Содержание
1. Исходныеданные. 2
2. Решениезадачи 1. 3
3. Решениезадачи 2. 7
Вывод: 11
Списокиспользованных источников. 12/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
1. Исходныеданные
Задание 1
1. Построить линейное уравнение парнойрегрессии;
2. Рассчитать линейныйкоэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации;
3. Оценить статистическуюзависимость параметров регрессии и корреляции (с помощью F-критерия Фишера и Т-статистики Стьюдента).
Задание 2
1. Построить уравнение парной регрессии ввиде нелинейной функции: степенной у = ахb, экспоненты у = аеbх, показательной у = abx, любой на выбор;
2. Для оценки параметровмодель линеаризируется путем логарифмирования или потенцирования;
3. Определяется коэффициентэластичности и индекс корреляции;
4. Значимость определяется по критериюФишера.
Исходные данные для решения задач приведены в таблице1.
Таблица 1 — Исходные данныеN X Y 1 23 110 2 45 125 3 34 111 4 51 121 5 28 109 6 62 127 7 71 143 8 63 121 9 70 154 10 45 108 11 51 136 12 27 109 13 62 125 14 57 110 15 63 120 16 69 134 17 74 131 18 35 105 19 21 74 20 60 120
2. Решениезадачи 1
Определим линейное уравнениепарной регрессии.
Для этого составим и решим следующуюсистему уравнений:
/>/>;
/>/>.
/>;
/>.
Решая данную систему уравнений получаем:
а=81,232;
b=0,76.
Итого получаем: />
Рассчитаем линейныекоэффициенты парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации
Расчет будем вести табличнымспособом, и представим в таблице 2.
Таблица 2 — Расчет линейныхкоэффициентов парной корреляции и средняя ошибка аппроксимацииN X Y X∙Y X2 Y2
/>
Y-/>
/>
/> 1 23 110 2530 529 12100 98,71 11,29 127,42 10,26 2 45 125 5625 2025 15625 115,43 9,57 91,55 7,65 3 34 111 3774 1156 12321 107,07 3,93 15,43 3,54 4 51 121 6171 2601 14641 119,99 1,01 1,02 0,83 5 28 109 3052 784 11881 102,51 6,49 42,09 5,95 6 62 127 7874 3844 16129 128,35 -1,35 1,83 1,06 7 71 143 10153 5041 20449 135,19 7,81 60,96 5,46 8 63 121 7623 3969 14641 129,11 -8,11 65,80 6,70 9 70 154 10780 4900 23716 134,43 19,57 382,91 12,71 10 45 108 4860 2025 11664 115,43 -7,43 55,23 6,88 11 51 136 6936 2601 18496 119,99 16,01 256,26 11,77 13 27 109 2943 729 11881 101,75 7,25 52,53 6,65 13 62 125 7750 3844 15625 128,35 -3,35 11,24 2,68 14 57 110 6270 3249 12100 124,55 -14,55 211,76 13,23 15 63 120 7560 3969 14400 129,11 -9,11 83,03 7,59 16 69 134 9246 4761 17956 133,67 0,33 0,11 0,24 17 74 131 9694 5476 17161 137,47 -6,47 41,89 4,94 18 35 105 3675 1225 11025 107,83 -2,83 8,02 2,70 19 21 74 1554 441 5476 97,19 -23,19 537,87 31,34 20 60 120 7200 3600 14400 126,83 -6,83 46,68 5,69 ∑ 1011 2393 125270 56769 291687 2393 2093,62 147,90 Ср. 50,55 119,65 6263,5 2838,45 14584,35 119,65 104,68 7,39
На рисунке 1 представим поле корреляции.
/>
Рисунок 1 — Поле корреляции
Оценим статистическуюзависимость параметров регрессии и корреляции (с помощью F-критерия Фишера и Т-статистики Стьюдента).
Определение коэффициентакорреляции
Для определения коэффициентакорреляции, определим дисперсию:
/>;
/>.
Определим коэффициенткорреляции:
/>.
Данный коэффициент корреляциихарактеризует высокую тесноту связи
Определим коэффициентдетерминации:
/>
Этозначит, что 61% вариации «у» объясняется вариацией фактор«х».
Определение статистическойзначимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера
Определим F- критерий Фишера:
/>.
Табличное значение критерияпри пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы 1 и (20-2)=18составляет Fтаб = 4,45.
Имеем F> Fтаб, следовательно уравнение регрессии признается статистическимзначимым.
Оценка статистическойзначимости параметров регрессии с помощью t-статистики Стьюдента
Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы df=n-2=20-2=18 и уровня значимости α=0,05составит tтабл=1,743.
Определим стандартные ошибки:
/>;
/>;
/>.
Тогда
/>;
/>;
/>.
Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:
/>, поэтому параметры а, b, и rxyне случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.
Рассчитаем доверительныеинтервалы для параметров регрессии а и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:
/>;
/>.
Получаем доверительныеинтервалы:
/> и />;
/> и />.
Анализ верхней и нижней границдоверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью р=1-α=1-0,05=0,95параметры а и b, находятся в указанных границах, непринимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и существенноотличны от нуля. 3. Решение задачи 2
В качестве уравнения нелинейной функции примемпоказательную, т.е.
у = a∙bx.
Определим экспоненциальноеуравнение парной регрессии
Для определения параметров а и b прологарифмируем данное уравнение:
ln(у) =ln(а)+ x∙ln(b),
Произведем следующую замену: А= ln(а), B= ln(b).
Составим и решим систему уравнений:
/>;
/>/>.
/>/>;
/>.
Решая данную систему уравнений получаем:
А=4,436 следовательно a=84,452;
B=0,0067 следовательно b=1,0067.
Итого получаем
/>.
Рассчитаем линейныекоэффициенты парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации
Расчет будем вести табличнымспособом, и представим в таблице 3.
Таблица 3 — Расчет линейныхкоэффициентов парной корреляции и средняя ошибка аппроксимацииN X Y X∙Y X2 Y2
/>
Y-/>
/>
/>
/> 1 23 110 2530 529,00 12100 98,47 11,53 132,90 201,64 10,48 2 45 125 5625 2025,00 15625 114,05 10,95 119,80 0,64 8,76 3 34 111 3774 1156,00 12321 105,98 5,02 25,23 174,24 4,53 4 51 121 6171 2601,00 14641 118,72 2,28 5,21 10,24 1,89 5 28 109 3052 784,00 11881 101,82 7,18 51,62 231,04 6,59 6 62 127 7874 3844,00 16129 127,77 -0,77 0,59 7,84 0,60 7 71 143 10153 5041,00 20449 135,68 7,32 53,59 353,44 5,12 8 63 121 7623 3969,00 14641 128,62 -7,62 58,09 10,24 6,30 9 70 154 10780 4900,00 23716 134,78 19,22 369,54 888,04 12,48 10 45 108 4860 2025,00 11664 114,05 -6,05 36,66 262,44 5,61 11 51 136 6936 2601,00 18496 118,72 17,28 298,70 139,24 12,71 12 27 109 2943 729,00 11881 101,14 7,86 61,82 231,04 7,21 13 62 125 7750 3844,00 15625 127,77 -2,77 7,65 0,64 2,21 14 57 110 6270 3249,00 12100 123,57 -13,57 184,15 201,64 12,34 15 63 120 7560 3969,00 14400 128,62 -8,62 74,33 17,64 7,18 16 69 134 9246 4761,00 17956 133,88 0,12 0,01 96,04 0,09 17 74 131 9694 5476,00 17161 138,43 -7,43 55,13 46,24 5,67 18 35 105 3675 1225,00 11025 106,69 -1,69 2,85 368,64 1,61 19 21 74 1554 441,00 5476 97,17 -23,17 536,63 2520,04 31,30 20 60 120 7200 3600,00 14400 126,07 -6,07 36,85 17,64 5,06 ∑ 1011 2393 125270 56769,00 291687 2381,97 11,03 2111,36 5778,60 147,73 Ср. 50,55 119,65 6263,50 2838,45 14584,35 119,10 0,55 105,57 288,93 7,39
На рисунке 3 представим поле корреляции.
/>
Рисунок 2 — Поле корреляции
Определяется коэффициентэластичности и индекс корреляции
Определим коэффициентэластичности
/>,
где />
/>,
следовательно при изменениифактора«х» на 1% от своего среднего значения, «у» изменитсяна 0,334 % от своей средней величины.
Определение индекс корреляции
/>.
Данный коэффициент корреляциихарактеризует высокую тесноту связи
Определим индекс детерминации:
/>
Этозначит, что 63,5% вариации «у» объясняется вариацией фактор«х».
Определение статистическойзначимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера
Определим F- критерий Фишера:
/>.
Табличное значение критерияпри пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы 1 и (20-2)=18составляет Fтаб = 4,45.
Имеем F> Fтаб, следовательно уравнение регрессии признается статистическимзначимым.
Вывод
В результате проведенногокорреляционного анализа исходных данных была выявлена функциональнаязависимость между значениями «х» и «у», то есть: />. Данная зависимость обладает максимальнымзначением индекса корреляции и детерминации, а так же F-критерия Фишера.
Списокиспользованных источников
1.Учебно-методическое пособие к изучению курса «Статистика». Н.Н. Щуренко,Г.В. Девликамиова: Уфа, 2004.- 55с.
2.Эконометрика для начинающих. Основные понятия, элементарные методы, границыприменимости, интерпретация результатов В.П. Носко: Москва, 2000. — 249с.
3.Эконометрика. И.И. Елисеева: Москва «Финансы и статистика», 2003.-338с.
4.Общая теория статистики. Н.М. Виноградова, В.Т. Евдокимов, Е.М. Хитарова, Н.И.Яковлева: Москва,1968.- 381с.