Контрольнаробота з теми:
ТЕОРІЯСПОЖИВАННЯ
Вступ
Математичнімоделі й методи, що досліджуються в даній роботі, є необхідними для вивченняспоживчого поводження на ринку готової продукції, переваг індивідуальногоспоживача, корисності й класифікації товарів, еластичності й інших властивостейпопиту.
1.Математичний вступ: опуклі множини
Множину /> називаютьопуклою, якщо разом з будь-якими двома своїми точками />, />, /> вона містить і всі точки вигляду />, де />.
Щоб пояснитигеометричний зміст поняття опуклої множини, нагадаємо спосіб задання відрізка /> між двоматочками />, /> в />-вимірномупросторі. Параметричне рівняння прямої, що проходить через точки />, />, має вигляд />, де /> –напрямний вектор прямої. При />, при />. Коли /> змінюється в межах від 0 до 1,точка /> пробігаєвесь відрізок між точками /> і />
/>.
З геометричноїточки зору множина /> є опуклою лише тоді, коли разом збудь-якими двома своїми точками ця множина містить і відрізок, який їх поєднує.
Для двовимірногопростору прикладом опуклої множини є опуклий багатогранник. У просторі при /> опуклимимножинами можуть бути куля, еліпсоїд, еліптичний параболоїд, циліндр і тощо.
Опуклу множину,всі границі якої лінійні, називають опуклою багатогранною множиною (опуклимбагатогранником).
Розглянемовластивості опуклих множин:
1. Якщо /> – точкиопуклої множини />, то точка />, де />, /> також належить />, де /> називаютьопуклою комбінацією точок />. Це окремий випадок лінійноїкомбінації. Дану властивість приймаємо без доказу.
2. Множинаопуклих комбінацій будь-якої заданої кількості комбінацій з />є опуклою множиною.Доказ цієї властивості не наводимо.
3. Якщо /> і /> – опуклімножини, а точки /> і /> такі, що /> й />, то весь відрізок знаходиться вобох множинах /> і />, тобто перетинання опуклих множинє опуклим.
Розглянемо доказ.Нехай />, де/> і /> – опуклімножини. Розглянемо дві довільні точки /> і /> множини />. Оскільки />, то />. З опуклості множини /> випливає, щовесь відрізок /> належить />. Так само, />. Але тоді />. Доказзавершено.
4. Сума двохопуклих множин опукла.
Розглянемо доказ.Нехай />, де/>. Тоді в /> і /> знайдутьсятакі елементи, що />, />, />, />. Припустимо тепер /> – довільне число, />. Тоді
/>
5. Основноювластивістю, яка характеризує опуклі множини, є так звана властивістьвіддільності. Для пояснення цієї властивості розглянемо на площині замкнутуопуклу множину /> і точку />. Тоді знайдеться така пряма />, що множина /> і точка /> знаходяться порізні сторони від цієї прямої, тобто для будь-якої точки /> виконується нерівність />, у той час, як/>.
2. Відношенняпереваги
Одним з основнихелементів економічної теорії є споживач або група споживачів (домашнєгосподарство, родина). У споживача виникає задача раціонального веденнягосподарства (розподілу особистого бюджету). Отже, в даній задачі споживачевінеобхідно з'ясувати, яку кількість кожного наявного товару або послуг вінповинен придбати при заданих цінах /> і відомому доході />. Будемо аналізуватиповодження споживача й у підсумку сформулюємо оптимізаційну математичну модельповодження споживача на ринку товарів і послуг.
Під товаром абопослугою розумітимемо деяке благо, що надійшло в продаж у певний час в певномумісці. Припустимо, існує кінцева кількість наявних товарів />, кількість кожного зних характеризується набором товарів />, де /> – кількість />-го товару (/>), придбанаспоживачем.
Простором товарівназвемо невід’ємний ортант /> />-вимірного простору, кожна точка /> є певнимнабором товарів. Нехай /> – множина, на якій визначеніінтереси споживача. />–множина всіх уявних наборівтоварів, доступних споживачеві й придатних для нього.
Будь-які двавектори /> споживачможе порівнювати та обирати з них. Цей вибір залежить від бюджету споживача,цін на товари і його смаку. Отже, вибір характеризується відношенням переваги,що записується знаком /> і читається як «переважніший аборівноцінний за». Запис />, де /> й /> є наборами товарів з /> означає, щоспоживач віддає перевагу набору />по відношенню до набора />. /> виконуєтьсятільки, якщо /> і відношення /> не є справедливим.
Запис /> означає, щонабори товарів /> й /> для споживача рівнозначні(еквівалентні, байдужні).
Розглянемоаксіоми відношення переваги:
1.Транзитивність: якщо є три набори />, /> й /> і відомо, що />, то />.
2. Ненасиченість:якщо /> й /> такі, що /> і />, то />. Ця аксіомастверджує, що точки насичення споживача не існує, більший набір товарів завждиє переважнішим за менший.
3. Опуклість: длябудь-яких /> й/> таких, що/> і /> маємо /> або /> для всіх />. Ця вимогазабезпечує строгу опуклість множини комбінацій наборів, не менш переважніших заданий.
3. Функціякорисності споживання
Нехай існуєбезперервна дійсна функція />, визначена на />, для якої виконуютьсяспіввідношення:
/>, тільки якщо />;
/>, тільки якщо />.
Функцію /> називаютьфункцією корисності або порядковою функцією корисності.
Дамо геометричнуінтерпретацію функції корисності. Для цього розглянемо будь-який промінь упросторі товарів, що проходить через початок координат. Приймемо як корисність будь-якоготовару відстань від початку до точки на промені, що належить тій самій множинібайдужності, що й розглянутий набір. Як правило, якщо така функція корисностііснує, то вона не єдина.
Наприклад, за /> можна взятибудь-яку монотонну чітко зростаючу функцію. Якщо /> – функція корисності, то /> також будефункцією корисності, де /> – довільна монотонно зростаючафункція, тобто />.
На рис. 1 кожнійточці площини, що відноситься до різних комбінацій наборів товарів /> і />, відповідаютьточки поверхні />, які відображають рівнікорисності цих товарів.
/>
Рисунок 1
Для кожноготоварного набору /> можна вказати множину такихнаборів, яка за перевагою еквівалентна даному. Ця множина називається кривоюбайдужності, що проходить через />. Кожній кривій байдужностіможна поставити у відповідність певний рівень корисності, оскільки корисністьбудь-яких двох наборів, що знаходяться на одній і тій самій кривій, однакова.Математичним аналогом кривої байдужності є лінія рівня.
Вважатимемо /> диференційованою,тоді аксіома ненасичення вимагає, щоб всі перші часткові похідні функціїкорисності, які звуться граничними корисностями, були додатними
/>.
Відповідно до аксіоми 3(опуклості множини простору товарів) вимагатимемо, щоб функція /> була строго увігнутоюфункцією й отже, /> має бути двічі диференційованою імати безперервні другі часткові похідні, тобто матриця Гессе, що складається здругих часткових похідних, повинна бути вiд’ємно визначеною
/>.
Зокрема />, /> означає, щокорисність товару зменшується в міру того, як продукт споживається. Цедопущення одержало назву закону Госена.
З властивостіопуклості відношення переваги випливає, що криві байдужності опуклі відноснопочатку координат.
Найважливішоюхарактеристикою кривої байдужності є її нахил. Абсолютне значення нахилу нарізних відрізках кривої виражає норму заміни благ. Тому криву байдужності можнаназвати кривою взаємозамінності благ.
Розглянемо рис.2. На відрізку АВ норма заміни блага 1 благом 2 за визначенням дорівнює />, а на відрізкуCD – />.Норма заміни одного блага іншим безпосередньо пов'язана з їх граничнимикорисностями. Під час руху по кривій байдужності вправо вниз на /> здобуваємо приблизно /> одиницькорисності зі збільшенням споживання блага 1 й одночасно втрачаємо /> одиницькорисності зі зменшенням споживання блага 2. Оскільки виграш і втрата взаємнокомпенсуються (ми перебуваємо на одній і тій самий кривій байдужності), то придосить малих /> і /> можна записати />.
/>
Рисунок 2
Розділившиотриману рівність на />, знайдемо
/>,
тобто нахилкривої
/>.
Переходячи донескінченно малих приростів, одержимо строгу рівність. Отже, гранична нормазаміни двох благ дорівнює зворотному відношенню їх граничних корисностей.Геометрично гранична норма заміни характеризує нахил кривої байдужності вточці.
Гранична нормазаміни на кривих байдужності є спадною функцією, тобто зі зростанням споживанняодного продукту для його заміни потрібно все менша кількість іншого. Як видно зрис. 1.2, />.
4.Оптимізаційна математична модель поведінки споживача на ринку товарів і послуг
Задача споживачаполягає у виборі набору товарів і послуг при заданій функції корисності /> й бюджетномуобмеженні, що відносить споживача до деякої підмножини простору товарів.
Введемо поняттябюджетної лінії або лінії цін. Така лінія визначається як геометричне місцеточок всіх комбінацій товарів, вартість яких дорівнює певній сумі />. Вонахарактеризує реальну купівельну спроможність споживача й співвідношення цін цихтоварів. Наприклад, у випадку двох товарів, при постійних цінах – це пряма />, де /> – ціни, а/> –доход (рис. 3).
/>
Рисунок 3
Лінії цін характеризуютьсятакими властивостями:
1) маютьвід’ємний нахил, який дорівнює зворотному співвідношенню цін двох товарів,тобто />;
2) при постійнихцінах різним рівням доходу відповідають різні паралельні прямі; більшому доходувідповідає більш висока лінія цін.
При даних цінах ідоході споживач прагне забезпечити максимум корисності. Цей максимумдосягається в точці дотику самої верхньої кривої байдужності й лінії цін. Точка/> є точкоюрівноваги, тобто у споживача немає будь-яких мотивів для перегляду даного планупокупок. Інша точка, що знаходиться на лінії цін, наприклад, точка />, абонижча за неї, наприклад, точка />, перебуватиме на більшнизькій кривій байдужності, з більш низьким рівнем корисності та не влаштуєспоживача.
В точці рівноваги/> нахиллінії цін дорівнює нахилу кривої байдужності й забезпечує максимум корисностівід закуповуваних товарів. При цьому виконується рівність відношення цінвідношенню граничних корисностей товарів
/>, />,
/>,
де величина /> – граничнанорма заміни двох благ.
Формально модельповедінки споживача на ринку є задачею нелінійного програмування з метоювідшукання умовного максимуму
/>, /> (1)
або врозгорнутому вигляді
/>, />, />,
де /> – вектор цін,/> – ціна />-го товару, /> – витратина />-йтовар. Отже, задача споживача полягає у виборі такого набору /> з множини />, який є«найкращим», тобто для всіх інших наборів /> справедливе співвідношення />.
Через те, щоцільова функція /> безперервна, вона має додатніперші часткові похідні та вiд’ємно визначену матрицю Гессе, а також припустимамножина /> замкнутай опукла, то відповідно до теореми Вейєрштраса розв’язок існує і єдиний.
Визначимо функціюЛагранжа
/>,
де />–множник Лагранжа.
Необхідними йдостатніми умовами для розв’язання задачі споживання (1.1) є умови Куна-Такера
/>, />,
/>,(2)
/>,
/>, />, />.
Вважають, що споживачіодержують усі види товарів і послуг. Тоді умова (2) матиме такий вигляд:
/>, />, />.(3)
Ці умовивиконуються тільки в точці />, де /> є оптимальним розв’язком (планом)задачі споживання.
Наприклад, увипадку двох товарів розв’язок має задовольняти системі
/>,
/>,
/>.
Геометричнорозв’язок знаходяться в точці дотику лінії цін і кривої байдужності (див. рис.3).
Сформулюємоосновні висновки, які випливають із розв’язання задачі споживання:
1) у точціоптимального вибору /> ціни пропорційні граничнимкорисностям товарів, тобто />, /> або відношення граничнихкорисностей товарів дорівнює відношенню цін
/>, />;
2) граничнакорисність, що доводиться на грошову одиницю, має бути однаковою для всіх товарів,які купують, отже
/>, />,
3) рівні граничнікорисності, що доводяться на грошову одиницю, яку витрачають, дорівнюють /> – граничнійкорисності грошей. Гранична корисність грошей для споживачів з різним рівнемдоходів різна: /> зменшується зі зростанням /> ізростає з його зменшенням.