Контрольная работа
«Компоненты временныхрядов»
Содержание
Введение
1.Теоретическая часть
1.1Компоненты временных рядов
2.Практическая часть
Заключение
Списокиспользованной литературы
Введение
В настоящее время статистические методы прогнозирования заняливидное место в экономической практике. Широкому внедрению методов анализа ипрогнозирования данных способствовало появление персональных компьютеров.Распространение статистических программных пакетов позволило сделать доступнымии наглядными многие методы обработки данных.
Все шире используются статистические методы прогнозирования вдеятельности плановых, аналитических, маркетинговых отделов производственныхпредприятий и объединений, торговых, страховых компаний, банков,правительственных учреждений.
Теперь уже не требуется проводить вручную трудоемкие расчеты,строить таблицы и графики — всю эту черновую работу выполняет компьютер.Человеку же остается исследовательская, творческая работа: постановка задачи,выбор методов прогнозирования, оценка качества полученных моделей,интерпретация результатов. Для этого необходимо иметь определенную подготовку вобласти статистических методов обработки данных и прогнозирования.
В данном учебном пособии в систематизированном виде изложеныстатистические методы анализа одномерных временных рядов и прогнозирования. Дляизучения выбраны наиболее часто применяемые в экономической практике методы.Большое внимание уделяется анализу полученных результатов.
Структура изложения соответствует логической последовательностиосновных этапов анализа и прогнозирования временных рядов. Последний разделпосвящен развивающемуся направлению статистических исследований — прогнозированию временных рядов с помощью адаптивных моделей.
1.Теоретическая часть 1.1 Компоненты временныхрядов
Проверка гипотезы о существовании тенденции
В практике прогнозирования принято считать, что значения уровнейвременных рядов экономических показателей состоят из следующих компонент:тренда, сезонной, циклической и случайной составляющих.
Под трендом понимают изменение, определяющее общее направлениеразвития, основную тенденцию временного ряда. Это систематическая составляющаядолговременного действия.
Наряду с долговременными тенденциями во временных рядахэкономических процессов часто имеют место более или менее регулярные колебания- периодические составляющие рядов динамики.
Если период колебаний не превышает 1 года, то их называютсезонными. Чаще всего причиной их возникновения считаютсяприродно-климатические условия. Иногда причины сезонных колебаний имеютсоциальный характер, например, увеличение закупок в предпраздничный период,увеличение платежей в конце квартала и т.д.
При большем периоде колебания, считают, что во временных рядахимеет место циклическая составляющая. Примерами могут служить демографические,инвестиционные и другие циклы.
Если из временного ряда удалить тренд и периодическиесоставляющие, то останется нерегулярная компонента.
Экономисты разделяют факторы, под действием которых формируетсянерегулярная компонента, на 2 вида:
• факторы резкого, внезапного действия;
• текущие факторы.
Первый тип факторов (например, стихийные бедствия, эпидемии идр.), как правило, вызывает более значительные отклонения по сравнению сослучайными колебаниями — иногда такие отклонения называют катастрофическимиколебаниями.
Факторы второго типа вызывают случайные колебания, являющиесярезультатом действия большого числа побочных причин. Влияние каждого из текущихфакторов незначительно, но ощущается их суммарное воздействие.
Если временной ряд представляется в виде суммы соответствующихкомпонент, то полученная модель носит название аддитивной (1.1), если в видепроизведения — мультипликативной (1.2) или смешанного типа (1.3):
Yt=ut + st + vt + et(1.1)
Yt = ut * st * vt * et(1.2)
Yt = ut * st * vt + et(1.3),
где
yt — уровни временного ряда;
ut -трендовая составляющая;
st — сезонная компонента;
vt — циклическая компонента;
еt — случайная компонента.
Рисунок 1.2. Месячная динамика производства отдельных видовпромышленной продукции в натуральном выражении
/>
Рисунок 1.3. Месячная динамика производства электроэнергии
/>
На рисунках 1.2, 1.3 приведены примеры временных рядов,иллюстрирующие присутствие в них указанных компонент. Графики месячныхвременных рядов производства промышленной продукции наглядно демонстрируютустойчивые сезонные колебания при снижающемся тренде, причем на последнемучастке темпы падения производства заметно снижаются.
Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядовначинается с построения графика исследуемого показателя, тем более, чтосовременные программные средства предоставляют пользователю большие возможностидля этого. Не всегда при этом четко прослеживается присутствие тренда вовременном ряду. В этих случаях прежде, чем перейти к определению тенденции ивыделению тренда, нужно выяснить, существует ли вообще тенденция в исследуемомпроцессе.
Основные подходы к решению этой задачи основаны на статистическойпроверке гипотез. Критерии выявления компонент ряда основаны на проверкегипотезы о случайности ряда.
Рассмотрим наиболее часто используемые на практике критериипроверки «наличия-отсутствия» тренда: критерий серий, основанный намедиане выборки и метод Фостера — Стюарта.
Критерий серий, основанный на медиане выборки, реализуется в видеследующей последовательности шагов:
1) Из исходного ряда yt длиной n образуетсяранжированный (вариационный) ряд />yt, где /> — наименьшее значение ряда yt
2) Определяется медиана этого вариационного ряда Me. В случае
нечетного значения n (n=2m+l) Me=/>, в противном случае Me = />
3) Образуется последовательность /> из плюсов и минусов по следующемуправилу:
/> (1.4.)
Если значение yt равно медиане, то это значение пропускается.
4) Подсчитывается v(n) -число серий в совокупности />, где под серией понимаетсяпоследовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один плюс или один минустоже будет считаться серией.
Определяется /> — протяженность самой длиннойсерии.
5) Проверка гипотезы основывается на том, что при условиислучайности ряда (при отсутствии систематической составляющей) протяженностьсамой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий — слишком маленьким. Поэтому для того, чтобы не была отвергнута гипотеза ослучайности исходного ряда (об отсутствии систематической составляющей) должнывыполняться следующие неравенства (для 5% уровня значимости)
/> (1.5.)
Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза оботсутствии тренда отвергается.
Квадратные скобки в правой части неравенства означают целую частьчисла. Напомним, что целая часть числа А — [А] — это целое число, ближайшее к Аи не превосходящее его.
Другой способ проверки гипотезы о наличии тенденции процессаосновывается на методе Фостера-Стюарта. Этот метод может быть реализован в видеследующей последовательности шагов:
1) Каждый уровень ряда сравнивается со всеми предшествующими, приэтом определяются значения вспомогательных характеристик mt и lt:
/> (1.6)
Таким образом, mt=l, если yt больше всехпредшествующих уровней, а1t= 1, если yt меньше всехпредшествующих уровней.
2) Вычисляется dt=mt — lt длявсех />
Очевидно, что величина dt может принимать значения 0;1; -1.
3) Находится характеристика />
4) С помощью критерия Стьюдента проверяется гипотеза о том, чтоможно считать случайной разность D-0 (т.е. ряд можно считать случайным, несодержащим тренд).
Для этого определяется
/>
где /> — средняя квадратическая ошибкавеличины D:
/>
Значения /> затабулированы.
Таблица 1.2
Значения стандартных ошибок для /> для n от 10 до 100n
/> n
/> n
/> n
/> 110 1,964 35 2,509 60 2,713 85 2,837 15 2,153 40 2,561 65 2,742 90 2,857 20 2,279 45 2.606 70 2,769 95 2,876 25 2,373 50 2,645 75 2,793 100 2,894 30 2,447 55 2,681 80 2,816
Расчетное значение t,)a6.n сравнивается с критическим значением tкp.взятым из таблицы t-распределения Стьюдента для заданного уровня значимости а ичисла степеней свободы k = n — 1. Если />, то гипотеза об отсутствии трендаотвергается.
2. Практическаячасть
Задача 1.2 Основные показатели динамики экономических явлений.Использование скользящих средних для сглаживания временных рядов
1. Ежеквартальная динамика процентной ставки банка в течение 7кварталов представлена в таблице:
Процентная ставка банкаt 1 2 3 4 5 6 7
yt 17,0 16,5 15,9 15,5 14,9 14,5 13,8
Требуется:
а) обосновать правомерность использования среднего прироста дляполучения прогнозного значения процентной ставки в 8 квартале;
б) рассчитать прогноз процентной ставки банка в 8 квартале,используя показатель среднего прироста.
2. Изменение ежеквартальной динамики процентной ставки банкапроисходило примерно с постоянным темпом роста в течение 7 кварталов.Процентная ставка банка в I квартале равнялась 8,3%, а в 7 квартале — 14%.
Рассчитать прогноз процентной ставки банка в 8 квартале, используясредний темп роста.
3. По данным об урожайности за 16 лет рассчитать:
а) трех-, семилетние скользящие средние (графически сравнитьрезультаты);
б) 5-летнюю взвешенную скользящую среднюю.
Урожайность пшеницы (ц/га)t 1 2 3 4 5 - 6 7 8
yt 10,3 14,3 7,7 15,8 14,4 16,7 15,3 20,2 t 9 10 11 12 13 14 15 16
yt 17,1 7,7 15,3 16,3 19,9 14,4 18,7 20,7
Решение
1. Рассчитаем цепные абсолютные приросты:
/>у2 =16,5-17,0 = -0,5 (%)
/>у3 =15,9-16,5 =-0,6 (%)
/>у4 = 15,5-15,9 =-0,4 (%)
/>у5 = 14,9-15,5 =-0,6 (%)
/>у6 = 14,5-14,9 =-0,4 (%)
/>у7 =13,8-14,5 =-0,7 (%)
Легко заметить, что цепные абсолютные приросты примерно одинаковы.Они незначительно варьируют от -0,4 до -0,7, что свидетельствует о близостипроцесса развития к линейному. Поэтому представляется правомерным оценить прогнозноезначение />
помощью среднего прироста />:
/>
2. Известно, что изменение процентной ставки банка происходилопримерно с постоянным темпом роста в течение 7 кварталов. Следовательно,правомерно использовать средний темп роста для расчета прогноза этогопоказателя. Средний темп роста равен:
/>
Прогноз процентной ставки банка в 8 квартале равен:
/>,
где /> - не в процентном выражении;
/>.
3. Результаты расчетов представлены в таблице:
Расчет скользящих среднихt
yt
скользящие
средние
Взвешенная
скользящая
средняя g-5 g=3 g=7 1 10,3 - - - 2 14.3 10,8 - - 7,7 12,6 - 11,9 4 15,8 12,6 13,5 12,6 5 14,4 15,6 14,9 16,2 6 16,7 15,5 15,3 15,2 7 15,3 17,4 15,3 17,4 8 20,2 17,5 15,2 18,8 9 17,1 15,0 15,5 15,2 10 7,7 13,4 16,0 11,7 11 15,3 13,1 15,8 12,5 12 16,3 17,2 15,6 18,1 13 19,9 16,9 16,1 17,3 14 14,4 17,7 - 17,1 15 18,7 17,7 - - 16 20,7 - - -
При трехлетней скользящей средней:
/> и т. д.
При семилетней скользящей средней:
/> и т. д.
Графический анализ показывает, что ряд, сглаженный по 7- летнейскользящей средней, носит более гладкий характер.
/>
Рис. Сглаживание ряда урожайности с помощью скользящих средних
Для вычисления значений 5- летней взвешенной скользящей среднейвоспользуемся таблицей 2.2. Тогда:
/> и т. д.
Заключение
Статистические методы все шире проникают в экономическую практику.С развитием компьютеров, распространением пакетов прикладных программ этиметоды вышли за стены учебных и научно-исследовательских институтов. Они сталиважным инструментом в деятельности аналитических, плановых, маркетинговыхотделов различных фирм и предприятий.
При прогнозировании часто исходят из того, что уровни временныхрядов экономических показателей, состоят из четырех компонент: тренда,сезонной, циклической и случайной составляющих. В зависимости от способасочетания этих компонент модели временных рядов делятся на аддитивные,мультипликативные или модели смешанного типа.
Обобщенными показателями динамики развития экономических процессовявляются средний прирост, средний темп роста и прироста. При выполнении рядапредпосылок эти показатели могут быть использованы в приближенных, простейшихспособах прогнозирования, предшествующих более глубокому количественному икачественному анализу.
Распространенным приемом при выявлении тенденции развития являетсявыравнивание временных рядов, в частности, с помощью скользящих средних.Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодическиеколебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса.
Выравнивание временных рядов может осуществляться с помощью техили иных функций времени — кривых роста. Применение кривых роста должнобазироваться на предположении о неизменности, сохранении тенденции, как на всемпериоде наблюдений, так и в прогнозируемом периоде.
Прогнозные значения по выбранной кривой роста вычисляют путемподстановки в уравнение кривой значений времени, соответствующих периодуупреждения. Полученный таким образом прогноз называется точечным. В дополнениик точечному прогнозу желательно задать диапазон возможных значенийпрогнозируемого показателя, т. е. вычислить прогноз интервальный (определитьдоверительный интервал). Доверительный интервал учитывает неопределенность,связанную с положением тренда (погрешность оценивания параметров кривой), ивозможность отклонения от этого тренда.
Для того, чтобы обоснованно судить о качестве полученной моделинеобходимо проверить адекватность этой модели реальному процессу и проанализироватьхарактеристики ее точности. Проверка адекватности строится на анализе случайнойкомпоненты и базируется на использовании ряда статистических критериев.Показатели точности описывают величины случайных ошибок, полученных прииспользовании модели. Все характеристики точности могут быть вычислены послетого, как период упреждения уже окончился, или при рассмотрении показателя наретроспективном участке.
Одно из перспективных направлений развития краткосрочногопрогнозирования связано с адаптивными методами. Эти методы позволяют строитьсамокорректирующиеся модели, способные оперативно реагировать на изменениеусловий. Адаптивные методы учитывают различную информационную ценность уровнейряда, «старение» информации. Все это делает эффективным их применениедля прогнозирования неустойчивых рядов с изменяющейся тенденцией.
В заключение отметим, что не может быть чисто формальных подходовк выбору методов и моделей прогнозирования. Успешное применение статистическихметодов прогнозирования на практике возможно лишь при сочетании знаний вобласти самих методов с глубоким знанием объекта исследования, с содержательнымэкономическим анализом.
Списокиспользованной литературы
1. Кендэл М.Временные ряды. М., «Финансы и статистика», 1981.
2. КильдишевГ.С, Френкель А. А. Анализ временных рядов и прогнозирование. М,«Статистика», 1973.
3. Лукашин Ю.П.Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. М, «Статистика»,1979.
4. ПоловниковВ.А. Анализ и прогнозирование транспортной работы морского флота. М.,«Транспорт», 1983.
5. СкучалинаЛ.Н., Крутова Т.А. Организация и ведение базы данных временных рядов. Система показателей,методы определиня, оценки прогнозирования информационных процессов. ГКС РФ, М.,1995.
6. Статистическоемоделирование и прогнозирование. Учебное пособие. (Под ред. А.Г. Гранберга). М,«Финансы и статистика», 1990.
7. Четыркин Е.Н.Статистические методы прогнозирования. М, «Статистика», 1975.
8. Френкель А.А.Прогнозирование производительности труда: методы и модели. М.,«Экономика», 1989.
9. Экономико-математическиеметоды и прикладные модели. (Под ред. В.В. Федосеева). М., «Юнити», 1999.