Министерствообразования и науки РФ
Федеральноеагентство по образованию
Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
Всероссийскийзаочный финансово-экономический институт
Филиал в г.Туле
Контрольнаяработа
по дисциплине«Эконометрика»
Тула — 2010г.
Содержание
Задача 1
Задача 2 (а, б)
Задача 2 в
Задача 1
По предприятиям легкойпромышленности получена информация, характеризующая зависимость объема выпускапродукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.) табл. 1.
Табл. 1.1.Х 33 17 23 17 36 25 39 20 13 12 Y 43 27 32 29 45 35 47 32 22 24
Требуется:
1. Найти параметрыуравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициентарегрессии.
2. Вычислить остатки; найтиостаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков />; построить график остатков.
3. Проверить выполнениепредпосылок МНК.
4. Осуществить проверкузначимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента(α=0,05).
5. Вычислить коэффициентдетерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерияФишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделатьвывод о качестве модели.
6. Осуществитьпрогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимостиα=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от егомаксимального значения.
7. Представитьграфически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
8. Составить уравнениянелинейной регрессии:
гиперболической;
степенной;
показательной.
Привести графикипостроенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделейнайти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации.Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Решение
1. Линейная модель имеетвид:
/>
Параметры уравнениялинейной регрессии найдем по формулам
/>
Расчет значенияпараметров представлен в табл. 2.
Табл. 1.2.t y x yx
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1 43 33 1419 1089 42,236 0,764 0,584 90,25 88,36 0,018 2 27 17 459 289 27,692 -0,692 0,479 42,25 43,56 0,026 3 32 23 736 529 33,146 -1,146 1,313 0,25 2,56 0,036 4 29 17 493 289 27,692 1,308 1,711 42,25 21,16 0,045 5 45 36 1620 1296 44,963 0,037 0,001 156,25 129,96 0,001 6 35 25 875 625 34,964 0,036 0,001 2,25 1,96 0,001 7 47 39 1833 1521 47,69 -0,69 0,476 240,25 179,56 0,015 8 32 20 640 400 30,419 1,581 2,500 12,25 2,56 0,049 9 22 13 286 169 24,056 -2,056 4,227 110,25 134,56 0,093 10 24 12 288 144 23,147 0,853 0,728 132,25 92,16 0,036 ∑ 336 235 8649 6351 12,020 828,5 696,4 0,32 Средн. 33,6 23,5 864,9 635,1
Определим параметрылинейной модели />
/>
Линейная модель имеет вид
/>
Коэффициент регрессии />показывает, чтовыпуск продукции Y возрастает в среднем на 0,909 млн. руб. при увеличенииобъема капиталовложений Х на 1 млн. руб.
2. Вычислим остатки />, остаточнуюсумму квадратов />, найдем остаточную дисперсию />по формуле:
/>
Расчеты представлены втабл. 2.
/>
/>
Рис. 1. График остатковε.
3. Проверим выполнениепредпосылок МНК на основе критерия Дарбина-Уотсона.
Табл. 1.3.
/>
/> 0,584 2,120 0,479 0,206 1,313 6,022 1,711 1,615 0,001 0,000 0,001 0,527 0,476 5,157 2,500 13,228 4,227 2,462 0,728 31,337 12,020
/>
/>
d1=0,88; d2=1,32 дляα=0,05, n=10, k=1.
/>,
значит, ряд остатков некоррелирован.
4. Осуществим проверкузначимости параметров уравнения на основе t-критерия Стьюдента. (α=0,05).
/>
/> для ν=8; α=0,05.
Расчет значения />произведен втабл. 2. Получим:
/>
Так как />, то можно сделатьвывод, что коэффициенты регрессии a и b с вероятностью 0,95 значимы.
5. Найдем коэффициенткорреляции по формуле
/>
Расчеты произведем втабл. 2.
/>
Значит,/>. Т.о. связь междуобъемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y можно считать тесной, т.к. />.
Коэффициент детерминациинайдем по формуле />. Значит, вариация объема выпускапродукции Y на 98,4% объясняется вариацией объема капиталовложений X.
Проверим значимостьуравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера
/>
Fтаб=5,32, т.к. k1=1,k2=8, α=0,05
/>
т.к. F значительно большеFтабл, то можно сделать вывод, что уравнение регрессии с вероятностью 95%статистически значимо.
Оценим точность модели наоснове использования средней относительной ошибки аппроксимации.
/>
Расчеты произведены втабл. 2.
/>,
значит, линейную модельможно считать точной, т.к. Е
6. С помощью линейноймодели осуществим прогноз Y при α=0,1 и х=0,8хmax
/>
Определим границыпрогноза. t0,1;8=1,86
/>
/>
Найдем границы интервала:/>
7. Представим графическифактические и модельные значения Y, точки прогноза.
/>
Рис. 2. Фактическиеданные, линейная модель и результаты прогнозирования.
8. а) Составим уравнениегиперболической модели. Гиперболическая модель имеет вид
/>;
Проведем линеаризациюпеременной путем замены />.
/>
Расчеты произведем втабл. 3.
/>
Модель имеет вид:
/>
Табл.1.4.t y x Х уХ
/>
/>
/>
/>
/> 1 43 33 0,030 1,290 0,001 36,870 6,130 37,577 0,143 2 27 17 0,059 1,593 0,003 32,135 -5,135 26,368 0,190 3 32 23 0,043 1,376 0,002 34,683 -2,683 7,198 0,084 4 29 17 0,059 1,711 0,003 32,135 -3,135 9,828 0,108 5 45 36 0,028 1,260 0,001 37,289 7,711 59,460 0,171 6 35 25 0,040 1,400 0,002 35,260 -0,260 0,068 0,007 7 47 39 0,026 1,222 0,001 37,644 9,356 87,535 0,199 8 32 20 0,050 1,600 0,003 33,600 -1,600 2,560 0,050 9 22 13 0,077 1,694 0,006 29,131 -7,131 50,851 0,324 10 24 12 0,083 1,992 0,007 28,067 -4,067 16,540 0,169 ∑ 336 235 0,495 15,138 0,029 297,985 1,445 Средн 33,6 23,5 0,050 1,514 0,003
Найдем индекс корреляциипо формуле
/>
/>,
значит, связь междуобъемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y можно считать тесной, т.к. />.
Индекс детерминациинайдем по формуле />. Значит, вариация объема выпускапродукции Y на 57,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.
Проверим значимостьуравнения на основе F-критерия Фишера.
/>
F>Fтабл(10,692>5,32),
значит, уравнениестатистически значимо.
Оценим точность модели наоснове средней относительной ошибки аппроксимации.
/>,
значит, расчетныезначения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значенийна 14,45%.
8. б) Построим степеннуюмодель, которая имеет вид
/>
Проведем линеаризациюпеременных путем логарифмирования обеих частей уравнения.
/>
Расчет неизвестныхпараметров произведем в табл. 5.
Табл. 1.5.t y x Y Х YХ
/>
/>
/>
/>
/> 1 43 33 1,633 1,519 2,481 2,307 42,166 0,834 0,696 0,019 2 27 17 1,431 1,23 1,760 1,513 27,930 -0,930 0,865 0,034 3 32 23 1,505 1,362 2,050 1,855 33,697 -1,697 2,880 0,053 4 29 17 1,462 1,23 1,798 1,513 27,930 1,070 1,145 0,037 5 45 36 1,653 1,556 2,572 2,421 44,507 0,493 0,243 0,011 6 35 25 1,544 1,398 2,159 1,954 35,488 -0,488 0,238 0,014 7 47 39 1,672 1,591 2,660 2,531 46,775 0,225 0,051 0,005 8 32 20 1,505 1,301 1,958 1,693 30,896 1,104 1,219 0,035 9 22 13 1,342 1,114 1,495 1,241 23,644 -1,644 2,703 0,075 10 24 12 1,380 1,079 1,489 1,164 22,498 1,502 2,256 0,063 ∑ 336 235 15,127 13,380 20,422 18,192 12,296 0,346 Cредн 33,6 23,5 1,513 1,338 2,042 1,819
/>
Получим />
Перейдем к исходнымпеременным путем потенцирования данного уравнения.
/>
Найдем индекс корреляции.
/>,
значит, связь междуобъемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y тесная, т.к. />.
Индекс детерминациинайдем по формуле />. Значит, вариация объема выпускапродукции Y на 98,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.
Проверим значимостьуравнения на основе F-критерия Фишера.
/>
F>Fтабл(436,448>5,32), значит, уравнение статистически значимо.
Оценим точность модели наоснове средней относительной ошибки аппроксимации.
/>,
значит, расчетныезначения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значенийна 3,46%. Модель точная.
8. в) Составимпоказательную модель, уравнение которой имеет вид:
/>
Проведем линеаризациюпеременных путем логарифмирования обеих частей уравнения.
/>
Табл. 1.6.t y x Y Yx
/>
/>
/>
/>
/> 1 43 33 1,633 53,889 1089 42,343 0,657 0,432 0,015 2 27 17 1,431 24,327 289 27,220 -0,220 0,048 0,008 3 32 23 1,505 34,615 529 32,126 -0,126 0,016 0,004 4 29 17 1,462 24,854 289 27,220 1,780 3,168 0,061 5 45 36 1,653 59,508 1296 46,001 -1,001 1,002 0,022 6 35 25 1,544 38,600 625 33,950 1,050 1,102 0,030 7 47 39 1,672 65,208 1521 49,974 -2,974 8,845 0,063 8 32 20 1,505 30,100 400 29,571 2,429 5,900 0,076 9 22 13 1,342 17,446 169 24,374 -2,374 5,636 0,108 10 24 12 1,380 16,560 144 23,710 0,290 0,084 0,012 ∑ 336 235 15,127 365,107 6351 26,233 0,399 Средн 33,6 23,5 1,513 36,511 635,1
/>
Перейдем к исходнымпеременным, выполнив потенцирование уравнения.
/>
Найдем индекс корреляции.
/>,
значит, связь междуобъемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y тесная, т.к. />.
Индекс детерминациинайдем по формуле />. Значит, вариация объема выпускапродукции Y на 96,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.
Проверим значимостьуравнения на основе F-критерия Фишера.
/>
F>Fтабл(202,528>5,32),
значит, уравнениестатистически значимо.
Оценим точность модели наоснове средней относительной ошибки аппроксимации.
/>,
значит, расчетныезначения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значенийна 3,99%. Модель точная.
9. Сравним полученныемодели.
Табл. 1.7.Модель регрессии
/>
/> F-критерий
/> Линейная 0,992 0,984 492 3,2 Гиперболическая 0,756 0,572 10,692 14,45 Степенная 0,991 0,982 436,448 3,46 Показательная 0,981 0,962 202,528 3,99
Наилучшей модельюявляется линейная модель /> (по максимуму критериякорреляции, детерминации, F-критерия и минимальной средней ошибкеаппроксимации).
/>
Рис. 3. Построенныеуравнения регрессии.
Задача 2 (а, б)
Для каждого варианта даныпо две СФМ, которые записаны в виде матриц коэффициентов модели. Необходимозаписать системы одновременных уравнений и проверить обе системы наидентифицируемость.
Табл. 2.1.Номер варианта Номер уравнения Задача 2а Задача 2б переменные переменные y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 6 1 -1 b12 b13 a11 a12 -1 b13 a11 a12 a14 2 b21 -1 b23 a21 a24 b21 -1 a21 a23 a24 3 b32 -1 a31 a32 a33 b31 -1 a31 a32 a34
Решение
a) CФМ имеет вид:
/>
Проверим систему наидентифицируемость. Для этого проверим каждое уравнение системы на выполнениенеобходимого и достаточного условия идентификации.
1) В 1-м уравнении 3эндогенные переменные y1, y2, y3 (Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменныех3, х4 (D=2). Необходимое условие идентификации
/>
Для проверки надостаточное условие идентификации составим матрицу из коэффициентов приотсутствующих переменных.уравнение Отсутствующие переменные х3 х4 2 а24 3 а33
Составим матрицу изкоэффициентов
/>
/>
Определитель матрицы неравен 0, ранг равен 2. достаточное условие идентификации выполняется и 1-еуравнение точно идентифицируемо.
2) Во 2-м уравнении 3эндогенные переменные y1, y2, y3 (Н=3); отсутствуют экзогенные х2, х3 (D=2).
2+1=3 — необходимоеусловие идентификации выполнено.
Для проверки надостаточное условие составим матрицу из коэффициентов при отсутствующихпеременных.уравнение Отсутствующие переменные х2 х3 1 а12 3 а32 а33
/>
/>
Определитель не равен 0,ранг матрицы равен 2, достаточное условие идентификации выполняется. 2-еуравнение точно идентифицируемо.
3) В 3-м уравнении 2эндогенные переменные y2, y3 (Н=2); отсутствует 1 экзогенная х4 (D=1).
1+1=2 — необходимоеусловие идентификации выполняется.
Составим матрицу изкоэффициентов при отсутствующих переменных.уравнение Отсутствующие переменные у1 х4 1 -1 3 b21 а24
/>
/>
Определитель не равен 0,ранг матрицы равен 2-м, достаточное условие идентификации выполняется. 3-еуравнение точно идентифицируемо.
Т.о, если все 3 уравненияидентифицируемы, то и СФМ идентифицируема.
б) СФМ имеет вид:
/>
Проверим систему наидентифицируемость, для этого проверим каждое уравнение на выполнениенеобходимого и достаточного условия идентификации.
1) В 1-м уравнении 2эндогенных переменных y1, y3 (Н=2); отсутствующая экзогенная переменная х3(D=1).
/>
Составим матрицу изкоэффициентов при отсутствующих переменных.уравнение Отсутствующие переменные у2 х3 2 -1 а23 3
/>
/>
Достаточное условие невыполнено, уравнение не идентифицируемо.
2) Во 2-м уравнении 2эндогенных переменных y1, y2 (Н=2). Отсутствующая экзогенная переменная х2(D=1). Необходимое условие D+1=H выполняется.
Составим матрицу изкоэффициентов при отсутствующих переменных.уравнение Отсутствующие переменные у3 х2 1 b13 а12 3 -1 a32
/>
/>
Необходимое условиеидентификации выполняется. 2-е уравнение точно идентифицируемо.
3) В 3-м уравнении 2эндогенных переменных y1, y3 (Н=2); отсутствующая экзогенная переменная х3(D=1). Необходимое условие D+1=H выполняется. Составим матрицу из коэффициентовпри отсутствующих переменных.уравнение Отсутствующие переменные у2 х3 1 2 -1 a23
/>
/>
Достаточное условие невыполняется. 3-е уравнение не идентифицируемо.
Т.к. 1-е и 3-е уравненияне идентифицируемы, то и вся СФМ не является идентифицируемой.
Ответ: а) СФМидентифицируема; б) СФМ не является идентифицируемой.
Задача 2 в
По данным таблицы длясвоего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построитьструктурную форму модели вида:
/>
Табл. 2.2.Вариант n y1 y2 x1 x2 6 1 77,5 70,7 1 12 2 100,6 94,9 2 16 3 143,5 151,8 7 20 4 97,1 120,9 8 10 5 63,6 83,4 6 5 6 75,3 84,5 4 9
Решение
Структурную модельпреобразуем в приведенную форму модели.
/>
Для нахождениякоэффициентов первого приведенного уравнения используем систему нормальныхуравнений.
/>
Расчеты произведем втабл. 2.3.
Табл. 2.3.n y1 y2 x1 x2
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1 77,5 70,7 1 12 77,5 1 12 930 144 70,7 848,4 2 100,6 94,9 2 16 201,2 4 32 1609,6 256 189,8 1518,4 3 143,5 151,8 7 20 1004,5 49 140 2870 400 1062,6 3036 4 97,1 120,9 8 10 776,8 64 80 971 100 967,2 1209 5 63,6 83,4 6 5 381,6 36 30 318 25 500,4 417 6 75,3 84,5 4 9 301,2 16 36 677,7 81 338 760,5 ∑ 557,6 606,2 28 72 2742,8 170 330 7376,3 1006 3128,7 7789,3 средн. 92,933 101,033 4,667 12
Подставив полученныезначения в систему нормальных уравнений.
/>
Решение этих уравненийдает значения d11=5,233; d12=5,616.
1-e уравнение ПФМ имеетвид:
/>
Для нахождениякоэффициентов d2k второго приведенного уравнения используем следующую системунормальных уравнений
/>
Расчеты произведем втабл. 2.3.
Подставив полученныезначения в систему нормальных уравнений, получим
/>
Решение этой системы даетзначения d21=9,288; d22=4,696.
2-е уравнение ПФМ имеетвид
/>
Для перехода от ПФМ к СФМнайдем х2 из второго уравнения.
/>
Подставив это выражение в1-е уравнение, найдем структурное уравнение.
/>
т.о. b12=1,196;a11=-5,875.
Найдем х1 из 1-гоуравнения ПФМ
/>
Подставив это выражениево 2-е уравнение ПФМ, найдем структурное уравнение.
/>
т.о. b21=1,775;a22=-5,272
Свободные члены СФМнаходим из уравнений
линейный регрессия детерминацияаппроксимация квадрат
/>
/>
Ответ: окончательный видСФМ таков
/>