ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВОПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
МОСКОВСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
(филиал в г.Воскресенске)
Кафедра «Прикладнойматематики»
КУРСОВАЯ РАБОТА
Дисциплина:«Моделирование микроэкономических процессов и систем»
Тема: « Использованиематематических методов и моделей в управлении микроэкономическими системами »
Выполнил:
студент 4-го курса (очноеотделение)
Петров А.Ю. (шифр1906361)
Специальность: 080116 –
«Математические методы в экономике»
Руководитель: ст.преподаватель Нидеккер И.А.
Воскресенск, 2009 г.
Оглавление
Введение
Раздел I. «Сетевые модели»
Раздел II. «Использование методаанализа иерархий для организации поставок»
Заключение
Литература
Введение
Темой данной курсовойработы является «Использование математических методов и моделей в управлениимикроэкономическими системами».
Курсовая работа имеетследующую структуру:
1. Введение
2. РазделI «Сетевые модели».
3. РазделII «Использованиеметода анализа иерархий для организации поставок».
4. Заключение
5. Списокиспользованной литературы
Целью курсовой работыявляется изучение на практике современных методов управления и организациипроизводства, совершенствование применения этих методов.
В первом разделекурсовой работы рассматривается ориентированная сеть, рассчитываются необходимыепоказатели этой сети для принятия в дальнейшем управленческих решений. Напримерах описываются возможные применения данных методов.
Во втором разделерассматривается проблема выбора поставщика. Оценивается по критериям каждый изних, и в результате расчетов принимается решение о продолжении сотрудничества содним из поставщиков.
РазделI. «Сетевые модели»
1. Построение сети.
Данная ориентированнаясеть состоит из 7 вершин, соединенных 8 ребрами. Источник – вершина 1, сток –вершина 7. Веса ребер указаны на сети, а также в таблице 1./> />
Таблица 1Ребро (i, j) Вес ребра (i, j) (1, 2) 5 (1, 4) 11 (2, 3) 4 (3, 4) 2 (4, 5) 3 (4, 7) 15 (5, 6) 8 (6, 7) 3
2. Построение минимального остовного дерева.
Минимальное остовноедерево — это остовное дерево графа, имеющее минимальный возможный вес, где подвесом дерева понимается сумма весов входящих в него рёбер.
Шаг 0:C0= Ø, /> ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
/>
/>Шаг1:C1= {1}, /> ={2, 3, 4, 5, 6, 7}/> /> />
8 /> />
11
15 /> />
3
/>Шаг2:min l(1-2) = 5, j* = {2}, C2= {1, 2}, /> ={3, 4, 5, 6, 7}
/>Шаг3:min l(2-3) = 4, j* = {3}, C3= {1, 2, 3}, /> ={4, 5, 6, 7}
/>Шаг4:min l(3-4) = 2, j* = {4}, C4= {1, 2, 3, 4}, /> ={5, 6, 7}
/>Шаг5:min l(4-5) = 3, j* = {5}, C5= {1, 2, 3, 4, 5}, /> ={6, 7}
/>Шаг6:min l(5-6) = 8, j* = {6}, C6= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, /> ={7}
/>Шаг7:min l(6-7) = 3, j* = {7}, C7= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, /> =Ø
Минимальное остовноедерево будет выглядеть следующим образом:
/>
Сумма весов реберостовного дерева равна 5+4+2+3+8+3 = 25 ед.
Пример:
Необходимо соединитьнаселенные пункты под номерами 1 – 7 автомобильными дорогами, при условии, чтоих протяженность будет минимальна.
Расстояния указанырядом с каждым ребром сети.
Построение минимальногоостовного дерева решает эту задачу.
При этом протяженностьавтомобильных дорог, соединяющих все населенные пункты, будет равна 25километрам.
3. Нахождение кратчайшего маршрута.
Нахождение кратчайшегомаршрута заключается в соединении источника (1) со стоком (7) минимальнымрасстоянием.
Шаг 1: Начальная точка{1}.
Находим кратчайшиймаршрут до следующей точки./> />
/>Шаг2: Точки {1} и {2} соединяем кратчайшим маршрутом со следующей точкой.
Шаг 3: Точки {1} и {3}соединяем кратчайшим маршрутом со следующей точкой./> />
В результате получаемдва альтернативных пути – один из них обозначен пунктиром.
/>Шаг4: Точку {4} соединяем кратчайшим маршрутом со следующей точкой.
Шаг 5: Точки {4} и {5}соединяем кратчайшим маршрутом со следующей точкой./> />
/>Шаг6: Точки {4} и {6} соединяем кратчайшим маршрутом со следующей точкой.
В результате итерациймы нашли кратчайшие маршруты, записанные ниже в таблицу 2.
Таблица 2Узел сети Кратчайший маршрут топология протяженность 2
1-2
5 3
1-2-3
9 4
1-2-3-4 или 1-4
11 5
1-2-3-4-5 или 1-4-5
14 6
1-2-3-4-5-6 или 1-4-5-6
22 7
1-2-3-4-5-6-7 или 1-4-5-6-7
25
Пример:
Транспортная компаниявыбирает маршрут из пункта 1 в пункт 7 для доставки товара и желает сократитьвремя в пути своего автотранспорта. Время необходимое для перевозки товара покаждому участку пути обозначено рядом с каждым ребром сети. Необходимопроложить маршрут, обеспечивающий минимальное время автотранспорта в пути.
С помощью алгоритмапостроения кратчайшего маршрута такой тип задачи можно решить. В результатерасчетов минимальное время в пути будет составлять 25 часов.
4. Нахождение максимального потока.
Найти максимальныйпоток можно одним из нижеописанных способов.
4.1 Серия последовательных шагов.
На графиках укажемстепень насыщения потока над каждым ребром, а в скобках остаточную пропускнуюспособность.
Шаг 1: построим поток 1-2-3-4-5-6-7и найдем максимальную пропускную способность этого пути.
/>Min(Cij)= C34= 2
/>Φ1= 2
Поток не полный
Шаг 2: построим поток1-4-5-6-7
Min(Cij)= C45= 1
Φ2= Φ1+ 1= 3/> />
Поток не полный
Шаг 3: построим поток1-4-7
Min(Cij)= C14= 10
/>Φ3= Φ2+ 10= 13
Φ3=13 – полный поток
4.2 Метод разделяющих сечений
Обозначим все возможныеразделяющие сечения данной сети и опишем их характеристики ниже./> />
1) /> Χ= {1},/> ={2,3, 4, 5, 6, 7}
С1 = С(1; 2)+ С(1; 3) = 5+11=16
2) /> Χ= {1,2}, /> ={3,4, 5, 6, 7}
С2 = С(1; 4)+ С(2; 3) = 11+4=15
3) /> Χ= {1,3}, /> ={2,4, 5, 6, 7}
С3 = С(1; 2)+ С(2; 3) + С(1, 4) + С(3, 4) = 5+4+11+2=22
4) /> Χ= {1,2, 3}, /> ={4,5, 6, 7}
С4 = С(1; 4)+ С(3, 2) = 11+2=13
5) /> Χ= {1,2, 3, 4}, /> ={5,6, 7}
С5 = С(4; 5)+ С(4, 7) = 3+15=18
6) /> Χ= {1,2, 3, 4, 5}, /> ={6,7}
С6 = С(4; 7)+ С(5, 6) = 8+15=23
7) /> Χ= {1,2, 3, 4, 6}, /> ={5,7}
С7 = С(4; 5)+ С(4, 7) + С(5, 6) + С(6, 7) = 3+15+8+3=29
8) /> Χ= {1,2, 3, 4, 5, 6}, /> ={7}
С8 = С(4; 7)+ С(6, 7) = 15+3=18
Минимальное сечение:
MaxΦ = min Ci = min(16, 15, 22, 13, 18, 23, 29, 18) = 13
4.3 Ребра, обеспечивающие пропуск максимального потокачерез заданную сеть – выделены зеленым цветом. В скобках указананеиспользованная пропускная способность ребра.
4.4 /> />
Пример:
Компания, занимающаясяпрокладкой газопровода, решает задачу о замене некоторых участков, в связи сувеличившимся спросом у потребителей. Для этого необходимо выявить «узкие»участки газопровода. Пропускные способности каждого участка указаны рядом сребрами.
После построенияполного и максимального потока видно, что участки 1 – 4, 3 – 4, 4 – 5, 6 – 7нагружены полностью, в то время как на участках 1 – 2, 2 – 3, 4 – 7, 5 – 6 неиспользована пропускная способность в размерах 3, 2, 5, 5 соответственно.
РазделII. «Использование метода анализа иерархий для организации поставок»
Предприятие решаетвопрос о продлении договора на поставку с одним из поставщиков, основываясь нарезультатах работы по уже заключенным договорам. Поставщики оцениваются покритериям:
К1 – надежностьпоставки
К2 – цена
К3 – качество товара
К4 – условия платежа
К5 – возможностьвнеплановых поставок
Матрица сравненийкритериев относительно цели:/> />
Матрицы сравненияальтернатив (поставщиков) относительно критериев:
/>/> k1 k2 k3 k4 k5
/>/>/>
Найдем веса критериев ипроверим согласованность матрицы сравнения критериев. При несогласованностиматрицы найдем противоречия в суждениях ЛПР, изменим результаты сравнения ипроверим согласованность матрицы заново.
Для матрицы сравнениякритериев относительно цели найдем собственный вектор и вес каждого критерия:Критерий k1 k2 k3 k4 k5 собственный вектор вес k1 1 5 8 2 7 3,545 0,535 k2 1/5 1 3 4 1/2 1,037 0,157 k3 1/8 1/3 1 2 1 0,608 0,092 k4 1/2 1/4 1/2 1 1/3 0,461 0,070 k5 1/7 2 1 3 1 0,970 0,146 /> /> /> /> />
Σ
6,621
1,000
Проверим согласованностьматрицы:
/>
/>
n= 5
L= 0,229
R= 1,120
T= 0,204 > 0,1 – уровень согласованности не приемлем.
Изменим суждения ЛПРдля достижения согласованности матрицы.
/>
/>
n= 5
L= 0,049
R= 1,120
T= 0,043
1. Найдемвеса альтернатив по критериям и проверим их согласованность.
Альтернативыотносительно критерия k1Альтернативы A1 A2 A3 A4 собственный вектор вес A1 1,000 7,000 0,500 8,000 2,300 0,480 A2 0,143 1,000 0,125 3,000 0,481 0,100 A3 2,000 8,000 1,000 0,200 1,337 0,279 A4 0,125 0,333 5,000 1,000 0,676 0,141 /> /> /> /> />
4,795
1,000
Проверимсогласованность матрицы:
/>
/>
n= 4
L= 0,925
R= 0,900
T=1,027 > 0,1 – матрица не согласована.
Альтернативыотносительно критерия k2Альтернативы A1 A2 A3 A4 собственный вектор вес A1 1,000 4,000 6,000 8,000 3,722 0,654 A2 0,250 1,000 8,000 0,143 0,731 0,129 A3 0,167 0,125 1,000 3,000 0,500 0,088 A4 0,125 7,000 0,333 1,000 0,735 0,129 /> /> /> /> />
5,688
1,000
/>
/>
n= 4
L= 0,495
R= 0,900
T=0,550 > 0,1 – матрица не согласована.
Альтернативыотносительно критерия k3Альтернативы A1 A2 A3 A4 собственный вектор вес A1 1,000 4,000 0,111 8,000 1,373 0,282 A2 0,250 1,000 1,000 2,000 0,841 0,173 A3 9,000 1,000 1,000 3,000 2,280 0,468 A4 0,125 0,500 0,333 1,000 0,380 0,078 /> /> /> /> />
4,873
1,000
/>
/>
n= 4
L= 0,760
R= 0,900
T=0,844 > 0,1 – матрица не согласована.
Альтернативыотносительно критерия k4Альтернативы A1 A2 A3 A4 собственный вектор вес A1 1,000 4,000 6,000 8,000 3,722 0,637 A2 0,250 1,000 3,000 2,000 1,107 0,189 A3 0,167 0,333 1,000 3,000 0,639 0,109 A4 0,125 0,500 0,333 1,000 0,380 0,065 /> /> /> /> />
5,848
1,000
/>
/>
n= 4
L= 0,041
R= 0,900
T=0,046
Альтернативыотносительно критерия k5Альтернативы A1 A2 A3 A4 собственный вектор вес A1 1,000 0,250 6,000 8,000 1,861 0,402 A2 4,000 1,000 0,333 2,000 1,278 0,276 A3 0,167 3,000 1,000 3,000 1,107 0,239 A4 0,125 0,500 0,333 1,000 0,380 0,082 /> /> /> /> />
4,626
1,000
/>
/>
n= 4
L= 0,808
R= 0,900
T=0,898 > 0,1 – матрица не согласована.
2. Определимнаилучшую альтернативу-поставщика, с которым следует продлить договор.
VA1= 0,489
VA2= 0,143
VA3= 0,249
VA4= 0,119
Наилучшая альтернатива A1,следовательно, необходимо продлить договор с первым поставщиком.
Заключение
Данная курсовая работа состоит из двух частей:
1. РазделI «Сетевые модели».
2. РазделII «Использованиеметода анализа иерархий для организации поставок».
В 1 разделерассматривалась задача о минимизации протяженности дорог между 7-ю населеннымипунктами. В итоге была построена ориентированная сеть с начальным и конечнымузлами. Построено минимальное остовное дерево, сумма весов ребер (протяженностьдорог) которого составила 25 км.
Рассмотрена задача оминимизации времени в пути автотранспорта из начального узла в конечный узелсети, который составил 25 часов.
Найден максимальныйпоток для сети газопровода, составляющий 13 куб.ед., а также в результатерасчетов выявлены «узкие» участки газопровода.
Во 2 разделерассматривалась задача, в которой предприятию необходимо было решить вопрос опродлении договора на поставку с одним из поставщиков, основываясь нарезультатах работы по уже заключенным договорам.
После решения даннойзадачи была выбрана наилучшая первая альтернатива, в которой говорится, чтонадежнее продлить договор с первым поставщиком.
Литература
1. ШикинЕ.В., Шикина Г.Е. Исследование операций: учеб. – М.: «ИздательствоПроспект»,2006.
2. ТахаХемди А. Введение в исследование операций. – М. Издательский дом «Вильямс»,2005.
3. Экономико-математическоемоделирование: учебник под общ.ред. И.Н.Дрогобыцкого. – М. «Экзамен», 2006.
4. ЛаричевО.И. Теория и методы принятия решений: — М.: Логос, 2003.
5. ТимашковП.С. Математические методы принятия решений: Учеб.пособие МГУПЭСИ – М., 2003.
6. ЛагошаБ.А. Моделирование микроэкономических процессов и систем в инвестиционнойдеятельности: Учеб.пособие. – М.: Изд-во МГОУ, 2007.
7. БережнаяЕ.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: — М.: Финансы и статистика, 2002.
8. Математическиеметоды и модели исследования операций: учеб. Под ред. В.А.Колемаева. – М.:ЮНИТИ – ДАНА, 2008.