СИБИРСКИЙУНИВЕРСИТЕТ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КООПЕРАЦИИ
Контрольнаяработа №1
Дисциплина Экономико-математическиеметоды
Применениематематического моделирования в экономике
Студент
Качан Татьяна Юрьевна
2010 г.
Содержание
1. Задание1
2. Задание2
3. Задание3
4. Задание4
5. Задание5
6. Задание6
7. Задание7
8. Задание8
Список используемой литературы
Задание 1Производственные функции
1. Дайтепонятие производственной функции и изокванты. Что означает взаимозаменяемостьресурсов?
Производственнойфункцией называется зависимость количества продукта, которое может произвести фирма,от объемов затрат ресурсов. Производственная функция характеризует чистотехническую зависимость между количеством применяемых ресурсов и объемомвыпускаемой продукции в единицу времени. Производственная функция описываетмножество технически эффективных способов производства заданного объемапродукции. Изокванта (в теории производственных функций) — это геометрическоеместо точек в пространстве ресурсов, в которых различные сочетанияпроизводственных ресурсов дают одно и то же количество выпускаемой продукции. Взаимозаменяемостьресурсов — это возможность использования разных видов ресурсов для достижениянародно-хозяйственного оптимума. Различают взаимозаменяемость ресурсовтехническую и экономическую. Разработаны экономико-математические модели расчетовэффективности взаимной замены ресурсов.
2. Производственнаяфункция для райпо имеет вид f(x1,x2)=10√x1*√x2,где f – товарооборот, млн.руб.; x1– производственная площадь, тыс.кв. м; x2– численность работников, сотни чел. Рассмотрите изокванту уровня y0=√100+β и найдите на ней точку С1с координатами x1, x2,где x1=(β-100)/100,и точку С2 с координатами x1,x2,где х2=(β-300)/100.Сделайте вывод о возможности замены ресурсов (x1,x2)и (x1,x2).Полученные результаты изобразите графически.
Решение: числоβ=523, тогда уравнение изокванты 10√x *√x=√523,( 100+523= 623).
Возводя обе части вквадрат и деля их на 100, получим: х1*х2=6,23.
Найдем координаты точкиС1.Так как х1=(523-100)/100=4,23, то изуравнения изокванты находим х2=6,23/4,23=1,47.Аналогично находим координаты точки С2.Так как х2=(523-300)/100=2,23, то х1=6,23/2,23=2,79.
Итак, 147 работниковрайпо, используя 4,23 тыс.кв.метров производственной площади, обеспечаттоварооборот √623≈25,0 (млн.руб.), и такой же товарооборот могутобеспечить 223 работника райпо, используя площадь 2,79 тыс.кв. метров (рис.1).
/>
Задание 2.Классификация товаров
1. Дайте понятиемалоэластичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Какие товарыназываются взаимозаменяемыми?
Если ценоваяэластичность больше единицы, то такой товар принято называть высокоэластичным;если меньше единицы — низкоэластичным; если равен единице — товар с единичнойэластичностью.
Если небольшиеизменения в цене на товар приводят к значительным изменениям в количествепокупаемой продукции, то такой спрос называют относительно высокоэластичным. Еслисущественное изменение в цене ведет к небольшому изменению в количествепокупок, то такой спрос — малоэластичный. Когда процентное изменение цены ипоследующее изменение количества спрашиваемой продукции равны по величине, тотакой случай называют среднеэластичностью.
Взаимозаменяемые товары— по определению Закона РФ «О конкуренции и ограничении монополистическойдеятельности на товарных рынках» от 22 марта 1991 г. «группа товаров,которые могут быть сравнимы по их функциональному назначению, применению,качественным и техническим характеристикам, цене и другим параметрам такимобразом, что покупатель действительно заменяет или готов заменить их другдругом в процессе потребления (в том числе производственного)».
При повышении цены наодин из таких товаров растет спрос на другой, заменяющий его товар.
2. Произведитеклассификацию товаров по следующей таблице эластичностей:Товар Первый Второй Третий Первый β-610/100 550,5-β/100 570,5-β/100 Второй 550,5-β/120 β-640/100 520-β/100 Третий 570,5-β/120 520-β/90 680-β/100
Пусть β=523. Тогдатаблица эластичностей принимает вид:Товар Первый Второй Третий Первый -0,87 0,28 0,48 Второй 0,23 -1,17 -0,03 Третий 0,40 -0,03 -1,57
Так как |Е11|=0,87 ‹ 1, то первый товар малоэластичный;
так как |Е22¦= 1,17 › 1, то второй товар высокоэластичный;
так как |Е33|=1,57 › 1, то третий товар высокоэластичный.
Поскольку Е12=0,028 › 0 и Е21=0,23 › 0, то первый и второй товарывзаимозаменяемые.
Поскольку Е13=0,48 › 0 и Е31=0,40 › 0, то первый и третий товарывзаимозаменяемые.
Поскольку Е23=-0,03 ‹ 0 и Е32=-0,03 ‹ 0, то второй и третийтовары взаимодополняемые.
Задание 3. Межотраслевойбаланс
1. Дайтеопределение коэффициентов прямых затрат. Где они могут быть использованы?
aij = xij / Xj,
где aij — коэффициентпрямых затрат продукта i на производство единицы продукта j, xij — общий объёмзатрат продукта i на производство продукта j, Xj — весь объём производствапродукта j. К. п. з. изменяются под влиянием технического прогресса, улучшенияорганизации производства и т. п. и тем самым отражают рост эффективностиобщественного производства.
Коэффициенты прямыхзатрат aij — это отношение объема продукта i-ой отрасли, используемого заотчетный период j-ой отраслью, к валовому выпуску продукции j-ой отрасли.
Коэффициенты прямыхзатрат могут использоваться для определения планового производства валовойпродукции отраслей.
2. Заотчетный период имел место следующий баланс продукции:
x1=x11+x12+у1
x2=x21+x22+у2
x11=800- β;
x12=700- β
x21=750- β;
x22=850- β
у1=300;
у2=220
а) Вычислитекоэффициенты прямых затрат.
б) Вычислите плановыйобъем валовой продукции отраслей, если план выпуска конечной продукции y1=350; y2=250при условии неизменности технологии производства.
x11=800-523=277
x12=700-523=177
x21=750-523=227
x22=850-523=327
x1=277+177+300=754
x2=227+327+220=774
а) Вычислимкоэффициенты прямых затрат:
а11=х11/х1=277/754=0,367
а12=х12/х2=177/774=0,229
а21=х21/х1=227/754=0,301
а22=х22/х2=327/774=0,422
б) Вычислим плановыйобъем валовой продукции отраслей:
(1-0,367)х1-0,229х2=3500,633х1-0,229х2=350
-301х1+(1-0,422)х2=250-0,301х1+0,578х2=250
Выразим из первого уравненияx1:
0,633х1=350+0,229х2
х1=350/0,633+0,229/0,633х2
х1=552,923+0,362х2–и поставим во второе уравнение
-0,301(552,923+0,362х2)+0,578х2=250
-166,43-0,109х2+0,578х2=250
0,578х2-0,109х2=250+166,43
0,469х2=416,43
х2=416,43/0,469=887,91
х1=552,923+0,362*887,91=552,923+321,423=874,346.
Таким образом, х1=874,346– плановый объем валовой продукции первой отрасли;
х2=887,91– плановый объем валовой продукции второй отрасли.
Задание 4.Использование метода теории игр в торговле
1. Объясните смыслэлементов платежной таблицы и способы выбора стратегий с позиций крайнегопессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма. Рассмотрим проблемууценки неходового товара с целью получения возможно большей выручки отреализации. Предположим, что эластичность спроса в зависимости от ценынеизвестна, т.е. неясно, как отреагирует рынок на то или иное снижение цены.Иными словами, нужно принять решение в условиях неопределенности. В такомслучае можно использовать методы теории игр. Обозначим А1, А2, …, Аm – стратегииснижения цены на товар на α1%, α2%,…, αm% соответственно.Возьмем достаточно подробный перечень возможных значений эластичности ε1,ε2 ,…, εn. Если выбрать определенную стратегию Аi и знатьэластичность товара εj, то, используя еще некоторые, обычно известныевеличины, можно подсчитать выручку от реализации товара аij. Проделав это длявсех Аi и для всех εj, получим платежную таблицу. В таблице представленподробный перечень различных ситуаций. Для принятия решения можно использоватьследующие способы.
Подходс позиции крайнего пессимизма
Онзаключается в том, чтобы считать, что при выборе любой стратегии Аi эластичностьтовара будет самая неблагоприятная и выручка αi будетминимально возможной, т.е.
αi= min (αi1, αi2,…,αim).
Вычисливвсе величины αi (α1, α2,…,αm),нужно взять наибольшую из них α: α = max (αi).
Тастратегия, которая соответствует числу α, и есть стратегия крайнегопессимизма. Иначе говоря, такая стратегия есть наилучший выбор из плохихситуаций, и эта стратегия гарантирует, что, как бы ни сложилась действительнаяситуация, выручка будет не меньше, чем α.
Подходс позиции крайнего оптимизма
Онзаключается в том, чтобы считать, что при выборе любой стратегии Аi эластичностьбудет наиболее благоприятной и выручка βi наибольшая, т.е.
βi=max (αi1, αi2,…,αim).
Вычисливвсе βi, нужно взять наибольшую из них: β = max (βi).
Тастратегия, которая соответствует величине β, и есть искомая.
Подходс позиции пессимизма-оптимизма
Рассмотримвеличину H = max [(1-/>)/>+ />], где
λ– числовой параметр, 0/>1
Предлагаетсявыбирать стратегию, соответствующую величине H.
Приλ = 0 Н = max αi= α, и этот подход превращается вподход с позиции крайнего пессимизма. При λ = 1 Н = max βi=β, и этот подход превращается в подход с позиции крайнего оптимизма. Вообще,величина Н при изменении λ от 0 до 1 непрерывно изменяется от α доβ, и выбор некоторого промежуточного λ соответствует сочетаниюпессимизма и оптимизма при выборе стратегии. Возьмем, например, λ=0,5 и вычислим
/>,
азатем выберем наибольшее из них
/>
Стратегию,на которой достигается величина γ, будем называть соответствующей подходус позиции пессимизма-оптимизма.
2. Выберите стратегии спозиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма дляследующей платежной таблицы. Укажите соответствующие выигрыши.А Е Е1 Е2 Е3 А1 β -490 β -480 620- β А2 610- β 620- β 630- β А3 Ι550-βΙ +10 Ι560- βΙ+10 640- β
Для числа β=523таблица приобретает вид: А Е Е1 Е2 Е3 А1 33 43 97 А2 87 97 107 А3 37 47 117
Выберем по каждойстроке таблицы минимальное из чисел αi, максимальное βi, а затемвычислим их полусумму γi. А Е Е1 Е2 Е3 αi βi γi А1 33 43 97 33 97 65 А2 87 97 107 87 107 97 А3 37 47 117 37 117 77
Получим:
α= max (α 1,α 2,α 3,)=(33,87,37)=87;
β= max (β1,β2,β3)=max(97;107;117)=117;
γ= max (γ1,γ2,γ3)=max(65,97,77)=97.
Так как α =87 иэто число находится в строке, соответствующей А2,то А2– стратегия крайнего пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 87 единицам. Так как β=117 и это число находится в строке, соответствующей А3,то А3стратегия крайнего оптимизма, ожидаемый выигрыш равен 117 единицам. Так какγ =97 и это число находится в строке, соответствующей А2,то А2стратегия оптимизма-пессимизма, ожидаемый выигрыш равен 97 единицам.
Задание 5. Системымассового обслуживания
1. Дайте описаниевходящего потока требований и каналов обслуживания. Какие экономическиепоказатели характеризуют работу СМО?
Системымассового обслуживания — это такие системы, в которые в случайные моментывремени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявкиобслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания. Спозиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когдаобразуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующимобразом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очередидругих (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требованиеиз находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. Послезавершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживанияприступает к обслуживанию следующего требования, если такое имеется в блокеожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного родаповторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы.При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередноготребования после завершения обслуживания предыдущего требования происходитмгновенно, в случайные моменты времени.
Обслуживаниетребований в СМО производится обслуживающими приборами. Классическая СМОсодержит от одного до бесконечного числа приборов. Основными элементами СМОявляются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства,(каналы) и выходящий поток требований Входящий поток требований — совокупностьтребований, поступающих в СМО. В общем случае под требованием обычно понимаютзапрос на удовлетворение некоторой потребности. Входящий поток требованийизучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшегоулучшения качества обслуживания. В большинстве случаев входящий потокнеуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающихв единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является такжеинтервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднееколичество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервалвремени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицувремени, называется интенсивностью поступления требований, и она показывает,сколько в среднем требований поступает в единицу времени.
Средства,обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналамиобслуживания. Одной из важнейших характеристик обслуживающих устройств, котораяопределяет пропускную способность всей системы, является время обслуживания.Время обслуживания одного требования — случайная величина, которая можетизменяться в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самихобслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему,требований. Интенсивность обслуживания показывает, сколько в среднем требованийобслуживается одним каналом в единицу времени.
Экономические показатели,характеризующие работу СМО:
Pk — доля времениработы k каналов, k=0,1,+,n;
L — средняя длинаочереди
P0 — вероятность того,что система свободна
П — вероятностьобразования очереди
Pотк — вероятность отказав обслуживании
g — относительнаяпропускная способность
А — абсолютнаяпропускная способность
nзан — среднееколичество занятых каналов
tож — среднее времянахождения в очереди
2. В магазинесамообслуживания работают две кассы с интенсивностью µ=(β+300)/100(треб./мин.) каждая. Входящий поток требований имеет интенсивность λ=(β+400)/100(треб./мин.). Рассчитай те долю времени простоя касс и среднюю длину очереди.Если интенсивность входящего потока станет равной λ =(700- β)/10(треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то восколько раз увеличится средняя длина очереди?
Пусть β =523.Тогда µ=8,23 (треб./мин.), а первоначальное значение λ равно 9,23(треб./мин.)
α =9,23/8,23=1,122
р0=(2-1,122)/(2+1,122) = 0,878/3,122 = 0,281 (р0 =28,1%)
L1=(1,122) /4- (1,122) = 1,412/2,741 = 0,515 (треб.)
Если интенсивность λстанет равной (700-523)/10 = 17,7 (треб./мин.), то в силу неравенства 17,7 ›2·8,23 условие стационарности СМО не будет выполнено.
Задание 6 Оптимальноеуправление запасами
1. Сформулируйте задачуоптимального управления запасами.
Задача: определитьтакой объем заказываемой партии товара, при котором затраты на складскиеоперации в единицу времени будут минимальные и темп поступления заказанноготовара будет, превышает норму спроса на этот товар.
2. Дайте экономическую интерпретациюпредельной арендной платы.
Предельнаяарендная плата λ экономически интерпретируется как предельная(максимальная) арендная плата за использование дополнительных складскихемкостей. Если фактическая арендная плата α /> меньше либо равна предельнойλ />,т.е. α ≤ λ, то аренда выгодна, если же α › λ, тоаренда не выгодна.
3. Сделайте вывод оцелесообразности аренды дополнительных складских емкостей или о необходимостисокращения объема заказываемой партии товара с учетом имеющихся складскихемкостей при сравнении фактической α (руб/кг*сут) и предельной λ (руб/кг*сут)арендной платы за хранение единицы товара в единицу времени.
α = (700 – β)/ 4000
λ = (β – 400)/ 4000
Решение
α = (700 – 523) /4000 = 0,044 (руб/кг*сут)
λ = (523– 400) / 4000= 0,031 (руб/кг*сут)
α › λ
Вывод: фактическаяарендная плата больше предельной арендной платы. Следовательно, арендадополнительных складских емкостей невыгодна, и тогда объем заказываемой партиинадо сократить до таких пределов, чтобы возникший товарный запас можно былоразместить в имеющихся складских емкостях.
Задание 7. Выборочныйметод
1. Дайте понятиягенеральной и выборочной совокупностей.
Совокупностьгенеральная — множество результатов всех возможных наблюдений, которые могли быбыть получены при данном исследовании. При выборочном наблюдении совокупностьгенеральную называют совокупность (множество) объектов, из которых производитсявыборка.
Выборочная совокупность- часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с темчтобы сделать заключение о всей генеральной совокупности.
2. Определите соотношениямежду доверительными интервалами:
а) при фиксированныхзначениях среднеквадратического отклонения σ,надежности Р и различных значениях объема выборки
n1=610-β, n2= β -490;
б) при фиксированныхзначениях среднеквадратического отклонения σ,объема выборки n и различных значениях надежности
р1=800-β /400
р2=β-300/400
в) при фиксированныхзначениях надежности Р, объема выборки n и различных значениях среднеквадратическогоотклонения
σ1=(700- β)/100
σ2= (β – 400)/100
а) n1=610-523=87; n2=523-490=33.
Объемы выборокнаходятся в соотношении n1 >n2. Тогда из формулы нахождения погрешности следует,что при возрастании объема выборки n значение Δ уменьшается и Δ1
Задание 8.Корреляционные методы
1. Дайте понятияфункциональной и корреляционной зависимостей.
Корреляционнаязависимость — это такая связь между результативными и факторными признаками,когда значение результативного признака функции полностью определяетсязначениями факторных признаков.
Функциональнаязависимость — форма устойчивой взаимосвязи между объективными явлениями илиотражающими их величинами, при которой изменение одних явлений вызывает определенноеколичественное изменение (определенным значениям факторных признаковсоответствует множество случайных значений результативного признака).
2. Коэффициенткорреляции. Его смысл и свойства.
Коэффициент корреляциипоказывает степень статистической зависимости между двумя числовымипеременными.
Коэффициентомкорреляции rхуслучайныхвеличинX и Yназывается отношение корреляционного момента к произведению среднихквадратических отклонений этих величин.
rxy=µxy/σxσy
Коэффициент корреляцииявляется безразмерной величиной. Коэффициент корреляции независимых случайныхвеличин равен нулю.
Свойства:
1. Абсолютнаявеличина корреляционного момента двух случайных величин Х и Y не превышаетсреднего геометрического их дисперсий.
│µxy│≤√DxDy
2. Абсолютнаявеличина коэффициента корреляции не превышает единицы.
│rxy│≤1
Случайные величиныназываются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля, инекоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю. Если случайныевеличины независимы, то они и некоррелированы, но из некоррелированности нельзясделать вывод о их независимости. Если две величины зависимы, то они могут бытькак коррелированными, так и некоррелированными.
3. Оцените теснотусвязи и направление связи между признаками x и y, если известны: b – коэффициентрегрессии, />–среднеквадратические отклонения признаков x и y.
/>/>/>
Направление и теснотасвязи между признаками x и y оцениваются на основе коэффициента корреляции,который рассчитывается по формуле
/>
b= (-1) (650-523)/300 = -0,423;
/> =(700-523)/100 = 1,77;
/> =(523-400)/100 = 1,23;
r= -0,423*1,77/1,23 = -0,423*1,439 = -0,609;
r= -0,609.
Полученный коэффициенткорреляции показывает, что связь между признаками x и y умеренная и обратная,т.е. при возрастании факторного признака x значение результативного признака yуменьшается.
Список используемойлитературы
1. ИваниловЮ.П., Лотов А.В. Математические методы в экономике – М.: Наука, 1979.
2. ЛопатниковЛ.И. Экономико-математический словарь. – М.: Наука, 1987.
3. Экономико-математическиеметоды и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева.- М.: ЮНИТИ, 2000.
4. ГроменкоВ. В. Математическая экономика: Учебно-практическое пособие, руководство поизучению дисциплины, учебная программа по дисциплине / Московскийгосударственный университет экономики, статистики и информатики. – М.: МЭСИ,2004. – 100 с.
5. ЩедринИ.И., Кархов А.Н. Экономико-математические методы в торговле. – М.: Экономика,1980.