ЗМІСТ
1. Основні параметри проведенняеконометричного аналізу
2. Метод найменших квадратів
3. Оцінка параметрів лінійноїрегресії за методом найменших квадратів
4. Властивості простої лінійноїрегресії
5. Коефіцієнти кореляції тадетермінації
6. Ступені вільності, аналіздисперсій.
7. Перевірка простої регресійноїмоделі на адекватність.
8. F — критерій Фішера
Задача
Література
1. Основніпараметри проведення економетричного аналізу
Багато явищ уприроді і суспільстві взаємозалежні. Якщо узимку багато снігу — навесні чекайповеней. Якщо погана екологія — це до хвороб. Якщо перед курортний сезон — росте попит (і ціни) на купальники. Практично будь-яке явище зв'язане збагатьма факторами (причинами), що приведе до складності і неоднозначностіаналізу.
Серед різнихтипів зв'язку нас буде цікавити так називаний статистичний (стохастичний)зв'язок між масовими явищами. Коли досліджується вплив якогось фактора націкавлячий нас результат, то говорять про причинно-наслідковий зв'язок міжфактором Х і результатом Y. Статистика успадковує з цього зв'язку лишетермінологію (фактор і результат), суть же статистичного зв'язку принципововідрізняється від причинно-наслідкового.
Розрізняютьфункціональний (детерминированний) і статистичний зв'язок. Під функціональнимзв'язком розуміють залежність у = у(х) при якому кожному значенню аргументу х(фактора) ставиться у відповідність відоме (детерминироване) значення функції(мал. 1, а). Наприклад, закон Ньютона а = F/m (прискорення тіла а прямопропорціонально силі F і обратнопропорціонально масі m) являє приклад прямоїфункціональної залежності між а (функцією) і F (аргументом). Зв'язок називаютьстатистичним, якщо для кожного фіксованого значення х€X існує безліч можливихзначень показника Y (мал. 1, б). Звичайно Y розглядається як випадковавеличина, що має для кожного фіксованого значення х0розподілумовних імовірностей P{Y= yk|х0} чи щільністьімовірності р(у|х0). Якщо при зміні фактора х істотно змінюється ірозподіл показника Y, то говорять про наявність істотного статистичного зв'язкуміж Х і Y. Про такий зв'язок можна в першому наближенні судити вже по змінісереднього значення показника Y — умовного математичного чекання: />
який тут записано для безупинноївипадкової величини Y. Умовне математичне чекання M[Y | х] має сенс середньогозначення показника Y при деякім відомому значенні фактора х. Цю залежність якфункцію аргументу х у теорії ймовірностей називають лінією регресії.Вона зображена як приклад на мал. 1,6.
/>
Рис. 1.
У літературі поэконометрике немає однозначної термінології у відношенні X і Y. Зокрема,зустрічаються такі пари термінів, як регрессор (X) і регрессант (Y), що пояснюєX (незалежна, екзогенна) і що пояснюється Y (залежна, ендогенна) перемінні йін. Ми будемо дотримувати найбільш розповсюджених і лаконічних термінів: Х-фактор, Y- показник.
Відмінністьстатистичного зв'язку від причинно-наслідкової полягає в наступному. У теоріїімовірностей (і математичній статистиці) для випадкових величин X і Y доведено,що якщо Y залежить від X, те і X залежить від Y. Скажемо, пропозиція Y залежитьвід попиту X, споживання морозива — від сезона. Це причинно-наслідковізалежності. Навряд чи можна погодиться, що сезон залежить від споживанняморозива. Це буде правдою лише наполовину (з погляду причинно-наслідковогозв'язку). Тим часом сезон (статистично) залежить від рівня споживання морозива.Інакше кажучи, за результатом ми можемо судити про причину на основістатистичного досвіду. Якщо хладо-комбинат працює на граничних потужностях,напевно в розпалі літо. Якщо случився неврожай, то була посуха. Якщо літакрозбився, комісія досліджує найбільш ймовірні причини катастрофи (на основі наблюданняі статистики) і зробить висновок.
У эконометриці(як і у статистикі) приходиться мати справу з вибірками обмеженого обсягу пі замість імовірностей (плотностей імовірності) оперувати їх оцінками-частостями (чи відносними частотами). При цьому на основі вибірки можнапобудувати апроксимацію (наближену функцію) лінії регресії. Такі лінії регресіїописують функціональну складову математичних моделей статистичної залежностіміж фактором X і показником Y. Вони використовуються для оцінок і прогнозів векономічних і фінансових розрахунках, при плануванні бізнесу і розподіліінвестиційних потоків.
Часткою случаємостатистичного зв'язку є кореляційний зв'язок. Вона оцінюється коефіцієнтомкореляції, що характеризує ступінь лінійного статистичного зв'язку.
При вивченнівзаємозв'язків між економічними явищами зважуються наступні задачі:
- вибіртипу моделі регресії;
- побудовамоделі обраного типу (визначення параметрів моделі);
- прогнозуваннясереднього значення показника для заданого значення фактора;
- оцінкапомилок моделювання і прогнозу;
- оцінкавпливу факторних ознак на значення показника (імітаційне моделювання);
- дисперсійно-кореляційнийаналіз моделі і встановлення істотності (значимості) статистичного зв'язку міжфактором і показником;
- оцінкаадекватності результатів моделювання явищам, що спостерігаються.
Дані є вихіднимматеріалом при побудові моделей. Показники в послідовно узяті моменти часуназивають тимчасовими рядами (рядами динаміки). Це можуть бути показникиінфляції, курсів валют, цін і т.д. через визначені інтервали часу. Такі данічасто є коррелированными тим більше, чим менше тимчасові інтервали. Температурана вулиці через годину менше зміниться (більше коррелирована з попередньої),чим через день чи місяць.
Дані, що не єтимчасовими, прийнято називати просторовими. Звичайно вони збираються зрознесених просторово точок і є крапками вибірки обсягу п і розмірностідо к= т + 1 (число к на 1 більше числа факторів т).Вимоги репрезентативності вибірки припускають випадковість добору і достатнійобсяг вибірки з виконанням умови п >> к. Це завжди вартопам'ятати при побудові моделей, І інакше можливе одержання зміщених оцінок. Просередній курс долара в місті, наприклад, не можна судити по обмінних пунктах урайоні міського вокзалу. Прикладами просторових даних є дані по виробництву,продажу, споживанню, цінам у різних точках міста (країни) у визначений моментчасу. На макроекономічному рівні це можуть бути дані по розподілі трудових іматеріальних ресурсів по регіонах країни.
2. Методнайменших квадратів
Модель парноїлінійної регресії є власне кажучи лінійною апроксимацією (наближенням) реальноїлінії регресії у(х) як умовного математичного чекання випадкового показника Y.Специфікація моделі може бути записана як: /> />
Тутпередбачається, що α і β — точні значення параметрів моделі; хі — відомі вибіркові значення фактора; εі — випадкові помилкимоделі в і-й точці з імовірностними властивостями генеральної сукупності.Очевидно, випадкові значення показника yі при цих умовах мають тойже розподіл, що і помилки εі (зі зсувом />). Для спрощення запису мипозначаємо параметри моделі β0=α, β1=β.
Оскільки напрактиці замість генеральної сукупності приходиться мати справу з вибіркоюобмеженого обсягу п, вдається одержати засноване на вибіркових данихнаближення: yi=a+bxi+ei; i=1,2,…,n
де параметри а і b моделі є лише деякими оцінкамиточних значень параметрів α і β. Теоретична залежність (ТЗ) двомірноїМЛР (чи апроксимуюча функція f(X, β)) описується рівнянням прямої лінії: у = а+ bх.
Тут множник b називається коефіцієнтом регресії, авеличина а — постійної складової лінії регресії.
Коефіцієнтрегресії /> характеризує збільшення показникапри збільшенні фактора на 1 (dx = 1) і має відповідну розмірність. При змініпостійна складової а пряма коллинеарно переміщається, а її розмірністьзбігається з розмірністю у. Пряма лінія у = а+ bх повинна проходити так, щоб стосовноточок вибірки обсягу п />
забезпечитимінімальну середньоквадратичну помилку (СКП). Метод визначення параметрівмоделі з мінімальної СКП називається методом найменших квадратів (МНК чи LSM-Least Squares Method в англомовній літературі).
Безліч точоквибірки /> на графіку рис. 1 удекартовых координатах х, у називають діаграмою розсіювання.
Для кожної крапкивибірки помилка результату вибірки (залишок регресії) дорівнює еі = уі — уі*= уі – а — bі
Ця помилка для і-йточки представлена на рис. 2.