Министерство образования и науки Украины
Донбасская государственная машиностроительная академия
Контрольная работа
по дисциплине: «Эконометрика»
Выполнила:
студенткагр. ПВ 09-1з
БурденюкЕ.Н.
Проверила:
ГетьманИ.
Краматорск 2010
1. Теоретическийвопрос
Свойства линейнойпрогрессии
1. Прямая регрессиивсегда проходит через центр рассеивания корреляционного поля, т.е. через точку(/>).
2. Из выражения /> следует, чтоугловой коэффициент b1 выражается через коэффициент корреляции rxyи среднее квадратичное отклонение фактора и отклика, т.е. знак b1совпадает со знаком коэффициента корреляции (т.к./>всегда).
Если rxy>0,то b1>0, aострый, связь между х и у – прямая, т.е. с ростом х у возрастает.
Если rxy2. Задача
Найдите коэффициентэластичности для указанной модели в заданной точке x. Сделать экономическийвывод.
/>
X=2
1. Найдемпроизводную функции />,/>
2. Найдемэластичность />, тогда/>
3. Коэффициентэластичности для точки прогноза:
X=2
/>
Коэффициент эластичности показывает,что при изменении фактора X =2 на 1% показатель Y увеличивается на 5%.
3. Задача
Для представленных данныхвыполнить следующее задание:
1. Провестиэконометрический анализ линейной зависимости показателя от первого фактора.Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительнуюобласть. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.
2. Провестиэконометрический анализ нелинейной зависимости показателя от второго фактора,воспользовавшись подсказкой. Сделать прогноз для любой точки из областипрогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности вточке прогноза.
3.Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от двухфакторов. Сделать точечный прогноз для любой точки из области прогноза. Найтичастичные коэффициенты эластичности в точке прогноза.
/>Производительность труда,фондоотдача и уровень рентабельности по плодоовощным консервным заводам областиза год характеризуются следующими данными:№ завода Фактор Уровень рентабельности, % /> Фондоотдача, грн Производительность труда, грн /> /> /> 1 3447 33,4 12,3
2 3710 29,1 14,7
3 2827 25,3 10,9
4 2933 27,1 16,1
5 5428 43,3 22,3
6 5001 47,2 21,1
7 6432 49,3 24,3
8 4343 35,7 13,3
9 7321 45,8 27,6
10 6432 43,4 28,3
11 6003 42,1 25,1
12 5342 40,1 20,2
13 4341 33,3 13,7
14 5040 41,2 19,9
15 4343 39,7 14,2
Нелинейную зависимостьпринять />
Обозначимпроизводительность труда (грн) – Х, уровень рентабельности (%) – У. Построимлинейную зависимость показателя от фактора. Найдем основные числовыехарактеристики. Объемвыборки n=15 – суммарное количество наблюдений. Минимальное значение Х=2827, максимальноезначение Х=7321, значит, производительность труда изменяется от 2827 до 7321грн. Минимальное значение У=10.9, максимальное значение У=28.3, уровеньрентабельности изменяется от 10.9 до 28.3%. Среднее значение />. Среднее значениепроизводительности труда составляет 4790,53 грн, среднее значение уровнярентабельности составляет 19.41%. Дисперсия />= 1748769,231, />= 32,09.Среднеквадратическое отклонение />1322.41, значит среднее отклонениепроизводительности труда от среднего значения, составляет 1322.41 грн., />5,66, значитсреднее отклонение уровня рентабельности от среднего значения, составляет 5.66%.Определим, связаны ли Х и У между собой, и, если да, то определить формулусвязи. По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания) – нанесемточки /> награфик. Точка с координатами />=(4964; 19.41) называется центромрассеяния. По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимостьмежду y и x линейная. Для определения тесноты линейной связи найдем коэффициенткорреляции: />=0,9 Так как /> то линейная связь междуХ и У достаточная. Пытаемся описать связь между х и у зависимостью/>. Параметры b0,b1 находим по МНК. /> Так как b1>0, тозависимость между х и y прямая: с ростом производительности труда уровеньрентабельности возрастает. Проверим значимость коэффициентов bi.Значимость коэффициента b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
/>0,024. Значимость /> равна 0,98091636, т.епрактически 100%. Коэффициент b0 статистически значим.
/>7,59. Значимость /> равна 6,42·10-6,т.е 0%, что меньше, чем 5%. Коэффициент b1 статистическизначим. Получили модель зависимости уровня рентабельности от производительноститруда />
После того, как былапостроена модель, необходимо проверить ее на адекватность.
Дляанализа общего качества оцененной линейной регрессии найдем коэффициентдетерминации: />=0,827. Разбросданных объясняется линейной моделью на 82,7% и на 17,3% – случайными ошибками.Качество модели плохое.
Проверимс помощью критерия Фишера.
Дляпроверки найдем величины: />345,19и />6.Вычисляем k1=1, k2=13. Находим наблюдаемое значениекритерия Фишера />57,6. Значимость этого значения a=0,00006, т.е. процентошибки равен 0%, что меньше, чем 5%. Модель/> считается адекватной с гарантией более 95%.
Найдем прогноз наосновании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза />, х=3000
Рассчитываем прогнозныезначения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза: />
Найдем полуширинудоверительного интервала в каждой точке выборки xпр:
/>
sе – средне квадратичное отклонение выборочных точек отлинии регрессии />2,45
ty = критическаяточка распределения Стьюдента для надежности g=0,9 и k2=13.
n =15.
/>
или />
xпр – точка из области прогнозов.
Прогнозируемыйдоверительный интервал для любого х такой />, где d(х=5000)=5,4, т.е. доверительныйинтервал для хпр=5000 составит от 14,08 до 25,01 с гарантией 90%.
Совокупностьдоверительных интервалов для всех х из области прогнозов образует доверительнуюобласть.
Т.е. припроизводительности труда 5000 грн уровень рентабельности составит от 14% до 25%.
Найдем эластичность.
Для линейной модели />
/>
Коэффициент эластичности показывает,что при изменении х=5000 на 1% показатель y увеличивается на 0,996%.
Обозначим фондоотдачу –Х, уровень рентабельности – У. Построим нелинейную зависимость показателя отфактора вида />. Найдем основные числовыехарактеристики. Объем выборки n=15 – суммарное количество наблюдений.
Минимальное значение Х=25.3, максимальноезначение Х=49.3, значит, фондоотдача изменяется от 25.3 до 49.3грн. Минимальноезначение У=10.9, максимальное значение У=28.3, уровень рентабельности изменяетсяот 10.9 до 28.3%. Среднее значение />. Среднее значение фондоотдачисоставляет 38.4 грн, среднее значение уровня рентабельности составляет 18.93%.
Дисперсия />=55.015, />=33.16.
Среднеквадратическоеотклонение />7.42,значит среднее отклонение фондоотдачи от среднего значения, составляет 7.42грн., />5.76,значит среднее отклонение уровня рентабельности от среднего значения,составляет 5.76%.
Определим, связаны ли Х иУ между собой, и, если да, то определить формулу связи. По таблице строим корреляционноеполе (диаграмму рассеивания) – нанесем точки /> на график.
Точка с координатами />=(38.4; 18.93)называется центром рассеяния.
По виду корреляционногополя можно предположить, что зависимость между y и x нелинейная.
Пытаемся описать связьмежду х и у зависимостью/>. Перейдем к линейной модели.Делаем линеаризующую подстановку: />, />. Получили новые данные U и V. Дляэтих данных строим линейную модель: />
Проверим тесноту линейнойсвязи u и v. Найдем коэффициент корреляции: />0,782. Между u и v сильнаялинейная связь.
Параметры b0, b1находим по МНК. />
Проверим значимостькоэффициентов bi. Значимость коэффициента b может бытьпроверена с помощью критерия Стьюдента:
/>=-3,45. Значимость /> равна 0,004352681, т.епрактически 0%. Коэффициент b0 статистически значим.
/>4,53. Значимость /> равна 0,00057, т.епрактически 0%. Коэффициент b1 статистически значим.
Получили линейную модель />
После того, как былапостроена модель, необходимо проверить ее на адекватность.
Дляанализа общего качества оцененной линейной регрессии найдем коэффициентдетерминации: />=0,62. Разбросданных объясняется линейной моделью на 62% и на 38% – случайными ошибками.Качество модели хорошее.
Проверимс помощью критерия Фишера.
Дляпроверки находим величины: /> 284,224и />13,85.Вычисляем k1=1, k2=13. Находим наблюдаемое значениекритерия Фишера />20,53. Значимось этого значения a=0,00057, т.е.процент ошибки практически равен 0%. Модель/> считается адекватной с гарантией более 62%.
Так как линейная модельадекватна, то и соответствующая нелинейная модель тоже адекватна.
Находим параметрыисходной нелинейной модели: а=b1=-3,45; b= b0=4,53.
Вид нелинейной функции: />.
Т.е. зависимость уровнярентабельности от фондоотдачи имеет вид: />.
Найдем прогноз наосновании модели. Выберем произвольную точку из области прогноза [25.3; 49.3],х=1
Рассчитываем прогнозныезначения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза: />
Найдем полуширинудоверительного интервала в каждой точке выборки. Для этого найдем полуширинудля линейной модели:
/>
sе – средне квадратичное отклонение выборочных точек отлинии регрессии />3,721341
/>
uпр – точка из области прогнозов.Прогнозируемый доверительный интервал для любого u такой />
Для нелинейной моделинайдем доверительный интервал, воспользовавшись обратной заменой: /> Совокупностьдоверительных интервалов для всех х из области прогнозов образует доверительнуюобласть.
Прогноз для х=1 составитот 5,31 до 22,58 с гарантией 90%.
Т.е. при фондоотдаче 1грн. уровень рентабельности составит от 5.31% до 22.58%.
Найдем эластичность.
/>,
где />
Коэффициент эластичностидля точки прогноза:
/>
Коэффициент эластичностидля точки прогноза:
/>
Коэффициент эластичности показывает,что при изменении фондоотдачи 1 грн. на 1% уровень рентабельности увеличиваетсяна 1.57%.
Обозначим производительность труда –Х1 грн., фондоотдачу — Х2 грн, уровень рентабельности – У %. Построим линейнуюзависимость показателя от факторов. Найдем основные числовые характеристики.Объем выборки n=15 – суммарное количество наблюдений. Минимальное значениеХ1=2827, максимальное значение Х1=7321, значит, производительность трудаизменяется от 2827 до 7321грн. Минимальное значение Х2=25.3, максимальное значениеХ2=49.3, значит, фондоотдача изменяется от 25.3 до 49.3грн. Минимальноезначение У=10.9, максимальное значение У=28.3, уровень рентабельностиизменяется от 10.9 до 28.3%. Среднее значение
/>
Среднее значениепроизводительности труда составляет 4862,87 грн, среднее значение фондоотдачисоставляет 38.4 грн., среднее значение уровня рентабельности составляет 18.93%.
Дисперсия />=1777276,41, />=55,016 />=33.16.
Среднеквадратическоеотклонение />1333.15,значит среднее отклонение производительности труда от среднего значения,составляет 1333.15грн., среднеквадратическое отклонение />7.42, значит среднееотклонение фондоотдачи от среднего значения, составляет 7.42грн./>5.76, значит среднееотклонение уровня рентабельности от среднего значения, составляет 5.76%.
Прежде чем строитьмодель, проверим факторы на коллинеарность. По исходным данным cтроимкорреляционную матрицу. Коэффициент корреляции между X1 и X2равен 0,88. Так как />, значит X1 и X2– неколлинеарные
Определим, связаны ли Х1,Х2 и У между собой.
Для определения теснотылинейной связи найдем коэффициент корреляции: r=0,898. Так как /> то линейнаясвязь между Х1, Х2 и У достаточная.
Пытаемся описать связьмежду х и у зависимостью/>.
Параметры b0, b1,b2 находим по МНК. />.
Проверим значимостькоэффициентов bi.
Значимость коэффициента bможет быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
/> 0,062. Значимость /> равна 0,951, т.еприблизительно 95%. Так как это значение намного больше 5%, то коэффициент b0статистически не значим.
/> 3,94. Значимость /> равна 0,00195, т.е 0.2%.Так как это значение меньше 5%, то коэффициент b1 статистическизначим.
/>-0,21. Значимость /> равна 0,837, т.е 83%.Так как это значение больше 5%, то коэффициент b2 статистическине значим.
Проверим адекватность.
Дляанализа общего качества оцененной линейной регрессии найдем коэффициентдетерминации: />=0,843. Разброс данных объясняетсялинейной моделью на 84% и на 16% – случайными ошибками. Качество модели хорошее.
Проверимс помощью критерия Фишера.
Дляпроверки найдем величины: />195.69и />6.073.Вычисляем k1=2, k2=12. Находим наблюдаемое значениекритерия Фишера />32.22 Значимось этого значения a=0,000015, т.е.процент ошибки равен 0,0015%. Так как это значение меньше 5%, то модель /> считается адекватной с гарантией более 99%.
Получили модельзависимости уровня рентабельности плодоовощным консервным заводам области отпроизводительности труда и фондоотдачи />
Найдем прогноз наосновании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза:/>х1=5000, х2=30.Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точкипрогноза: />
Т.е. при производительности труда5000 грн и фондоотдаче 1 грн уровень рентабельности составит 19.84%.
Найдем эластичность покаждому фактору.
Для линейной модели
/>,
/>.
Коэффициент эластичности показывает,что увеличении производительности труда с 5000 грн. на 1% и при фондоотдаче 30грн., уровень рентабельности увеличится с 19.84 грн на 1.05%.
Для линейной модели
/>,
/>.
Коэффициент эластичности показывает,что при производительности труда 5000 грн. и увеличении удельного фондоотдачи с30грн. на 1%, уровень рентабельности уменьшится с 19.84 грн на 0,06%.
Для увеличениярентабельности заводов целесообразней увеличивать производительность труда принеизменной фондоотдаче.
Использованнаялитература
1. Экономико-математические методы иприкладные модели: Учебное пособие для вузов / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш и др.- М.: ЮНИТИ, 1999. — 391 с.
2. Орлова И.В.Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL.Практикум: Учебное пособие для вузов. — М.: Финстатинформ, 2000.- 136 с.
3. Компьютерные технологииэкономико-математического моделирования: Учебное пособие для вузов / Д.М.Дайитбегов, И.В. Орлова. — М.: ЮНИТИ, 2001.
4. Эконометрика: Учебник / Под ред.И.И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2001.
5. Практикум по эконометрике: Учебноепособие / Под ред. И.И. Елисеевой — М.: Финансы и статистика, 2001.