Содержание
Задача 1
Решение
Задача 2
Решение
Задача 3
Решение
Задача 4
Решение
Задача 5
Решение
Список используемой литературы
Приложение
Задача 1
По регионам страныизучается зависимость ВРП на душу населения (y тыс. руб.) от инвестиций восновной капитал (x — тыс. руб.):№ региона 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x, тыс. руб. 9,4 2,5 3,9 4,3 2,1 6,0 6,3 5,2 6,8 8,2 y, тыс. руб. 35,8 22,5 28,3 26,0 18,4 31,8 30,5 29,5 41,5 41,3
Задание
1. Постройте поле корреляции,характеризующее зависимость ВРП на душу населения от размера инвестиций восновной капитал.
2. Определите параметры уравнения парнойлинейной регрессии. Дайте интерпретацию коэффициента регрессии и знака присвободном члене уравнения.
3. Рассчитайте линейный коэффициенткорреляции и поясните его смысл. Определите коэффициент детерминации и дайтеего интерпретацию.
4. Найдите среднюю ошибку аппроксимации.
5. Рассчитайте стандартную ошибкурегрессии.
6. С вероятностью 0,95 оценитестатистическую значимость уравнения регрессии в целом, а также его параметров.Сделайте вывод.
7. С вероятностью 0,95 постройтедоверительный интервал ожидаемого значения ВРП на душу населения в предложении,что инвестиции в основной капитал составят 80% от максимального значения.Сделайте вывод.
Решение
1. Построение полякорреляции производится по исходным данным о парах значений ВРП на душунаселения и инвестиций в основной капитал.
/>
2. Оценка параметровуравнения парной линейной регрессии производится обычным методом наименьшихквадратов (МНК).
Для расчета параметров a иb линейной регрессии y = a + b*x решаем систему нормальных уравненийотносительно a и b:
/>
По исходным данным (табл.1.1) рассчитываем Σy, Σx, Σyx, Σx2, Σy2.
Таблица 1.1 Расчетнаятаблица y x yx
x2
y2
/>
/>/>
Аi 1 35,8 9,4 336,520 88,360 1281,640 41,559 -5,759 16,087 2 22,5 2,5 56,250 6,250 506,250 22,248 0,252 1,122 3 28,3 3,9 110,370 15,210 800,890 26,166 2,134 7,541 4 26,0 4,3 111,800 18,490 676,000 27,285 -1,285 4,944 5 18,4 2,1 38,640 4,410 338,560 21,128 -2,728 14,827 6 31,8 6,0 190,800 36,000 1011,240 32,043 -0,243 0,765 7 30,5 6,3 192,150 39,690 930,250 32,883 -2,383 7,813 8 29,5 5,2 153,400 27,040 870,250 29,804 -0,304 1,032 9 41,5 6,8 282,200 46,240 1722,250 34,282 7,218 17,392 10 41,3 8,2 338,660 67,240 1705,690 38,201 3,099 7,504 Итого 305,6 54,7 1810,790 348,930 9843,020 305,600 79,027 Среднее значение 30,56 5,47 181,079 34,893 984,302 - - -
/> 7,098 2,23 - - - - - -
/> 50,381 4,973 - - - - - -
Система нормальныхуравнений составит
/>
Используем следующиеформулы для нахождения параметров:
/>= 2,799
/>305,6 — 2,799*5,47 = 15,251
Уравнение парной линейнойрегрессии:
/> = 15,251 + 2,799* x
Величина коэффициентарегрессии b = 2,799 означает, что с ростоминвестиций в основной капитал на 1 тыс. руб. доля ВРП на душу населения растетв среднем на 2,80 %-ных пункта.
Знак при свободном членеуравнения положительный, следовательно связь прямая.
3. Рассчитаем линейный коэффициент корреляции:
/> или />
где />, /> — средние квадратическиеотклонения признаков x и y, соответственно
Так как />= 2,23, />= 7,098, то
/>= 0,879, что означает теснуюпрямую связь рассматриваемых признаков
Коэффициент детерминациисоставит
/>= 0,773
Вариация результата (y) на 77,3% объясняется вариациейфактора (x). На долю прочих факторов, неучитываемых в регрессии, приходится 22,7%.
4. Средняя ошибка аппроксимации(/>)находится как средняя арифметическая простая из индивидуальных ошибок
/>= />=7,9%,
(см. последнюю графурасчетной табл. 1.1.).
Ошибка аппроксимациипоказывает хорошее соответствие расчетных (/>) и фактических (y) данных: среднее отклонениесоставляет 7,9%.
5. Стандартнаяошибка регрессии рассчитывается по следующей формуле:
/>,
где m – число параметров при переменных x.
В нашем примерестандартная ошибка регрессии
/>= 3,782
6. Оценку статистическойзначимости построенное модели регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера. Фактическоезначение F-критерия для парного линейногоуравнения регрессии определяется как
F = />
где Сфакт = /> - факторная,или объясненная регрессия, сумма квадратов; Сост = /> — остаточная суммаквадратов;
/> — коэффициент детерминации.
В нашем примере F-критерий Фишера будет равен (см.приложение №1):
F = />= 27,233
Табличное значение F-критерия при числе степеней свободы1 и 8 и уровне значимости 0,05 составит: 0,05 F1,8 = 5,32, т. е. фактическое значение F (Fфакт = 27,233) превышает табличное (Fтабл = 5,32), и можно сделать вывод, чтоуравнение регрессии статистически значимо. Следовательно гипотеза Н0отклоняется.
Чтобы оценить значимостьотдельных параметров уравнения, надо по каждому из параметров определить егостандартные ошибки: mb и ma.
Стандартная ошибкакоэффициента регрессии определяется по формуле:
mb = />=/>
где S2 – остаточная дисперсия на одну степень свободы.
Стандартная ошибкапараметра a определяется по формуле:
ma = />.
Для нахождениястандартных ошибок строим расчетную таблицу (см. приложение №1).
Для нашего примеравеличина стандартной ошибки коэффициента регрессии составила:
mb =/>= 0,536.
Величина стандартнойошибки параметра a составила:
ma = /> = 3,168
Для оценки существенностикоэффициента регрессии и параметра a их величины сравниваются с их стандартными ошибками, т. е. определяютсяфактические значения t-критерияСтьюдента:
tb=/>, ta = />.
Для нашего примера
tb=/>= 5,222, ta = /> = 4,814
Фактические значения t-критерии превосходят табличныезначения:
tb=5,222 > tтабл = 2,306; ta = 4,814 > tтабл = 2,306
Поэтому гипотеза Н0отклоняется, т. е. a и b не случайно отличаются от нуля, астатистически значимы.
7. Полученные оценкиуравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Для расчетаточечного прогноза /> подставим в уравнение регрессиизаданное значение факторного признака />. Если прогнозное значениеинвестиций в основной капитал составит:
/> = 9,4*0,8 = 7,52 тыс. руб
Тогда прогнозное значениеВРП на душу населения составит:
/>= 15,251 + 2,799* 7,52 = 36,299тыс. руб.
Доверительный интервалпрогноза определяется с вероятностью (0,95) как
/>/>,
где tтабл – табличное значение t-критерия Стьюдента для уровнязначимости />(1-0,95)и числа степеней свободы (n-2)для парной линейной регрессии; /> - стандартная ошибка точечногопрогноза, которая рассчитывается по формуле:
/>
В нашем примерестандартная ошибка прогноза составила
/>= 4,116
Предельная ошибкапрогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:
/>=/>= 2,306 * 4,116 = 9,491.
Доверительный интервалпрогноза
γ/>= 36,299 />9,491;
γ/>min = 36,299 – 9,491 = 26,808 тыс. руб.
γ/>mаx = 36,299 + 9,491 = 45,79 тыс. руб.
Выполненный прогноз ВРПна душу населения оказался надежным (р = 1 — />= 0,95), но не точным, так какдиапазон верхней и нижней границ доверительного интервала Dγ составляет 1,708 раза:
Dγ = γ/>mаx / γ/>min = 45,79 / 26,808 = 1,708.
Задача 2
Зависимость валовойпродукции сельского хозяйства (y –млн. руб.) от валового производства молока (x1 – тыс. руб.) и мяса (x2 – тыс. руб.) на 100 га сельскохозяйственных угодий по 26 районам области характеризуется следующим образом:
/>= — 2,229 + 0,039* x1 + 0,303* x2 R2 = 0,956.
Матрица парныхкоэффициентов корреляции и средние значения: y
x1
x2 Среднее y 1 25,8
x1 0,717 1 364,9
x2 0,930 0,489 1 45,3
Задание
1. Оцените значимость уравнениярегрессии с помощью F-критерия Фишерас вероятностью 0,95. Сделайте выводы.
2. Найдите скорректированный коэффициентмножественной корреляции.
3. Постройте уравнение множественнойрегрессии в стандартизованном масштабе и сделайте вывод.
4. Найдите частные средние коэффициентыэластичности и корреляции; сделайте выводы.
5. Постройте таблицу дисперсионногоанализа для оценки целесообразности включения в модель фактора x2 после фактора x1, если известно, что />= 1350,5.
6. Оцените значимость интервала прифакторе x2 через t-критерийСтьюдента и дайте интервальную оценку коэффициента регрессии с вероятностью0,95.
7. Найдите стандартную ошибку регрессии.
Решение
1. Оценку значимостиуравнения регрессии в целом дает F-критерияФишера:
Fфакт = />
где m- число факторных признаков вуравнении регрессии; R –линейный коэффициент множественной корреляции.
В нашем примере F-критерий Фишера составляет
Fфакт = />= 249,864
Fтабл = 3,42; α = 0,05.
Сравнивая Fтабл и Fфакт, приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу Н0,так как Fтабл = 3,42
2. Скорректированныйкоэффициент множественной корреляции находится как корень из скорректированногокоэффициента множественной детерминации (R2скорр):
R скор = />=/>= />= 0,976
3. Линейноеуравнение множественной регрессии y от x1 и x2 имеет вид:
4. y = a + b1*x1 + b2*x2.
5. По условию ононам дано:
/>= — 2,229 + 0,039* x1 + 0,303* x2
Построим искомоеуравнение в стандартизованном масштабе:
ty = β1*tx1+ β2*tx2.
Расчет β-коэффициентов выполним по формулам:
β1 = />= />= 0,345;
β2 = />= />= 0,761.
Получим уравнение
ty = 0,345*tx1 + 0,761*tx2.
6. Дляхарактеристики относительной силы влияния x1 и x2 на y рассчитаем средние коэффициенты эластичности:
/>;
/>= 0,552%; />= 0,532%.
С увеличением валовогопроизводства молока x1 на 1% от его среднего уровня валоваяпродукция сельского хозяйства yвозрастает на 0,55% от своего среднего уровня; при повышении валовогопроизводства мяса x2 на 1% валовая продукция сельскогохозяйства y возрастает на 0,53% от своегосреднего уровня. Очевидно, что сила влияния валового производства молока x1 на валовую продукцию сельского хозяйства y оказалась большей, чем сила влияниявалового производства мяса x2, но правда не намного.
Частные коэффициентыкорреляции рассчитываются по формуле:
/> = />= 0,817,
т.е. при закреплениифактора x2 на постоянном уровне корреляция y и x1 оказывается более высокой (0,817 против 0,717);
/> = />= 0,953,
т. е. при закреплениифактора x1 на постоянном уровне влияние фактора x2 на y оказывается болеевысокой (0,953 против 0,930);
/> = /> = — 0,692
7. Результатыдисперсионного анализа представлены в табл. 2.1.
Таблица 2.1Вариация результата, y Число степеней свободы Сумма квадратов отклонений, S
Дисперсия на одну степень свободы, s2
Fфакт
Fтабл
α =0,05,
k1 = 2,
k2 = 23 Общая Df = n-1 = 25 35113 - - -
Факторная
— за счет x1
— за счет дополнительногоx2
k1 = m = 2
1
1
33568,028
18051,207
15516,821
16784,014
18051,207
15516,821
249,864
268,728
230,999
3,42
4,28
4,28 Остаточная
k2 = n-m-1 = 23 1544,972 67,173 - -
Sобщ = />= 1350,5 * 26 = 35113;
Sфакт = />= 1350,5 * 26 * 0,956 = 33568,028;
Sфакт x1 =/>= 1350,5 * 26 * 0,7172= 18051,207;
Sфакт x2 = Sфакт — Sфакт x1 = 33568,028 – 18051,207 = 15516,821;
Sост = />= Sобщ — Sфакт = 35113 – 33568,028 = 1544,972;
Fфакт = /> = />= 249,864;
Fфактx1 = />= /> = 268,728;
Fчастнx2 = />= /> = 230,999.
/>= 16784,014;
/>= 15516,821;
/>= 18051,207
Включение в модельфактора x2 после фактора x1 оказалось статистически значимым и оправданным: приростфакторной дисперсии (в расчете на одну степень свободы) оказался существенным,т. е. следствием дополнительного включения в модель систематически действующегофактора x2, так как Fчастнx2 = 230,999> Fтабл = 4,28.
8. Оценка с помощью t-критерия Стьюдента значимостикоэффициента b2 связана с сопоставлением его значения с величиной егослучайной ошибки: mb2.
Расчет значения t-критерия Стьюдента для коэффициентарегрессии линейного уравнения находится по следующей формуле:
/>= 15,199.
При α = 0,05; df = n-m-1 = 26-2-1 = 23;tтабл = 2,07. Сравнивая tтабл и tфакт, приходим к выводу, что так как />= 15,199 > 2,07 = tтабл, коэффициент регрессии b2 является статистически значимым, надежным, на негоможно опираться в анализе и в прогнозе.
9. Стандартнаяошибка регрессии рассчитывается по следующей формуле:
/> = /> = 8,196.
Задача 3
Рассматривается модельвида
/>
где
Сt – расходы на потребление в текущийпериод,
Сt-1 – расходы на потребление впредыдущий период,
Rt – доход текущего периода,
Rt-1 – доход предыдущего периода,
Yt – инвестиции текущего периода.
Ей соответствуетследующая приведенная форма (построена по районам области)
/>
Задание
1. Проведите идентификацию модели.
2. Укажите способы оценки параметровкаждого уравнения структурной модели.
3. Найдите структурные коэффициенты каждогоуравнения, если известны следующие данные:№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Yt 4 4 6 10 9 8 7 6 8 12 8 16
Сt 14 13 15 20 20 14 16 12 12 21 12 17
Rt-1 15 14 16 22 26 18 18 15 19 28 18 26
Сt-1 12 11 12 15 17 12 14 10 11 20 12 16
Решение
1. Модель имеет триэндогенные Н (Сt, Yt, Rt). Причем переменная Rt задана тождеством. Поэтомупрактически статистическое решение необходимо только для первых двух уравненийсистемы, которые необходимо проверить на идентификацию. Модель содержит двепредопределенные D (Сt-1, Rt-1) переменные.
Проверим каждое уравнениесистемы на необходимое и достаточное условия идентификации.
Проверим необходимоеусловие идентификации для уравнений модели.
I уравнение.
Н: эндогенных переменных– 2 (Сt, Rt), отсутствующих предопределенныхпеременных – 1 (Rt-1).
Следовательно, посчетному правилу D + 1 = H (1 + 1 = 2) уравнение идентифицируемо.
II уравнение.
Н: эндогенных переменных– 1 (Yt); переменная Rt в данном уравнении нерассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении несамостоятельно, а вместе с переменной Rt-1.
отсутствующихпредопределенных переменных – 1 (Сt-1).
Следовательно, посчетному правилу D + 1 > H (1 + 1 > 1) уравнение сверхидентифицировано.
III уравнение.
Третье уравнениепредставляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в егоидентификации нет.
Следовательно,рассматриваемая в целом структурная модель сверхидентифицируема по счетномуправилу.
Проверим для каждого изуравнений достаточное условие идентификации.
Для этого составимматрицу коэффициентов при переменных модели:
Сt
Yt
Rt
Rt-1
Сt-1 I уравнение -1
b11
b12 II уравнение -1
b21
-b21 III уравнение 1 1 -1
В соответствии сдостаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов припеременных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, аранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных модели минус 1, т.е. 3-1=2.
I уравнение.
Матрица коэффициентов припеременных, не входящих в уравнение, имеет вид:Уравнение Отсутствующие переменные
Yt
Rt-1 Второе -1
-b21 Третье 1
Определитель матрицы неравен 0 (Det A = -1*0 – (1*-b21) />0), ранг матрицы равен 2;следовательно, выполняется достаточное условие идентификации.
II уравнение.
Матрица коэффициентов припеременных, не входящих в уравнение, имеет вид:Уравнение Отсутствующие переменные
Сt
Сt-1 Первое -1
b12 Третье 1
Определитель матрицы неравен 0 (Det A = -1*0 – (1*b12) />0.), ранг матрицы равен 2;следовательно, выполняется достаточное условие идентификации.
2. Первое уравнениеидентифицируемое, следовательно, для его решения применяется косвенный методнаименьших квадратов.
Косвенныйметод наименьших квадратов (МНК):
- Составить приведеннуюформу модели и определить численные значения параметров каждого уравнениясистемы обычным МНК.
- Путемалгебраических преобразований переходим от приведенной формы к уравнениям структурнойформы модели и получаем численные оценки структурных параметров.
Для решения второгоуравнения, а оно у нас сверхидентифицируемое, применяется – двухшаговый методнаименьших квадратов.
Двушшаговый метод:
— Составить приведенную форму модели и определитьчисленные значения параметров каждого уравнения системы обычным МНК.
— Выявляем эндогенныепеременные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметрыкоторого определяют двухшаговым МНК, и находим расчетные значения посоответствующим уравнениям приведенной формы модели.
— Обычным МНК определяемпараметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данныхфактические значения предопределенных переменных и расчетные значенияэндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.
3. Найдем структурныекоэффициенты первого и второго уравнений на основании исходных данных.
Составим расчетнуютаблицу (Rt = Ct + Yt; обозначим d Rt = Rt — Rt-1).
Таблица 3.1 Расчетнаятаблица№
Yt
Ct
Rt-1
Ct-1
Rt
dRt
Yt*dRt
(dRt)2
(Rt)2
(Ct-1*Rt
Ct*Rt
(Ct-1)2
Ct*Ct-1 1 4 14 15 12 18 3 12 9 324 216 252 144 168 2 4 13 14 11 17 3 12 9 289 187 221 121 143 3 6 15 16 12 21 5 30 25 441 252 315 144 180 4 10 20 22 15 30 8 80 64 900 450 600 225 300 5 9 20 26 17 29 3 27 9 841 493 580 289 340 6 8 14 18 12 22 4 32 16 484 264 308 144 168 7 7 16 18 14 23 5 35 25 529 322 368 196 224 8 6 12 15 10 18 3 18 9 324 180 216 100 120 9 8 12 19 11 20 1 8 1 400 220 240 121 132 10 12 21 28 20 33 5 60 25 1089 660 693 400 420 11 8 12 18 12 20 2 16 4 400 240 240 144 144 12 16 17 26 16 33 7 112 49 1089 528 561 256 272 ∑ 98 186 235 162 284 49 442 245 7110 4012 4594 2284 2611
Коэффициенты уравненийнайдем методом наименьший квадратов:
/>
/>
/>(решение системы найдено впрограмме MATLAB)
/>
/>
/>
Таким образом, полученасистема структурных уравнений
/>
Задача 4
Динамика номинальнойсреднемесячной заработной платы одного работника области характеризуетсяследующими данными:Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Тыс. руб. 3,2 3,1 3,5 3,5 3,7 4,0 4,1 4,0 4,1 4,2 4,3 5,4
Задание
1. Определите коэффициент автокорреляциипервого порядка и дайте его интерпретацию.
2. Постройте линейное уравнение тренда.Дайте интерпретацию параметрам.
3. С помощью критерия Дарбина – Уотсонасделайте выводы относительно автокорреляции в остатках в рассматриваемомуравнении.
4. Дайте интервальный прогноз ожидаемогоуровня номинальной заработной платы на январь следующего года.
Решение
1. Коэффициентавтокорреляции первого порядка рассчитывается по следующей формуле:
/>
где />; />
Для расчета коэффициентаавтокорреляции первого порядка составим расчетную таблицу:
Таблица 4.1 Расчетнаятаблицаt
yt
yt-1
/>
/>
/>
/>
/> 1 3,2 - - - - - - 2 3,1 3,2 -0,9 2,8 -2,5 7,9 0,8 3 3,5 3,1 -0,5 2,7 -1,3 7,3 0,2 4 3,5 3,5 -0,5 3,1 -1,5 9,7 0,2 5 3,7 3,5 -0,3 3,1 -0,9 9,7 0,1 6 4,0 3,7 0,0 3,3 0,0 11,0 0,0 7 4,1 4,0 0,1 3,6 0,4 13,0 0,0 8 4,0 4,1 0,0 3,7 0,0 13,8 0,0 9 4,1 4,0 0,1 3,6 0,4 13,0 0,0 10 4,2 4,1 0,2 3,7 0,8 13,8 0,0 11 4,3 4,2 0,3 3,8 1,2 14,5 0,1 12 5,4 4,3 1,4 3,9 5,5 15,3 2,0 Итого 47,1 41,7 0,0 37,3 2,1 129 3,4
/>= 3,991;
/>= 0,391.
Коэффициентавтокорреляции первого порядка равен:
/>= />= 0,1.
Это значение (0,1)свидетельствует о слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно импредшествующих уровней, т. е. слабой зависимости между номинальнойсреднемесячной заработной платы текущего и непосредственно предшествующегомесяца.
2. Линейноеуравнение трендов имеет вид:
/>
Параметры a и b этой модели определяются обычным МНК. Система нормальныхуравнений следующая:
/>
По исходным даннымсоставит расчетную таблицу:
Таблица 4.2 Расчетнаятаблица t y yt
t2 1 3,2 3,2 1 2 3,1 6,2 4 3 3,5 10,5 9 4 3,5 14 16 5 3,7 18,5 25 6 4 24 36 7 4,1 28,7 49 8 4 32 64 9 4,1 36,9 81 10 4,2 42 100 11 4,3 47,3 121 12 5,4 64,8 144 Итого 78 47,1 328,1 650 Средние 6,5 3,925 27,342 54,167
Система нормальныхуравнений составит:
/>
Используем следующиеформулы для нахождения параметров:
/>= 0,153;
/> = 2,927.
Линейное уравнениетрендов
/>/> = 2,927 + 0,153* t
Параметр b = 0,153 означает, что с увеличениемесяца на 1 месяц номинальная среднемесячная заработная плата увеличивается всреднем на 0,153 тыс. руб.
3. Для оценкисущественности автокорреляции остатков используют критерий Дарбина – Уотсона:
/>
Коэффициентавтокорреляции остатков первого порядка может определятся как:
/>
Для каждого момента(периода) времени t = 1: n значение компонента /> определяется как
/>
Составим расчетнуютаблицу
Таблица 4.3 Расчетнаятаблица t y
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1 3,2 3,080 0,120 - - - 0,014 - - 2 3,1 3,233 -0,133 0,120 -0,253 0,064 0,018 0,018 -0,016 3 3,5 3,386 0,114 -0,133 0,247 0,061 0,013 0,013 -0,015 4 3,5 3,539 -0,039 0,114 -0,153 0,023 0,002 0,002 -0,004 5 3,7 3,692 0,008 -0,039 0,047 0,002 0,000 0,000 0,000 6 4 3,845 0,155 0,008 0,147 0,022 0,024 0,024 0,001 7 4,1 3,998 0,102 0,155 -0,053 0,003 0,010 0,010 0,016 8 4 4,151 -0,151 0,102 -0,253 0,064 0,023 0,023 -0,015 9 4,1 4,304 -0,204 -0,151 -0,053 0,003 0,042 0,042 0,031 10 4,2 4,457 -0,257 -0,204 -0,053 0,003 0,066 0,066 0,052 11 4,3 4,610 -0,310 -0,257 -0,053 0,003 0,096 0,096 0,080 12 5,4 4,763 0,637 -0,310 0,947 0,897 0,406 0,406 -0,197 Σ 1,145 0,714 0,7 -0,067
Критерий Дарбина –Уотсона равен /> /> = 1,604.
Коэффициентавтокорреляции равен />= — 0,096.
Фактическое значение d сравниваем с табличными значениямипри 5%-ном уровне значимости. При n = 12 месяцев и m = 1(число факторов) нижнее значение d’ равно 0,97, а верхнее – 1,33. Фактическоезначение d=1,604 > d’=1,33, следовательно, автокорреляция остатков отсутствует.
Чтобы проверитьзначимость отрицательного коэффициента автокорреляции, сравним фактическоезначение d с (4-dL) и (4-dU):
4-dL
4-dU 1,604 3,03 2,67
Из таблицы видно, что вобоих случаях фактическое значение меньше сравниваемых. Это означает отсутствиев остатках автокорреляции.
Так же принято считать,что если фактическое значение dблизко к 2, то автокорреляции остатков нет. В нашем примере это совпадает.
4. В соответствии с интерпретациейпараметров линейного тренда, каждый последующий уровень ряда есть суммапредыдущего уровня и среднего цепного абсолютного прироста. Тогда:
а) Точечный прогнозсоставит:
Точечный прогноз поуравнению тренда – это расчетное значение переменной />, полученное путем подстановки в уравнение трендазначений
/>
(n – длина динамического ряда, l – период упреждения).
/> = 2,927 + 0,153* (12 + 1) = 4,916(тыс. руб.)
ожидаемый уровень номинальнойзаработной платы на январь следующего года.
б) Интервальный прогнозсоставит:
Доверительный интервалпрогноза определяется с вероятностью 0,95, как:
/> />;
где, tтабл=2,2281 — табличное значение t-критерияСтьюдента для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы (n – 2 = 12 – 2 = 10); /> — стандартная ошибкаточечного прогноза, которая рассчитывается по формуле:
/>
Данные необходимые для расчетапредставим в таблице.
Таблица 4.4 Расчетнаятаблица/>/> t y
/>
/>
/>
/>2
/>
/>2
/>
/>2 1 1 3,2 3,080 2 -4,5 20,25 0,120 0,014 -5,5 30,25 2 2 3,1 3,233 3 -3,5 12,25 -0,133 0,018 -4,5 20,25 3 3 3,5 3,386 4 -2,5 6,25 0,114 0,013 -3,5 12,25 4 4 3,5 3,539 5 -1,5 2,25 -0,039 0,002 -2,5 6,25 5 5 3,7 3,692 6 -0,5 0,25 0,008 0,000 -1,5 2,25 6 6 4 3,845 7 0,5 0,25 0,155 0,024 -0,5 0,25 7 7 4,1 3,998 8 1,5 2,25 0,102 0,010 0,5 0,25 8 8 4 4,151 9 2,5 6,25 -0,151 0,023 1,5 2,25 9 9 4,1 4,304 10 3,5 12,25 -0,204 0,042 2,5 6,25 10 10 4,2 4,457 11 4,5 20,25 -0,257 0,066 3,5 12,25 11 11 4,3 4,610 12 5,5 30,25 -0,310 0,096 4,5 20,25 12 12 5,4 4,763 13 6,5 42,25 0,637 0,406 5,5 30,25 Σ 78 47,1 47,058 0,042 0,714 143 Сред 6,5
/> = 0,714 — остаточная суммаквадратов.
/> = 0,267 – среднее квадратическоеотклонение остаточной суммы квадратов
/> />= 0,313
Таким образом, прогнозируемыйуровень номинальной заработной платы на январь следующего года составит
/> /> = 4,916 ± 2,2281*0,313 = 4,916 ± 0,697 тыс. руб.
Выполненный прогноз уровняноминальной заработной платы на январь следующего года оказался надежным (р = 1- />= 0,95),и не точным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала Dγ составляет 1,33 раза
Dγ = γ/>mаx / γ/>min = 5,613 / 4,219 = 1,33.
Задача5
Динамика численностинезанятых граждан и объема платных услуг населению в регионе характеризуетсяследующими даннымиМесяц
Число незанятых граждан тыс.чел .,x1
Объем платных услуг населению млрд.руб., y1 Январь 44,0 6,5 Февраль 45,5 7,0 Март 47,9 7,0 Апрель 48,3 7,4 Май 49,1 7,5 Июнь 49,9 7,2 Июль 50,5 7,5 Август 51,9 7,9 Сентябрь 52,3 8,2 Октябрь 52,3 8,5 Ноябрь 53,5 8,9 Декабрь 54,7 9,2
В результатеаналитического выравнивания получены следующие уравнения трендов и коэффициентдетерминации(t=1÷12):
А) для объема платныхуслуг населению
Ŷ1=6,3061+0,2196t ,R2=0,9259
Б) для численностинезанятых граждан
̂х1=43,724+0,8937t, R2=0,989
Задание
1. Дайте интерпретациюпараметров уровней трендов.
2. Определите коэффициенткорреляции между временными рядами, используя:
А) непосредственноисходные уровни
Б)о тклонения от основнойтенденции
3). Сделайте вывод отесноте связи между временными рядами.
4). Постройте вывод отесноте связи между временными рядами. Дайте интерпретацию параметровуравнения.
Решение
Наиболее простуюэкономическую интерпретацию имеют параметры линейного тренда. Параметрылинейного тренда можно интерпретировать так:
а – начальный уровеньвременного ряда в момент времени t = 0;
b – средний за период абсолютныйприрост уровней ряда.
Для исходной задачиначальный уровень ряда для выпуска товаров соответствует значению 6,3061 млрд.руб., средний за период абсолютный прирост уровней ряда составляет 0,2196 млрд.руб. Параметр b > 0, значит уровни ряда равномерновозрастают на 0,2196 млрд. руб. каждый год.
Для числа незанятыхграждан тыс, чел коэффициент а — начальный уровень ряда соответствует значению43,724 тыс. чел.; абсолютное ускорение увеличения среднесписочной численностиработников соответствует 0,8937.
Рассчитаем коэффициенткорреляции между временными рядами, используя непосредственно исходные уровни.Коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между изучаемымипризнаками. Определяем его по формуле
rxy=/>
Расчет параметровкоэффициента корреляции№ X /> Y /> X² /> x·y y² ŷ
/> /> /> /> /> /> /> /> /> 1. 1 /> 2 /> 3 /> 4 5 6 7 1. 44 /> 6,5 /> 1936 /> 286 42,25 15,96 78,9 2. 45,5 /> 7 /> 2070,25 /> 318,5 49 16,2979 80,1 3. 46,8 /> 7 /> 2190,24 /> 327,6 49 16,82494 82,08 4. 47,9 /> 7,4 /> 2294,41 /> 354,46 54,76 17,08846 82,34 5. 48,8 /> 7,5 /> 2381,44 /> 48,8 56,25 17,2644 82,98 6. 49,1 /> 7,2 /> 2410,81 /> 353,52 51,84 17,25 83,62 7. 49,9 /> 7,5 /> 2490,01 /> 374,25 56,25 17,3959 84,1 8. 50,5 /> 7,9 /> 2550,25 /> 50,5 62,41 17,70334 85,22 9. 51,9 /> 8,2 /> 2693,61 /> 425,58 67,24 17,79118 85,54 10 52,3 /> 8,5 /> 2735,29 /> 444,55 72,25 17,79118 85,85 11 53,5 /> 8,9 /> 2862,25 /> 476,15 79,21 18,0547 86,3 12 54,7 /> 9,2 /> 2992,09 /> 503,24 84,64 18,31822 87,46 ∑ 594,9 /> 92,8 /> 29606,65 /> 3963,15 725,1 207,7402 1011,49 ср.знач 49,575 /> 7,733333 /> 2467,221 /> 330,2625 60,425 17,31169 83,7075
sх = /> = /> = 3,08;
sу = /> = /> =0,821.
rxy = /> = -20,7110 — связь слабая,прямая.
При измерении корреляциимежду двумя временными рядами следует учитывать возможное существование ложнойкорреляции, что связано с наличием во временных рядах тенденции, т.е.зависимости обоих рядов от общего фактора времени. Для того чтобы устранитьложную корреляцию, следует коррелировать не сами уровни временных рядов, а ихпоследовательные (первые или вторые) разности или отклонения от трендов (еслипоследние не содержат тенденции).
Таким образом междувременными рядами существует прямая слабая взаимосвязь.
Линейная регрессия сводитсяк нахождению уравнения вида
/> = a + b*x
Классический подход коцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьшихквадратов.
Для линейных и нелинейныхуравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно a иb.
/>,
Можно воспользоватьсяготовыми формулами, которые вытекают из этой системы
а = />;
b = /> =/>= 0,008;
а = 0,00286 – 0,701*0 = 7,334
Уравнение регрессии поотклонениям от трендов:
/>= 7,334+ 0,008*х
Список используемойлитературы
1. Практикум по эконометрике: Учеб.пособие / И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Н. М. Гордеенко и др.; Под ред. И. И.Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 192 с.
2. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 344 с.
3. Мхитарян В.С., Архипова М.Ю.Эконометрика Московский международный институт эконометрики, информатики,финансов и права. — М., 2004. — 69 с.
4. Эконометрия — УП – Суслов – Ибрагимов– Талышева — Цыплаков — 2005 – 744 с.