ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПООБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ»
КАФЕДРА СТАТИСТИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
по дисциплине«ЭКОНОМЕТРИКА»
ВАРИАНТ № 5
Санкт-Петербург
2009
1. По 10 банкам изучается зависимость прибыли (у – млн. руб.)от вложений в уставные капиталы предприятий (х – млн. руб.):
№
Прибыль, млн. руб.
Вложения в уставные капиталы предприятий, млн. руб.
1
55,3
20
2
50,2
25
3
60,9
35
4
62,8
42
5
63,9
47
6
64,5
50
7
65,5
55
8
66,8
63
9
67,9
70
10
69,3
80
1. Построить полекорреляции рассматриваемой зависимости.
2. Определитьуравнение регрессии полулогарифметической модели: /> =а + b*lnх.
3. Найти индекскорреляции и сравнить его с линейным коэффициентом корреляции. Пояснить причиныразличий.
4. Найти среднююошибку аппроксимации.
5. Рассчитатьстандартную ошибку регрессии.
6. С вероятностью0,95 оценить статистическую значимость уравнения и коэффициента регрессии.Сделать выводы.
7. С вероятностью0,95 оценить доверительный интервал ожидаемого размера прибыли, если вложения вуставные капиталы предприятий составят 45 млн. руб.решение
При изучении зависимости между двумя признаками графическийметод подбора вида уравнения регрессии достаточно нагляден. Он основан на полекорреляции.
/>
Рисунок 1.1. Поле корреляции, характеризующее зависимость прибылиот вложений в ставные капиталы предприятий.
Для определения параметров полулогарифмической функциииспользуется система нормальных уравнений следующего вида:
/>.
Таблица 1.1
Определение параметров регрессии№ у
у2 х lnx
/>
(lnx)2 у*lnx 1 55,3 3058,09 20 2,996 0,655 8,974 165,664 2 50,2 2520,04 25 3,219 0,344 10,361 161,588 3 60,9 3708,81 35 3,555 0,062 12,640 216,521 4 62,8 3943,84 42 3,738 0,005 13,970 234,726 5 63,9 4083,21 47 3,850 0,002 14,824 246,024 6 64,5 4160,25 50 3,912 0,011 15,304 252,325 7 65,5 4290,25 55 4,007 0,041 16,059 262,480 8 66,8 4462,24 63 4,143 0,114 17,166 276,761 9 67,9 4610,41 70 4,248 0,197 18,050 288,473 10 69,3 4802,49 80 4,382 0,333 19,202 303,674 Сумма 627,1 39639,63 487 38,051 1,764 146,550 2408,237 Среднее 62,710 3963,96 48,700 3,805 - 14,655 240,824 s 5,605 - - 0,421 - - -
/>.
а = /> =0,02;
b = /> = 16,428.
Итак, получили следующее уравнении регрессии: /> = 0,02 + 16,428*lnх.
Подставляя в уравнении регрессии фактические значения х,получаем теоретические значения результата />.По ним рассчитываем показатель тесноты связи – индекс корреляции.
rху = />
Таблица 1.2
Расчет коэффициента корреляции№ у
/>
/>
/> 1 55,3 49,23 36,80 54,91 2 50,2 52,90 7,29 156,50 3 60,9 58,43 6,11 3,28 4 62,8 61,42 1,90 0,01 5 63,9 63,27 0,40 1,42 6 64,5 64,29 0,05 3,20 7 65,5 65,85 0,12 7,78 8 66,8 68,08 1,65 16,73 9 67,9 69,81 3,66 26,94 10 69,3 72,01 7,33 43,43 Сумма 627,1 625,30 65,31 314,19 Среднее 62,710 - - -
rху = /> = 0,89 – связь сильная.
Рассчитаем линейный коэффициент корреляции:
rxy = b*/> = 16,428*/> = 0,91 – данное значениеблизко к единице и означает наличие очень тесной зависимости прибыли отвложений в уставные капиталы предприятий.
Мы получили различие между индексом корреляции и линейнымкоэффициентом корреляции из-за различий в принимаемой базе при расчетах, т.е. водном случае используется потенцированное значение, а в другомнепотенциированное.
Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетныхзначений от фактических:
/> = />*100%.
Таблица 1.3
Расчет средней ошибки аппроксимации№ у
/>
/> 1 55,3 49,23 0,110 2 50,2 52,90 -0,054 3 60,9 58,43 0,041 4 62,8 61,42 0,022 5 63,9 63,27 0,010 6 64,5 64,29 0,003 7 65,5 65,85 -0,005 8 66,8 68,08 -0,019 9 67,9 69,81 -0,028 10 69,3 72,01 -0,039 Сумма 627,1 625,30 0,040
/> = />*0,040*100= 0,4% — в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 0,4%.
Стандартная ошибка регрессии, как и ошибка аппроксимации,служит для оценки качества уравнения регрессии. Ошибка определяется по формуле:
S = /> = /> = 2,857.
f-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит впроверке гипотезы Н0о статической незначимости уравнения регрессиии показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнения фактического Fфакт и критического Fтабл значений f-критерия Фишера.
Fфакт определяется из соотношения:
Fфакт = /> = /> = 30,48,
где n –число единиц совокупности;
m – число параметров при переменных х.
Поскольку Fфакт > Fтабл. = 5,32, то Н0– гипотеза о случайной природеоцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимостьи надежность.
Для параметров парной регрессии средняя ошибка оценкивычисляется:
mb = /> = /> = 2,151;
tb = /> = /> = 7,637.
Табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости0,05 и количестве степеней свободы 10 – 2 = 8 составляет 2,306.
Вывод: полученное значение критерия tb по модулю больше табличного,следовательно, можно отклонить гипотезу о несущественности коэффициентарегрессии b.
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использоватьего для прогноза. Если вложения в уставные капиталы предприятий составят 45млн. руб., то вложения в уставные капиталы предприятий будут:
/> = 0,02 + 16,428*ln45 = 62,556 млн. руб.
Ошибка прогноза вычисляется по формуле:
m/>= sост*/> = 2,857*/> = 2,857*1,049 = 2,997.
Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будетпревышена, составит:
D/> = tтабл* m/> = 2,306*2,997 = 6,911.
Доверительный интервал прогноза:
g/> = />± D/> = 62,556 ± 6,911;
g/>min = /> — D/> = 62,556 – 6,911 = 55,645;
g/>mах = />+ D/> = 62,556 + 6,911 = 69,467.
Итак, ожидаемый размер прибыли, если вложения в уставныекапиталы предприятий составят 45 млн. руб., не выйдет с вероятностью 0,95 запределы интервала [55,645; 69,467] млн. руб.
2. По 20 предприятиям региона, выпускающим однороднуюпродукцию построена модель объема выпуска (у – тыс. ед.) от численности занятых(х1 — человек), элекровооруженности труда (х2 – кВт*часна 1 работника) и потерь рабочего времени (х3 — %). Результатыоказались следующими:
/> = а + 1,8*х1 + 3,2*х2 – 2,1*х3 R2 = 0,875
(2,1) (3,4) (4,9) (1,9)
В скобках указаны фактические значения t-критерия для параметров уравнениярегрессии.
Кроме того, известна следующая информация:
Среднее значение
Коэффициент вариации, %
у
25
40
х1
420
20
х2
30
35
х3
18
10
1. Датьинтерпретацию коэффициентов регрессии и оценить их значимость. Сделать выводы.
2. Оценить параметра.
3. Оценитьзначимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера с вероятностью 0,95. Сделать выводы.
4. Построитьуравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе и сделатьвыводы.
5. Найти частные коэффициентыкорреляции и сделать выводы.
6. Дать интервальнуюоценку для коэффициентов регрессии.
7. Определитьчастные средние коэффициенты эластичности и сделать выводы.
8. Оценитьскорректированный коэффициент множественной детерминации.решение
Интерпретация уравнения регрессии: параметр b1 свидетельствует о том, что с увеличением численностизанятых на 1 чел., объем выпуска увеличивается на 1,8 тыс. ед. при постоянномуровне электровооруженности труда и потерь рабочего времени.
Увеличение электровооруженности труда на 1 кВт.час на 1работника объем выпуска увеличивается на 3,2 тыс. ед. при постоянном уровнечисленности занятых и потерь рабочего времени.
Увеличение же потерь рабочего времени на 1% объем выпускаснижается на 2,1 тыс. ед. при постоянном уровне численности занятых иэлекровооруженности труда.
Оценку статистической значимости коэффициентов регрессиипроведем с помощью t-статистикиСтьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.
Выдвигаем гипотезу Н0о статистически незначимомотличии коэффициентов регрессии от нуля.
tтабл для числа степеней свободы df = n – 2= 20 – 2 = 18 и a =0,05 составит 2,101.
Фактические значения t-статистики:
tb1 = 3,4 > tтабл =2,101;
tb2 = 4,9 > tтабл =2,101;
tb3 = -1,9
Гипотеза Н0отклоняется, т.е. b1 и b2 не случайно отличаются от 0, астатистически значимы. Гипотеза Н0не отклоняется в случаекоэффициента b3, данный коэффициент следует признать статистическинезначимым.
Выдвигаем гипотезу Н0о статистически незначимомотличии показателя а от нуля.
tтабл для числа степеней свободы df = n – 2= 20 – 2 = 18 и a =0,05 составит 2,101.
Фактические значения t-статистики: tа = 2,1 > tтабл = 2,10.
Гипотеза Н0отклоняется, т.е. параметр а неслучайно отличаются от 0, а статистически значим.
f-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит впроверке гипотезы Н0о статической незначимости уравнения регрессиии показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнения фактического Fфакт и критического Fтабл значений f-критерия Фишера.
Fфакт определяется из соотношения:
Fфакт = /> = /> = 37,33,
где n –число единиц совокупности;
m – число параметров при переменных х.
Поскольку Fфакт > Fтабл. = 3,24, то Н0– гипотеза о случайной природеоцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимостьи надежность.
Для построения уравнения в стандартизованном масштаберассчитаемbi, используя формулы для перехода от bi к bi:
bi = bi*/>.
Таблица 2.1
Расчет среднеквадратического отклонения Среднее значение Коэффициент вариации, % s (1) (2) (3) (4) = (2)*(3) у 25 40 10
х1 420 20 84
х2 30 35 10,5
х3 18 10 1,8
b1= 1,8*/> = 15,12;
b2= 3,2*/> = 3,36;
b3= -2,1*/> = -0,38;
Получим уравнение: ty = 15,12*tx1+ 3,36*tx2 – 0,38*tх3.
Анализ β-коэффициентов показывает, что на объем выпускаиз трех исследуемых факторов сильнее оказывает фактор X1 – численность занятых, так как ему соответствует наибольшеезначение β-коэффициента.
Частные коэффициенты корреляции можно определить по формулена основе коэффициентов детерминации:
ryx1*x2x3 = />;
ryx2*x1x3 = />;
ryx3*x1x2 = />.
Определяем частный коэффициент корреляции у с х1:
Fх1 = />;
tb1 = /> Þ Fх1 = /> =3,42 = 11,56;
/> = R2 — /> = 0,875 — /> = 0,785;
ryx1*x2x3 = /> = 0,647.
При постоянном уровне электровооруженности труда и потерьрабочего времени объем выпуска тесно зависит от численности занятых (теснотазависимости соответствует 0,647).
Определяем частный коэффициент корреляции у с х2:
Fх2 = />;
tb2 = /> Þ Fх2 = /> =4,92 = 24,01;
/> = R2 — /> = 0,875 — /> = 0,687;
ryx2*x1x3 = /> = 0,775.
При постоянном уровне численности занятых и потерь рабочеговремени объем выпуска тесно зависит от электровооруженности труда (теснотазависимости соответствует 0,775).
Определяем частный коэффициент корреляции у с х3:
Fх3 = />;
tb3 = /> Þ Fх3 = /> =1,92 = 3,61;
/> = R2 — /> = 0,875 — /> = 0,847;
ryx2*x1x3 = /> = 0,428.
При постоянном уровне численности занятых и электровооруженноститруда объем выпуска средне зависит от потерь рабочего времени (теснотазависимости соответствует 0,428).
Для расчета доверительного интервала определяем предельнуюошибку для коэффициентов регрессии при факторах:
D = tтабл*mbxi,
где mbx1= /> = /> = 0,529;
mbx2 = /> = /> = 0,653;
mbx3 = /> = /> = -1,105;
- для b1
D = 2,11*0,529 = 1,116.
b1 — D =1,8 – 1,1 = 0,7;
b1 +D =1,8 + 1,1 = 2,9.
Итак, интервальное значение для коэффициента регрессии прифакторе х1 с вероятностью 0,95 следующее [0,7; 2,9].
- для b2
D = 2,11*0,653 = 1,378.
b2 — D =3,2 – 1,4 = 1,8;
b2 +D =3,2 + 1,4 = 4,6.
Итак, интервальное значение для коэффициента регрессии прифакторе х2 с вероятностью 0,95 следующее [1,8; 4,6].
- для b3
D = -2,11*1,105 = -2,332.
b2 — D =-2,1 + 2,3 = 0,2;
b2 +D =-2,1 — 2,3 = -4,4.
Итак, интервальное значение для коэффициента регрессии прифакторе х3 с вероятностью 0,95 следующее [-4,4; 0,2].
Частные коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитывают,как правило, при средних значениях факторов и результата:
/> = bi*/>.
/> = 1,8*/> =30,24;
/> = 3,2*/> = 3,84;
/> = -2,1*/> = -1,51.
Анализ частных коэффициентов эластичности показывает, что поабсолютному приросту наибольшее влияние на значение объема выпуска оказываетфактор X1 – численность занятых, увеличение данного фактора на1 пункт приводит к увеличению объема выпуска на 30,24 пункта. Увеличение электровооруженноститруда на 1 пункт приводит к увеличению объема выпуска на 3,84 пункта. Аувеличение потерь рабочего времени на 1 пункт приводит к снижению объемавыпуска на 1,51 пункта.
Скорректированный коэффициент множественной детерминациисодержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле:
/> = 1 – (1 – R2)*/> = 1 – (1 – 0,875)*/> = 0,852.
3. Показать, что в следующей системе одновременных уравненийточно идентифицируемым является одно из уравнений:
/>
Какое это уравнение? Имеет ли оно статистическое решение спомощью КМНК?решение
Выполним идентификацию каждогоструктурного уравнения и всей системы для ответа на вопрос — имеютли решения каждое из уравнений и система в целом. Воспользуемся счетным правилом, по которому вкаждом уравнении системы необходимо сравнить НY — число эндогенныхпеременных в данном уравнении и Dx — числоотсутствующих в уравнении экзогенных переменных из общего для всей системы ихперечня. Для удобства анализа представим результаты в таблице.
Таблица 3.1
Результаты идентификации структурных уравнений и всей системыНомер уравнения
Число эндогенных переменных в уравнении, НY
Число экзогенных переменных из общего их списка, отсутствующих в уравнении, Dx
Сравнение параметров НY и Dx+1 Решение об идентификации уравнения 1 2 1 2 = 1+1 Точно идентифицируемо 2 2 1 2 = 1+1 Точно идентифицируемо 3 2 1 2 = 1+1 Точно идентифицируемо 4 3 2 3 = 2+1 Точно идентифицируемо
Проверим необходимое условие идентификации для уравнениймодели.
IуравнениеУравнение Отсутствующие переменные
у3
у4
х3 Второе
b23 Третье -1 Четвертое -1
a33
Det A = 0.
Следовательно, не выполняется достаточное условиеидентификации, и первое уравнение не идентифицируемо.
IIуравнениеУравнение Отсутствующие переменные
у1
у4
х3 Первое -1 Третье
b31 Четвертое
b41 -1
a33
Det A = 0.
Следовательно, не выполняется достаточное условиеидентификации, и второе уравнение не идентифицируемо.
IIIуравнениеУравнение Отсутствующие переменные
у2
у4
х3 Первое
b12 Второе -1 Четвертое
b42 -1
a33
Det A = 0.
Следовательно, не выполняется достаточное условиеидентификации, и третье уравнение не идентифицируемо.
IVуравнениеУравнение Отсутствующие переменные
у3
х1
х2 Первое
а11
а12 Второе
b23
а21
а22 Третье -1
а31
а32
Det A = /> =-a11*/> + a12*/> ¹ 0.
Ранг матрицы равен 2, что не менее числа эндогенных переменныхсистемы без единицы.
Следовательно, выполняется достаточное условие идентификации,и четвертое уравнение точно идентифицируемо.
Вся модель является не идентифицируемой. Соответственноидентифицируемое уравнение не может быть решено с помощью КМНК.
4. Динамика ВРП на душу населения по региону характеризуетсяследующими данными за 1997-2003 гг. (тыс. руб.):1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 10,0 12,7 14,3 17,1 29,4 42,2 52,4
1. Определитькоэффициент автокорреляции первого порядка и дать его интерпретацию.
2. Построитьуравнение тренда в виде экспоненты или показательной кривой. Дать интерпретациюпараметров.
3. С помощьюкритерия Дарбина-Уотсона сделать выводы относительно автокорреляции в остаткахв рассматриваемом уравнении.
4. Дать интервальныйпрогноз ожидаемого уровня ВРП на душу населения на 2005 год.
5. решение
Для изменения автокорреляции уровней динамического рядаиспользуется коэффициент автокорреляции:
r1 = />,
где /> = /> = 28,02 тыс. руб.;
/> = /> = 20,95тыс. руб.
Таблица 4.1
Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка длявременного рядаt
yt
yt-1
yt — />
yt-1 — />
(yt — />)*(yt-1 — />)
(yt — />)2
(yt-1 — />)2 1 10,0 - - - - - - 2 12,7 10,0 -15,32 -10,95 167,72 234,60 119,90 3 14,3 12,7 -13,72 -8,25 113,16 188,15 68,06 4 17,1 14,3 -10,92 -6,65 72,60 119,17 44,22 5 29,4 17,1 1,38 -3,85 -5,33 1,91 14,82 6 42,2 29,4 14,18 8,45 119,85 201,17 71,40 7 52,4 42,2 24,38 21,25 518,15 594,55 451,56 Итого 178,1 125,7 986,15 1339,55 769,98
r1 = /> = 0,971.
Полученное значение свидетельствует об очень теснойзависимости между ВРП на душу населения по региону текущего и непосредственнопредшествующего годов и, следовательно, о наличии во временном ряде ВРП на душунаселения по региону сильной линейной тенденции.
Определим параметры уравнения тренда в виде показательнойкривой у = а*bt:
lgy = lga + t*lgb
Y = C + B*t,
где Y = lgy;
C = lga;
B = lgb.
Таблица 4.1
Расчет параметров тренда№ у Y t Y*t
Y2
t2 1 10,0 1,000 1 1,000 1,000 1 2 12,7 1,104 2 2,208 1,218 4 3 14,3 1,155 3 3,466 1,335 9 4 17,1 1,233 4 4,932 1,520 16 5 29,4 1,468 5 7,342 2,156 25 6 42,2 1,625 6 9,752 2,642 36 7 52,4 1,719 7 12,035 2,956 49 Сумма 178,1 9,305 28 40,735 12,827 140 Среднее 25,44 1,329 4 5,819 1,832 20
В = /> = /> = 0,126;
А = /> - В*/> = 1,329 – 0,126*4 = 0,825.
Получено линейное уравнение: /> =0,825 + 0,126*t.
Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем егов обычной форме: /> = 100,825*100,126*t = 6,683*1,337t.
/>
Рис. 4.1. Графическое отображение уравнения тренда.
Показатель b =1,337 представляет собой средний за период цепной коэффициент роста уровнейряда. Параметр а = 0,825 означает начальный уровень ряда в момент времени,равный 0.
Остатки etрассчитываются по формуле:
et = yt — />.
Критерий Дарбина-Уотсона рассчитывается по формуле:
d = />.
Таблица 4.2
Расчет критерия Дарбина-Уотсона№
уt
/>
et
et-1
/>
/> 1 10,0 8,94 1,06 2 12,7 11,95 0,75 1,06 0,097 0,568 3 14,3 15,97 -1,67 0,75 5,885 2,796 4 17,1 21,35 -4,25 -1,67 6,670 18,104 5 29,4 28,55 0,85 -4,25 26,045 0,720 6 42,2 38,17 4,03 0,85 10,101 16,214 7 52,4 51,04 1,36 4,03 7,099 1,856 Сумма - - - - 55,896 40,258
d = /> = 1,39.
Фактическое значение d сравниваем с табличным значением при 5%-ном уровнезначимости. При n = 7 лет и m = 1 (число факторов) нижнее значениеd’ равно 0,70, а верхнее — 1,36. Таккак фактическое значение dравно 1,39.
/>
На основании схемы видно, что d = 1,39 попадает в промежуток от dU до 4 – dU. Следовательно, нет основанийотклонять гипотезу Н0об отсутствии автокорреляции в остатках.
При t = 9,что соответствует 2005 году, прогнозное значение составит:
/> = 6,683*1,3379 = 91,2 тыс. руб.
Таблица 4.3
Расчет стандартной ошибки прогноза№
уt
/>
/> t
/> 1 10,0 8,94 1,124 1 9 2 12,7 11,95 0,563 2 4 3 14,3 15,97 2,789 3 1 4 17,1 21,35 18,063 4 5 29,4 28,55 0,722 5 1 6 42,2 38,17 16,241 6 4 7 52,4 51,04 1,850 7 9 Сумма 178,1 176,0 41,351 28 28 Среднее - - - 4 -
S = /> = /> = 2,876.
myt = /> = /> = 1,726.
ta* myt = 2,571*1,726 = 4,4.
91,2 – 4,4 = 86,8 £ /> £ 91,2 + 4,4 = 95,6.
Интервальный прогноз ожидаемого уровня ВРП на душу населенияна 2005 год составит 86,8 £ /> £ 95,6 тыс. руб.
5. Динамика показателя деятельности организаций с участиеминостранного капитала в регионе характеризуется следующими данными:
Год
Среднесписочная численность работников, тыс. чел. (хt)
Выпуск товаров, работ и услуг, млрд. руб. (уt)
1998
25,8
6
1999
29,5
14
2000
31,4
19
2001
29,1
29
2002
35,5
45
2003
42,0
64
2004
46,1
69
В результате аналитического выравнивания получены следующиеуравнения трендов и коэффициенты детерминации (t = 1:7):
a) для выпускатоваров, работ и услуг:
/> = -9,8571 + 11,25*t, R2 = 0,9654,
b) для среднесписочнойчисленности работников:
/> = 27,4 – 0,8238*t + 0,5048*t2, R2 = 0,9397.
1) Датьинтерпретацию параметров уравнений трендов.
2) Определитькоэффициент корреляции между временными рядами, используя:
a) непосредственноисходные уровни;
b) отклонения отосновной тенденции.
3) Обосноватьразличие полученных результатов и сделать вывод о тесноте связи междувременными рядами.
4) Построитьуравнение регрессии по отклонениям от трендов.решение
Наиболее простую экономическую интерпретацию имеют параметрылинейного тренда. Параметры линейного тренда можно интерпретировать так:
а – начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0;
b – средний за период абсолютный прирост уровней ряда.
Для исходной задачи начальный уровень ряда для выпускатоваров соответствует значению -9,8571 млрд. руб., средний за период абсолютныйприрост уровней ряда составляет 11,25 млрд. руб. Параметр b > 0, значит уровни рядаравномерно возрастают на 11,25 млрд. руб. каждый год.
Для среднесписочной численности работников коэффициент а — начальный уровень ряда соответствует значению 27,4 тыс. чел.; абсолютноеускорение увеличения среднесписочной численности работников соответствует1,0096.
Рассчитаем коэффициент корреляции между временными рядами,используя непосредственно исходные уровни. Коэффициент корреляции характеризуеттесноту линейной связи между изучаемыми признаками. Определяем его по формуле:
rxy = />,
Таблица 5.1
Расчет параметров коэффициента корреляции№ у х х*у
у2
х2 1 6 25,8 154,8 36 665,64 2 14 29,5 413 196 870,25 3 19 31,4 596,6 361 985,96 4 29 29,1 843,9 841 846,81 5 45 35,5 1597,5 2025 1260,25 6 64 42,0 2688 4096 1764 7 69 46,1 3180,9 4761 2125,21 Сумма 246 239,4 9474,7 12316 8518,12 Среднее 35,14 34,20 1353,53 1759,43 1216,87
sх= /> = /> = 6,87;
sу= /> = /> = 22,90.
rxy = /> = 0,965 — связь сильная,прямая.
Рассчитаем коэффициент корреляции между временными рядами,используя отклонения от основной тенденции.
Таблица 5.2
Расчет отклонений от основной тенденции№ у х
/>
/>
х — />
у — /> 1 6 25,8 27,08 1,39 -1,28 4,61 2 14 29,5 27,77 12,64 1,73 1,36 3 19 31,4 29,47 23,89 1,93 -4,89 4 29 29,1 32,18 35,14 -3,08 -6,14 5 45 35,5 35,90 46,39 -0,4 -1,39 6 64 42,0 40,63 57,64 1,37 6,36 7 69 46,1 46,37 68,89 -0,27 0,11 Сумма 246 239,4 239,41 246,00 -1,28 0,02 Среднее 35,14 34,20 - - 0,00286
Таблица 5.3
Расчет параметров коэффициента корреляции№ у х х*у
у2
х2 1 4,61 -1,28 -5,90 21,25 1,64 2 1,36 1,73 2,35 1,85 2,99 3 -4,89 1,93 -9,44 23,91 3,72 4 -6,14 -3,08 18,91 37,70 9,49 5 -1,39 -0,4 0,56 1,93 0,16 6 6,36 1,37 8,71 40,45 1,88 7 0,11 -0,27 -0,03 0,01 0,07 Сумма 0,02 -1,28 -0,03 0,00 1,64 Среднее 0,00286 15,14 127,11 21,59
sх= /> = /> = 4,65;
sу= /> = /> = 11,27.
rxy = /> = 0,289 — связь слабая, прямая.
При измерении корреляции между двумя временными рядамиследует учитывать возможное существование ложной корреляции, что связано сналичием во временных рядах тенденции, т.е. зависимости обоих рядов от общегофактора времени. Для того чтобы устранить ложную корреляцию, следуеткоррелировать не сами уровни временных рядов, а их последовательные (первые иливторые) разности или отклонения от трендов (если последние не содержаттенденции).
Различия полученных результатов объясняется ложнойкорреляцией из-за наличия во временных рядах тенденции. Таким образом междувременными рядами существует прямая слабая взаимосвязь.
Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:
/> = a + b*x.
Классический подход к оцениванию параметров линейнойрегрессии основан на методе наименьших квадратов.
Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным,решается следующая система относительно a и b.
/>,
Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают изэтой системы:
а = />;
b = /> = /> = 0,701;
а = 0,00286 – 0,701*0 = 0,00286.
Уравнение регрессии по отклонениям от трендов: />= 0,00286 + 0,701*х.