Сущность теории игр

Сущность теорииигр

ПЛАН
ВВЕДЕНИЕ
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР
1.1Основные понятия икритерии теории игр
1.2Стратегии теории игр
1.2.1 Смешанные стратегии
1.2.2 Мажорирование (доминирование) стратегий
1.3 Игры с природой
2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЙ
2.1 Постановка задачи
2.2 Описание алгоритма решения
ГЛАВА 3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ИГР С ПРИРОДОЙ
3.1 Постановка задачи
3.2 Решение задач игр сприродой
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

АННОТАЦИЯ
Тема курсового проекта,представленная в пояснительной записке, звучит как «Теория игр».
Объём даннойпояснительной записки к курсовому проекту по дисциплине «Исследование операций»составляет 27 страниц, количество используемых источников 8.
Данная пояснительнаязаписка содержит 3 (два) раздела, содержащих следующую информацию: теоретическиеосновы теории игр, описание стратегий теории игр, а также описаниепрактического применения указанных стратегий в исследовании операций.

ВВЕДЕНИЕ
На практике частопоявляется необходимость согласования действий фирм, объединений, министерств идругих участников проектов в случаях, когда их интересы не совпадают. В такихситуациях теория игр позволяет найти лучшее решение для поведения участников,обязанных согласовывать действия при столкновении интересов. Теория игр всешире проникает в практику экономических решений и исследований. Ее можнорассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых иуправленческих решений. Это имеет большое значение при решении задач в про­мышленности,сельском хозяйстве, на транспорте, в торговле, особенно при заключениидоговоров с иностранными партнерами на любых уровнях. Так, можно определитьнаучно обоснованные уровни снижения розничных цен и оптимальный уровень товарныхзапасов, решать задачи экскурсионного обслуживания и выбора новых линийгородского транспорта, задачу планирования порядка организации эксплуатацииместорождений полезных ископаемых в стране и др. Классической стала задачавыбора участков земли под сельскохозяйственные культуры. Метод теории игр можноприменять при выборочных обследованиях конечных совокупностей, при проверкестатистических гипотез.
Обычно теорию игропределяют как раздел математики для изучения конфликтных ситуаций. Это значит,что можно выработать оптимальные правила поведения каждой стороны, участвующейв решении конфликтной ситуации.
В экономике, например, оказался недостаточным аппаратматематического анализа, занимающийся определением экстремумов функций.Появилась необходимость изучения так называемых оптимальных минимаксных имаксиминных решений. Следовательно, теорию игр можно рассматривать как новыйраздел оптимизационного подхода, позволяющего решать новые задачи при принятиирешений.

1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР
1.1     Основные понятия икритерии теории игр
Игра — упрощенная формализованная модель реальной конфликтнойситуации. Математически формализация означает, что выработаны определенныеправила действия сторон в процессе игры: варианты действия сторон; исход игрыпри данном варианте действия; объем информации каждой стороны о поведении вседругих сторон.
Одну играющую сторону при исследовании операций можетпредставлять коллектив, преследующий некоторую общую цель. Однако разные членыколлектива могут быть по-разному информированы об обстановке проведения игры.
Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, другиеслучаи в теории игр не рассматриваются, хотя не всякий выигрыш вдействительности можно оценить количественно.
Игрок — одна из сторон в игровой ситуации. Стратегияигрока — его правила действия в каждой из возможных ситуаций игры. Существуютигровые системы управления, если процесс управления в них рассматривается какигра.
Платежная матрица (матрица эффективности, матрица игры)включает все значения выигрышей (в конечной игре). Пусть игрок 1 имеет тстратегий Аi, а игрок 2 – n стратегий Bj/>. Игра может быть названа игройт ´ n. Представим матрицу эффективности игрыдвух лиц с нулевой суммой, сопроводив ее необходимыми обозначениями(табл. 1.1).
Таблица 1.1.
 Игрок 2
Игрок 1
В1
В2 …
Вn
ai
А1
а11
а12 …
а1n
a1
А2
a21
a22 …
а2n
a2 … … … … … …
Аm
аm1
аm2 …
аmn
am
bj
b1
b2 …
bn
В данной матрице элементы аij — значениявыигрышей игрока 1 — могут означать математическое ожидание выигрыша (среднеезна­чение), если выигрыш является случайной величиной. Величины ai,/>и bj,/> –соответственно минимальные значения элементов аij по строкам имаксимальные — по столбцам. Их содержательный смысл будет отражен ниже.
В теории игр не существует установившейсяклассификации видов игр. Однако по определенным критериям некоторые виды можновыделить.
Количество игроков. Если в игре участвуют две стороны,то ее называют игрой двух лиц. Если число сторон больше двух, ее относят к игреп игроков. Наибольший интерес вызывают игры двух лиц. Они и математически болееглубоко проработаны, и в практических приложениях имеют наиболее обширнуюбиблиографию.
Количество стратегий игры. По этому критерию игры делятсяна конечные и бесконечные. В конечной игре каждый из игроков имеет конечноечисло возможных стратегий. Если хотя бы один из игроков имеет бесконечное числовозможных стратегий, игра является бесконечной.
Взаимоотношения сторон. Согласно данному критерию игрыделятся на кооперативные, коалиционные и бескоалиционные. Если игроки не имеютправа вступать в соглашения, образовывать коалиции, то такая игра относится кбескоалиционным; если игроки могут вступать в соглашения, создавать коалиции — коалиционной. Кооперативная игра — это игра, в которой заранее определены коалиции.
Характер выигрышей. Этот критерий позволяет классифицироватьигры с нулевой и с ненулевой суммой. Игра с нулевой суммой предусматривает условие:«сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю». Игры двух игроков снулевой суммой относят к классу антагонистических. Естественно, выигрыш одногоигрока при этом равен проигрышу другого. Примерами игр с нулевой суммой служатмногие экономические задачи. В них общий капитал всех игроков перераспределяетсямежду игроками, но не меняется. К играм с ненулевой суммой также можно отнестибольшое количество экономических задач. Например, в результате торговыхвзаимоотношений стран, участвующих в игре, все участники могут оказаться ввыигрыше. Игра, в которой нужно вносить взнос за право участия в ней, являетсяигрой с ненулевой суммой.
Вид функции выигрышей. По этому критерию игры подразделяютсяна матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и т.д. Пояснимсуть некоторых из них.
Матричная игра — конечная игра двух игроков с нулевойсуммой. В общем случае ее платежная матрица является прямоугольной (см. табл.1). Номер строки матрицы соответствует номеру стратегии, применяемой игроком 1.Номер столбца соответствует номеру стратегии игрока 2. Выигрыш игрока 1является элементом матрицы. Выигрыш игрока 2 равен проигрышу игрока 1. Матричныеигры всегда имеют решения в смешанных стратегиях. Они могут быть решеныметодами линейного программирования.
Биматричная игра — конечная игра двух игроков сненулевой суммой. Выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей, в которойстрока соответствует стратегии игрока 1, а столбец — стратегии игрока 2. Однакоэлемент первой матрицы показывает выигрыш игрока 1, а элемент второй матрицы — выигрыш игрока 2. Для биматричных игр так же, как и для матричных, разработанатеория оптимального поведения игроков.
Если функция выигрышей каждого игрока в зависимости от стратегийявляется непрерывной, игра считается непрерывной. Если функция выигрышей выпуклая,то и игра — выпуклая.
Если функция выигрышей может быть разделена на сумму произведенийфункций одного аргумента, то игра относится к сепарабельной.
Количество ходов. Согласно этому критерию игры можноразделить на одношаговые и многошаговые. Одношаговые игры заканчиваются послеодного хода каждого игрока. Так, в матричной игре после одного хода каждого изигроков происходит распределение выигрышей. Многошаговые игры бывают позиционными,стохастическими, дифференциальными и др.
Информированность сторон. По данному критерию различаютигры с полной и неполной информацией. Если каждый игрок на каждом ходу игрызнает все ранее примененные другими игроками на предыдущих ходах стратегии,такая игра определяется как игра с полной информацией. Если игроку не всестратегии предыдущих ходов других игроков известны, то игра классифицируетсякак игра с неполной информацией. Мы далее убедимся, что игра с полнойинформацией имеет решение. Решением будет седловая точка при чистых стратегиях.
Степень неполноты информации. По этому критерию игрыподразделяются на статистические (в условиях частичной неопределенности) истратегические (в условиях полной неопределенности). Игры с природой частоотносят к статистическим играм. В статистической игре имеется возможностьполучения информации на основе статистического эксперимента, при которомвычисляется или оценивается распределение вероятностей состояний (стратегий)природы. С теорией статистических игр тесно связана теория принятияэкономических решений.
Получив некоторое представление о существующих подходах кклассификации игр, можно остановиться на оценках игры.
Рассмотрим матричную игру, представленную матрицей выигрышейm´n, где числострок i = /> а числостолбцов j = /> (см.табл.1). Применим принцип получения максимального гарантированного результатапри наихудших условиях. Игрок 1 стремится принять такую стратегию, котораядолжна обеспечить максимальный проигрыш игрока 2. Соответственно игрок 2стремится принять стратегию, обеспечивающую минимальный выигрыш игрока 1.Рассмотрим оба этих подхода.
Подход игрока 1. Он должен получить максимальный гарантированныйрезультат при наихудших условиях. Значит, при выборе отвечающей этим условиямсвоей чистой стратегии он должен выбрать гарантированный результат в наихудшихусловиях, т.е. наи­меньшее значение своего выигрыша aij, которое обозначим
                                          a.i= />. (1.1)
Чтобы этот гарантированный эффект в наихудших условияхбыл максимальным, нужно из всех a.i, выбратьнаибольшее значение. Обозначим его a и назовемчистой нижней ценой игры (максимин):
                                  a.= /> (1.2)
Таким образом,максиминной стратегии отвечает строка матрицы, которой соответствует элемент а.Какие бы стратегии ни применял игрок 2, игрок 1 максиминной чистой стратегиейгарантировал себе выигрыш не меньший, чем а. Таково оптимальное поведениеигрока 1.
Подход игрока 2.Своими оптимальными стратегиями он стремится уменьшить выигрыш игрока 1,поэтому при каждой j -й чистой стратегии он отыскивает величину своегомаксимального проигрыша
/>(1.3)

в каждом j -м столбце, т.е.определяет максимальный выигрыш игро­ка 1, если игрок 2 применит j -ю чистую стратегию.Из всех своих п 7-х чистых стратегий он отыскивает такую, при которой игрок 1получит минимальный выигрыш, т.е. определяет чистую верхнюю цену игры(минимакс):
/> 
Чистая верхняя ценаигры показывает, какой максимальный выигрыш может гарантировать игрок 1,применяя свои чистые стратегии, — выигрыш, не меньший чем а. Игрок 2 за счетуказанного выше выбора своих чистых стратегий не допустит, чтобы игрок 1 могполучить выигрыш, больший чем β. Таким образом, минимаксная стратегияотображается столбцом платежной матрицы, в котором находится элемент β (см.табл. 1). Она является оптимальной чистой гарантирующей стратегией игрока 2,если он ничего не знает о действиях игрока 1.
Чистая цена игры ν — цена данной игры,если нижняя и верхняя ее цены совпадают. В этом случае игра называется игрой сседловой точкой.
1.2     Стратегии теорииигр
1.2.1  Смешанныестратегии
Еслив матричной игре отсутствует седловая точка в чистых стратегиях, то находятверхнюю и нижнюю цены игры. Они показывают, что игрок 1 не получит выигрыша,превосходящего верхнюю цену игры, и что игроку 1 гарантирован выигрыш, неменьший нижней цены игры.
Смешанная стратегия игрока — это полный набор его чистыхстратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях сзаданными вероятностями. Подведем итоги сказанного и перечислим условияприменения смешанных стратегий:
• игра без седловой точки;
• игроки используют случайную смесь чистых стратегий сзаданными вероятностями;
• игра многократно повторяется в сходных условиях;
• при каждом из ходов ни один игрок не информирован овыборе стратегии другим игроком;
• допускается осреднение результатов игр.
Применяются следующие обозначения смешанных стратегий.
Для игрока 1 смешанная стратегия, заключающаяся вприменении чистых стратегий А1, А2, ..., Ат ссоответствующими вероятностями р1, р2, ..., рт.
/>                                                 
где />.
Для игрока 2
/>
где />.
qj — вероятность применения чистойстратегии Bj.
В случае когда рi= 1, для игрока1 имеем чистую стратегию
/> (1.7)
Чистые стратегии игрока являются единственно возможныминесовместными событиями. В матричной игре, зная матрицу А (она относится и кигроку 1, и к игроку 2), можно определить при заданных векторах />и /> средний выигрыш(математическое ожидание эффекта) игрока 1:
/> (1.8)
где />и />– векторы;
pi и qi – компонентывекторов.
Путем применения своих смешанных стратегий игрок 1стремится максимально увеличить свой средний выигрыш, а игрок 2 — довести этотэффект до минимально возможного значения. Игрок 1 стремится достигнуть
/> (1.9)
Игрок 2 добивается того, чтобы выполнялось условие
/> (1.10)
Обозначим />и /> векторы, соответствующие оптимальнымсмешанным стратегиям игроков 1 и 2, т.е. такие векторы />и />, при которых будет выполненоравенство
/> (1.11)
Цена игры — средний выигрыш игрока 1 при использованииобо­ими игроками смешанных стратегий. Следовательно, решением матричной игрыявляется:
1)  />– оптимальная смешаннаястратегия игрока 1;
2)  />– оптимальная смешаннаястратегия игрока 2;
3)  g – цена игры.
Смешанные стратегии будут оптимальными (/> и />), если образуют седловую точку для функции/> т.е.
/> (1.12)
Существует основная теорема математических игр.
Для матричной игры с любой матрицей А величины
/> и /> (1.13)
существуют и равны между собой: a = b = g.
Следует отметить, что при выборе оптимальных стратегийигро­ку 1 всегда будет гарантирован средний выигрыш, не меньший чем цена игры,при любой фиксированной стратегии игрока 2 (и, наоборот, для игрока 2).Активными стратегиями игроков 1 и 2 называют стратегии, входящие в составоптимальных смешанных стратегий соответствующих игроков с вероятностями,отличными от нуля. Значит, в состав оптимальных смешанных стратегий игроковмогут входить не все априори заданные их стратегии.
Решить игру — означает найти цену игры и оптимальныестрате­гии. Рассмотрение методов нахождения оптимальных смешанных стратегий дляматричных игр начнем с простейшей игры, описываемой матрицей 2´2. Игры с седловой точкой специально рассматриваться не будут. Еслиполучена седловая точка, то это означает, что имеются невыгодные стратегии, откоторых следует отказываться. При отсутствии седловой точки можно получить двеоптимальные смешанные стратегии. Как уже отмечалось, эти смешанные стратегиизаписываются так:

/> (1.14)
Значит, имеется платежная матрица
/> (1.15)
При этом
a11p1 + a21p2= g; (1.16)
a12p1 + a22p2= g; (1.17)
p1 + p2 = 1. (1.18)
a11p1 + a21(1 – p1)= a12p1 + a22(1 – p1); (1.19)
a11p1 + a21 – a21p1= a12p1 + a22 – a22p1, (1.20)
откуда получаем оптимальные значения/>и />:
/> (1.21)
/> (1.22)
Зная /> и />, находим g:
/> (1.23)
Вычислив g, находим />и />:
a11q1 + a12q2= g; q1 + q2 = 1; (1.24)
a11q1 + a12 (1 –q1) = g. (1.25)
/>при a11 ¹ a12. (1.26)
Задача решена, так как найдены векторы /> /> и цена игры g. Имея матрицу платежей А, можно решить задачу графически. При этомметоде алгоритм решения весьма прост (рис. 2.1).
1. По оси абсцисс откладывается отрезок единичной длины.
2. По оси ординат откладываются выигрыши при стратегии А1.
3. На линии, параллельной оси ординат, в точке 1откладываются выигрыши при стратегии a2.
4. Концы отрезков обозначаются для a11-b11, a12-b21, a22-b22, a21-b12 и проводятсядве прямые линии b11b12 и b21b22.
5. Определяется ордината точки пересечения с. Она равна g. Абсцисса точки с равна р2 (р1 = 1 – р2).
/>
Рис. 1.1. Оптимальная смешанная стратегия
Данный метод имеет достаточно широкую областьприложения. Это основано на общем свойстве игр т´п, состоящем втом, что в любой игре т´п каждый игрок имеет оптимальнуюсмешанную стратегию, в которой число чистых стратегий не больше, чем min(m, n). Из этогосвойства можно получить известное следствие: в любой игре 2´п и т´2 каждая оптимальная стратегия /> и /> содержит не более двухактивных стратегий. Значит, любая игра 2´п и т´2 может быть сведена к игре 2´2.Следовательно, игры 2´п и т´2 можно решить графически. Если матрица конечной игры имеет раз­мерностьт´п, где т > 2 и п > 2, то для определенияоптимальных смешанных стратегий используется линейное программирование.
1.2.2  Мажорирование(доминирование) стратегий
Мажорированиепредставляет отношение между стратегиями, наличие которого во многих практическихслучаях дает возможность сократить размеры исходной платежной матрицы игры. Рассмотримэто понятие на примере матрицы:
/> (1.27)
Рассуждая с позиции игрока 2, можно обнаружитьпреимущество его третьей стратегии перед второй, поскольку при первой стратегииигрока 1 выигрыш игрока 2 равен -3 (вторая стратегия) и 1 (третья стратегия), апри второй стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен -2 (вторая стратегия) и-0,5 (третья стратегия). Таким образом, при любой стратегии игрока 1 игроку 2выгоднее применять свою третью стратегию по сравнению со второй; при наличиитретьей стратегии игрок 2, если он стремится играть оптимально, никогда небудет использовать свою вторую стратегию, поэтому ее можно исключить из игры,т.е. в исходной платежной матрице можно вычеркнуть 2-й столбец:
/> (1.28)
С позиции игрока 1 его первая стратегия оказывается хужевторой, так как по первой стратегии он только проигрывает. Поэтому первуюстратегию можно исключить, а матрицу игры преобразовать к виду: (0 0,5).
Учитывая интересы игрока 2, следует оставить только егопервую стратегию, поскольку, выбирая вторую стратегию, игрок 2 оказывается впроигрыше (0,5 — выигрыш игрока 1), и матрица игры принимает простейший вид:(0), т.е. имеется седловая точка.
Мажорирование можно распространить и на смешанные стратегии.Если элементы одной строки не все меньше (или равны) соответствующих элементовдругих строк, но все меньше (или равны) некоторых выпуклых линейных комбинацийсоответствующих элементов других строк, то эту стратегию можно исключить, заменивее смешанной стратегией с соответствующими частотами использования чистыхстратегий.
В качестве иллюстрации к сказанному рассмотрим матрицуигры:
/> (1.29)
Для первых двух чистых стратегий игрока 1 возьмемчастоты их применения (вероятности) равными 0,25 и 0,75.
Третья стратегия игрока 1 мажорируется линейной выпуклойкомбинацией первой и второй чистых стратегий, взятых с частотами 0,25 и 0,75соответственно, т.е. смешанной стратегией:
24 × 0,25 + 0 × 0,75 = 6 > 4; (1.30)
0 × 0,25 + 8 × 0,75 = 6 > 5. (1.31)
Поэтому третью стратегию игрока 1 можно исключить,используя вместо нее указанную выше смешанную стратегию.
Аналогично, если каждый элемент некоторого столбцабольше или равен некоторой выпуклой линейной комбинации соответствующихэлементов некоторых других столбцов, то этот столбец можно исключить израссмотрения (вычеркнуть из матрицы). Например, для матрицы
/> (1.32)
третья стратегия игрока 2 мажорируется смешаннойстратегией из первой и второй его чистых стратегий, взятых с частотами 0,5 и0,5:
10 × 0,5 + 0×0,5 = 5
0 × 0,5 + 10 × 0,5 = 5
Таким образом, исходная матрица игры эквивалентнаматрице следующего вида:
/> (1.35)
Как видно, возможности мажорирования смешанными страте­гиямив отличие от чистых значительно менее прозрачны (нужно должным образомподобрать частоты применения чистых стратегий), но такие возможности есть, иими полезно уметь пользоваться.

/>1.3 Игры с природой
Модели в виде стратегических игр, в экономическойпрактике могут не в полной мере оказаться адекватными действительности,поскольку реализация модели предполагает многократность повторения действий(решений), предпринимаемых в похожих условиях. В реальности количествопринимаемых экономических решений в неизменных условиях жестко ограничено.Нередко экономическая ситуация является уникальной, и решение в условиях неопределенностидолжно приниматься однократно. Это порождает необходимость развития методовмоделирования принятия решений в условиях неопределенности и риска.
Традиционно следующим этапом такого развития являютсятак называемые игры с природой. Формально изучение “игр с природой“, так же каки стратегических, должно начинаться с построения платежной матрицы, чтоявляется, по существу, наиболее трудоемким этапом подготовки принятия решения.Ошибки в платежной матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительнымиметодами и приведут к неверному итоговому результату.
Отличительная особенность игры с природой состоит в том,что в ней сознательно действует только один из участников, в большинствеслучаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 недействует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образомвыбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа»характеризует некую объективную действительность, которую не следует пониматьбуквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых «игроком» 2действительно может быть природа (например, обстоятельства, связанные спогодными условиями или с природными стихийными силами).

2. ПРАКТИЧЕСКОЕИСПОЛЬЗОВАНИЕ СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЙ
 
2.1 Постановка задачи
Выбратьоптимальный режим работы новой системы ЭВМ, состоящей из двух ЭВМ типов А1и А2. Известны выигрыши от внедрения каждого типа ЭВМ в зависимостиот внешних условий, если сравнить со старой системой.
При использовании ЭВМ типов А1 и А2в зависимости от харак­тера решаемых задач В1 и В2(долговременные и краткосрочные) будет разный эффект. Предполагается, чтомаксимальный выигрыш соответствует наибольшему значению критерия эффекта отзамены вычислительной техники старого поколения на ЭВМ A1 и А2.
Итак, дана матрица игры (табл. 1), где A1, А2 — стратегии руководителя; В1, В2 — стратегии, отражающиехарактер решаемых на ЭВМ задач.
Таблица 2.1.
 Игрок 2
Игрок 1
В1
В2
ai
А1 0,3 0,8 0,3
А2 0,7 0,4 0,4
bj 0,7 0,8
Требуетсянайти оптимальную смешанную стратегию руководителя и гарантированный среднийрезультат g, т.е. определить, какую долю времени должныиспользоваться ЭВМ типов A1 и А2.
 
2.2 Описаниеалгоритма решения
Запишем условия в принятых обозначениях:
а11 = 0,3; а12 = 0,8; а21= 0,7; а22 = 0,4.
Определим нижнюю и верхнюю цены игры:
a1 = 0,3; a2 = 0,4; a = 0,4; b1=0,7; b2 = 0,8; b = 0,7.
Получаем игру без седловой точки, так как
/> (2.1)
/> (2.2)
Максиминная стратегия руководителя вычислительного центра– А2.
Для этой стратегии гарантированный выигрыш равен a = 0,4 (40%) по сравнению со старой системой.
Определим g, pl и р2графическим способом (рис. 2.1).
/>
Рис. 2.1. Графическая интерпретация алгоритма решения
Алгоритм решения:
1. По оси абсцисс отложим отрезок единичной длины.
2. По оси ординат отложим выигрыши при стратегии А1.
3. На вертикали в точке 1 отложим выигрыши при стратегииА2.
4. Проводим прямую b11b12, соединяющуюточки а11, а21.
5. Проводим прямую b21b22, соединяющуюточки а12, а22.
6. Определяем ординату точки пересечения с линий b11b12 и b21b22. Она равна g.
7. Определим абсциссу точки пересечения с. Она равна р2,а р1 = l – р2.
Выпишем решение и представим оптимальную стратегию игры:
р1 = 0,375; (2.3)
р2 = 0,625; /> (2.4)
g =0,55. (2.5)
Вывод.При установке новой системы ЭВМ, если неизвестны условия решения задач заказчика,на работу ЭВМ А1 должно приходиться 37,5% времени, а на работу ЭВМ А2 — 62,5%. При этом выигрыш составит 55% по сравнению с предыдущей системой ЭВМ.

3.ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ИГР С ПРИРОДОЙ
3.1Постановка задачи
Рассмотримигры с природой на примере следующей задачи. Необходимо закупить уголь дляобогрева дома. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодногопериода должно быть полностью израсходовано. Предполагается, чтонеизрасходованный зимой уголь в лето пропадает. Покупать уголь можно в любоевремя, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, чтоне известно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать уголь, илимягкой, тогда часть угля может остаться неиспользованной. Очевидно, что уприроды нет злого умысла и она ничего против человека «не имеет». С другойстороны, долгосрочные прогнозы, составляемые метеорологическими службами,неточны и поэтому могут использоваться в практической деятельности только какориентировочные при принятии решений.
Имеются следующие данныео количестве и ценах угля, необходимого зимой для отопления дома (табл. 3.1).Вероятности зим: мягкой — 0,35; обычной — 0,5; холодной — 0,15.Зима Количество угля, т Средняя цена за 1 т, грн. Мягкая 4 7 Обычная 5 7,5 Холодная 6 8
Эти цены относятся к покупкам угля зимой. Летом цена угля 6грн. за 1 т. Есть место для хранения запаса угля до 6 т, заготавливаемоголетом. Если потребуется зимой докупить недостающее количество угля, докупка будетпо зимним ценам. Предполагается, что весь уголь, который сохранится до конца зимы,в лето пропадет.(Предположение делается для упрощенияпостановки и решения задачи.)
Сколько угля летомпокупать на зиму?
 
3.2Решение задач игр с природой
Пользуясь исходными данными, строим матрицу игры. Стратегиямиигрока 1 (человек) являются различные показатели количества тонн угля, которыеему, возможно, следует купить. Состояниями природы выступают вероятности видовзимы.
Вычислим, например, показатель для холодной зимы. Игрок 1приобрел уголь для обычной зимы 5 т по цене 6 грн. за 1 т. Для обогрева он должензакупить еще 1 тонну по цене 8 грн за 1т.
Следовательно, расчет платы за уголь будет 5 × 6 – при заготовке, и зимой 8 × 1. Аналогично производятся расчетыпри других сочетаниях.
В итоге получим следующую платежную матрицу в игре с природойплатежную матрицу (табл. 3.2).
Таблица 3.2.
Вероятность
Зима 0,35 0,5 0,15 Мягкая Обычная Холодная Мягкая (4т) -(4 × 6) -(4 × 6 + 1 × 7,5) -(4 × 6 + 2 × 8) Обычная (5 т) -(5 × 6) -(5 × 6 + 0 × 7,5) -(5 × 6 + 1 × 8) Холодная (6 т) -(6 × 6) -(6 × 6 + 0 × 7,5) -(6 × 6 + 0 × 8)
Произведем расчет ожидаемой средней платы за уголь (табл. 3.3).
Таблица 3.3Зима Средняя ожидаемая плата Мягкая -(24 × 0,35 + 31,5 × 0,5 + 40 × 0,15) = -30,15 Обычная -(30 × 0,35 + 30 × 0,5 + 38 × 0,15) = -31,2 Холодная -(36 × 0,35 + 36 × 0,5 + 36 × 0,15) = — 36

Как видно из табл. 3.3, наименьшая ожидаемая средняя платаприходится на случай мягкой зимы (30,15 грн.). Соответственно если не учитыватьстепени риска, то представляется целесообразным летом закупить 4 т угля, азимой, если потребуется, докупить уголь по более высоким зимним ценам.
Однако, привлекая дополнительную информацию в форме расчетасреднеквадратичного отклонения как индекса риска. Мы можем уточнить принятое наоснове максимума прибыли или минимума издержек решение. Дополнительныерекомендации могут оказаться неоднозначными, зависящими от склонности к рискуЛПР.
Формулы теории вероятности:
Дисперсия случайной величины ξ равна
/>
/>
Среднеквадратичное отклонение составит
где D и М- соответственно символы дисперсии и математического ожидания.
Проводя соответственно вычисления для всех случаев по такомупринципу:
Мягкая зима:
М(ξ2) = — (242 × 0,35 + 31,52 × 0,5 + 402 × 0,15) = — 937,725
(Мξ)2 = -(30,152 ) = — 909,0225
Dξ =937,725- 909,0225 = 28,7025
sx = 5,357

Если продолжить исследование процесса принятия решения ивычислить среднеквадратичные отклонения платы за уголь для мягкой, обычной ихолодной зимы, то соответственно получим:
• для мягкой зимы sx = 5,357;
• для обычной зимы sx = 2,856;
• для холодной зимы sx = 0.
Минимальный риск, естественно, будет для холодной зимы, однакопри этом ожидаемая средняя плата за уголь оказывается максимальной — 36 ф. ст.
Вывод. Мы склоняемся к варианту покупки угля для обычнойзимы, так как ожидаемая средняя плата за уголь по сравнению с вариантом длямягкой зимы возрастает на 3,5%, а степень риска при этом оказывается почти в 2раза меньшей (sx = 2,856 против5,357).
Отношение среднеквадратичного отклонения к математическомуожиданию, вариабельность (средний риск на затрачиваемый 1 ф. ст.) для обычнойзимы составляет 2,856/31,2 = 0,0915 против аналогичного показателя для мягкой зимы,равного 5,357/30,15 = 0,1777, т.е. вновь различие почти в 2 раза.
Эти соотношения и позволяют рекомендовать покупку угля,ориентируясь не на мягкую, а на обычную зиму.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение даннойработы можно сделать вывод о необходимости использования теории игр всовременных экономических условиях.
В условиях альтернативы(выбора) очень часто нелегко принять решение и выбрать ту или иную стратегию.Исследование операций позволяет с помощью использования соответствующихматематических методов принять обоснованное решение о целесообразности той илииной стратегии. Теория игр, имеющая в запасе арсенал методов решения матричныхигр, позволяет эффективно решать указанные задачи несколькими методами и из ихмножества выбрать наиболее эффективные, а также упрощать исходные матрицы игр.
В данной работе былипроиллюстрированы практическое применение двух основных стратегий теории игр исделаны соответствующие выводы.

СПИСОКИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.        Тернер Д.Вероятность, статистика, исследование операций: Пер. с англ. – М.: Высш.шк.,1971.
2.        Мак Киси Дж.Введение в теорию игр: Пер. с англ. – М.: Физматгиз, 1960.
3.        Нейман Дж.,Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение: Пер. с англ. – М.: Наука,1970.
4.        Замков О.О.,Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.: ДИС,1997.
5.        Дубров А.М.Математико-статистическая оценка эффективности в экономических задачах. – М.:Финансы и статистика, 1982.
6.        Дубров А.М.Последовательный анализ в статистической обработке информации. – М.:Статистика, 1976.
7.        Вальд А.Последовательный анализ: Пер. с англ. – М.: Физматгиз, 1960.
8.        Моделированиерисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб. пособие /А.М. Дубров, Б.А. Лагоша,Е.Ю. Хрусталев, Т.П. Барановская; Под ред. Б.А. Лагоши. – 2-е изд., пере раб. идоп. – М.: Финансы и статистика, 2001.