D+1=H — уравнение идентифицировано.
Следовательно,необходимое условие идентифицируемости выполнено.
Проверимдостаточное условие:
Впервом уравнении нет переменных It, Gt
Строимматрицу: It Gt 2 ур. b23 b23 3 ур.
det M = det />, rank M =2.
Во втором уравнении нет переменных Mt
det M ¹ 0
В третьем уравнении нет переменных Yt, Mt, Gt
Строимматрицу:
det M />/
Следовательно, достаточное условиеидентифицируемости выполнено.
Система точно идентифицируема.
2. Найдем структурные коэффициенты модели.
Для этого:
Запишем систему в матричной форме, перенеся всеэндогенные переменные в левые части системы:
Rt-b12Yt=a1+b12Mt
Yt-b21Rt-b23It=a2+b25Gt
It-b31Rt=a3
откуда
/>, и />, />, />, />.
Решаем систему относительно />: />. Найдем
/>, где /> –
алгебраические дополнения соответствующих элементовматрицы />, /> – минор, т.е.определитель, полученный из матрицы /> вычеркиваниемi-й строки и j-го столбца.
/>,
/>,
/>,
/>.
Поэтому
/>
В данном случае эти коэффициенты можно найтизначительно проще. Находим /> извторого уравнения приведенной системы и подставим его в первое уравнение этойсистемы. Тогда первое уравнение системы примет вид: />,откуда /> />, />. Из третьего уравнениясистемы находим /> и подставляем вовторое уравнение системы, получим: />, решаяего совместно с уравнением /> и,исключая />, получим />. Сравнивая это уравнениесо вторым уравнением системы получим />.Выражая /> из второго уравнения, иподставляя в третье системы (3.2), получим />. Сравнивая это уравнение стретьим уравнением системы, получим />.
Задание 4
Имеются данные запятнадцать дней по количеству пациентов клиники, прошедших черезсоответствующие отделения в течение дня. Данные приведены в табл. 6.
Таблица 6День Глазное отделение 1 30 2 22 3 19 4 28 5 24 6 18 7 35 8 29 9 40 10 34 11 31 12 29 13 35 14 23 15 27
Требуется:
1. Определить коэффициенты автокорреляции уровнейряда первого и второго порядка.
2. Обосновать выбор уравнения тренда и определитеего параметры.
3. Сделать выводы.
4. Результаты оформить в виде пояснительнойзаписки.
Решение
Определим коэффициент корреляции между рядами /> и />. Ррасчеты приведены в таблице7:
/>