Содержание
Введение
Задание
1 Полный факторный эксперимент
1.1 Составление матрицы планирования
1.2 Проведение эксперимента на объекте исследования
1.3 Проверка воспроизводимости эксперимента
1.4 Получение математической модели объекта
1.5 Проверка адекватности математического описания
2 Применение метода случайного баланса для выделениянаиболее существенных входных переменных многофакторного объекта
2.1 Составление матрицы планирования
2.2 Проведение эксперимента на объекте исследования
2.3 Проверка воспроизводимости эксперимента
2.4 Построениедиаграммы рассеяния
2.5Последовательность выделения наиболее существенных переменных при помощивыборочных ортогональных матриц планирования
2.6 Выделениенаиболее существенных парных взаимодействий
2.7 Вычисление оценок коэффициентов и составлениенеполной квадратичной модели объекта
2.8 Проверка адекватности математического описания
Заключение
Список используемых источников
ВВЕДЕНИЕ
Цельвыполнения курсовой работы – закрепление и углубление знаний студентов по дисциплинамфундаментального, общетехнического и профессионального циклов, а такжеподробное изучение современных методов планирования экспериментов,математического моделирования объектов и систем контроля и управления.
Задачей курсовой работы являетсяприобретение студентами навыков выбора необходимого плана эксперимента всоответствии с поставленной перед исследователем проблемой, построения матрицыпланирования, обработки и анализа полученных результатов в зависимости отвыбранного плана эксперимента.
Задание
1. Провести 5 серий измерений отклика(y) в соответствии с составленным планом ПФЭ типа 23с центром в точке /> с координатами х10=40, х20=20,х30=80 и интервалами варьирования Dx1=Dx2=Dx3=10 при заданной случайной помехе.
2. Провести процедуру идентификациимодели, используя расчетные формулы и экспериментальные данные, полученные спомощью установки «Моделирование объектов».
3. Построить матрицу планирования МСБ из 16 строк,основываясь на предпосылке, что исследуемые факторы должны быть смешаныслучайным образом, для 8 независимых линейных факторов, варьируемых на двухуровнях.
4.Провести расчет целевой функции (y=y1+y2) всоответствии с составленным планом МСБ- МСБ с помощью ортогональных матрицпланирования с центром в точке /> с координатами х10=30, х20=40,х30=15, х40=25, х50=20, х60=75, х70=60, х80=30; и интерваламиварьирования Dx1...Dx8=10 при заданной случайной помехе и проведенных (m)серий (m=2) измерений откликовy1 и y2.
1 Полный факторный эксперимент
Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, реализующийвсе возможные неповторяющиеся комбинации уровней n независимых управляемыхфакторов, каждый из которых варьируют на двух уровнях. Число этих комбинацийN=2n определяет тип ПФЭ. В моем варианте задания используетсяпланирование типа N=23, т.е. объект с тремя (n=3) независимымиуправляемыми факторами х1, х2, х3. Припланировании эксперимента проводят преобразование размерных управляемыхнезависимых факторов хi в безразмерные (нормированные)
/>.(1)
1.1 Составление матрицы планирования
Матрицу планирования ПФЭ для рассматриваемого примера (n = 3)можно представить в виде табл. 1.1.
Таблица 1.1g
z0
z1
z2
z3
z12
z13
z23
z123 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 2 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 3 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 4 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 5 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 6 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 7 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 8 1 1 1 1 1 1 1 1
1.2 Проведение эксперимента на объекте исследования
Так как изменение отклика y носит случайный характер, то в каждойточке /> приходитсяпроводить т параллельных опытов и результаты наблюдений yg1,yg2, ..., ygm усреднять:
/>.(3)
Согласно заданию число параллельных опытов в каждой строке МП m =5. Перед реализацией плана на объекте необходимо рандомизировать (расположить вслучайном порядке) варианты варьирования факторов, т.е. с помощью таблицыравномерно распределенных случайных чисел или компьютерной программы дляпроведения процесса рандомизации определить последовательность реализациивариантов варьирования плана в N ´ m опытах.
Таблица 1.2N t,c X1 X2 X3 X4 Y1 Yсред
Sg2 Y*
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3,8 30 10 50 127,8
2 4,9 30 10 50 114,3
3 6 30 10 50 122,4
4 7,1 30 10 65 123,6
5 8,2 30 10 50 121 121,82 24,122 121,64
6 10,6 50 10 50 143,2
7 11,6 50 10 50 142,8
8 12,7 50 10 50 139,8
9 13,7 50 10 50 153,1
10 14,7 50 10 50 146,6 145,1 25,81 145,28
11 17,8 30 30 50 133,2
12 18,8 30 30 50 138,9
13 19,7 30 30 50 144,3
14 20,5 30 30 50 151,4
15 21,7 30 30 50 151,2 143,8 62,285 143,98
16 23,7 50 30 50 168,1
17 24,8 50 30 50 163,8
18 25,8 50 30 50 170,9
19 26,8 50 30 50 168,1
20 27,8 50 30 50 168,1 167,8 6,47 167,62
21 32,1 30 10 80 227,5
22 33 30 10 80 232,4
23 33,9 30 10 80 225,1
24 34,8 30 10 80 228,5
25 35,6 30 10 80 230,7 228,84 8,008 228,205
26 38,6 50 10 80 266,4
27 39,4 50 10 80 271,9
28 40,2 50 10 80 258,8
29 41 50 10 80 272,3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
30 41,8 50 10 80 269,8 267,84 31,003 268,475
31 47,2 30 30 80 261
32 48 30 30 80 255,7
33 48,9 30 30 80 263,9
34 49,8 30 30 80 264,7
35 50,7 30 30 80 257,4 260,54 15,523 261,175
36 55 50 30 80 303,7
37 55,8 50 30 80 303,4
38 56,7 50 30 80 308,3
39 57,5 50 30 80 304,5
40 58,5 50 30 80 290,5 302,08 45,752 301,445 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
1.3 Проверка воспроизводимости эксперимента
Проверка воспроизводимости эксперимента есть не что иное, как проверкавыполнения второй предпосылки регрессионного анализа об однородности выборочныхдисперсий />.Задача состоит в проверке гипотезы о равенстве генеральных дисперсий /> при опытах соответственно в точках />. Оценкидисперсий находят по известной формуле
/>. (4)
Рассчитанные для рассматриваемого примера по формуле (4) значения /> занесены впоследний столбец табл. 1.2.
Так как все оценки дисперсий получены по выборкам одинакового объема т= 5, то число степеней свободы для всех них одинаково и составляет
n1вос= m – 1. (5)
В этом случае для проверки гипотезы об однородности оценок /> дисперсийследует пользоваться критерием Koxpэнa, который основан на законе распределенияотношения максимальной оценки дисперсии к сумме всех сравниваемых оценокдисперсий, т.е.
/>.(6)
Если вычисленное поданным эксперимента (эмпирическое) значение критерия G окажется меньшекритического значения Gкр, найденного по таблице для n1вос= m – 1 и n2вос= N и выбранного уровня значимости qвос = 0,05 (вданном случае Gкр=0,391), то гипотеза об однородности выборочныхдисперсий отвечает результатам наблюдений.
1.4 Получение математической модели объекта
При ПФЭ получаются независимые оценки b0, bi,bil соответствующих коэффициентов модели b0, bi, bil, т.е. b0® b0, bi® bi, bil® bil. Этиоценки легко найти по формулам
/>, />, />, (9)
/>, />. (10)
Таблица 1.3
b0 204,7275
b1 15,9775
b2 13,8275
b3 60,0975
b12 0,4075
b13 4,1575
b23 2,6575
b123 0,2275
Рассчитанные значения коэффициентов приведены в таблице 1.3.
После определения оценок b коэффициентов регрессии необходимопроверить гипотезы об их значимости, т.е. проверить соответствующиенуль-гипотезы b = 0.Проверку таких гипотез производят с помощью критерия Стьюдента,эмпирическое значение которого
/>, (11)
где
/> – (12)
дисперсия оценки b коэффициента уравнения регрессии. Еслинайденная величина параметра ti превышает значение tкр,определенное из таблицы для числа степеней свободы nзн = N(m – 1), призаданном уровне значимости qзн = 0,05, то проверяемуюнуль-гипотезу Н0: b = 0 отвергают и соответствующую оценку biкоэффициента признают значимой. В противном случае, нуль-гипотезу не отвергаюти оценку b считают статистически незначимой, т.е. b = 0.
Рассчитанныезначения критерия и значимость коэффициентов указаны в таблице 1.4.
Таблица 1.4
b0
t0 247,489
tтабл=2,036 значимый
b1
t1 19,31473 значимый
b2
t2 16,71565 значимый
b3
t3 72,65008 значимый
b12
t12 0,492615 незначимый
b13
t13 5,025878 значимый
b23
t23 3,212573 значимый
b123
t123 0,275018 незначимый
В данном варианте статистически незначимыми являются коэффициенты b12,b123, т.к. t12,t123tтабл.
Математическую модель объекта составляют в виде уравнения связи отклика уи факторов xi, включающего только значимые оценки коэффициентов.
/> (13)
1.5 Проверка адекватности математического описания
Чтобы проверить гипотезу об адекватности математического описанияопытным данным, достаточно оценить отклонение предсказанной по полученномууравнению регрессии величины отклика /> от результатов наблюдений /> в одних и техже g-х точках факторного пространства.
Рассеяниерезультатов наблюдений вблизи уравнения регрессии, оценивающего истиннуюфункцию отклика, можно охарактеризовать с помощью дисперсии адекватности
/>, (14)
где d – число членов аппроксимирующего полинома (значимых оценоккоэффициентов модели объекта). Дисперсия адекватности определяется с числомстепеней свободы
nад= N – d. (15)
Для данного варианта всоответствии с формулой (14) получим
/>.
Проверка гипотезы об адекватности состоит, по сути дела, в выяснениисоотношения между дисперсией адекватности /> и оценкой дисперсиивоспроизводимости отклика />. Проверку гипотезы обадекватности производят с использованием F-критерия Фишера. Критерий Фишерапозволяет проверить гипотезу об однородности двух выборочных дисперсий /> и />. В том случае,если />,F-критерийхарактеризуется отношением
/>. (16)
Если вычисленное по результатам наблюдений эмпирическое значениекритерия F меньше критического Fкр, найденного изтаблице для соответствующих степеней свободы:
n1ад= N – d , n2ад= nзн= N(m – 1), (17)
при заданном уровне значимости qад (обычно qад= 0,05), то гипотезу об адекватности не отвергают. В противном случае гипотезуотвергают и математическое описание признается неадекватным.
В данном случае n1ад=2, n2ад =32,табличное значение критерия Fкр=3,302. Таким образом, модельпризнается адекватной.
2Применение метода случайного баланса для выделения наиболее существенныхвходных переменных многофакторного объекта
При оптимизации многофакторного объекта основным этапом являетсяполучение математической модели, адекватно описывающей статический объект визучаемом диапазоне изменения его входных переменных (факторов). При этоместественно стремиться к тому, чтобы математическое описание было возможноболее простым при максимуме подобия, особенно при разработке способов и системоптимального управления, когда важно достичь или поддерживать глобальный, а нелокальный или частный экстремум. Однако решение этой задачи в реальных условияхобычно связано с серьезными трудностями, вызванными весьма большим количествомпеременных />, в той или иной степенивлияющих на объект.
Методика регрессионного анализа основана на предположении, что учтенывсе или, по крайней мере, все существенные факторы, иначе полученнаяматематическая модель окажется неадекватной в изучаемом диапазоне измененияпеременных. Привлечение всего множества переменных к составлениюматематического описания может потребовать непомерного объема экспериментальнойи вычислительной работы, что зачастую невыполнимо в силу технологических,экономических и прочих ограничений. Возникает необходимость предварительногоотсеивания несущественных переменных и выделения тех входных воздействий />, которыеоказывают наиболее заметное влияние на целевую функцию.
Если число всех возможных факторов,влияющих на объект, не превышает 6 – 7, то для предварительного изученияобъекта можно применить методы дробного или полного факторного эксперимента.Однако при большом числе рассматриваемых факторов методы ПФЭ и даже ДФЭ,предназначенные для тщательного изучения поверхности отклика, оказываютсяслишком громоздкими и трудоемкими для постановки отсеивающих опытов. В случаеизучения более 8 – 10 факторов, если эксперименты недороги и если заведомоизвестно, что лишь немногие переменные являются существенными, следуетприменять метод случайного баланса (МСБ).
Важнейшей теоретической предпосылкойМСБ является априорное знание того, что из всей совокупности рассматриваемыхпеременных /> тольконебольшое их число (например, 10… 15 %) являются действительно существенными,остальные же могут быть отнесены к «шумовому полю» .
Под «шумовым полем» обычно понимают случайныепомехи />, о которых ничего или почти ничегонеизвестно, и малозначимые или незначимые переменные (линейные и парныевзаимодействия), которые нет смысла контролировать.
Основная идея метода заключается в том, что вместо дробных реплик,которые представляют собой систематические ортогональные выборки из ПФЭ, берутсяслучайные выборки. Тогда вектор-столбцы матрицы планирования можно считать некоррелированными (не связанными) или слабо коррелированными друг с другом.Совместные оценки оказываются смешанными случайным образом. Появляетсявозможность с высокой надежностью выделить и независимо оценить вседоминирующие переменные.
Из сказанного следует, что МСБ обладает меньшей чувствительностью, чемПФЭ и ДФЭ. Под чувствительностью метода обычно понимается способность выделятькоэффициенты /> уравнения регрессии, значимоотличающиеся от нуля (т.е. способность отбрасывать нуль-гипотезу Н0:ai= 0). Зато он обладает большей разрешающей способностью: вблагоприятных условиях, при одинаковом числе опытов, он позволяет независимовыделить существенные переменные среди гораздо большего числа рассматриваемыхпеременных, чем при ДФЭ и тем более ПФЭ.
2.1 Составление матрицы планирования
Построение матрицы планирования для проведения отсеивающих опытоввыполняют на основе предпосылки, что исследуемые факторы должны быть смешаныслучайным образом. Все линейные факторы zi (i = l, 2,..., n) разбивают на группы, при этом стремятся заведомо взаимодействующиефакторы включить в одну группу. Если же нет априорных сведений о физикепроцесса, то разбивку факторов по группам можно производить формально, сиспользованием таблицы (или программы) случайных чисел. Затем для каждой группысоставляют МП на основе ПФЭ или ДФЭ.
В задании требуется исследовать 8 факторов z1, z2,z3, z4, z5, z6,z7, z8 и их взаимодействия и с помощью МСБвыделить самые существенные. Разобьем факторы на две группы: 1 – z1,z2, z3, z4, 2 -z5,z6, z7, z8.
ОбщаяМП для МСБ составляется в виде таблицы 2.3 путем построчной стыковки таблиц 2.1и 2.2 после рандомизации их строк с помощью таблицы случайных чисел или компьютернойпрограммы для реализации процесса рандомизации. Общая МП в данном примере можетиметь вид таблицы 2.3.
Таблица 2.1g z1 z2 z3 z4 1 -1 -1 -1 -1 2 1 -1 -1 -1 3 -1 1 -1 -1 4 1 1 -1 -1 5 -1 -1 1 -1 6 1 -1 1 -1 7 -1 1 1 -1 8 1 1 1 -1 9 -1 -1 -1 1 10 1 -1 -1 1 11 -1 1 -1 1 12 1 1 -1 1 13 -1 -1 1 1 14 1 -1 1 1 15 -1 1 1 1 16 1 1 1 1
Таблица 2.2g
z5
z6
z7
z8 1 -1 -1 -1 -1 2 1 -1 -1 -1 3 -1 1 -1 -1 4 1 1 -1 -1 5 -1 -1 1 -1 6 1 -1 1 -1 7 -1 1 1 -1 8 1 1 1 -1 9 -1 -1 -1 1 10 1 -1 -1 1 11 -1 1 -1 1 12 1 1 -1 1 13 -1 -1 1 1 14 1 -1 1 1 15 -1 1 1 1 16 1 1 1 1
Таблица 2.3g g'
z1
z2
z3
z4 g''
z5
z6
z7
z8 1 4 1 1 -1 -1 2 1 -1 -1 -1 2 3 -1 1 -1 -1 16 1 1 1 1 3 2 1 -1 -1 -1 5 -1 -1 1 -1 4 5 -1 -1 1 -1 4 1 1 -1 -1 5 9 -1 -1 -1 1 11 -1 1 -1 1 6 11 -1 1 -1 1 3 -1 1 -1 -1 7 15 -1 1 1 1 10 1 -1 -1 1 8 7 -1 1 1 -1 6 1 -1 1 -1 9 16 1 1 1 1 9 -1 -1 -1 1 10 8 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 11 1 -1 -1 -1 -1 14 1 -1 1 1 12 13 -1 -1 1 1 7 -1 1 1 -1 13 6 1 -1 1 -1 13 -1 -1 1 1 14 10 1 -1 -1 1 12 1 1 -1 1 15 14 1 -1 1 1 8 1 1 1 -1 16 12 1 1 -1 1 15 -1 1 1 1
Результаты МСБ анализируются спомощью диаграмм рассеяния либо с помощью выборочных ортогональных МП.
2.2 Проведение эксперимента на объекте исследования
Проведем, используя лабораторный стенд, эксперимент в районе базовойточки: х1=30, х2=40, х3=30,х4=40, х5=20, х6=40, х7=40,х8=20. Примем за интервал варьирования Δxi=10(I=1,…,8). Число параллельных опытов m=2. Целевую функцию запишем каксумму: y=y1+y2.
Таблица 2.4N t,c X1 X2 X3 X4 Y1 N t,c X5 X6 X7 X8 Y2 Y Yср
S2 1 26,1 40 60 5 15 111,3 1 10,5 30 65 50 20 102,3 213,6 2 26,8 40 60 5 15 101,8 2 11,1 30 65 50 20 103,7 205,5 209,55 32,805 3 19,4 20 60 5 15 84,9 3 81,1 30 65 70 40 205,8 290,7 4 20,1 20 60 5 15 92,2 4 81,8 30 65 70 40 202,1 294,3 292,5 6,48 5 12,9 40 40 5 15 77,5 5 23,2 10 65 70 20 106,7 184,2 6 13,9 40 40 5 15 75,4 6 24,1 10 65 70 20 109,3 184,7 184,45 0,125 7 31 20 40 25 15 107,1 7 17,9 30 85 50 40 137,1 244,2 8 32 20 40 25 15 113 8 18,3 30 85 50 20 130,7 243,7 243,95 0,125 9 54,1 20 40 5 35 62,9 9 52,4 10 85 50 40 88,5 151,4 10 55,3 20 40 5 35 64,8 10 52,9 10 85 50 40 100,5 165,3 158,35 96,605 11 70,6 20 60 5 35 88,4 11 14,5 10 85 50 20 106 194,4 12 71,5 20 60 5 35 78,8 12 14,9 10 85 50 20 105,5 184,3 189,35 51,005 13 88,1 20 60 25 35 141,4 13 47,5 30 65 50 40 96,1 237,5 14 88,9 20 60 25 35 155,3 14 47,9 30 65 50 40 101,2 256,5 247 180,5 15 39,8 20 60 25 15 144,9 15 26,6 30 65 70 20 153,7 298,6 16 40,8 20 60 25 15 141,2 16 27,6 30 65 70 20 163,4 304,6 301,6 18 17 92,7 40 60 25 35 190,4 17 41,1 10 65 50 40 79,1 269,5 18 93,7 40 60 25 35 186,9 18 44,8 10 65 50 40 74,2 261,1 265,3 35,28 19 43,9 40 60 25 15 183,3 19 5,5 10 65 50 20 71 254,3 20 45,1 40 60 25 15 190,3 20 8,2 10 65 50 20 66,7 257 255,65 3,645 21 7 20 40 5 15 63,4 21 76,1 30 65 70 40 162,9 226,3 22 8,4 20 40 5 15 56,5 22 76,5 30 65 70 40 161 217,5 221,9 38,72 23 79,7 20 40 25 35 111,7 23 31,4 10 85 70 20 149,6 261,3 24 80,1 20 40 25 35 110 24 32,3 10 85 70 20 154,1 264,1 262,7 3,92 25 35,7 40 40 25 15 147 25 72,8 10 65 70 40 113 260 26 36,5 40 40 25 15 158,2 26 73,2 10 65 70 40 106 264,2 262,1 8,82 27 60,6 40 40 5 35 85,7 27 56,8 30 85 50 40 130,2 215,9 28 61,5 40 40 5 35 77,5 28 57,3 30 85 50 40 128,4 205,9 210,9 50 29 83,4 40 40 25 35 148,6 29 36,2 30 85 70 20 203,3 351,9 30 84,4 40 40 25 35 149 30 37,4 30 85 70 20 205,1 354,1 353 2,42 31 75,7 40 60 5 35 109,7 31 78,7 10 85 70 40 135,7 245,4 32 76,7 40 60 5 35 112,4 32 79,1 10 85 70 40 152 264,4 254,9 180,5
Таблица 2.5g
z1
z2
z3
z4
z5
z6
z7
z8 Y 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 209,55 2 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 292,5 3 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 184,45 4 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 243,95 5 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 158,35 6 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 189,35 7 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 247 8 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 301,6 9 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 265,3 10 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 255,65 11 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 221,9 12 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 262,7 13 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 262,1 14 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 210,9 15 1 -1 1 1 1 1 1 -1 353 16 1 1 -1 1 -1 1 1 1 254,9
2.3 Проверка воспроизводимости эксперимента
Проверкавоспроизводимости экспериментапроводится аналогично ПФЭ.
Рассчитанные для рассматриваемого примера значения /> занесены в последнийстолбец табл. 2.4.
Если вычисленное по данным эксперимента (эмпирическое) значение критерияG (G=0,2546)окажется меньше критического значения Gкр,найденного по таблице для n1вос= m – 1 и n2вос= N и выбранного уровня значимости qвос = 0,05 (вданном случае Gкр=0,3894), то гипотеза об однородности выборочныхдисперсий отвечает результатам наблюдений. В данном случае воспроизводимостьэксперимента выполняется.
2.4 Построение диаграммы рассеяния
Вид диаграммы рассеяния приведен на рисунке 1.
Рисунок 1
/>
Рассчитанные значения вкладов и количество выделяющихся точек длясоответствующих факторов приведены в таблице 2.6.
Таблица 2.6вклады
Bz1
Bz2
Bz3
Bz4
Bz5
Bz6
Bz7
Bz8 16,95 27,31 53,05 2,65 -5,6 -2,95 36,9 1,25 выделяющиеся точки 2 8 6 4 3
2.5 Последовательность выделения наиболее существенных переменных припомощи выборочных ортогональных матриц планирования
Выделение наиболее существенных переменных и их ранжирование можнопроизвести двумя способами: с помощью вкладов и ортогональных выборочных МП.
Визуальное оценивание показало, что самыми существенными факторамиявляются /> и/>, имеющиеи наибольшие абсолютные величины вкладов, и наибольшее число выделяющихся точек(соответственно восемь и четыре). Построим ВОМП ПФЭ типа /> для этих двух факторов(табл. 2.7), где /> – число факторов в ВОМП, /> – номер строкиВОМП.
Столбцы /> заполняются данными табл. 2.5следующим образом. Для каждой строки ВОМП выбирается строка в исходной МП, гдефакторы /> и/> имеют такиеже знаки. Например, для первой строки табл. 2.7 (/>и />) выбираются строки 1,7,9 и 10табл. 2.5. Таким образом, в каждой строке ВОМП (табл. 2.7) оказалось по 4параллельных опыта (/>,/>,/>и />). Построчные средние значенияотклика даны в графе />.
Таблица 2.7z3 z7 y1 y2 y3 y4 Yвыб S G Gтабл -1 -1 209,55 158,35 189,35 210,9 192,0375 601,5173 0,455986 0,6841 1 -1 243,95 247 265,3 255,65 252,975 92,07083 -1 1 292,5 184,45 221,9 254,9 238,4375 2127,302 1 1 301,6 262,7 262,1 353 294,85 1844,39
В графе Sg2выб приведенынесмещенные оценки построчных дисперсий, однородность которых проверяется спомощью G-критерия Кохрэна. Расчетное значение критерия G=0,455986,а критическое Gкр=0,6841. Т.к. GGкр, можно сделатьвывод об однородности оценок дисперсии.Оценки коэффициентов нормированного уравнениярегрессии на основании данных ВОМП получились:
â3=29,3375; â7=22,0688.
Статистическую значимость оценок коэффициентов проводят по критерию:
âi≤ âiкр=tкр∙S{ âi},
где />
Критическое значение t-критерия Стьюдента выбирают из таблицы для уровнязначимости q=0,05 и числа степеней свободы:
nзн=nвос=Nвыб·m(mвыб-1)
Nвыб=4; mвыб=4; m=2
/>=1166,32
/>=36,4475
tкр=2,0639
âкр=12,4601
Оценки â3, â7 признают статистическизначимыми.
Далее исходную табл. 2.5 корректируют по формуле
/>,(23)
стабилизировав /> и /> на уровнях /> и />. При этом в тех g-хстроках, где />, из исходных значений отклика /> вычитаютудвоенное значение коэффициента />, где /> – удвоенное значение />. Если />, то вычитаниесоответствующего /> не производится.
В результате получится скорректированная таблица 2.8.
Таблица 2.8g z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 Y Y' 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 209,55 209,55 2 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 292,5 248,3625 3 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 184,45 140,3125 4 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 243,95 185,275 5 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 158,35 158,35 6 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 189,35 189,35 7 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 247 188,325 8 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 301,6 198,7875 9 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 265,3 206,625 10 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 255,65 196,975 11 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 221,9 177,7625 12 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 262,7 159,8875 13 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 262,1 159,2875 14 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 210,9 210,9 15 1 -1 1 1 1 1 1 -1 353 250,1875 16 1 1 -1 1 -1 1 1 1 254,9 210,7625
По данным этой таблицы (по столбцу y') можно построить новую диаграммурассеяния (рисунок 2), анализируя которую, выделяют следующие два наиболеесущественных фактора. На очередных диаграммах рассеяния ординаты для ранеевыделенных наиболее существенных переменных оставляют незаполненными. Отметим,что дисперсия точек на диаграммах рассеяния после выделения наиболеесущественных факторов заметно уменьшается по сравнению с первоначальнойкартиной, поскольку после стабилизации остаются факторы, оказывающие болееслабое влияние на величину отклика />.
Далее аналогичным образом определим следующие два существенных фактора.
Определим медианы на диаграмме рассеяния после стабилизации (рисунок 2).
Рисунок 2
/>
Далее определим вклады и количество выделяющихся точек (таблица2.9).вклады Bz1 Bz2 Bz3 Bz4 Bz5 Bz6 Bz7 Bz8 -8,1062 23,09375 -4,3875 38,4375 30,10625 8,575 выделяющиеся точки 3 2 5
Наиболее существенными факторами являются z5,z6.
Далеестроим ВОМП для этих факторов(таблица 2.10).
Таблица 2.10z5 z6 y1 y2 y3 y4 Yсред S G Gтабл -1 -1 140,3125 206,625 196,975 159,2875 175,8 976,8622 0,311196 0,6841 1 -1 209,55 188,325 198,7875 154,65 187,8281 564,3275 -1 1 158,35 189,35 159,8875 210,7625 179,5875 635,4361 1 1 248,3625 185,275 210,9 250,1875 223,6813 983,3819
Т.к. GGкр, можно сделать вывод об однородности оценокдисперсии.
Получим следующие значения коэффициентов:
â5=14,0305; â6=9,91016.
Далее по аналогичным формулам проводится оценка значимости.
Nвыб=4; mвыб=4; m=2
/>=790,002
/>=24,6876
tкр=2,0639
âкр=10,2548
Коэффициент â5 признается незначимым, коэффициентâ2 – значимым.
2.6 Выделение наиболее существенных парных взаимодействий
В данном случае наиболее значимыми являются взаимодействия z4z7,z6z7, z1z7.
На рисунках 5-7 приведены диаграммы рассеяния для данных взаимодействий.
Рисунок 5
/>
Bz6z7=51,3
Рисунок 6
/>
Bz4z7=51,3
Рисунок 7
/>
Bz1z6 =56,525
2.7 Вычисление оценок коэффициентов и составление неполной квадратичноймодели объекта
При использовании ВОМП вычисление оценок /> коэффициентов выполняют поформуле, учитывающей число /> строк ВОМП:
/>.
Значения коэффициентов для данного варианта указаны в таблице 2.12.
Таблица 2.11
a0 244,575
a2 14,03047
a3 29,3375
a7 22,06875
Неполнаяквадратичная модель объекта примет вид:
/>
Расчетныезначения у приведены в таблице 2.12.
Таблица2.12g z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 Y Y* 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 209,55 207,1992 2 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 292,5 310,0117 3 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 184,45 223,2758 4 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 243,95 265,8742 5 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 158,35 237,8133 6 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 189,35 237,8133 7 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 247 207,1992 8 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 301,6 251,3367 9 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 265,3 179,1383 10 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 255,65 179,1383 11 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 221,9 251,3367 12 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 262,7 281,9508 13 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 262,1 223,2758 14 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 210,9 265,8742 15 1 -1 1 1 1 1 1 -1 353 310,0117 16 1 1 -1 1 -1 1 1 1 254,9 281,9508
2.8 Проверка адекватности математического описания
Чтобы проверить гипотезу об адекватности математического описанияопытным данным, достаточно оценить отклонение предсказанной по полученномууравнению регрессии величины отклика /> от результатов наблюдений /> в одних и техже g-х точках факторного пространства.
Для данного варианта всоответствии с формулой (14) получим
/>.
/>
Проверку гипотезы обадекватности производят с использованием F-критерия Фишера.
F=184,05
Если вычисленное по результатам наблюдений эмпирическое значениекритерия F меньше критического Fкр, найденного изтаблице для соответствующих степеней свободы:
n1ад= N – d , n2ад= nзн= N(m – 1), (17)
при заданном уровне значимости qад (обычно qад= 0,05), то гипотезу об адекватности не отвергают. В противном случае гипотезуотвергают и математическое описание признается неадекватным.
В данном случае n1ад=12, n2ад =16,табличное значение критерия Fкр=2,42. Таким образом, модель неявляется адекватной.
Заключение
В процессе выполнения курсовой работы были изучены современные методыпланирования экспериментов, математического моделирования объектов и системконтроля и управления.
При выполнении курсовой работы мною были приобретены навыки выборанеобходимого плана эксперимента в соответствии с поставленной передисследователем проблемой, построения матрицы планирования, обработки и анализаполученных результатов в зависимости от плана эксперимента.
Список использованных источников
1 АдлерЮ.П. Введение в планирование эксперимента. М.: Металлургия, 1969.
2 ВентцельЕ.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973.
3 НалимовВ.В., Чернова Н.А. Статистические методы планирования экстремальныхэкспериментов. М.: Наука, 1965.
4 Статистическиеметоды в инженерных исследованиях (лабораторный практикум): Учеб. пособие /Под. ред. Г.К. Круга. М.: Высш. школа, 1983.
5 РузиновЛ.П., Слободчикова Р.И. Планирование эксперимента в химии и химическойтехнологии. М.: Химия, 1980.
6 БондарьА.Г., Статюха Г.А. Планирование эксперимента в химической технологии. Киев:Вища школа, 1976.
7 Статистическиеметоды планирования эксперимента: Лаб. работы / Сост.: С.В. Мищенко, С.В.Григорьева, В.Г. Серегина, Э.В. Злобин: Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та,2002