Практическоезанятие
“Расчетоптимизационных моделей”
Оптимизационные модели
Обширный класс экономико-математических моделей образуютоптимизационные модели, позволяющие выбирать из всех решений самый лучшийоптимальный вариант. В математическом смысле оптимальность понимается какдостижение экстремума (максимума или минимума) критерия оптимальности,именуемого также целевой функцией. Оптимизационные задачи решаются посредствомвыполнения моделей с помощью методов математического программирования,реализуемых обычно с применением электронно-вычислительной техники.
Оптимизационная модель формируется в общем виде следующимобразом: «Надо отыскать значения управляемых параметров (показателей)x1,x2,…..xn, характеризующих управляемый экономический объект или процесс,придающие максимальное или минимальное значение целевой функции F(x1,x2,…..xn,)/>при соблюденииограничений, накладываемых на область изменения показателей x1,x2,…..xn,, исвязей между ними в виде f(x1,x2,…..xn,)£a».Если целевая функция, ограничения, связи между искомыми показателями выражены ввиде линейных зависимостей, то оптимизационная модель сводится к задачелинейного математического программирования и саму модель также называютлинейной.
Оптимизационные модели чаще всего используются в задачахотыскания лучшего способа использования экономических ресурсов, позволяющегодостичь максимальный целевой эффект. Кстати математическое программированиевозникло на основе решения задачи об оптимальном раскрое листов фанеры,обеспечивающем наиболее полное использование материала. Поставивший эту задачуизвестный российский математик и экономист академик Л.В. Канторович былвпоследствии удостоен Нобелевской премии по экономике.
Задача 1. Простейшая задача на максимизацию прибыликомпании
Компания производит два продукта в количестве x1 и x2тонн за месяц соответственно. Тонна первого продукта приносит 12 тысяч гривенприбыли, а тонна второго продукта — 8 тысяч гривен. Производственные мощностикомпании позволяют выпускать не более 100 тонн двух продуктов вместе, при этомпроизводство первого продукта не может превышать более чем в три разапроизводство второго. Надо определить оптимальный объем производства,приносящий компании максимальную прибыль.
Применительно к данной задаче целевая функция (критерийоптимальности) имеет вид:
F(x1, x2,…..xn,)=F(x1, x2)=12x1 +8x2 тысяч гривен
Объемы выпуска x1 и x2 есть заведомо положительныевеличины, то есть
x1 ³0; x2 ³0
Между значениями x1 и x2 имеются связи
x1 + x2 £100
x1 £ 3 x2
Таким образом, подходим к типичной задаче линейногоматематического программирования, когда надо отыскать значения управляющихпараметров x1, x2, придающие максимальное значение целевой функции 12x1 +8x2 сучетом фиксированных связей и ограничений.
Постановку и решение этой задачи удобно проиллюстрироватьграфически, отобразив связи и ограничения в системе координат параметров x1, x2,как изображено на рис. 3.1.
/>
0 20 40 60 75 80 100 120
Рисунок.3.1. — Графическая интерпретация задачи
В силу положительных значений параметров x1 и x2 (x1³0;x2³0)решение следует искать в первом квадранте. Ограничение по суммарному выпуску (x1+ x2 £100) сужает область поискадо находящейся внутри треугольника ОАС, ограниченного сверху прямой x1 + x2=100. Ограничение x1 £ 3 x2 ещеболее сужает область допустимых по условию задачи значений x1 и x2, заключая еев треугольник ОАВ, ограниченный снизу прямой x1 £3 x2. Среди всех значений x1 и x2, заключенных внутри ОАВ, оптимальнымсоответствует точка В. В этой точке, соответствующей координатам x1 = 75; x2 =25, достигается наибольшее из допустимых значений x1 равное 75. К наибольшемуже значению x1 и надо стремиться, так как первый вид продукции приносит врасчете на одну тонну больше прибыли, чем второй (12 > 8), то есть надовыбирать наибольшее из возможных, допустимых значений x1. Оптимальному решениюсоответствует, таким образом, точка В, в которой целевая функция достигаетсвоего максимального значения
12x1 +8x2 =12×75+8× 25=1100 тысяч гривен
Легко проверить, что внутри треугольника ОАВ любое другоесочетание, кроме x1 = 75; x2 = 25, обеспечивает меньшую суммарную прибыль.
Задача 2. Постановка и решение транспортной задачи
Рассмотрим вначале общую постановку этой достаточносложной оптимизационной задачи и построим ее экономико-математическую модель,которую потом проиллюстрируем простейшим примером.
Пусть имеется n поставщиков товара и m его потребителей.Каждый «i» поставщик способен поставлять потребителям за определенноевремя количество товара, равное Ni, а каждый «j» потребительнуждается в количестве товара, равном Mj. Обозначим через xij количествотовара, поставляемое «i» поставщиком «j» потребителю. Тогдаобщий объем поставок Q равный объему спроса всех потребителей, выразитсясоотношением:
/>, где
Nj =/> — есть сумма поставок всем mпотребителям со стороны «i» поставщика.
Mj = /> — есть сумма потребностей«j» потребителя, удостоверяемых поставщиками всех n поставщиков.
Примем далее, что стоимость перевозки товара«i» поставщиком «j» потребителю равна cij. Тогда общаястоимость перевозок, зависящих от прикрепления «i» поставщика к«j» потребителю, то есть от значений xij равна
F (xij) = />cij xij, i=1,2…..n, j=1,2,….m
Оптимизационная задача заключается в том, чтобы найтизначения xij, то есть величины поставок (перевозок) товара от каждогопоставщика к каждому потребителю, при которых общая стоимость перевозок F(x11,x12,….xij,.….xnm) будет минимальной. Решение задачи должно удовлетворятьследующим ограничениям:
все значения xij неотрицательны, то есть xij³0
возможность перевозок и запросы потребителяудовлетворяются полностью
Экономико-математическая модель транспортной задачи, впредставленном виде характеризуемая целевой функцией и ограничениями,представляет оптимизационную модель задачи линейного математическогопрограммирования. Решение таких задач при больших значениях количествапоставщиков товара «n» и количества потребителей товара «m»требует применения сложных математических методов. Поэтому проиллюстрируемрешение транспортной задачи на простом примере, в котором отысканиеоптимального решения не составит большого труда.
Пусть имеются два поставщика и три потребителя товара.Возможности поставщиков и спрос потребителей, а также стоимость перевозокединицы груза приведены в таблице 2.
Таблица 2.Потребители Потребность в товаре, тонн Поставщики Возможность перевозки, тонн Стоимость доставки единицы товара потребителю, грн за тонну Потребитель I Потребитель II Потребитель III 1 50 1 100 c11 = 10 c12 = 9 c13 = 11 2 70 2 60 c21 = 8 c22 = 10 c23 = 9 3 40
Задача заключается в том, чтобы найти значение объемовпоставок X11, X12, X13 первого поставщика первому, второму и третьемупотребителям и объемы поставок X21, X22, X23 второго поставщика соответственнопервому, второму и третьему потребителям при которых суммарные затраты
F (X11, X12, X13, X21, X22, X23) = c11x11 +c12x12 + c13x13 + c21x21 + c22x22 + c23x23 = 10x11 + 9x12 +11x13 + 8x21 + 10x22+ 9x23 ® min
Одновременно должны соблюдаться условия:
x11 + x12 + x13 = 100
x21 + x22 + x23 = 60
x13 + x23 = 40
характеризующее полное удовлетворение потребностейпотребителей и полное использование возможностей поставщиков товара.
Т. к. самой дешевой является стоимость доставки ед.товара вторым поставщиком первому потребителю, то используем эту возможностьполностью и примем x21 =50 т. и тем самым полностью удовлетворим егопотребность. Оставшуюся возможность доставки 60-50=10т. товара со стороны второгопоставщика представим третьему потребителю, т. е. x23 = 10, т. к. расход надоставку ему единицы товара (с23 = 9)
Возможности второго поставщика на этом исчерпаны иоставшиеся потребности должны быть удовлетворены первым поставщиком. Онпоставит второму потребителю x12 = 70т. и третьему потребителю x13 = 30т., т.к. 10 т. этот потребитель уже получил от второго поставщика. Поставки товарапервым поставщиком первому потребителю, также как и поставки 2 поставщика 2потребителю окажутся ненужными поэтому x11 = 0 и x22 = 0. В итоге искомоерешение задачи имеет вид:
x11 = 0; x12 =70; x13 = 30
x21 =50; x22 =0; x23 = 10
Суммарный расход на поставку товара равны:
0×10 + 70×9 + 30×11+ 50×8 + 0×10 + 10×9 =1450 грн. и являются минимально возможными. Средняя стоимость перевозки однойтонны товара составит
/> грн. за тонну, при отсутствииоптимизации средняя цена равна
/> грн./тонну
Задача. Фирма производит два вида изделий в количестве x1и x2. Единица первого изделия приносит П1 – гривен прибыли, а второго П2 гривенприбыли. Производственные мощности позволяют выпускать не более N единиц двухнаименований изделий вместе, при этом производство первого изделия не можетпревышать более чем в 4 раза производство второго изделия. Определить объемпроизводства приносящей фирме максимальную прибыль. Построить график оптимизацииприбыли. Варианты заданий приведены в таблице 1.
Таблица 1№ вар. П1 т. грн. П2 т. грн. N 1 24 16 200 2 28 20 250 3 36 24 300 4 48 28 400 5 54 32 450 6 66 36 500 7 72 40 550 8 78 48 600 9 84 52 650 10 90 56 700
Таблица 3.
Варианты заданий к решению транспортной задачи№ вар. Потребители Потребность в товаре, т.тонн Поставщики Возможность перевозки, т.тонн Стоимость доставки ед. товара потребителю, грн. за тонну /> Потребитель I Потребитель II Потребитель III /> 1
1
2
3
80
120
60
1
2
160
100
c11 =15
c21 =11
c12 =13
c22 =12
c13 =14
c23 =10 />
1
2
180
120
c11 =17
c21 =13
c12 =15
c22 =14
c13 =13
c23 =11 /> 2
1
2
3
100
130
70 /> />
1
2
220
140
c11 =16
c21 =14
c12 =16
c22 =14
c13 =15
c23 =13 /> 3
1
2
3
120
150
90 /> />
4
1
2
3
130
160
100
1
2
150
240
c11 =11
c21 =9
c12 =10
c22 =13
c13 =14
c23 =16 />
1
2
210
240
c11 =19
c21 =14
c12 =21
c22 =16
c13 =17
c23 =15 /> 5
1
2
3
150
180
120 /> />
/>
Контрольные вопросы.
1.Что понимается под термином “модель”?
2. Какие виды моделей вам известны?
3. В чем сущность оптимизационных моделей?
4. Что понимается под термином “оптимизационная функция”?
5. Для решения каких задач используется “оптимизационныемодели”?
Расчет балансовых моделей
Балансовые экономико-математические модели, как следуетиз их названия, выражают в математической форме баланс определенного видаэкономического продукта, включая и денежные средства.
В самом общем виде балансовое соотношение имеет вид:
Приход = Расход ± Изменение запасов
В этом соотношении приход понимается как общеепоступление экономического продукта из самых разных источников за определенныйпериод времени, а расход — как суммарное расходование того же продукта на самыеразличные нужды за то же время. Знак плюс соответствует случаю, когда приходбольше расхода и запасы (остатки) изменились в сторону увеличения, а знак минус- случаю, когда приход меньше расхода и запасы уменьшились, а то и вовсе возникдефицит продукта.
Уравнение баланса или система уравнений, если составляетсямного продуктовый баланс, характеризуют наличие, производство, потребление,закупку, продажу, экспорт, импорт продукта определенным хозяйствующимсубъектом. Им может быть государство (страна), регион, предприятие, компания,семья.
На первый взгляд балансовые модели выглядят оченьпростыми. Однако, когда приходится сопоставлять балансы многих продуктов вматериальной и денежной форме на различные периоды времени, то соотношениябаланса, будучи в большинстве случаев линейными уравнениями по отношению к входящимв них неизвестным, искомым величинам, представляют довольно сложные системыуравнений.
В управлении экономикой на разных уровнях балансовыемодели дают возможность субъекту управления определять, какие объемыпроизводства, поступления продуктов, товаров или величины и источники денежныхдоходов необходимы для удовлетворения нужд, запросов, потребностей, обеспечениярасходов объекта управления на определенный период времени. Кроме того,балансовые модели позволяют установить требуемые соотношения, пропорции междуобъемами производства, производственного потребления разных видов продукции,ресурсов, совместно применяемых в производственных процессах. Такие моделипозволяют установить соответствие между объемными показателями вматериально-вещественном (физическом) и денежном изменении с помощью цен.Балансовые модели есть главный инструмент достижения согласованности междупроизводством и потреблением, доходами и расходами, а также контроля, проверкицелевого использования ресурсов.
Следует, правда, иметь в виду, что в большинстве случаевбалансовые соотношения можно назвать экономико-математическими моделями лишь сопределенною степенью условности, поэтому в реальной практике чаще говорят обалансовых расчетах, чем о балансовых моделях. Это относится, например, кпостроению плановых и отчетных балансов предприятий, балансов в видегосударственных, региональных, местных, семейных бюджетов, балансов денежныхдоходов и расходов населения. Вместе с тем такие виды балансов, какмежотраслевой баланс производства и использования продукции, многопродуктовыебалансы, оптимизационные балансы, представляющие систему многих связанных междусобой балансовых соотношений, правомерно относятся к экономико-математическиммоделям.
Задача. Простейшая двухпродуктовая балансовая модель
Предположим, что производится два товара, один — вколичестве x1 и другой — в количестве x2, измеренном в одних и тех же единицах.На производство первого товара тратится 0,1 общего выпуска этого же товара(например, на производство топлива затрачивается 10% производимого топлива) и0,15 единиц второго товара. Кроме того, 3300 единиц первого товара производитсяна другие нужды. На производство единицы второго товара затрачивается 0,2единицы первого товара и 0,05 единиц второго товара (например, на производствометалла затрачивается 5% производимого металла). Кроме того, 6600 единицвторого товара производится на другие нужды. Надо определить x1 и x2, то естьтребуемые объемы производства одного и второго товара.
Двухпродуктовая балансовая модель выглядит следующимобразом
{x1 = a11x1 + a12x2 + x1d/>
{x2 = a21x1 + a22x2 + x2d
В модели приняты обозначения:
x1 – объем производства первого товара;
x2 – объем производства второго товара;
a11 – доля первого товара, затрачиваемая на его жепроизводство;
a12 – доля первого товара, затрачиваемая на производствовторого;
a21 – доля второго товара, затрачиваемая на производствопервого;
a22 – доля второго товара, затрачиваемая на его жепроизводство;
x1d – объем производства первого товара на другие нужды;
x2d – объем производства второго товара на другие нужды.
Приводимая простейшая балансовая модель представляетсистему двух линейных уравнений относительно неизвестных x1 и x2.
Согласно условиям задачи a11== 0,1; a12 = 0,15; a21 =0,2; a22 = 0,05; x1d =3300; x2d = 6600. В итоге приходим к системе уравненийбаланса:
{x1 =0.1 x1 + 0.15 x2 + 3300
{x2 =0.2 x1 + 0.05 x2 + 6600
Решая систему, находим искомые объемы производства
x1 = 5000 единиц; x2 == 8000 единиц.
Исходная модель может быть использована и для решениядругих задач, неизвестными могут быть, например, x1 и x1d или x1d и x2d призаданных значениях других величин, входящих в модель.
/>
откуда находим искомое значение x0, то есть оптимальныйобъем партии товара
x0 =/>
Это и есть решение задачи.
Например, если C1 = 6000 гривен за доставку партиитовара, C2 = 300 гривен за хранение тонны товара на складе в течение суток,общий объем поставки Q = 100 тонн за время Т = 40 суток, то
X0 = /> тонн
то есть для минимизации затрат на доставку и хранениетовара на складе надо поставлять его на склад партиями по 10 тонн в каждой партии.
Задача. Определить объемы производства товаров x1 и x2 приследующих условиях. Варианты заданий приведены в таблице
Варианты заданий№ вар. a11 a12 a21 a22 x1d x2d 1 0,2 0,3 0,4 0,6 2300 4600 2 0,3 0,5 0,2 0,4 3200 5300 3 0,1 0,3 0,5 0,2 1500 2700 4 0,3 0,6 0,1 0,3 2100 3400 5 0,4 0,2 0,3 0,1 1800 6700 6 0,5 0,1 0,4 0,5 4200 1900 7 0,1 0,3 0,2 0,4 5800 2500 8 0,2 0,4 0,1 0,3 7200 3600 9 0,3 0,1 0,2 0,1 6300 4800 10 0,1 0,5 0,3 0,4 5800 2100
где
x1 – объем производства первого товара;
x2 – объем производства второго товара;
a11 – доля первого товара, затрачиваемая на его жепроизводство;
a12 – доля первого товара, затрачиваемая на производствовторого;
a21 – доля второго товара, затрачиваемая на производствопервого;
a22 – доля второго товара, затрачиваемая на его жепроизводство;
x1d – объем производства первого товара на другие нужды;
x2d – объем производства второго товара на другие нужды.
Расчет игровых моделей
Игровые экономико-математические модели представляютматематическое описание экономических ситуаций, в которых происходитстолкновение, противопоставление интересов двух или несколькихпротивоборствующих сторон (игроков), преследующих разные цели и действующихтаким образом, что линия, способ действия одного из участников зависит отдействий другого. Математическая модель подобной конфликтной ситуации получиланазвание игры, участвующие в ней лица, противостоящие стороны именуютсяигроками, а исход противостояния сторон называют выигрышем и, соответственнопроигрышем. Если выигрыш игрока равен проигрышу его противника, то такая иградвух лиц называется игрой с нулевой суммой или антагонистической.
Игровые модели позволяют участникам игры выбрать такназываемую оптимальную стратегию, то есть установить в зависимости от складывающейсяситуации способ действий, позволяющий максимизировать возможный выигрыш илиминимизировать возможный проигрыш. Наиболее постой вариант игры — парнаяконечная игра двух игроков, в которой каждый из них обладает выбором изконечного числа стратегий. Обрисуем модель такой игры в общих чертах, а затемприведем иллюстрированные примеры ее использования.
Предположим, что в игре участвуют игроки А и В. Игрокимеет в своем распоряжении n стратегий, способов действий: A1, A2,…….An а игрокВ располагает возможностью реализовать m стратегий: B1, B2,…….Bm. В зависимостиот того, какую стратегию Аi (i=1,2,...,n) выберет игрок А и какую стратегиюВj(j=1, 2,……m) выберет игрок В, зависит исход игры каждого из них, то естьвыигрыш aij одного из игроков и, соответственно, проигрыш другого. Такимобразом, любой паре стратегий (Аi, Вj) соответствует определенное значениевыигрыша aij. В итоге совокупность всех возможных выигрышей в данной игреобразует матрицу, столбцы которой соответствуют стратегии одного игрока, а строки- стратегии другого. Такую матрицу называют платежной матрицей или матрицейигры.
Общий вид платежной матрицы, строки которой соответствуютстратегиям игрока А, а столбцы — стратегиям игрока В, изображен на рис. 3.2. B1 B2 Bm A1 a11 a21 a1m A2 a21 a22 a2m An an1 an2 anm
Рисунок 3.2. — Платежная матрица парной игры
При выборе своей стратегии Аi из набора n возможныхстратегий A1, A2,…….An игрок А должен учитывать, что его соперник В выберет вответ стратегию Вj из набора возможных стратегий, стремясь свести выигрышигрока А к минимуму. Пусть наименьший из всех возможных выигрышей игрока А привыборе им стратегии Аi, то есть наименьшее значение aij в «i» строкеплатежной матрицы равно ai то есть aj = min aij. Наибольшее из значений aj(i=1,2,…n)обозначим а, следовательно а = max aj Такое максимальное значение из набораминимальных выигрышей игрока, соответствующих всему спектру применяемых имстратегий, называют нижней ценой или максимальным выигрышем из минимальных — максимином. Максимин представляет гарантированный выигрыш игрока А при любойстратегии игрока В, так как игрок А может выбрать ту стратегию, котораяприносит ему максимальный выигрыш из минимально возможных.
Игрок В, стремясь уменьшить выигрыш игрока А и понимая, чтоА стремится к максимальному выигрышу, выбирая свою контрстратегию Вjанализирует прежде всего максимально возможные выигрыши игрока А. Пусть средивсех выигрышей игрока А при выборе игроком В стратегии Вj максимально возможноезначение равно bj, то есть bj = max bij. Наименьшее из всех возможных значенийbj(j=1,2,…n) обозначим Ь, то есть b= min bj Такое минимальное значение изнабора максимальных выигрышей игрока, соответствующее всему спектру применяемыхим стратегий, называют верхней ценой игры или минимальным выигрышем измаксимальных -минимаксом. Минимакс представляет неизбежный проигрыш игрока Впри любой из стратегий игрока А, ибо игрок А будет, естественно, стремитьсямаксимизировать проигрыш игрока В и соответствующим образом выбирать свою стратегию.
Известный в теории игр принцип минимакса рекомендуетигрокам выбирать из соображений осторожности, уменьшения риска максиминнуюстратегию при стремлении получить наибольший выигрыш или минимаксную пристремлении минимизировать проигрыш. Проиллюстрируем это положение на простыхпримерах.
Пример. Модель игры Человека с Природой
Во многих случаях результат деятельности людей зависит нетолько от выбора ими той или иной стратегии, но и от ситуаций, складывающихсяво внешней среде. Классический случай — влияние погодных условий, природныхявлений на итоги экономической деятельности. Люди как бы играют с Природой,которая создает разные ситуации, не благоприятствующие получению людьми лучшихрезультатов. Какую ситуацию «выберет» Природа в своей игре с людьми — трудно предвидеть и потому приходится учитывать возможные ситуации.
Пусть Человек располагает возможностью осуществлять тристратегии действий Аi в целях получения прибыли, а Природа способна создатьчетыре вида ситуаций Вj, каждая из которых влияет тем или иным способом навеличину прибыли. Составим платежную матрицу, в клетках которой зафиксированырассчитанные определенными методами (которые в примере не рассматриваются)величины возможной прибыли. Например, матрица прибылей в тысячах гривен имеетвид: B1 B2 B3 B4 A1 25 32 29 27 A2 29 36 28 32 A3 27 28 31 24
Применим максиминную стратегию, стремясь получитьнаибольшую прибыль. Выделим в каждой из строк матрицы минимальные значенияприбыли, которые могут быть получены при осуществлении одной из возможныхстратегий A1, A2, A3 и самых неблагоприятных условиях, создаваемых Природой.Это 25 тысяч гривен при стратегии A1, 28 тысяч гривен при стратегии A2 и 24тысячи гривен при стратегии A3. Максимальное из этих значений — 28 тысяч гривенсоответствует максиминной стратегии Аз, которую и следует выбрать, обеспечивтем самым гарантированное получение этой величины прибыли при любых условиях,ситуациях, создаваемых Природой.
Проиллюстрируем теперь минимаксную стратегию, используяплатежную матрицу, в клетках которой указаны величины потерь, возникающих приосуществлении стратегий A1, A2, A3 в условиях B1, B2, B3, B4. Пусть матрицаимеет вид. B1 B2 B3 B4 A1 53 55 48 51 A2 49 52 50 56 A3 51 50 52 47
Выделяем в каждой из строк матрицы максимально возможныепри осуществлении данной стратегии потери. Это — 55 при стратегии A1, 56 — пристратегии A2 и 52 — при стратегии A3. Минимальное из этих значений равно 52 исоответствует стратегии A3, которая и является минимаксной.
Сетевые модели
Специфическое свойство и основной признак этого видамоделей, используемых в планировании и управлении совокупностью взаимосвязанныхдействий, операций состоит в том, что они представлены в форме сетевых графиковвыполнения работ, именуемых также сетевыми графами. Главными элементами, своегорода «строительными кирпичами» таких моделей являются работы исобытия. Под «работой» в сетевой модели имеются в виду любыедействия, итог которых состоит в переводе управляемого объекта из одногосостояния в другое. Событие же отражает результат работы, выполняемой наопределенном этапе.
На рис.3.3. приведен упрощенный сетевой график работ повыпуску книги, в котором буквами обозначены работы, а цифрами события./> />
Рисунок 3.3. — Примерный сетевой график подготовки и выпуска новой книги
Исходное событие 1 — возникновение идеи, замысла уавтора, за ним следует работа «а» — подготовка материалов, написаниепервого варианта рукописи, завершающиеся событием 2 — появлением первичнойрукописи, с которой автор обращается в издательство.
Рукопись книги издательство передает на заключениерецензенту (работа «б») и готовит также собственное заключение(работа «в») с учетом передаваемого заключения рецензента (работа«г»). Так что событие 3 – это заключение рецензента, а событие 4 — итоговое заключение издательства. При положительном заключении готовиться договорс автором на издание книги (работа «д»), который в завершенном видепредставляет событие 5. Затем рукопись передается редактору (работа«е»), который исправляет ее, доводя до более кондиционного состояния,характеризуемого как событие 6. Автор тоже работает над рукописью параллельно средактором (работа «ж»), и после передачи редактором доработаннойрукописи (работа «з») в издательстве наступает событие 7 — готовая кнабору рукопись книги. Издательство передает рукопись в типографию (работа«и») в требуемом виде, что отражается в событии 8, а типографияпечатает книгу (работа «к»), в результате чего появляется готоваякнига — завершающее событие — 9.
Сетевые графики служат эффективным средством увязыванияработ и событий во времени, устанавливая период осуществления каждой работы ивремя наступления каждого события. Это способствует управлению ходом работ, ихкоординации.